四川省成都邛崃市高埂中学2020-2021学年高一下学期4月第一次月考数学试题（pdf版）

高 2023 届高一下期第一次学月考试
数学试题
(本卷满分 150 分，时间 120 分钟)
第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。请．将．答．案．填．在．答．题．卡．相．应．的．位．置．上．）．
1．设集合A?{x|lgx?1},B ?{x|x?3}，则A?B ?
A.(0,??) B.(3,10) C. (??,??) D.(3,??)
? ? ? ? ?
2. 已知向量a ??1,m?，b ??3,?2?，且(a?b)?b ，则m?
A.?8 B. ?6 C. 6 D. 8
? ? ? ?
3 cos42 cos12 ?cos48 sin12 ?
1 1 3 3
A. ? B. C.? D.
2 2 2 2
1
4.函数 f(x) ?lnx? x的零点所在的区间是
2
1 1
A.(0, ) B.(?1,0) C.( ,1) D.(1,??)
e e
0.2 0.1 0.3
5.已知a ?0.5 ,b?1.3 ,c?0.5 则
A.c?a?b B. a?b?c C. b?c?a D. a?c?b
6.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的
?0.115t
关系为P ? P?e (P?为t ?0时的污染物数量).则要使污染物减少50%大约需要的时间为（参考数
据：ln2?0.69,ln3?1.10）
A.4h B.6h C.8h D.10h
? ? 5 ?
7.已知sin ?cos ?? , ????，则cos2??
2 2 5 2
7 7 9 9
A.? B. C.? D.
25 25 25 25
1 1
8.已知在边长为3的等边?ABC中，CP ? CA? CB，则CP在CB上的投影为
6 3
15 15 5 5
A. B. C. D.
4 2 4 2
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1?x
9.设函数 f(x)? xln ，则函数的图像可能为
1?x
A. B. C. D.
3 2
10.若tan?? ，则cos ??2sin2??
4
64 48 16
A. B. C.1 D.
25 25 25
?
11.已知函数 f(x)?sin(2x? )?cos2x，则
6
A. f(x)的周期为2? B. f(x)的最大值为2
? 5? ?
C. f(x)在( ， )上单调递减 D. f(x)的图像关于直线x? 对称
3 6 6
x?1
12.已知函数 f(x)? 与函数g(x)?1?sin?x，则函数F(x)? f(x)?g(x)在区间[?2,6]上所有零点
x?2
的和为
A.16 B.12 C.10 D.8
第Ⅱ卷（非选择题，满分 90 分）
二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请．将．答．案．填．在．答．题．卡．相．应．的．位．置．上．)
? ?
13.已知向量 ? ? ? ?
a ?(1,2),b ?(3,?1),c ?(?,1)，若c∥(a?b)，则??_____________.
1 1
14.已知幂函数 f(x)的图像经过点( , )，则 f(27)?________________.
9 3
?
15.在?ABC中，?A?60 ,AB ?3,AC ?2.若BD ?2DC，AE ??AC? AB(??R)，且AD?AE ??4，
则?的值为__________.
2 ? ?
16.函数 f(x)?sin2x?2 3cos x? 3 ，g(x)?mcos(2x? )?2m?3 (m?0)，若对任意x1?[0, ]，
6 4
?
存在x2?[0, ]，使得g(x1)? f(x2)成立，则实数m 的取值范围是_____________.
4
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三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。请．在．答．题．卡．上．的．相．应．位．置．作．答．)
17．(本小题满分 10 分)
?
已知向量 ?
a ?(?3,1),b ?(4,2).
? ?
（Ⅰ）求 ? ?
a?b,|a?b |的值；
?
（Ⅱ）求向量 ?
a,b的夹角的大小.
18．(本小题满分12 分)
已知单位向量? ? ?
e1,e2的夹角为 ? ? ? ? ? ?
60 ，且AB ?3e1?2e2,CB ?e1?e2,CD ?3e1?2ke2.
（Ⅰ）求AB?CB的值；
（Ⅱ）若A,B,D三点共线，求k的值.
19．(本小题满分12 分)
2 5
已知?,?为锐角，tan??7,cos?? ．
5
（Ⅰ）求tan(???)的值；
（Ⅱ）求??2?的值．
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20．(本小题满分 12 分)
? 3?
已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos?,sin?)，??( , )，
2 2
???? ????
（Ⅰ）若 AC ? BC ，求角?的值；
???? ???? 2
2sin ??sin2?
（Ⅱ）若AC?BC ??1，求 的值.
1?tan?
21．(本小题满分 12 分)
? ?? 2
已知函数 f ?x??sin?2x? ??2cos x?2.
? 6 ?
（Ⅰ）求 f(x)的最小正周期及单调增区间；
1
（Ⅱ）将函数 f(x)图像纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得函数g(x)图像，若g(?)??5
?? ?
且??? ,??，求sin?的值.
? 2 ?
22．(本小题满分12 分)
4
已知函数 f(x)?1? x (a ?0,a ?1)且 f(0)?0
2a ?a
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数 x
g(x)?(2 ?1)? f(x)?k 有零点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）当 x
x?(0,1)时， f(x)?m?2 ?2恒成立，求实数m的取值范围.
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高 2023 届高一下期第一次学月考试（答案）
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D C A B A C B A C D
二、填空题（每小题5分，共20分）
3 4
13.4 14.3 3 15. 16.[1, ]
11 3
三、解答题（共70分）
? ?
17.（1）a?b ??10…………………2分
? ? ? ?
?a?b ?(1,3),?|a?b |? 10…………………5分
? ?10 2
（2） ?
?cos?a,b ?? ?? …………………7分
10?2 5 2
?
又 ?
?a与b 的夹角范围是[0,?].…………………8分
? ? 3?
??a,b ?? …………………10分
4
15
18.(1)AB?CB ? …………………6分
2
（ ? ? ? ?
2）?AB ?3e1?2e2,BD ?CD?CB ?2e1?(2k?1)e2…………………8分
又?A,B,D三点共线，?AB∥BD…………………10分
2 ?(2k?1) 7
? ? ，?k ?? …………………12分
3 2 6
2 5 2 5 1
19.（1）??为锐角，且cos?? ．?sin?? ，tan?? …………………2分
5 5 2
1
?? 7?
tan tan?
?tan(???)? ? 2 ??3…………………6分
1?tan?tan? 1
1?7?2
1
?3?
tan(???)?tan?
（2）?tan(??2?)? tan[(???)??]? ? 2 ??1…………………10分
1?tan(???)tan? 1
1?3?2
? 3?
又0??,?? ，?0???2?? .…………………11分
2 2
3?
???2?? …………………12分
4???? ????
20.解：（1）?AC ?(cos??3,sin?),BC ?(cos?,sin??3)
???? 2 2 ????
? AC ? (cos??3) ?sin ?? 10?6cos? BC ? 10?6sin? …………………………………2分
???? ????
由 AC ? BC 得sin?? cos? …………………………………4分
? 3? 5
又??( , )??? ? …………………………………6分
2 2 4
???? ????
（2）由AC?BC ??1，得(cos??3)cos??sin?(sin??3) ? ?1
2
?sin??cos?? …………………………………7分
3
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5
?2sin??cos?? ? …………………………………8分
9
2 2
2sin ??sin2? 2sin ??2sin?cos?
又 = ? 2sin??cos?…………………………………10分
1?tan? sin?
1? cos?
2
2sin ??sin2? 5
所以 =? . …………………………………12分
1?tan? 9
? ? ? ??
21.(1) f ?x??sin2xcos ?cos2xsin ?1?cos2x?2?sin?2x? ??1 …………………………………2分
6 6 ? 6 ?
? f(x)的最小正周期为?.…………………………………3分
? ? ? ? ?
又由? ?2k??2x? ? ?2k?,k?Z ，得? ?k?? x? ?k?,?k?Z?…………………………………5分
2 6 2 3 6
? ? ? ?
∴函数 f ?x?的单调递增区间为?? ?k?, ?k???k?Z?.…………………………………6分
? 3 6 ?
? ? 1 ? 4
(2)?g(x)?sin(x? )?1，?g(?)?sin(?? )?1?? ，?sin(?? )? …………………………………7分
6 6 5 6 5
?? ? ? ?2? 7?? ? 3
又???? ，????? ?? ， ??cos(?? )?? …………………………………9分
? 2 ? 6 ? 3 6 ? 6 5
? ? ? ? ? ?
?sin??sin[(?? )? ]?sin(?? )cos ?cos(?? )sin
6 6 6 6 6 6
4 3 3 1 4 3?3
? ? ? ? ? …………………………………12分
5 2 5 2 10
4
22. 解：（1）由 f(0)?0得1? 0 ?0…………………1分
2a ?a
即a?2?4 解得a ?2…………………3分
（2）函数 x x
g(x)?(2 ?1)? f(x)?k 有零点? 方程2 ?1?k ?0有解
即 x
k ?1?2 有解 …………………4分
∵ x
1?2 ?(??,1) …………………5分
?k?(??,1)…………………6分
（3）由 x x 2 x
f(x)?m2 ?2得m(2 ) ?(m?3)2 ?1?0
令 x
t ?2 ，?x?(0,1) ?t?(1,2)
即 x 2
f(x)?m2 ?2? mt ?(m?3)t?1?0对于t?(1,2)恒成立……………7分
设 2
g(t)?mt ?(m?3)t?1
①当m?0时， 2
m?3?0 ?g(t)?mt ?(m?3)t?1?0在(1,2)上恒成立.
此时m?0符合题意…………………8分
②当m?0时，g(t)??3t?1?0在(1,2)上恒成立， ?m?0符合题意……………9分
?g(1)?0 ? m?(m?3)?1?0 7
③当m?0时，只需? ?? ? m?
?g(2)?0 ?4m?2(m?3)?1?0 6
7
此时0?m? …………………11分
6
7
综上：m的取值范围是(??, ]…………………12分
6
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