2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 单元测试卷 (word版含解析)

第5章
分式与分式方程
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1．关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．2
2．下列式子：，，，，，其中是分式的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．当x取某个值时，分式的值不存在，则此时x所取的值是（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．
4．方程的解是（　　）
A．x＝﹣3
B．x＝3
C．x＝﹣5
D．x＝5
5．若分式的值为零，则a的取值是（　　）
A．a≠2
B．a≠0
C．a＝2
D．a＝0
6．若关于x的分式方程无解，则k的值（　　）
A．﹣1
B．﹣2
C．2
D．1
7．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．将中，x、y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变
B．扩大2倍
C．缩小2倍
D．都扩大4倍
9．某工程队在市区内铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（　　）
A．每天比原计划多铺设12米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设12米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设12米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设12米，结果提前20天完成
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10．化简：＝　
　；＝　
　．
11．代数式，，，，中，是分式的是　
　．
12．分式化简：＝　
　．
13．若为整数，那么符合条件的整数x的取值是　
　．
14．某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是　
　元/千克．
15．不改变分式的值，把分式中的分子、分母中各项的系数都化为整数，且使系数的绝对值最小，则所得的结果为　
　．
16．化简?a（x﹣y）的结果为　
　．
17．已知，则＝　
　．
18．在分式，，，，中，最简分式有　
　个．
三、解答题（本题共计7小题，共计66分，）
19．化简：．
20．计算：（﹣）÷．
21．计算：?÷．
22．．
23．先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
24．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．
例如，分式与互为“3阶分式”．
（1）分式与　
　互为“6阶分式”．
（2）若正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”．
（3）若正数a，b满足ab＝2﹣1，求证：分式与互为“1阶分式”．
25．拓广探索
请阅读某同学解下面分式方程的具体过程．
解方程．
解：，①
，②
，③
∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+3．
④
∴．
把代入原方程检验知是原方程的解．
请你回答：
（1）得到①式的做法是　
　；得到②式的具体做法是　
　；得到③式的具体做法是　
　；得到④式的根据是　
　．
（2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误答：　
　．错误的原因是　
　．
（3）给出正确答案（不要求重新解答，只需把你认为应改正的加上即可）．
第5章
分式与分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．2
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：2x＝m，
解得：x＝m，
当x＝﹣1时分母为0，方程无解，
即m＝﹣1，m＝﹣2时方程无解．
故选：A．
2．下列式子：，，，，，其中是分式的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，可选出答案．
【解答】解：，，是分式，
故选：C．
3．当x取某个值时，分式的值不存在，则此时x所取的值是（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．
【分析】分式的值不存在即分式无意义，从而可知分式的分母为0．
【解答】解：当分式的分母为0时，分式的值不存在．
x+1＝0，解得x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，分式的值不存在；
故选：A．
4．方程的解是（　　）
A．x＝﹣3
B．x＝3
C．x＝﹣5
D．x＝5
【分析】本题需先根据解分式方程的步骤，先去分母，再合并同类项即可求出结果．
【解答】解：，
去分母得：4＝x﹣1
移项合并同类项得，
x＝5．
检验：当x＝5时，x﹣1＝5﹣1＝4≠0
∴x＝5是分式方程的解．
故选：D．
5．若分式的值为零，则a的取值是（　　）
A．a≠2
B．a≠0
C．a＝2
D．a＝0
【分析】让分子为0，分母不为0列式求值即可．
【解答】解：由题意得a＝0，a﹣2≠0，
解得a＝0，且a≠2，
∴a＝0．
故选：D．
6．若关于x的分式方程无解，则k的值（　　）
A．﹣1
B．﹣2
C．2
D．1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k的值即可．
【解答】解：去分母得：x﹣6+x﹣5＝﹣k，
∵分式方程无解，
∴x﹣5＝0，即x＝5，
把x＝5代入整式方程得：5﹣6＝﹣k，
解得：k＝1．
故选：D．
7．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】先化简得到原式＝，然后利用整数的整除性得到2只能被﹣1，2，3，0这几个整数整除，从而得到x的值．
【解答】解：∵原式＝＝，
∴x﹣1为±1，±2时，的值为整数，
∵x2﹣1≠0，
∴x≠±1，
∴x为2，3，0．
故选：C．
8．将中，x、y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变
B．扩大2倍
C．缩小2倍
D．都扩大4倍
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简，然后将化简后的分式与原分式比较即可求得答案．
【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得
＝＝，
∴分式的值扩大了2倍．
故选：B．
9．某工程队在市区内铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（　　）
A．每天比原计划多铺设12米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设12米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设12米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设12米，结果提前20天完成
【分析】由x表示的意义，可找出（x﹣12）表示的意义，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可找出，表示的意义，再结合所列分式方程，即可找出缺失的条件．
【解答】解：∵实际每天铺设管道x米，
∴（x﹣12）表示原计划每天铺设管道的长度，
∴表示原计划铺设管道所需时间，表示实际铺设管道所需时间．
又∵＝20，
∴每天比原计划多铺设12米，结果提前20天完成．
故选：C．
二．填空题
10．化简：＝　　；＝　　．
【分析】根据分式的基本性质，将分子和分母的公因式约去即可求出结果．
【解答】解：＝；
＝＝．
故答案为；．
11．代数式，，，，中，是分式的是　，，　．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，是分式，
故答案为：，，．
12．分式化简：＝　x﹣3　．
【分析】把分子分解因式，然后约分即可．
【解答】解：原式＝
＝x﹣3．
故答案为x﹣3．
13．若为整数，那么符合条件的整数x的取值是　﹣15，﹣7，﹣3，﹣1，0，2，3，5，9，17　．
【分析】由题意可得，x﹣1为16的约数，所以x﹣1＝1，2，4，8，16，于是x＝﹣15，﹣7，﹣3，﹣1，0，2，3，5，9，17．
【解答】解：由题意可得，x﹣1为16的约数，
∴x﹣1＝±1，±2，±4，±8，±16，
∴x＝﹣15，﹣7，﹣3，﹣1，0，2，3，5，9，17．
故答案为﹣15，﹣7，﹣3，﹣1，0，2，3，5，9，17．
14．某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是　　元/千克．
【分析】保本价即要计算其平均价＝总价格÷总质量＝．
【解答】解：甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，
保本价＝（ax+by）÷（a+b）＝．
15．不改变分式的值，把分式中的分子、分母中各项的系数都化为整数，且使系数的绝对值最小，则所得的结果为　　．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解；把分式中的分子、分母中各项的系数都化为整数，且使系数的绝对值最小，则所得的结果为
，
故答案为：．
16．化简?a（x﹣y）的结果为　4b　．
【分析】首先把分子分母分解因式，然后先进行约分，然后再相乘即可．
【解答】解：原式＝??a（x﹣y）＝4b，
故答案为：4b．
17．已知，则＝　2　．
【分析】设＝＝＝k，推出x＝k，y+z＝2k，z+x＝3k，求出x＝k，y＝0，z＝2k，代入求出即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴设＝＝＝k，
∴x＝k，y+z＝2k，z+x＝3k，
∴x＝k，y＝0，z＝2k，
∴＝＝2，
故答案为：2．
18．在分式，，，，中，最简分式有　1　个．
【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得．
【解答】解：＝＝，
是最简分式，
＝＝m﹣n，
＝＝，
＝＝﹣1，
所以最简分式只有1个，
故答案为：1．
三．解答题（共7小题）
19．化简：．
【分析】先把除法转化成乘法进行计算，再算减法．
【解答】解：原式＝+×＝+＝．
20．计算：（﹣）÷．
【分析】先将括号内分式通分，再计算括号内分式的减法，最后除法转化为乘法后约分即可得．
【解答】解：
＝
＝
＝．
21．计算：?÷．
【分析】首先将分子与分母分解因式，进而化简得出即可．
【解答】解：?÷
＝××
＝．
22．．
【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
【解答】解：原式＝[﹣}×
＝×
＝．
故答案为．
23．先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论．
【解答】解：原式＝??
＝x+1．
∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，
∴当x＝2时，原式＝2+1＝3．
24．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．
例如，分式与互为“3阶分式”．
（1）分式与　　互为“6阶分式”．
（2）若正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”．
（3）若正数a，b满足ab＝2﹣1，求证：分式与互为“1阶分式”．
【分析】（1）根据题中的新定义列出关系式，计算即可；
（2）两分式相加，计算得到结果，利用新定义判断即可；
（3）两分式相加，计算得到结果，利用新定义判断即可．
【解答】解：（1）根据题意得：6﹣＝＝，
则分式与互为“6阶分式”；
故答案为：；
（2）∵正数x，y互为倒数，
∴xy＝1，即y＝，
∴+＝+＝+＝＝5，
则分式与互为“5阶分式”；
（3）∵正数a，b满足ab＝2﹣1，b＝，
∴+＝+＝+＝＝1，
则分式与互为“1阶分式”．
25．拓广探索
请阅读某同学解下面分式方程的具体过程．
解方程．
解：，①
，②
，③
∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+3．
④
∴．
把代入原方程检验知是原方程的解．
请你回答：
（1）得到①式的做法是　移项　；得到②式的具体做法是　方程两边分别通分　；得到③式的具体做法是　方程两边同除以（﹣2x+10）　；得到④式的根据是　分子相等，则分母相等　．
（2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误答：　有错误．从第③步出现错误　．错误的原因是　（﹣2x+10）可能为零　．
（3）给出正确答案（不要求重新解答，只需把你认为应改正的加上即可）．
【分析】本题考查解分式方程的能力，应先根据方程特点，进行整理然后去分母，将分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：（1）移项，方程两边分别通分，方程两边同除以（﹣2x+10），分式值相等，分子相等，则分母相等；
（2）有错误．从第③步出现错误，原因：﹣2x+10可能为零；
（3）当﹣2x+10＝0时，即﹣2x＝﹣10，解得x＝5，
经检验知x＝5也是原方程的解，
故原方程的解为．