7.2复数的四则运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第七章复数（人教A版2019）
7.2复数的四则运算
【基础梳理】
要点一、复数的加、减法法则
设false=false，false=falsefalse是任意两个复数，
那么他们的和（false）+（false）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
复数的加法运算律
对任意false，false，false∈C,有
（1）交换律：false+false=false+false
（2）结合律：（false+false）+false=false+（false+false）
复数的减法法则
设false=a+bi，false=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则false-false=（false）-（false）=（a-c）+（b-d）i.
要点二、复数的乘、除法法则
设false=false，false=false，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（false）（false）=ac+bci+adi+bdfalse=（false）+（false）false
复数的除法法则
规定复数的除法是乘法的逆运算.
法则：
（false）÷（false）=false+falsei（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
复数的运算的常用结论
（1）false（1+i）（1-i）=2；falsefalse；false；false；
false=0（N∈false）.
（2）false
【课堂探究】
例1.3?2i2+9i= (? )
A.?1285?3185i???????????????????????B.??1285+3185i???????????????????????C.?1285+3185i???????????????????????D.??1285?3185i
例2在复平面内，复数 z=a+bi(a∈R,b∈R) 对应向量 OZ （ O 为坐标原点），设 |OZ|=r ，以射线 Ox 为始边， OZ 为终边逆时针旋转的角为 θ ，则 z=r(cosθ+isinθ) ，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： z1=r1(cosθ1+isinθ1) ， z2=r2(cosθ2+isinθ2) ，则 z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ) ，则 (?1+3i)10= （??? ）
A.?1024?10243i??????????B.??1024+10243i??????????C.?512?5123i??????????D.??512+5123i
【课后练习】
1.设复数 z 满足 1+z1?z=i ，则 z= （??? ）
A.?i?????????????????????????????????????????B.??i?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?1+i
2.在复平面内，复数 z=i1+2i 的共轭复数对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
3.i 是虚数单位，若 1?7i2+i=a+bi(a,b∈R) ，则 ab 的值是（??? ）
A.?-15?????????????????????????????????????????B.?-3?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?15
4.已知复数 z=a+i1+i(a∈R) 是纯虚数，则 |z| 的值为（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?-1
5.若 21+i=a+bi(a,b∈R) ，则 a2019+b2020= （ ??）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?2
6.已知复数 z=12+12i ，其中 i 为虚数单位，则 i?z= （??? ）
A.??12+12i????????????????????????????B.?12+12i????????????????????????????C.??12?12i????????????????????????????D.?12?12i
7.若复数 z=2?i ．则 |iz2?1|= （??? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????C.?34???????????????????????????????????????D.?18
8.若复数 z=(m+1)+(2?m)i(m∈R) 是纯虚数，则 |6+3iz|= (??? )
A.?3?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?35
9.已知a是实数， a+i1?i 是实数，则 cosaπ3 的值为（??? ）
A.?12????????????????????????????????????????B.??12????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?32
10.欧拉公式 {(2k+b)e=e,(k+b)e=0, 把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 cosθ 和 sinθ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数 z 满足 (eiπ+i)?z=i ，则 |z|= （?? ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????????D.?2
高中数学必修第二册第七章复数（人教A版2019）
7.2复数的四则运算
【基础梳理】
要点一、复数的加、减法法则
设false=false，false=falsefalse是任意两个复数，
那么他们的和（false）+（false）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
复数的加法运算律
对任意false，false，false∈C,有
（1）交换律：false+false=false+false
（2）结合律：（false+false）+false=false+（false+false）
复数的减法法则
设false=a+bi，false=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则false-false=（false）-（false）=（a-c）+（b-d）i.
要点二、复数的乘、除法法则
设false=false，false=false，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（false）（false）=ac+bci+adi+bdfalse=（false）+（false）false
复数的除法法则
规定复数的除法是乘法的逆运算.
法则：
（false）÷（false）=false+falsei（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
复数的运算的常用结论
（1）false（1+i）（1-i）=2；falsefalse；false；false；
false=0（N∈false）.
（2）false
【课堂探究】
例1.3?2i2+9i= (? )
A.?1285?3185i???????????????????????B.??1285+3185i???????????????????????C.?1285+3185i???????????????????????D.??1285?3185i
【答案】 D
【解析】 3?2i2+9i=(3?2i)(2?9i)(2+9i)(2?9i)=6?27i?4i?1885=?1285?3185i .
故答案为：D.
【分析】通过分子分母同时乘以分母的共轭复数化简可得.
例2在复平面内，复数 z=a+bi(a∈R,b∈R) 对应向量 OZ （ O 为坐标原点），设 |OZ|=r ，以射线 Ox 为始边， OZ 为终边逆时针旋转的角为 θ ，则 z=r(cosθ+isinθ) ，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： z1=r1(cosθ1+isinθ1) ， z2=r2(cosθ2+isinθ2) ，则 z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ) ，则 (?1+3i)10= （??? ）
A.?1024?10243i??????????B.??1024+10243i??????????C.?512?5123i??????????D.??512+5123i
【答案】 D
【解析】 (?1+3i)10=(2(cos2π3+sin2π3i))10=210(cos20π3+sin20π3i)
=210(?12+32i)=?512+5123i
故答案为：D
【分析】将复数化为 z1=r1(cosθ1+isinθ1) 的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.
【课后练习】
1.设复数 z 满足 1+z1?z=i ，则 z= （??? ）
A.?i?????????????????????????????????????????B.??i?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?1+i
【答案】 B
【解析】 1+z1?z=i 得 1+z=i(1?z) ，
即 z=i?11+i=(i?1)(1?i)(1+i)(1?i)=i ，
z=?i ，
故答案为：B。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数z与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。
2.在复平面内，复数 z=i1+2i 的共轭复数对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
【答案】 D
【解析】解：因为 z=i1+2i=i(1?2i)(1+2i)(1?2i)=i?2i21?(2i)2=2+i5=25+15i ，
所以 z=25?15i ，
所以 z 对应的点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】首先由复数的运算性质整理原式再求出其共轭复数结合复数的几何意义即可得出答案。
3.i 是虚数单位，若 1?7i2+i=a+bi(a,b∈R) ，则 ab 的值是（??? ）
A.?-15?????????????????????????????????????????B.?-3?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?15
【答案】 C
【解析】 1?7i2+i=(1?7i)(2?i)(2+i)(2?i)=2?i?14i?75=?1?3i ，
∴ a=?1,b=?3 ， ab=3 。
故答案为：C．
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的等价关系，进而求出a,b的值，从而求出ab的值。
4.已知复数 z=a+i1+i(a∈R) 是纯虚数，则 |z| 的值为（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?-1
【答案】 A
【解析】 ∵z=a+i2+i=(a+i)(1?i)(1+i)(1?i)=a+12+1?a2i 是纯虚数，
∴{a+12=01?a2≠0 ，解得： a=?1 ，所以 z=i ， |z|=1 .
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，虚部不为0，求得a的值，进而得出 |z|?的值?。
5.若 21+i=a+bi(a,b∈R) ，则 a2019+b2020= （ ??）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?2
【答案】 D
【解析】因为 21+i=a+bi ，所以 1?i=a+bi ，所以 a=1,b=?1 ，
所以 a2019+b2020=2 ，
故答案为：D.
【分析】整理 21+i=a+bi 可得： 1?i=a+bi ，问题得解
6.已知复数 z=12+12i ，其中 i 为虚数单位，则 i?z= （??? ）
A.??12+12i????????????????????????????B.?12+12i????????????????????????????C.??12?12i????????????????????????????D.?12?12i
【答案】 A
【解析】 i?z=i(12+12i)=12i2+12i=?12+12i ，
故答案为：A
【分析】利用复数的运算性质整理化简即可得出答案。
7.若复数 z=2?i ．则 |iz2?1|= （??? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????C.?34???????????????????????????????????????D.?18
【答案】 B
【解析】解：因为 z=2?i ，所以 z2=(2?i)2=22?4i+i2=3?4i
所以 iz2?1=i(3?4i)?1=3i+3 ，则 |iz2?1|=32+32=32 ．
故答案为：B．
【分析】首先求出根据复数代数形式的乘法和乘方法则求出 iz2?1 ，再根据模的计算公式计算可得；
8.若复数 z=(m+1)+(2?m)i(m∈R) 是纯虚数，则 |6+3iz|= (??? )
A.?3?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?35
【答案】 C
【解析】由z是纯虚数，得 m+1=0 且 2?m≠0 ，所以 m=?1 ， z=3i ，
因此， |6+3iz|=|6+3i3i|=|1?2i|=5 ，
故答案为：C.
【分析】利用纯虚数的定义，从而求出m的值，进而求出复数z，再利用复数的乘除法运算法则结合复数求模公式，从而求出所求复数的模。
9.已知a是实数， a+i1?i 是实数，则 cosaπ3 的值为（??? ）
A.?12????????????????????????????????????????B.??12????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?32
【答案】 A
【解析】解： ∵ a+i1?i=(a+i)(1+i)(1?i)(1+i)=a?12+a+12i 是实数，
∴ a+12=0 ，即 a=?1 ．
∴ cosaπ3=cos(?π3)=12 ．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 a 值，代入 cosaπ3 得答案．
10.欧拉公式 {(2k+b)e=e,(k+b)e=0, 把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 cosθ 和 sinθ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数 z 满足 (eiπ+i)?z=i ，则 |z|= （?? ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????????D.?2
【答案】 B
【解析】由题意 z=ieiπ+i=icosπ+isinπ+i=i?1+i=i(?1?i)(?1+i)(?1?i) =?i+12=12?12i ，
∴ |z|=(12)2+(?12)2=22 ．
故答案为：B．
【分析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出 z 后再求模．