6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.3平面向量基本定理及坐标表示
【基础梳理】
要点一、平面向量基本定理
平面向量基本定理 如果false，false是同一平面内的两个不共线向量，怎么对于这一平面内的任一向量false,有且只有一堆实数false使，false=false.false
若false，false不共线，我们把（false，false）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基地.
要点二、平面向量的正交分解及坐标表示
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的作正交分解.
要点三、平面向量加、减运算的坐标表示
两个向量的和false的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和false.
如图6.3-12，作向量false,false,则
false=false-false
=false
=false.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
要点四、平面向量数乘运算的坐标表示
已知false，即false
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
要点五、平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若false=false,则false=false+false，或false=false.
如果表示向量false的有向线段的起点和终点的坐标分别为false，false，那么
false
false
平面向量垂直的坐标表示
设false=false，false=false，则false
【课堂探究】
例1.已知平面内两个不共线向量 i ， j ，且 a=ki+3j,b=2i+(k?1)j ，若向量 a 与 b 共线，则k=（? ?）
A.?3或-2??????????????????????????????????B.?1或-6??????????????????????????????????C.?-3或2??????????????????????????????????D.?-1或6
例2已知向量 e1=(6,λ),e2=(?3,2) ，若 ?e1,e2? 为钝角，则 λ 的范围是（ ??）
A.?(?∞,9)?????????????????B.?(9,+∞)?????????????????C.?(?∞,4)∪(4,9)?????????????????D.?(?∞,?4)∪(?4,9)
【课后练习】
1.在平面直角坐标系中，以 O(0,0) ， A(1,1) ， B(3,0) 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（??? ）
A.?(?3,1)????????????????????????????????B.?(4,1)????????????????????????????????C.?(?2,1)????????????????????????????????D.?(2,?1)
2.若过点 P(3,2m) 和点 Q(?m,2) 的直线与方向向量为 a=(?5,5) 的直线平行，则实数 m 的值是（?? ）
A.?13?????????????????????????????????????????B.??13?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?-2
3.已知 a=(1,?2,?1) ， b=(3,m,?1) ，若 a⊥b ，则 m 等于（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?3
4.已知 a,b,c 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（??? ）.
① a=b?a2=b2 ；② |a|=|b|?|a?c|=|b?c| ；
③ a⊥b?|a+b|=|a?b| ；④ |a?b|=|a|?|b|?a//b .
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.已知 |a|=3,|b|=4,(a+b)?(a+3b)=33 ，则 a 与 b 的夹角为（??? ）
A.?π6???????????????????????????????????????B.?π3???????????????????????????????????????C.?2π3???????????????????????????????????????D.?5π6
6.△ABC 中 ∠C=90° ， AC=2 ， P 为线段 BC 上任一点，则 AP?AC= （??? ）．
A.?2?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?不确定
7.在下列各组向量中，互相垂直的是（??? ）
A.?e1=(?1,2) ， e2=(2,1)??????????????????????????????????B.?e1=(0,1) ， e2=(1,?2)
C.?e1=(3,5) ， e2=(6,10)????????????????????????????????????D.?e1=(2,?3) ， e2=(12 ， ?34)
8.如图，已知等腰 ΔABC 中， AB=AC=3 ， BC=4 ，点p是边 BC 上的动点，则 AP?(AB+AC) （??? ）
A.?为定值10???????????????????????B.?为定值6???????????????????????C.?最大值为18???????????????????????D.?与P的位置有关
9.设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ ，若平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2 ，则 |cosθ|= （??? ）
A.?n1?n2|n1||n2|?????????????????????????????????B.?|n1?n2||n1||n2|?????????????????????????????????C.?|n1||n2|n1?n2?????????????????????????????????D.?|n1||n2||n1?n2|
10.如图所示，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点 F 是侧面 CDD1C1 的中心，若 AF=xAD+yAB+zAA1 ，求 x+y+z= （??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?52
高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.3平面向量基本定理及坐标表示
【基础梳理】
要点一、平面向量基本定理
平面向量基本定理 如果false，false是同一平面内的两个不共线向量，怎么对于这一平面内的任一向量false,有且只有一堆实数false使，false=false.false
若false，false不共线，我们把（false，false）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基地.
要点二、平面向量的正交分解及坐标表示
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的作正交分解.
要点三、平面向量加、减运算的坐标表示
两个向量的和false的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和false.
如图6.3-12，作向量false,false,则
false=false-false
=false
=false.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
要点四、平面向量数乘运算的坐标表示
已知false，即false
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
要点五、平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若false=false,则false=false+false，或false=false.
如果表示向量false的有向线段的起点和终点的坐标分别为false，false，那么
false
false
平面向量垂直的坐标表示
设false=false，false=false，则false
【课堂探究】
例1.已知平面内两个不共线向量 i ， j ，且 a=ki+3j,b=2i+(k?1)j ，若向量 a 与 b 共线，则k=（? ?）
A.?3或-2??????????????????????????????????B.?1或-6??????????????????????????????????C.?-3或2??????????????????????????????????D.?-1或6
【答案】 A
【解析】解： ∵ 向量 a 与 b 共线， ∴? 实数 λ ，使得 a=λb ，
∴ki+3j=λ[2i+(k?1)j] ，化为 (k?2λ)i+(3?λk+λ)j=0 .
∵ i ， j 是同一平面内两个不共线的向量，
∴ {k?2λ=03?λk+λ=0 ，解得 {λ=32k=3 ，或 {λ=?1k=?2 .
故答案为：A.
【分析】利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出.
例2已知向量 e1=(6,λ),e2=(?3,2) ，若 ?e1,e2? 为钝角，则 λ 的范围是（ ??）
A.?(?∞,9)?????????????????B.?(9,+∞)?????????????????C.?(?∞,4)∪(4,9)?????????????????D.?(?∞,?4)∪(?4,9)
【答案】 D
【解析】解： ∵ ?e1,e2? 为钝角， ∴ e1·e2<0 且 e1,e2 不共线，
∴ {?18+2λ<012+3λ≠0 ，解得 λ<9 且 λ≠?4 ，
∴λ 的范围是 (?∞ ， ?4)∪(?4 ， 9) .
故答案为：D.
【分析】根据 ?e1,e2? 是钝角，即可得出 {?18+2λ<012+3λ≠0 ，然后解出 λ 的范围即可.
【课后练习】
1.在平面直角坐标系中，以 O(0,0) ， A(1,1) ， B(3,0) 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（??? ）
A.?(?3,1)????????????????????????????????B.?(4,1)????????????????????????????????C.?(?2,1)????????????????????????????????D.?(2,?1)
【答案】 A
【解析】设第四个顶点为 C ．当点 C 的坐标为 (?3,1) 时， |OC|=10 ， |AB|=5 ， |AC|=4 ，
|OB|=3 ．∵ |OC|≠|AB| ， |AC|≠|OB| ，∴四边形 ABOC 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 C 点坐标为 (4,1) 时，因为 OA=BC=(1,1) ，即 OA//BC 且 OA=BC ，
故 OBCA 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 C 点坐标为 (?2,1) 时，因为 OC=BA=(?2,1) ，即 OC//BA 且 OC=BA ，
故 OBAC 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 C 点坐标为 (2,?1) 时，因为 OC=AB=(2,?1) ，即 OC//AB 且 OC=AB ，
故 OCBA 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
2.若过点 P(3,2m) 和点 Q(?m,2) 的直线与方向向量为 a=(?5,5) 的直线平行，则实数 m 的值是（?? ）
A.?13?????????????????????????????????????????B.??13?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?-2
【答案】 B
【解析】由题意得， PQ=(?m?3,2?2m) 与 a=(?5,5) 共线，所以 5(?m?3)?(?5)?(2?2m)=0 ，
解得 m=?13 ，经检验知， m=?13 符合题意。
故答案为：B．
【分析】利用直线方向向量的定义结合已知条件，再利用向量的坐标表示结合已知条件求出向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出实数m的值。
3.已知 a=(1,?2,?1) ， b=(3,m,?1) ，若 a⊥b ，则 m 等于（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】 B
【解析】 ∵a⊥b ， ∴a?b=0 ，
即 1×3+(?2)m+(?1)×(?1)=0 ，解得： m=2 。
故答案为：B
【分析】利用向量垂直与数量积为0 的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。
4.已知 a,b,c 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（??? ）.
① a=b?a2=b2 ；② |a|=|b|?|a?c|=|b?c| ；
③ a⊥b?|a+b|=|a?b| ；④ |a?b|=|a|?|b|?a//b .
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】 B
【解析】解：① a=b 可以推出 a2=b2 ，但 a2=b2 只能推出 |a|=|b|,a,b 的方向不一定相同，所以①中等价推出关系不成立.②设 a,c 的夹角为 θ1,b,c 的夹角为 θ2 ， |a?c|=|b?c|?|a|?|c|?|cosθ1|=|b|?|c|?|cosθ2| ，
当 |a|=|b| ， θ1≠θ2 时，则 |a?c|≠|b?c| ；反之，由 |a?c|=|b?c| 也推不出 |a|=|b| .
所以②中等价推出关系不成立.③当 a⊥b 时，将向量 a,b 的起点确定在同一点，则以向量 a,b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形为矩形，于是它的两条对角线长相等，即 |a+b|=|a?b| .
反之，若 |a+b|=|a?b| ，则以 a,b 为邻边的四边形为矩形，
即 a⊥b .所以③中等价推出关系成立.④设 a,b 的夹角为 θ ， a?b=|a|?|b|?cosθ ，则 |a?b|=|a|?|b|?|cosθ|=1?θ=0 或 π?a//b .
所以④中等价推出关系成立.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积公式 a?b=|a|?|b|cosθ 和向量加减法的几何意义即可判断.
5.已知 |a|=3,|b|=4,(a+b)?(a+3b)=33 ，则 a 与 b 的夹角为（??? ）
A.?π6???????????????????????????????????????B.?π3???????????????????????????????????????C.?2π3???????????????????????????????????????D.?5π6
【答案】 C
【解析】 (a+b)?(a+3b)=a2+4a?b+3b2=33
=|a|2+4×|a||b|cosθ+3|b|2=33
=9+4×3×4cosθ+48=33 ，
解得： cosθ=?12 ，
∵θ∈[0,π] ， ∴θ=2π3 .
故答案为：C
【分析】利用数量积公式，直接计算结果.
6.△ABC 中 ∠C=90° ， AC=2 ， P 为线段 BC 上任一点，则 AP?AC= （??? ）．
A.?2?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?不确定
【答案】 B
【解析】 AP?AC=AC?(AC+CP)=|AC|2+AC?CP=4
故答案为：B
【分析】由向量的数量积运算公式结合题意∠C=90° ， AC=2即可计算出结果。
7.在下列各组向量中，互相垂直的是（??? ）
A.?e1=(?1,2) ， e2=(2,1)??????????????????????????????????B.?e1=(0,1) ， e2=(1,?2)
C.?e1=(3,5) ， e2=(6,10)????????????????????????????????????D.?e1=(2,?3) ， e2=(12 ， ?34)
【答案】 A
【解析】若两个向量 e1 、 e2 垂直，则 e1?e2=0 ，
对于A， e1·e2=?1×2+2×1=0 ，满足条件；
对于B， e1·e2=0×1+1×(?2)=?2 ，不满足条件；
对于C， e1·e2=3×6+5×10=68 ，不满足条件；
对于D， e1·e2=2×12+(?3)×(?34)=134 ，不满足条件；
故答案为：A
【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．
8.如图，已知等腰 ΔABC 中， AB=AC=3 ， BC=4 ，点p是边 BC 上的动点，则 AP?(AB+AC) （??? ）
A.?为定值10???????????????????????B.?为定值6???????????????????????C.?最大值为18???????????????????????D.?与P的位置有关
【答案】 A
【解析】设 BP=λBC(0≤λ≤1) .
AP?(AB+AC)=(AB+BP)?(AB+AC)=AB2+AB?AC+λBC?(AB+AC) ，
因为 λBC?(AB+AC)=λ(BA+AC)?(AB+AC)=λ(AC2?AB2)=0 ，
cosA=AB2+AC2?BC22AB?AC=9+9?162×3×3=19 ，
所以 AP?(AB+AC)=AB2+AB?AC=32+3×3?cosA=10 .
故答案为：：A
【分析】设 BP=λBC(0≤λ≤1) ，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.
9.设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ ，若平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2 ，则 |cosθ|= （??? ）
A.?n1?n2|n1||n2|?????????????????????????????????B.?|n1?n2||n1||n2|?????????????????????????????????C.?|n1||n2|n1?n2?????????????????????????????????D.?|n1||n2||n1?n2|
【答案】 B
【解析】由题意， cos?n1,n2?=n1?n2|n1||n2| ，而平面 α 与平面 β 的夹角 θ 与 ?n1,n2? 相等或互补，所以 |cosθ|=|n1?n2||n1||n2| 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而结合平面 α 与平面 β 的夹角 θ 与 ?n1,n2? 相等或互补，进而求出|cosθ|=|n1?n2||n1||n2|。
10.如图所示，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点 F 是侧面 CDD1C1 的中心，若 AF=xAD+yAB+zAA1 ，求 x+y+z= （??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?52
【答案】 C
【解析】 AF=AD+DF=AD+12(DD1+DC)=AD+12(AA1+AB)=AD+12AB+12AA1 ，
故 x=1 ， y=12 ， z=12 ，则 x+y+z=2 ．
故答案为：C.
【分析】利用空间向量加法定理直接求解。