7.2 离散型随机变量及其分布列——2020-2021学年高二下学期人教A版（2019）选择性必修第三册第七章课件（共23张PPT）

7.2 离散型随机变量及其分布列
情景引入
求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
探究新知
1.有些随机试验的样本点与数值有关系,我们可以直接与实数建立对应关系.
(1)抛掷一枚质地均匀的骰子，设得到的点数为m，则m的取值情况如何？
m的取值为1、2、3、4、5、6，
(2)抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数之和为n，则n的取值情况如何？
样本空间为????={(x,y)|x,y=1，2,…,6},
?
两枚骰子的点数之和n的取值为2 , 3,?，12,
?
这样样本点(x，y)就与实数n对应.
这样样本点就与实数m对应.
2.有些随机试验的样本点与数值没有直接关系,我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.
探究新知
(3)随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果,它们与数值无关.
如果“抽到次品”用1表示、“抽到正品”用0表示,即定义
????=1,抽到次品0,抽到正品
?
这样这个试验的样本点与实数????就建立了对应关系.
?
类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示;随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5、4、3、2、1；等等.
总结提升
对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性、所以变量X的取值也具有随机性.
探究新知
考察下列随机试验及其引入的变量:
试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验,变量X表示三个元件中的次品数, 在这个随机试验中样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?
对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间
????1={000,001,010,011,100,101,110,111}
?
各样本点与变量X的值的对应关系如图所示
变量X可能取值为0,1,2,3.
探究新知
考察下列随机试验及其引入的变量:
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量Y表示需要的抛掷次数,在这个随机试验中样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?
对于试验2,如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”,则样本空间
????2={h,th,tth,ttth,…}
?
??????????2包含无穷多个样本点.各样本点与变量Y的值的对应关系如图所示.
?
变量Y可能取值为1,2,3,?.
?
探究新知
考察下列随机试验及其引入的变量:
试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验,变量X表示三个元件中的次品数;
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量Y表示需要的抛掷次数.
变量X,Y有哪些共同的特征?
在上面两个随机试验中,每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X,Y有如下共同点:
(1)变量的取值依赖于样本点;
(2)变量所有可能取值是明确的；
(3)变量的取值是可以一一列举的.
概念生成
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点????，都有唯一的实数X(????)与之对应，我们称X为随机变量.
?
　 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，
离散型随机变量的特征：
　　(1)随机变量的取值是实数；
(2)随机变量的取值能一一列出；
　　(3)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
　　(4)试验之前不能确定取何值；　　
(5)本章所研究的离散型随机变量只取有限个值.
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z．
解惑提高
随机变量的定义与函数的定义类似,这里的样本点????相当于函数定义中的自变量,而样本空间Ω相当于函数的定义域,不同之处在于????不一定是数集.随机变量的取值X(????)随着试验结果????的变化而变化,这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.
?
现实生活中,离散型随机变量的例子有很多.例如,某射击运动员射击一次可能命中的环数X,它的可能取值为0,1,2,…,10;某网页在24h内被浏览的次数Y,它的可能取值为0,1,2,…;等等.
现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如,种子含水量的测量误差X1;某品牌电视机的使用寿命X2;测量某一个零件的长度产生的测量误差Ⅹ3.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量.
探究新知
抛掷一枚质地均匀的骰子，????表示掷出的点数，
（1）用????表示下列事件：
?
这一规律可以用下表表示
①事件“掷出m点”可以表示为___________________；
②事件“掷出的点数不大于2”可以表示为_________；
③事件“掷出偶数点”可以表示为___________________.
{X=m} (m=1,2,3,4,5,6)
{X≤2}
{X=2}U{X=4}∪U{X=6}
（2） ????取各个值的概率分别是多少？
?
由掷出各种点数的等可能性,可得
????????=????=16,m=1,2,3,4,5,6.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X
1
2
3
4
5
6
P
16
?
16
?
16
?
16
?
16
?
16
?
概念生成
一般地，设离散型随机变量X的可能取的不同值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi 的概率P(X=xi)=Pi， i=1，2，…，n，为X的概率分布列，简称分布列.
(1)表示方法：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
表格法、
图象法
概率分布图
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①Pi ≥0，i=1，2， …，n；
　②P1+P2+ … +Pn =1．
小试牛刀
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)
(2)在离散型随机变量的分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　)
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　　)
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.(　　)
?
√
×
2.(多选题)下列变量中，是离散型随机变量的是( 　　)
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X
×
√
ACD
4.已知离散型随机变量X的概率分布列如下：
则常数a的值为________．
小试牛刀
3.下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　)
C
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X
0
1
2
3
P
13
16
a
14
14
?
典型例题
例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义
????=1，?抽出次品，0，?抽到正品.
求????的分布列.
?
解：根据????的定义，{????=1}=“抽到次品”，{????=0}=“抽到正品”，则
?
????(????=0)=0.95，????(????=1)=0.05.
?
所以随机变量????的分布列为
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X
0
1
P
0.95
0.05
解惑提高
对于只有两个可能结果的随机试验，用????表示“成功”，?????表示“失败”，定义
????=1，????发生，0，????发生.
如果P(A)=p，则P(????)=1－p，那么X的分布列如表所示.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0-1分布.
注：像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.
典型例题
例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示.
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及????(????≥4).
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}等级
不及格
及格
中等
良
优
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
30
解：由题意知，????是一个离散型随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5，且
?
{????=1}=“不及格”，{????=2}=“及格”， {????=3}=“中等”， {????=4}=“良”， {????=5}=“优”.根据古典概型的知识， ????的分布列为
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
1
2
3
4
5
????
110
?
14
?
310
?
15
?
320
?
所以????(????≥4)= ????(????=4)+????(????=5)=15+320=720.
?
总结提升
求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
(1)确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率；
(3)按规范形式写出分布列（列表）；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率和是不是1.
定值 求概率 列表 检验
典型例题
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为????，则????的可能取值为0,1,2.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
0
1
2
????
715
715
115
根据古典概型的知识，可得????的分布列为
?
????(????=0)=????30????72????102=715，
?
????(????=1)=????31????71????102=715，
?
????(????=2)=????32????70????102=115，
?
用表格表示????的分布列为
?
课堂小结
1.随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点????，都有唯一的实数X(????)与之对应，我们称X为随机变量.
?
2.离散型随机变量
　 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.
3.离散型随机变量的特征
(1)随机变量的取值是实数；
(2)随机变量的取值能一一列出；
　　(3)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
　　(4)试验之前不能确定取何值.　　　　
课堂小结
一般地，设离散型随机变量X的可能取的不同值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi 的概率P(X=xi)=Pi， i=1，2，…，n，为X的概率分布列，简称分布列.
4.概率分布列
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
5.离散型随机变量的分布列的性质
①Pi ≥0，i=1，2， …，n；
　②P1+P2+ … +Pn =1．
课堂小结
6.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用????表示“成功”，?????表示“失败”，定义????=1，????发生，0，????发生.
如果P(A)=p，则P(????)=1－p，那么X的分布列如表所示.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0-1分布.
7.求离散型随机变量的分布列的一般步骤
定值 求概率 列表 检验