2020—2021学年人教版八年级数学下册第18章 平行四边形 经典常考题专题训练（二）（word版含解析）

人教版八年级数学下册第18章
平行四边形
经典常考题专题训练（二）
1．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．
（1）求证：△BEF≌△DGF；
（2）证明四边形DEBG是菱形．
2．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
3．已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝2，d2＝3．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”．
（1）如图1，正方形ABCD为“线上四边形”，BE⊥l于点E，EB的延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．
（2）如图2，菱形ABCD为“线上四边形”且∠ADC＝60°，△AEF是等边三角形，点E在直线k上，连接DF，且直线DF分别交直线l、k于点G、M，求证：EC＝DF．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是菱形；
（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
5．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
6．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．
（1）求证：DE平分∠AEC；
（2）若AD＝，求出DG的长．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的直线EF与AB、CD分别交于点E、F，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD＝4，AC＝8，且OF＝CF，求四边形BEDF的面积．
9．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　
　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
10．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
12．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC．CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．
13．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连接CE．
（1）求证：∠ECB＝90°；
（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
参考答案
1．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，
∵F是BD的中点，
∴BF＝DF，
在△BEF和△DGF中，，
∴△BEF≌△DGF（AAS）；
（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，
∴BE＝DG，
∵BE∥DG，
∴四边形DEBG是平行四边形，
∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝BE，
∴四边形DEBG是菱形．
2．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
3．解：（1）如图1，∵l∥m∥n∥k，BE⊥l，
∴BE⊥k，BE⊥m，BE⊥n，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，BE＝5，BF＝2，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∵正方形ABCD为“线上四边形”，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴FC＝BE＝5，
∴BC＝＝＝；
（2）如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC，∠CAD＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠EAF＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAF，
∴△EAC≌△FAD（SAS），
∴EC＝DF．
4．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
作CM⊥BF于M，如图：
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．
5（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DO＝BO，
∴∠EDO＝∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴四边形BFDE的周长＝．
7．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∵BC＝BE，
∴CE＝BC，
∵AB＝BC，
∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴∠AED＝∠DEC，
∴DE平分∠AEC；
（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠BEC＝45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠BEC＝45°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴CD＝DF，
∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，
∴BE＝DF＝CF＝BC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDG＝45°，
∴∠BEF＝∠EDF，
∵BC＝CF，∠BCF＝45°，
∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，
∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，
∴∠EBF＝∠DFG，
在△DFG和△EBF中，
∴△DFG≌△EBF（ASA），
∴DG＝EF，
∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，
∴DG＝2．
8．解：（1）在矩形ABCD中，
OB＝OD，CD∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△OFD与△OEB中，
，
∴△OFD≌△OEB（AAS），
∴OF＝OE，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）在矩形ABCD中，
AD＝4，AC＝8，
∴AD＝OA＝OD＝4，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠DCA＝30°，∠DOA＝60°，
∵OF＝CF，
∴∠FOC＝∠FCO＝30°，
∴∠DOF＝90°，
∴四边形BEDF是菱形，
在Rt△DOF中，
∠FDO＝30°，OD＝4，
∴OF＝，
∵AC＝BD＝8，
∴菱形BEDF的面积为：BD?2OF＝BD?OF＝
9．解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
10．证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝BC，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
方法三：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是菱形．
11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形DOCP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形DOCP是矩形，
∴OP＝CD，
∵AC＝4，BD＝6，
∴OC＝2，OD＝3，
∴CD＝＝，
∴OP＝CD＝．
答：OP的长为．
13．证明：（1）∵AE⊥BA，
∴∠BAE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝90°；
（2）如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AE═ED＝1，
∴∠DAE＝∠EDA，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，
∴BE＝2AE＝2，
∴BD＝BE+DE＝3，
∴BH＝DH＝，
∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，
∴AB＝2AH，BH＝AH，
∴AH＝，AB＝2AH＝，
∴菱形的边长为．
方法二，同理可求∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE＝2，
∴AB＝＝．
14．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，
解得：t＝8，
∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）四边形AQCP为菱形；理由如下：
∵t＝6，
∴BQ＝6，DP＝6，
∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，
∴AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10，
∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．
15．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．