2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示同步练习word含解析

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1.设平面
与平面
的夹角为
，若平面
的法向量分别为
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
2.已知
为空间四面体，
为底面
上一点，且满足
，则以下等式一定成立的是（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
3.在正方体
中，
是
的中点，则直线
与直线
所成角的余弦值为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.已知向量
，
，且
与
夹角的余弦值为
，则
的取值可以是（???
）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?±2
5.已知向量
，向量
与
共线，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.已知
，
，则
的最小值是（???
）
A.?-18????????????????????????????????????????B.?-12????????????????????????????????????????C.?-8????????????????????????????????????????D.?-6
7.已知二面角
，其中平面的一个法向量
，平面
的一个法向量
，则二面角
的大小可能为（???
）
A.?60°??????????????????????????????????B.?120°??????????????????????????????????C.?60°或120°??????????????????????????????????D.?30°
8.设向量
是空间的一个基底，则—定可以与向量
构成空间的另一个基底的向量是（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
或
9.在
ABC中，D是边AC上的点，E是直线BD上一点，且
，
，若
，则m-n=（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
10.已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，
，
，
，
，是其中四个圆的圆心，则
（???
）
A.?6?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?26
二、多选题
11.设
构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（???
）
A.?存在不全为零的实数
，
，
，使得
B.?对空间任一向量
，总存在唯一的有序实数组
，使得
C.?在
，
，
中，能与
，
构成空间另一个基底的只有
D.?存在另一个基底
，使得
12.对于任意向量
，
，
，下列命题正确的是（???
）
A.?若
，
，则
???????????????????????????????B.?若
，则
C.?若
，
，则
?????????????????????????D.?若
，则
13.在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为
，两个拉力分别为
，
，若
，
与
的夹角为
．则以下结论正确的是（???
）
A.?
的最小值为
???????????????????????????????????????????B.?
的范围为
C.?当
时，
???????????????????????????????D.?当
时，
三、填空题
14.设
中，
，
且满足
，
，当
面积最大时，则
与
夹角的大小是________.
四、解答题
15.已知向量
，
，向量
．
（1）若
，求
的值；．
（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】【解答】由题意，
，而平面
与平面
的夹角
与
相等或互补，所以
。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而结合平面
与平面
的夹角
与
相等或互补，进而求出。
2.【答案】
B
【解析】【解答】因为
平面
，设
，
则
，
所以，
，
则
，
，
，因此，
。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形法则结合平面向量基本定理，再结合已知条件
，
从而求出
，
，
，因此，
，从而选出正确的答案。
3.【答案】
D
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则
，
，
，
，所以
，
，设直线
与直线
所成角为
，所以
故答案为：D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的余弦值。
4.【答案】
A
【解析】【解答】因为向量
，
，
与
夹角的余弦值为
，
所以
，
整理得
(其中
)，解得
（负值舍去）.
故答案为：A.
【分析】利用空间向量夹角公式直接求解，即可得出答案。
5.【答案】
C
【解析】【解答】由题意可知：
和
不共线，
所以
和
可以作为一组基底，
而
与
共线，
所以
，
故答案为：C．
【分析】利用向量共线定理即可得出答案。
6.【答案】
B
【解析】【解答】因为
，根据向量线性运算的几何意义，可得
，
，
即
，
，
所以
，
，
当
时，由
可得
，即
，
所以
，因为向量夹角大于等于
且小于等于
，所以
，故
；
当
时，由
可得
，即
，
所以
，故
，所以
，
此时
与
恰好反向，且模都取得最大值，所以
的最小值是
.
故答案为：B.
【分析】由
，根据向量线性运算的几何意义，可得
，
，即
，
，所以
，
，分情况讨论，可得
与
恰好反向，且模都取得最大值，进而得出答案。
7.【答案】
C
【解析】【解答】
，
所以
，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°
故答案为：C
【分析】根据两个平面法向量之间的夹角公式，求出它们之间的夹角余弦值，再得到夹角。
8.【答案】
C
【解析】【解答】因为向量
是空间的一个基底，所以三个向量不共面，而向量
与
或
共面，故排除A、B、D.
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论。
9.【答案】
B
【解析】【解答】∵
，∴
，
∴
∴
·
故答案为：B
【分析】运用共线向量的性质，结合平面向量基本定理，平面向量加法的几何性质进行求解即可。
10.【答案】
A
【解析】【解答】解：如图所示,建立以
为一组基底的基向量,其中
且
的夹角为60°,
∴
,
,
∴
.
故答案为：A.
【分析】建立以
为一组基底的基向量,其中
且
的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知向量，向量和均可以用
表示，再结合平面向量数量积运算法则即可得到答案。
二、多选题
11.【答案】
B,C,D
【解析】【解答】A选项，假设存在不全为零的实数
，
，
，使得
，不妨令
，则
，此时
，
，
共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，A不符合题意；
B选项，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量
，总存在唯一的有序实数组
，使得
，即B符合题意；
C选项，因为
，
，而
不能由
，
表示出，即向量
，
，
不共面，因此
，
，
可以构成一组基底，即C符合题意；
D选项，若
与
都是构成空间的基底，如果
，若
，
，
，则
，
即
与
是不同的基底，D符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合基底的定义，再结合平面向量基本定理，进而找出说法正确的选项。
12.【答案】
C,D
【解析】【解答】A.
当
时，满足
，
，但
不一定共线，故错误；
B.
因为
，所以
，所以
，故错误；
C.
因为
，
，所以
，故正确；
D.
因为
，所以
，即
，故正确；
故答案为：CD
【分析】利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，判断选项即可。
13.【答案】
A,C,D
【解析】【解答】对于A选项：因为
为定值，且
，
所以
，解得
，
又
，
在
上单调递减，所以
最小值为
，A符合题意；
对于B选项：由题意得
，B不正确；
对于C选项：当
时，
，所以
，C符合题意；
对于D选项：当
时，
，所以
，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用三角形法则求向量的和的方法结合已知条件，再利用数量积求向量的模和向量间夹角的公式，解得
，又
，从而利用余弦函数的图像，从而判断出函数
在
上的单调性，从而求出
最小值；再利用分类讨论的方法，从而找出结论正确的选项。
三、填空题
14.【答案】
【解析】【解答】在
中，
，
，满足
，
，
如图，
，
，
若使
面积最大时，
，即
，
,
，
，
又
，
，
又
，
，即
，
，
，
故答案为：
【分析】由题意可知三角形为等腰三角形，根据面积最大可知三角形为等腰直角三角形，根据夹角公式及数量积的性质运算求解。
四、解答题
15.【答案】
（1）解：由
，得
，
解得
．
又
，所以
．
（2）解：因为
，
所以
，
由
，得
，
所以当
时．即
时，
．
由
恒成立，得
，
所以实数
的取值范围
．
【解析】【分析】(1)根据题意由向量垂直的坐标关系式即可得到进得到由此求出角的大小。
(2)首先由向量的坐标公式以及向量模的公式整理即可得出
，
再由同角三角函数的关系式以及两角和的正弦公式即可得到
，
结合角的取值范围以及正弦函数的性质即可求出
，
由此得到即。