章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
C [若直线l∩α＝A，显然有l?α，A∈l，但A∈α.]
2．下面给出了四个条件：
①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
D [①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直
线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.
故以上4个条件都不能确定一个平面．]
3．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
D [由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]
4．已知a，b，c是直线，则下面命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．
其中真命题的
个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
D [异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的
大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
B [当三棱锥D?ABC的体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，连接OD，OB(图略)，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B [选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.]
7．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，
则EF的长是( )
A．1
B．
C．
D．
B [取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝SB＝1，DF＝AC＝1，所以EF＝＝.]
8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
B [若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.]
9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A?CD?B的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
C [取AC的中点E，CD的中点F，连接BE，EF，BF，则EF＝，BE＝，BF＝，因为EF2＋BE2＝BF2，所以△BEF为直角三角形，cos
θ＝＝.]
10．如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，F在CD上，要使AC∥平面EFB，则的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．
B [连接AD交BE于点O，连接OF,
因为AC∥平面EFB，平面ACD∩平面EFB＝OF，所以AC∥OF.
所以＝.
又因为BD∥AE，所以△EOA∽△BOD，所以＝＝2.
故＝2.]
11．设三棱锥V?ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P?AC?B的平面角为γ，则( )
A．β＜γ，α＜γ
B．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜α
D．α＜β，γ＜β
B [如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，
过D作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC交VG于F，
过D作DH∥AC，交BG于H，
则α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝∠PED，
则cos
α＝＝＝＜＝cos
β，
又α、β，可得β＜α；
tan
γ＝＞=tan
β，可得β＜γ.
]
12．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与②
B．①与③
C．②与③
D．③与④
B [由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE?平面EFG，GF?平面EFG，得SG⊥平面EFG，排除C，D，若SE⊥平面EFG，则SG∥SE.
这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.
1 [因为l1∥l2，所以经过l1，l2有且只有一个平面．]
14．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________.
平行 [因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC.
又因为AC?平面DEF，EF?平面DEF，所以AC∥平面DEF.]
15．已知平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C
∈平面β，且C?l，AB∩l＝R.若过A，B，C三点的平面为平面γ，
则β∩γ＝________.
CR [根据题意画出图形，如图，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.
因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.]
16．已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S?ABC的体积为9，则球O的表面积为________.
36π [如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r，则
OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S?ABC的体积
V＝×·OA＝，
即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] (1)∵C1C⊥平面ABC，
∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
而B1C?平面BCC1B1，
∴AC⊥B1C.
(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，
∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD.
试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
[解] 在PC上能找到点E，且满足＝，可使BE∥平面PAD.
证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
所以＝＝，所以＝.
又＝，所以在△PFC中，＝，
所以BE∥PF.
而BE?平面PAD，PF?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P?ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M为PB的中点．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求二面角M?AC?B的大小．
[解] (1)证明：由PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC.
(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，
连接MH，
因为M是BP的中点，所以MO∥PA，
又因为PA⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，
所以∠MHO为二面角M?AC?B的平面角，设AC＝2，则BC＝2，MO＝1，OH＝，
在Rt△MHO中，tan
∠MHO＝＝，
所以二面角M?AC?B的大小为30°.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
[解] (1)因为PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.
又AB∥CD，所以AB⊥AE.
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB.
又AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF∥平面PAE.
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.
因为G，F分别为PA，PB的中点，则FG∥AB，且FG＝AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG.
因为CF?平面PAE，EG?平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
21.如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B?EB1C1F的体积．
[解] (1)证明因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N，故B1C1⊥平面A1AMN.因为B1C1?平面EB1C1F，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)因为AO∥平面EB1C1F，AO?平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN.又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝AM＝，PM＝AM＝2，EF＝BC＝2.
因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B?EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．
如图，作MT⊥PN，垂足为T，则由(1)知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin∠MPN＝3.
底面EB1C1F的面积为×(B1C1＋EF)×PN＝×(6＋2)×6＝24.
所以四棱锥B?EB1C1F的体积为×24×3＝24.
22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.
图① 图②
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
[解] (1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC.
又∵DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD＝D，
∴DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，
∴A1F⊥平面BCDE，∵BE?平面BCDE，
∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C?平面A1DC，
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，
∴A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.
PAGE章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
2．下面给出了四个条件：
①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4．已知a，b，c是直线，则下面命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．
其中真命题的
个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的
大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
7．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，
则EF的长是( )
A．1
B．
C．
D．
8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A?CD?B的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
10．如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，F在CD上，要使AC∥平面EFB，则的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．
11．设三棱锥V?ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P?AC?B的平面角为γ，则( )
A．β＜γ，α＜γ
B．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜α
D．α＜β，γ＜β
12．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与②
B．①与③
C．②与③
D．③与④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.
14．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________.
15．已知平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C
∈平面β，且C?l，AB∩l＝R.若过A，B，C三点的平面为平面γ，
则β∩γ＝________.
16．已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S?ABC的体积为9，则球O的表面积为________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD.
试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P?ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M为PB的中点．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求二面角M?AC?B的大小．
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
21.如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B?EB1C1F的体积．
22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.
图① 图②
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
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