2020-2021学年人教版数学八年级下册-17.2 勾股定理的逆定理-教案
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版数学八年级下册-17.2 勾股定理的逆定理-教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 91.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-24 10:12:35 | ||
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文档简介
课题
17.2
勾股定理的逆定理
教学目标
知识与技能：
会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
过程与方法：
通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.
情感态度价值观：
在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
教学重难点
重点：勾股定理的逆定理的应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
教法学法
引导探究
课前准备
课件
教学过程
修订、增减（二次备课）
导入:
复习回顾：
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
回答：1.直角三角形的性质有：直角三角形的一个内角是直角，两个锐角互余，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.判断一个三角形是直角三角形的方法有：①度量。②一个内角为90°的三角形是直角三角形。③两个内角互余的三角形是直角三角形。
[过渡语] 同学们,你们是如何画直角的?想知道古埃及人是如何画直角的吗?
古埃及人画直角的方法:用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。你认为这个三角形是直角三角形吗?
学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.
[设计意图] 介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既进行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的能力.
1.勾股定理的逆定理
(1)归纳猜想
[过渡语] 从古埃及人的画直角的方法,你有什么启发吗?
提问:
①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?
②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5
cm,6
cm,6.5
cm,观察三角形的形状.再换成4
cm,7.5
cm,8.5
cm试试看.（1）这两组数都满足吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？
③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?
教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
[设计意图] 由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.
(2)原命题、逆命题
[过渡语] 把勾股定理记为命题1,猜想的结论记为命题2.
提问:命题1和命题2的题设和结论分别是什么?
学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.
教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念:两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.
提问:请同学们举出一些互逆命题,并思考:原命题正确,它的逆命题是否也正确呢?举例说明.
学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如:①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.
追问:在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?
学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确:①任何一个命题都有逆命题.②原命题正确,逆命题不一定正确;原命题不正确,逆命题可能正确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.
[设计意图] 让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.
(3)勾股定理的逆定理的证明
[过渡语] 原命题正确,它的逆命题不一定正确,那么勾股定理的逆命题正确吗?
如果你认为是正确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”吗?
教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.
已知:如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
追问:要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?
教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,可以先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的正确性.教师适时板书出规范的证明过程.
证明:如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°，
B'C'=a,A'C'=b,
由勾股定理得A'B'===c,
∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,
∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,
∴△ABC是直角三角形.
教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.
[设计意图] 引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,帮助学生突破难点.
2.例题讲解
(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a=15,b=8,c=17;
(2)a=13,b=14,c=15.
学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师帮助学生分析得到:要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方进行比较,只有相等时才是直角三角形.
解:(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,
所以152+82=172,
根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.
(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,
所以132+142≠152,
所以这个三角形不是直角三角形.
提问:下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
a=5
b=4
c=3
a=13
b=14
c=15
a=1
b=2
c=
a:b:
c=3:4:5
[过渡语] 像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.
[设计意图] 通过练习,学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
[知识拓展] 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2c2,则此三角形是锐角三角形.
课堂小结：
师生共同回顾本节课所学主要内容:
(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.
(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.
(3)三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.
(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.
布置作业：
第34页
第1、2、3题
练习册
板书设计
17.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
(1)归纳猜想
(2)原命题、逆命题
(3)勾股定理的逆定理的证明
2.例题讲解
例1 例2
教学反思
本节课的设计原则是：使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的。
因为几何来源于现实生活，对初二学生来说选择适当的时机，让他们从个体实践经验中开始学习，可以提高学习的主动性和参与意识，所以勾股定理的逆定理不是由教师直接给出的，而是让学生通过动手折纸在具体的实践中观察满足条件的三角形直观感觉上是什么三角形，再用直角三角形插入去验证猜想。
这样设计是因为勾股定理逆定理的证明方法是学生第一次见到，它要求按照已知条件作一个直角三角形，根据学生的智能状况学生是不容易想到的，为了突破这个难点，我让学生动手裁出了一个两直角边与所折三角形两条较小边相等的直角三角形，通过操作验证两三角形全等，从而不仅显示了符合条件的三角形是直角三角形，还孕育了辅助线的添法，为后面进行逻辑推理论证提供了直观的数学模型。
接下来就是利用这个数学模型，从理论上证明这个定理。从动手操作到证明，学生自然地联想到了全等三角形的性质，证明它与一个直角三角形全等，顺利作出了辅助直角三角形，整个证明过程自然、无神秘感，实现了从生动直观向抽象思维的转化，同时学生亲身体会了动手操作——观察——猜测——探索——论证的全过程，这样学生不是被动接受勾股定理的逆定理，因而使学生感到自然、亲切，学生的学习兴趣和学习积极性有所提高。使学生确实在学习过程中享受到自我创造的快乐。
在同学们完成证明之后，可让他们对照课本把证明过程严格的阅读一遍，充分发挥教课书的作用，养成学生看书的习惯，这也是在培养学生的自学能力。
17.2
勾股定理的逆定理
教学目标
知识与技能：
会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
过程与方法：
通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.
情感态度价值观：
在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
教学重难点
重点：勾股定理的逆定理的应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
教法学法
引导探究
课前准备
课件
教学过程
修订、增减（二次备课）
导入:
复习回顾：
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
回答：1.直角三角形的性质有：直角三角形的一个内角是直角，两个锐角互余，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.判断一个三角形是直角三角形的方法有：①度量。②一个内角为90°的三角形是直角三角形。③两个内角互余的三角形是直角三角形。
[过渡语] 同学们,你们是如何画直角的?想知道古埃及人是如何画直角的吗?
古埃及人画直角的方法:用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。你认为这个三角形是直角三角形吗?
学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.
[设计意图] 介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既进行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的能力.
1.勾股定理的逆定理
(1)归纳猜想
[过渡语] 从古埃及人的画直角的方法,你有什么启发吗?
提问:
①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?
②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5
cm,6
cm,6.5
cm,观察三角形的形状.再换成4
cm,7.5
cm,8.5
cm试试看.（1）这两组数都满足吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？
③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?
教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
[设计意图] 由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.
(2)原命题、逆命题
[过渡语] 把勾股定理记为命题1,猜想的结论记为命题2.
提问:命题1和命题2的题设和结论分别是什么?
学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.
教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念:两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.
提问:请同学们举出一些互逆命题,并思考:原命题正确,它的逆命题是否也正确呢?举例说明.
学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如:①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.
追问:在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?
学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确:①任何一个命题都有逆命题.②原命题正确,逆命题不一定正确;原命题不正确,逆命题可能正确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.
[设计意图] 让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.
(3)勾股定理的逆定理的证明
[过渡语] 原命题正确,它的逆命题不一定正确,那么勾股定理的逆命题正确吗?
如果你认为是正确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”吗?
教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.
已知:如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
追问:要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?
教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,可以先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的正确性.教师适时板书出规范的证明过程.
证明:如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°，
B'C'=a,A'C'=b,
由勾股定理得A'B'===c,
∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,
∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,
∴△ABC是直角三角形.
教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.
[设计意图] 引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,帮助学生突破难点.
2.例题讲解
(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a=15,b=8,c=17;
(2)a=13,b=14,c=15.
学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师帮助学生分析得到:要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方进行比较,只有相等时才是直角三角形.
解:(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,
所以152+82=172,
根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.
(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,
所以132+142≠152,
所以这个三角形不是直角三角形.
提问:下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
a=5
b=4
c=3
a=13
b=14
c=15
a=1
b=2
c=
a:b:
c=3:4:5
[过渡语] 像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.
[设计意图] 通过练习,学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
[知识拓展] 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2
课堂小结：
师生共同回顾本节课所学主要内容:
(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.
(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.
(3)三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.
(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.
布置作业：
第34页
第1、2、3题
练习册
板书设计
17.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
(1)归纳猜想
(2)原命题、逆命题
(3)勾股定理的逆定理的证明
2.例题讲解
例1 例2
教学反思
本节课的设计原则是：使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的。
因为几何来源于现实生活，对初二学生来说选择适当的时机，让他们从个体实践经验中开始学习，可以提高学习的主动性和参与意识，所以勾股定理的逆定理不是由教师直接给出的，而是让学生通过动手折纸在具体的实践中观察满足条件的三角形直观感觉上是什么三角形，再用直角三角形插入去验证猜想。
这样设计是因为勾股定理逆定理的证明方法是学生第一次见到，它要求按照已知条件作一个直角三角形，根据学生的智能状况学生是不容易想到的，为了突破这个难点，我让学生动手裁出了一个两直角边与所折三角形两条较小边相等的直角三角形，通过操作验证两三角形全等，从而不仅显示了符合条件的三角形是直角三角形，还孕育了辅助线的添法，为后面进行逻辑推理论证提供了直观的数学模型。
接下来就是利用这个数学模型，从理论上证明这个定理。从动手操作到证明，学生自然地联想到了全等三角形的性质，证明它与一个直角三角形全等，顺利作出了辅助直角三角形，整个证明过程自然、无神秘感，实现了从生动直观向抽象思维的转化，同时学生亲身体会了动手操作——观察——猜测——探索——论证的全过程，这样学生不是被动接受勾股定理的逆定理，因而使学生感到自然、亲切，学生的学习兴趣和学习积极性有所提高。使学生确实在学习过程中享受到自我创造的快乐。
在同学们完成证明之后，可让他们对照课本把证明过程严格的阅读一遍，充分发挥教课书的作用，养成学生看书的习惯，这也是在培养学生的自学能力。