数学人教A版（2019） 选择性必修第三册 6.3.2 二项式系数的性质（共18张PPT）

(共18张PPT)
6.3.2
二项式系数的性质
新知导入
计算(a+b)n展开式的二项式系数
二项式系数:
，，，...，
n
(a+b)n的展开式的二项式系数
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
新知导入
将上表写成如下形式：
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
新知导入
思考：通过上表和上图，能发现什么规律？
在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等，
即每一行都具有对称性.
在相邻的两行中，除了开头和结尾的两个数外，其他每个数都等于它肩上两个数之和.
第n（n∈N
）行的各数之和为2n
当n=2,4,6时，中间一项值最大；当n=1,3,5时，中间两项值最大.
.
新知讲解
二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，这一性质可直接由公式得到，对称轴为r=n/2
（2）增减性与最大值
因为
即，由
当
时，
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知,
它的后半部分是逐渐减小的.
新知讲解
当n是偶数时，中间的一项取得最大值.
当n是奇数时，中间的两项和相等,且同时取得最大值.
（3）各二项式系数的和
已知
(1+x)n
=
令x=1
得(1+1)n=
所以，(a+b)n的展开式的各二项式系数之和为2n
例题讲解
例1
求证:在(a+b)n
的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明:在展开式
(a+b)n=中，
令a=1,b=-1，得
(
1-1
)n=
即
因此
即在(a+b)n
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
例题讲解
例2
在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：.
（2）各项系数之和为：a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加得a0＋a2＋a4+a6+a8=(59-1)/2，
则所有奇数项系数之和为(59-1)/2.
例题讲解
例3
在的展开式中
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项?
解：展开式的通项公式为
(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，因此
(2)设第k+1项系数的绝对值最大，则，即
解得k=5或k=6，故系数绝对值最大的项是第6项或第7项.
课堂练习
2．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则
（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
C
1．展开式中各项系数之和为（
）
A．26
B．36C．46
D．1
A
3．的展开式中系数最大的项为（
）
A．第4项
B．第5项
C．第7项
D．第8项
B
课堂练习
4.
已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（
）
A．
B．
C．7
D．70
C
5．的展开式中，系数最大的项是
(
)
A．第项
B．第n项
C．第n+1项
D．第n项与第n+1项
C
6.
若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+...+a7x7
，则a0+a2+a4+a6=
（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
B
课堂练习
7．已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，
则m=（
）
A．
B．
C．4
D．
7
B
拓展提高
8.
设
(1-x)15=a0+
a1x+
a2x2+...+
a15x15
求:
(1)
a1+
a2+
a3+
a4+...+
a15
(2)
a1+
a3+
a5+...+
a15
解：（1）令x=0可得115=a0，则a0=1
令x=1可得015=a0+a1+a2+...+a15，
所以
a1+a2+...+a15=-a0=-1.
（2）令x=-1
可得
215=a0-a1+a2-a3+...-a15
①
令x=1
可得
015=a0+a1+a2+a3+...+a15
②
①-②
得：215=-2(a1+a3+a5+...+a15
)
所以a1+a3+a5+...+a15=-214.
拓展提高
9．在
的展开式中.
求：（1）所有项的系数和；
（2）x4的系数；
（3）系数最大的项.
解：（1）令x=1
，该展开式中所有项的系数和为312
(2)
该展开式的通项公式为：
令36-4k=4，解得k=8，所以x4的系数为
(3)
设第k+1（r∈N,k≤12）项的系数最大，则
解得,因为k∈N，所以k=4
所以该展开式中系数最大的项为
链接高考
10．（2011
全国高考真题（理））的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(
)
A．-40
B．-20
C．20
D．40
D
11.
（2020
北京高考真题）在的展开式中，x2的系数为（
）．
A．-5
B．5
C．-10
D．10
C
链接高考
12．（2018
全国高考真题（理））的展开式中x4的系数为(
)
A．10
B．20
C．40
D．80
13．（2020
天津高考真题）在的展开式中，x2的系数是_________．
10
C
14．（2020
全国高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
240
课堂总结
（1）对称性
（2）增减性与最大值
（3）各二项式系数的和
1、二项式系数的性质
板书设计
6.3.2
二项式系数的性质
一、新知导入
二、新知讲解
二项式系数的性质
三、例题讲解
四、课堂练习
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置