山东省邹城市实验中学2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册第七章7.3.2离散型随机变量的方差 课件（共18张PPT）

7.3.2 离散型随机变量的方差
素养目标
学科素养
1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念；(重点)
2．能计算简单离散型随机变量的方差或标准差；(难点)
3．培养解决实际问题的能力.
1．数学抽象；
2．数学建模；
3．数学运算.
温故知新
1.离散型随机变量的均值
????????=
?
????1????1+????2????2+?+????????????????
?
2.离散型随机变量均值的运算性质
E(aX＋b)＝aE(X)＋b
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
3.求离散型随机变量的均值的步骤
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
温故知新
如何评价这两名同学的射击水平？
E(X)= 6×????.????????+7 ×?0.24 +?8 ×?0.32 +?9 ×?0.28 +?10 ×?0.1=8 ;
?
因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平.
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1
表2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
6
7
8
9
10
????
0.09
0.24
0.32
0.28
0.1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
6
7
8
9
10
????
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
E(Y)= 6×????.????????+7 ×?0.22 +?8 ×?0.38 +?9 ×?0.30 +?10 ×?0.03=8 .
?
探究新知
如何评价这两名同学的射击水平？
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1
表2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
6
7
8
9
10
????
0.09
0.24
0.32
0.28
0.1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
6
7
8
9
10
????
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
评价射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
下图一和图二分别是X和Y的概率分布图：
发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定.
图一
图二
探究新知
问题2：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
????
x1
x2
...
xn
????
p1
p2
...
pn
所以可以用这个加权平均数来衡量随机变量X取值与其均值E(X) 的偏离程度.
考虑X所有可能取值xi 与E(X)的偏差的平方(x1－E(X) )2 ,(x2－E(X) )2 ,
…, (xn－E(X) )2 .因为X取每个值的概率不尽相同，而偏差平方关于取值概率的加权平均为(x1－E(X) )2 p1+(x2－E(X) )2 p2+ ?+ (xn－E(X) )2p n ，
?
概念生成
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
称
????
x1
x2
...
xn
????
p1
p2
...
pn
(x1－E(X) )2 p1 + (x2－E(X) )2 p2 + …+ (xn－E(X) )2 pn
为随机变量X 的方差，
D (X )=
有时也记为????????????????.
?
=????=1????(????????－????(????)?)?????????????
?
称?????(?????)为随机变量X的标准差，
?
记为????????.
?
????????=?????(?????).
?
解惑提高
(1)随机变量X的方差D(X)是数值，是随机变量的一个重要特征数；
(2)标准差和随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方；
(3)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
(4)随机变量方差和样本方差的区别和联系
①区别：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.
②联系：对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差.
解决问题
如何评价这两名同学的射击水平？
E(X)= 8 ;E(Y)=8
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1
表2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
6
7
8
9
10
????
0.09
0.24
0.32
0.28
0.1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
6
7
8
9
10
????
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
因为D(Y)探究新知
问题3：方差的计算公式可以简化吗？
?????(?????)=????=1??????????????????????????(????(????)?)?????
?
=????=1????(????????2?2????????????????+(????????)2)????????
?
=????=1????????????2?????????2????????????=1????????????????????+(????????)2????=1????????????
?
=????=1??????????????????????????(????(????)?)?????
?
探究新知
问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即
性质1 ????????+????= ????????
?
而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即
性质2 ????????????= ????????????????
?
性质3 ????????????+????= ????????????????
?
典型例题
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解：随机变量X的分布列为
????????=????=????????,????=????,????,????,????,????,????.
?
所以?????(?????)=????=16????????????????=(????+????+????+????+????+????)?×????????
?
所以????=16?????????????????????=(????????+????????+????????+????????+????????+????????)?×????????
?
=????????
?
所以?????(?????)=????=1??????????????????????????(????(????)?)?????
?
=????????????
?
=???????????? —(????????)2
?
=????????????????
?
总结提升
求离散型随机变量X的方差、标准差的基本步骤:
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)；
(4)根据方差,标准差的定义求出D(X),????(????).
?
典型例题
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
收益X/元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
表1 股票A收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
表2 股票B收益的分布列
解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,
E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.
因为E(X)>E(Y),
所以投资股票A的期望收益较大.
典型例题
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
收益X/元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
表1 股票A收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
表2 股票B收益的分布列
解：（2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,
D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),
所以资股票A比投资股票B的风险高.
总结提升
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．　
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(2)在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)得出结论．依据均值和方差做出判断.　
课堂小结
1.离散型随机变量的方差
(x1－E(X) )2 p1 + (x2－E(X) )2 p2 + …+ (xn－E(X) )2 pn
(1)D (X )=
=????=1????(????????－????(????)?)?????????????
?
(????)?????(?????)=????=1??????????????????????????(????(????)?)?????
?
性质1 ????????+????= ????????
?
性质2 ????????????= ????????????????
?
性质3 ????????????+????= ????????????????
?
2.离散型随机变量的方差
课堂小结
3.求离散型随机变量X的方差、标准差的基本步骤:
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)；
(4)根据方差、标准差的定义求出D(X)，????(????).
?
4.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值．在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．　
(2)在均值相等或接近的情况下计算方差. 分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)得出结论．依据均值和方差做出判断.