1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.
掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.
理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(易混点).
通过画正弦函数的图象，“五点法”作图及图象应用，提升学生的直观想象素养.
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆中正弦线画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动2π的整数倍单位就得到整条曲线，依据是什么？
提示：依据是诱导公式(一)：sin(2kπ＋α)＝sin
α(k∈Z)，或者说终边相同的角的正弦线相同．
3．余弦曲线
余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象叫余弦曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos
x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos
x(x∈R)的图象可由y＝sin
x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
[提示] 因为cos
x＝sin，所以y＝sin
x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos
x(x∈R)的图象．
1．用“五点法”作函数y＝2sin
x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
A [根据“五点法”作图，x的取值为0，，π，，2π.]
2．函数y＝－sin
x，x∈的简图是( )
D [函数y＝－sin
x与y＝sin
x的图象关于x轴对称，故选D.]
3．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin
x(0≤x≤2π)的图象时的列表．
x
0
①
2π
－sin
x
②
－1
0
③
0
①
；②
；③
.
π 0 1 [用“五点法”作y＝－sin
x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]
4．函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有
个．
2 [由图象可知：函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】 (1)下列叙述正确的是( )
①y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
(2)下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin
x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin
x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin
x
(1)D (2)D [(1)分别画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]和y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)A中g(x)＝－sin
x；B中，f(x)＝－cos
x，g(x)＝cos
x；C中g(x)＝－sin
x；D中f(x)＝sin
x，故选D.]
解决正、余弦函数图象的注意点,对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
1．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin
x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cos(－x)与y＝cos
|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是
．
②④ [对②，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos
|x|＝cos
x，故其图象相同；
对④，y＝cos(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]
用“五点法”作三角函数的图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin
x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos
x(0≤x≤2π)．
思路点拨：→→
[解] (1)①取值列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
②描点连线，如图所示.#
(2)①取值列表如下：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－1＋cos
x
0
－1
－2
－1
0
②描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asin
x＋b(A≠0)或y＝Acos
x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x
(或cos
x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1(或0)
0(或1)
y
b(或A＋b)
A＋b(或b)
b(或－A＋b)
－A＋b(或b)
b(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin
x＋b(y＝Acos
x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上单位长度要统一．
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin
x，x∈[0,2π]上的图象．
[解] 取值列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
＋sin
x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
正弦、余弦函数图象的应用
[探究问题]
1．解三角不等式sin
x＞a(或cos
x＞x＞a)一般有几种方法？
提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线，结合单位圆求解；一是利用正、余弦函数图象解决．
2．如何处理方程f(x)＝g(x)的根的个数问题？
[提示] 在同一坐标中，分别画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象，观察交点个数，如求sin
x＝x的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出y＝sin
x，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sin
x＜x没有交点，当x＞1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.
【例3】 (1)函数y＝的定义域为
．
(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin
x和y＝lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x＝lg
x的解的个数．
思路点拨：(1)→→
(2)→
→
(1) [由2sin
x－1≥0得sin
x≥，
画出y＝sin
x的图象和直线y＝.
可知sin
x≥的解集为
.]
(2)[解] 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin
x，x∈R的图象．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg
x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个．
1．本例(1)中的“sin
x”改为“cos
x”，应如何解答？
[解] 由2cos
x－1≥0得cos
x≥，画出y＝cos
x的图象和直线y＝.
观察图象可知cos
x≥的解集是
.
2．把本例(2)中两函数改为“y＝，y＝cos
x”，方程“sin
x＝lg
x”改为“＝cos
x”，应如何解答？
[解] y＝中x的取值范围是[0，＋∞)．
分别作出y＝，y＝cos
x的图象，如图．
由图象可观察到两个函数图象只有一个交点，
所以方程＝cos
x只有唯一一个根．
1．用三角函数的图象解sin
x＞a(或cos
x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin
x(或y＝cos
x)的图象．
(2)确定sin
x＝a(或cos
x＝a)的x值．
(3)确定sin
x＞a(或cos
x＞a)的解集．
2．利用三角函数线解sin
x＞a(或cos
x＞a)的方法
(1)找出使sin
x＝a(或cos
x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
1．“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝Asin
x＋b的图象的步骤
1．对于余弦函数y＝cos
x的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin
x的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
D [根据正余弦函数图象可知，①②③正确．]
2．函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
C [由解析式可知y＝cos
x的图象过点(a，b)，则y＝－cos
x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]
3．若方程sin
x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是
．
[因为x∈[0,2π]时，－1≤sin
x≤1，∴方程有解可转化为－1≤4m＋1≤1，解得－≤m≤0.]
4．用“五点法”画出函数y＝2sin
x，x∈[0,2π]上的图象．
[解] (1)列表：
x
0
π
2π
2sin
x
0
2
0
－2
0
(2)描点作图，如下：
PAGE1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y＝sin
x和y＝cos
x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象素养.2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养.
1.
函数的周期性
(1)周期函数
条件
①对于函数f(x)，存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
思考：函数y＝|sin
x|，y＝|cos
x|是周期函数吗？
[提示] 是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝cos
4x
D [根据公式T＝可知＝，得ω＝4，故应选D.]
2．函数y＝2sin是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
B [y＝2sin＝2cos
2x，它是周期为π的偶函数．]
3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝
.
6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)，
所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]
三角函数的周期问题及简单应用
【例1】 求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sin
x|.
思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
[解] (1)法一：(定义法)y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
1．本例(2)中函数变成“y＝|cos
x|”，图象如何？
[解] 作图如下：
观察图象可知周期是π.
2．本例(2)中函数变成y＝sin
|x|或y＝cos
|x|，图象如何？
[解] 作图如下：
由图象可知y＝sin
|x|不是周期函数，y＝cos
|x|的图象与y＝cos
x图象相同，仍为周期函数，周期为2π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos
2x，x∈R；
(2)y＝sin，x∈R.
[解] (1)因为cos
2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos
2x，由周期函数的定义知，y＝cos
2x的周期为π.
(2)因为sin
＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
三角函数奇偶性的判断
【例2】 (1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合为
．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝sin；
②f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)；
③f(x)＝.
思路点拨：(1)→
→
(2)
(1) [因为y＝cos
ωx为偶函数，y＝sin
ωx为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cos
x或y＝－2cos
x，只有φ＝kπ＋(k∈Z)．]
(2)[解] ①显然x∈R，f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
②由得－1＜sin
x＜1，
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin
x)－lg(1－sin
x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
③∵1＋sin
x≠0，∴sin
x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos＋x2sin
x；
(2)f(x)＝＋.
[解] (1)f(x)＝sin
2x＋x2sin
x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin
2x－x2sin
x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由得cos
x＝，
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[探究问题]
1．一般通过什么方法研究三角函数的性质？
提示：三角函数的性质可从图象上直观地反映出来，如图象的对称性，图象的升降，图象的范围等相应地反映函数的奇偶性，单调性，定义域和值域，所以解题时要通常借助图象．
2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2
018)的值是多少？
提示：f(2
018)＝f(0＋1
009×2)＝f(0)＝0.
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
2x|
C．y＝sin
D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f等于( )
A．－
B.
C．－
D.
思路点拨：(1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x∈，f(x)＝sin
x求值．
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
2x|是偶函数，y＝sin＝cos
2x是偶函数，y＝cos＝－sin
2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f
＝f＝f＝f
＝sin＝.]
1．若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
[解] f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.
2．若本例(2)中的“π”改为“”，去掉“f(x)是偶函数”，其他条件不变，求f.
[解] ∵f(x)的周期为，
∴f＝f
＝f＝f＝sin＝.
1．三角函数周期性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin
x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．
3．周期函数的定义域是一个无限集，周期有无数多个，可能存在最小正周期，也可能不存在最小正周期，如f(x)＝1，x∈R是周期函数，但不存在最小正周期．
1．下列命题中不正确的是( )
A．由于sin＝sin
，则是正弦函数y＝sin
x的一个周期
B．若T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N
)，也是函数f(x)的周期
C．函数y＝3sin
2x是奇函数
D．函数y＝－cos
x是偶函数
A [根据周期的定义可以判断A不正确，B对，再由奇偶性的判断法可判断C、D均正确．]
2．函数f(x)＝sin
2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
A [f(x)＝sin
2x的定义域为R，f(－x)＝sin
2(－x)＝－sin
2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]
3．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为
．
4 [由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.]
4．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝
.
－3 [由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos
3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
[解] (1)因为f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝－2cos
3(－x)＝－2cos
3x＝f(x)，
所以f(x)＝－2cos
3x为偶函数．
(2)因为f(x)的定义域为R，且f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin
x，所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin
x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．
PAGE第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握y＝sin
x和y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sin
x和y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)
1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养.2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养.
正弦、余弦函数的图象与性质
解析式
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在＋2kπ，k∈Z上递增，在＋2kπ，k∈Z上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)k∈Z
k∈Z
思考：y＝sin
x和y＝cos
x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？
[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
1．y＝2sin的值域是( )
A．[－2,2]
B．[0,2]
C．[－2,0]
D．[－1,1]
A [这里A＝2，故值域为[－2,2]．]
2．函数y＝sin的一个对称中心是( )
A.
B.
C.
D.
B [y＝sin＝cos
2x，令2x＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，令k＝0的对称中心为，故选B.]
3．函数y＝2－sin
x取得最大值时x的取值集合为
．
[当sin
x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，
此时x＝2kπ－，k∈Z.]
4．函数f(x)＝cos的单调减区间为
．
(k∈Z) [令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调减区间为(k∈Z)．]
正弦函数、余弦函数的单调性
【例1】 (1)函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是
．
(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
思路点拨：(1)确定a的范围→y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos
x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．
(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin
u＋1的单调递增区间．
(2)[解] 令u＝＋2x，函数y＝sin
u＋1的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.
1．本例(2)中条件不变，问是该函数的单调递增区间吗？
[解] 令2x＋＝u，∵x∈，
∴≤2x＋≤，即u∈.
而y＝sin
u在上不单调，
故y＝sin＋1在上不是单调递增的．
2．本例(2)中条件不变，求在[－π，π]上的单调递增区间．
[解] 对于y＝sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∵－π≤x≤π，
令k＝－1时，－π≤x≤－π，
令k＝0时，－≤x≤，
令k＝1时，≤x≤π，
∴函数y＝sin＋1在[－π，π]上的单调递增区间为、和.
3．本例(2)中把条件中的“＋2x”改为“－2x”，结果怎样？
[解] y＝sin＋1＝－sin＋1，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝sin＋1的单调递增区间为(k∈Z)．
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为
．
(2)已知函数y＝cos，则它的单调递减区间为
．
(1)，
(2)(k∈Z) [(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，
所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.
(2)y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]
利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin
196°与cos
156°；
(3)cos与cos.
思路点拨：→
[解] (1)∵－＜－＜－＜，
∴sin＞sin.
(2)sin
196°＝sin(180°＋16°)＝－sin
16°，
cos
156°＝cos(180°－24°)＝－cos
24°＝－sin
66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin
16°＜sin
66°，
从而－sin
16°＞－sin
66°，
即sin
196°＞cos
156°.
(3)cos＝cosπ
＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ
＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cosπ＜cos，
即cos＜cos.
三角函数值大小比较的策略
?1?利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.
?2?不同名的函数化为同名的函数.
?3?自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin
α＜sin
β
B．cos
α＜sin
β
C．cos
α＜cos
β
D．cos
α
＞cos
β
(2)比较下列各组数的大小：
①cos，cos；②cos
1，sin
1.
(1)B [α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈，－β∈，
所以cos
α＜cos＝sin
β.]
(2)[解] ①cos＝cos，cos＝cos，因为0＜＜＜π，而y＝cos
x在[0，π]上单调递减，
所以cos＞cos，即cos＞cos.
②因为cos
1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin
x在上单调递增，所以sin＜sin
1，
即cos
1＜sin
1.
正弦函数、余弦函数的最值问题
[探究问题]
1．函数y＝sin在x∈[0，π]上的最小值是多少？
提示：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.
2．函数y＝Asin
x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
提示：不是．因为A>0时，最大值为A＋b，若A<0时，最大值应为－A＋b.
【例3】 (1)函数y＝cos2x＋2sin
x－2，x∈R的值域为
．
(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
思路点拨：(1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin
x看作整体，转化为二次函数的值域问题．
(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求sin的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．
(1)[－4,0] [y＝cos2x＋2sin
x－2
＝－sin2x＋2sin
x－1＝－(sin
x－1)2.
因为－1≤sin
x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cos2x＋2sin
x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]
(2)[解] ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∴f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．
[解] 因为y＝cos2x＋2sin
x－2＝－sin2x＋2sin
x－1＝－(sin
x－1)2，所以当sin
x＝－1时，ymin＝－4，
此时x的取值集合为.
2．本例(2)中，函数变成f(x)＝2cos＋3，求其最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的集合．
[解] (1)因为－1≤cos≤1，
所以当cos＝1时，ymax＝5；
这时2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)．
当cos＝－1时，ymin＝1.
这时2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)．
综上，f(x)max＝5，这时x取值集合为
；
f(x)min＝1，这时x取值集合为.
3．本例(2)中，函数变成f(x)＝2cos＋3，且加上条件x∈时，求最大值、最小值．
[解] 因为x∈，
所以0≤2x＋≤，
所以0≤cos≤1，
所以当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝0，ymin＝3.
所以函数y＝2cos＋3，x∈的最大值为5，最小值为3.
三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
(1)y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin
x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值．
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．三角函数最值问题的求解方法有：
(1)形如y＝asin
x(或y＝acos
x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin
x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
1．下列命题正确的是( )
A．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数
B．存在x∈R满足sin
x＝
C．在区间[0,2π]上，函数y＝cos
x仅当x＝0时取得最大值1
D．正弦函数y＝sin
x有无穷多条对称轴和无数个对称中心
D [A错，y＝sin
x，y＝cos
x在定义域没有单调增区间也没有减区间；B错，sin
x≤1；C错，y＝cos
x(x∈[0,2π])当x＝0或2π时，函数取得最大值；D对，根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴，写成x＝kπ＋(k∈Z)，也有无穷多个对称中心(kπ，0)(k∈Z)．]
2．函数y＝sin
x的值域为
．
[因为≤x≤，所以≤sin
x≤1，即所求的值域为.]
3．sin
sin(填“＞”或“＜”)．
＞ [sin＝sin＝sin，
因为0＜＜＜，y＝sin
x在上是增函数，所以sin＜sin，
即sin＞sin.]
4．求函数y＝1－sin
2x的单调递增区间．
[解] 求函数y＝1－sin
2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin
2x的单调递减区间，
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．
PAGE1.4.3 正切函数的性质与图象
学
习
目
标
核
心
素
养
1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点)
1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.
正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
，k∈Z
单调性
在开区间，k∈Z内都是增函数
思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？
[提示] 不是，在中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上．
1．函数f(x)＝tan的单调增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
C [令kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，故单调增区间为(k∈Z)．]
2．函数y＝tan的定义域为
．
[因为2x－≠kπ＋，k∈Z，
所以x≠＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
.]
3．函数y＝tan
3x的最小正周期是
．
[函数y＝tan
3x的最小正周期是.]
4．函数y＝tan的对称中心是
．
(k∈Z) [令x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z)．]
有关正切函数的定义域、值域问题
【例1】 (1)函数y＝的值域是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
(2)求下列函数的定义域：
①y＝；
②y＝lg(－tan
x)．
思路点拨：(1)→
(2)①中注意分母不为零且y＝tan
x本身的定义域；
②中注意对数大于零?从而得到定义域．
(1)B [当－＜x＜0时，－1＜tan
x＜0，∴＜－1；
当0＜x＜时，0＜tan
x＜1，∴＞1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
(2)[解] ①要使函数y＝有意义，
需使
所以函数的定义域为
.
②因为－tan
x＞0，所以tan
x＜.
又因为tan
x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是
.
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．解形如tan
x＞a的不等式的步骤
提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
1．求函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域．
[解] 要使函数y＝＋lg(1－tan
x)有意义，则即－1≤tan
x＜1.
当x∈上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan
x的周期为π，所以所求x的定义域为.
正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
【例2】 (1)函数f(x)＝tan的周期为
．
(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为
．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan
2x－2x4；②y＝cos＋tan
x.
思路点拨：(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．
(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．
(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．
(1) (2)(k∈Z) [(1)法一：(定义法)
∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
法二：(公式法)
f(x)＝tan的周期T＝.
(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]
(3)[解] ①定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan
2(－x)－2(－x)4＝3xtan
2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．
②定义域为，关于原点对称，
y＝cos＋tan
x＝sin
x＋tan
x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin
x－tan
x＝－f(x)，所以它是奇函数．
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法．
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan
x，x≠kπ＋(k∈Z)的对称中心坐标为，k∈Z.
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan＋tan.
[解] (1)由
得f(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为
，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数.
正切函数单调性的应用
[探究问题]
1．正切函数y＝tan
x在其定义域内是否为增函数？
提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1x1＝tan
x2.
2．如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？
提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．
【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
①tan
与tan；
②tan与tan.
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
思路点拨：(1)→
(2)→→
[解] (1)①因为tan＝tan，
tan＝tan，
又0＜＜＜，
y＝tan
x在内单调递增，
所以tan＜tan，即tan＜tan.
②因为tan＝－tan，
tan＝－tan，
又0＜＜＜，
y＝tan
x在内单调递增，
所以tan＞tan，
所以－tan＜－tan，
即tan＜tan.
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋π＜x＜＋π，k∈Z，
所以y＝3tan的减区间为
，k∈Z.
1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？
[解] 由kπ－得2kπ－2．将本例(2)中函数改为“y＝lg
tan”，结果又如何？
[解] 因为函数y＝lg
x在(0，＋∞)上为增函数，
所以函数y＝lg
tan
x的单调递增区间就是函数y＝tan
x(tan
x＞0)的单调递增区间，
令kπ＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，
得＋＜x＜＋(k∈Z)，故y＝lg
tan的增区间为，k∈Z.
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．
(1)若ω＞0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
1．正切函数的图象
正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三个点(0,0)，，，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan
x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan
x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．
1．下列说法正确的是( )
A．正切函数的定义域和值域都是R
B．正切函数在其定义域内是单调增函数
C．函数y＝|tan
x|与y＝tan
x的周期都是π
D．函数y＝tan|x|的最小正周期是
C [y＝tan
x的定义域为，所以A错；由正切函数图象可知B错；画出y＝tan
x，y＝|tan
x|和y＝tan|x|的图象可知C正确，D错误，因为y＝tan|x|不是周期函数．]
2．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )
A．y＝tan
x
B．y＝cos
x
C．y＝tan
D．y＝－tan
x
C [A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.]
3．函数y＝|tan
x|在上的单调减区间为
．
和 [如图，观察图象可知，y＝|tan
x|在上的单调减区间为和.
]
4．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．
[解] ①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋
，k∈Z，
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为，
k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
∴函数图象的对称中心是，k∈Z.
PAGE1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点)2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式．(重点)3．掌握y＝sin
x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(重点、易混点)
1.通过观察参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变化的影响，提升学生直观想象素养．2．通过对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象和性质的应用，提升数学运算素养.
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
4．由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
①先平移后伸缩
y＝sin
x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
②先伸缩后平移
y＝sin
x的图象y＝sin
ωx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移个单位长度y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思考：由函数y＝sin
ωx的图象平移多少个单位得到y＝sin(ωx＋φ)个单位？为什么？
[提示] 平移个单位，而不是平移|φ|单位，原因是图象的变换是针对x而言，并非针对ωx而言．
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1．函数y＝sin
4x的图象可由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到( )
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的
B [y＝sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的后变为y＝sin
4x的图象．]
2．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
B [y＝sin＝sin
4，故只需将y＝sin
4x图象向右平移个单位即可得到．]
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝
.
4 [由已知得A＋1＝5，故A＝4.]
4．函数y＝3sin的频率为
，相位为
，初相为
．
x－ － [频率为＝＝，
相位为x－，初相为－.]
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】 用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图．
思路点拨：列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x＋取0，，π，，2π即可找到五点．
[解] 先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝，列表如下：
X
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
1．本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？
[解] ∵x∈，∴3x＋∈，
列表如下：
3x＋
π
2π
x
0
y
1
2
0
－2
0
1
描点，连线
2．本例中，把“五点法”改为“图象变换法”，怎样画法？
[解] 法一：(先平移再伸缩)
法二：(先伸缩再平移)
1．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般有两种方法：
(1)“五点法”；
(2)图象变换法．
2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点．
3．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤是：
第一步：列表：
ωx＋φ
0
π
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
[跟进训练]
1．已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在上的图象．
[解] 列表：
x
－
－
－
2x－
－
－π
－
0
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
三角函数图象之间的变换
【例2】 (1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为
．
(2)将y＝sin
x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin＋1的图象？
思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．
(2)法一：y＝sin
x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．
法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
(1)y＝－cos
2x－3 [y＝cos的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos
2x，
再向下平移3个单位长度得y＝－cos
2x－3的图象．]
(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y＝sin
x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin
x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin
2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin
2的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，
得y＝2sin＋1的图象．
法二：(先平移法)①将y＝sin
x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
1．本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数y＝2sin＋1图象怎样变换可得到函数y＝sin
x的图象？
2．本例(2)中把“y＝sin
x”改为“y＝cos
x”，该怎样变换？
由y＝sin
x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin
xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
[跟进训练]
2．(1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cos
x
B．f(x)＝3sin
x
C．f(x)＝3cos
x＋3
D．f(x)＝sin
3x
(1)A (2)A [(1)因为y＝cos
＝sin＝sin
＝sin
2，
所以将y＝sin
2x的图象向左平移个单位，
得到y＝cos的图象．
已知函数图象求解析式
【例3】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cos＋4
B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2
D．y＝4cos＋2
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．
思路点拨：由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.
(1)A [由函数f(x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π.又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上，
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，
所以f(x)＝3sin.
法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，
又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)．又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.
法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin
2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
[跟进训练]
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
C [根据图象得A＝2，T＝－，
可得T＝，
∴ω＝＝
，
又f(x)过点，
可得2sin＝0，
由五点作图法可得×＋φ＝π，解得φ＝，
所以f(x)＝2sin.
故选C.]
三角函数图象与性质的综合应用
[探究问题]
1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
【例4】 (1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
思路点拨：(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
(1)B [因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴．
又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以当x＝时，f(x)取得最小值．
所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－(k∈Z)．
又因为T＝≥－＝，所以ω≤12.又因为ω＞0，
所以k＝1，即ω＝8－＝.]
(2)[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin
φ＝1或－1.
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
[解] 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin
φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.
因为f(x)＝sin
ωx在上是增函数．
所以?，于是，解得0＜ω≤，
所以ω的最大值为.
2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2(x)＋sin
2x，x∈的最大值．
[解] 由条件知f(x)＝sin＝cos
2x.
由x∈得2x∈，sin
2x∈，
y＝f2(x)＋sin
2x＝cos22x＋sin
2x＝1－sin22x＋sin
2x＝－＋.
所以当sin
2x＝时，ymax＝.
1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin
z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
1．利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0、、π、π、2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值．
2．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A、ω、φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
1．下列判断正确的是( )
A．将函数y＝sin的图象向右平移个单位可得到函数y＝sin
x的图象
B．将函数y＝sin
3x的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍即可得到函数y＝sin
x的图象
C．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象
D．函数y＝sin的图象是由函数y＝sin
4x的图象向右平移个单位得到的
B [A错，应该向左平移个单位；C错，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin；D错，应该向右平移个单位，只有B正确．]
2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，，
B．6π，，
C．3π，3，－
D．6π，3，
B [y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋1(ω＞0，|φ|＜)
的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．sin
B．sin
C．sin＋1
D．sin＋1
D [由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋1的部分图象知，
f(0)＝sin
φ＋1＝，sin
φ＝，|φ|＜，φ＝，
又f＝sin＋1＝2，sin＝1，ω＞0，∴ω＝2；
∴f(x)＝sin＋1；
将f(x)的图象向右平移个单位长度，
得函数g(x)的图象，
则g(x)＝sin＋1＝sin＋1.
故选D.]
4．已知函数y＝2sin(2x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ的值为________．
[∵x＝是函数y＝2sin(2x＋φ)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z.
则φ＝＋kπ，k∈Z.
又0＜φ＜，取k＝0，得φ＝.
故答案为.]
5．已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
[解] (1)列表：
x
－
＋
0
π
2π
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
PAGE第1章
三角函数
1.6 三角函数模型的简单应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B解决一些具有周期变化规律的实际问题．(重点)2．将某些实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
通过把实际问题抽象成三角函数模型，提升数学抽象、数学运算和数学建模素养.
1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin
100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A. B．100 C. D．50
C [T＝＝＝.]
2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A.， B．2， C.，π D．2，π
A [t＝0时，θ＝sin＝；又T＝＝π，所以单摆频率为.]
3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．
0．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8
s往返一次．]
4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
y＝－6sinx [设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.
当x＝9时，ymax＝6.故
×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.]
三角函数图象的应用
【例1】 (1)函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
A
B C D
(2)作出函数y＝|cos
x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间．
思路点拨：(1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．
(2)依据y＝|cos
x|＝画图，并判断此函数的性质．
(1)C [y＝x＋sin|x|是非奇非偶函数，
图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.]
(2)[解] y＝|cos
x|图象如图所示．
由图象可知：T＝π；y＝|cos
x|是偶函数；单调递增区间为，k∈Z，
单调递减区间为，k∈Z.
(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
(2)一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：①由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．②由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”．
[跟进训练]
1．函数y＝ln
cos
x的大致图象是( )
A [函数为偶函数，排除B，D，又∵x∈时，cos
x≤1，这时ln
cos
x≤0，故选A.]
三角函数模型在物理学中的应用
【例2】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(1)用“五点法”作出这个函数的简图；
(2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(4)经过多长时间小球往复振动一次？
思路点拨：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．
[解] (1)列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(2)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin
＝2，所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和－4
cm.
(4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π
s.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
[跟进训练]
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)单摆来回摆动一次需多长时间？
[解] (1)由s＝6sin得
t＝0时，s＝6sin＝3(cm)，
所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3
cm；
(2)由解析式知，振幅为6，
∴单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6
cm；
(3)T＝＝＝1，即单摆来回摆动一次需1
s.
三角函数模型的实际应用
[探究问题]
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
提示：(1)根据原始数据绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
【例3】 已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
思路点拨：(1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.
(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．
[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
1．若将本例(2)中“大于1
m”改为“大于1.25
m”，结果又如何？
[解] 由y＝cost＋1＞1.25得cost＞，
2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，
即10＜t＜14.
2．若本例中海滨浴场某区域的水深y(m)与时间t(h)的数据如下表：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
用y＝Asin
ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．
[解] 函数y＝Asin
ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12
h，因此＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3sin
t＋10(0≤t≤24)．
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型的建立程序
1．与图中曲线对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin
x|
B．y＝sin
|x|
C．y＝－sin
|x|
D．y＝－|sin
x|
C [注意题图中的函数值的正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin
|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.]
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
C [这里ω＝160π，则T＝＝，所以此人每分钟心跳的次数为80次．]
3．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l＝________cm.
[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]
4．如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出动物种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800(t≥0)．
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，
∴sin
φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
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