6.4平面向量的应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.4平面向量的应用
【基础梳理】
要点一、余弦定理、正弦定理
余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；
falsefalse,false
余弦定理得推论；
cosA=false，cosB=false,cosC=false
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；
false
正弦定理的变形：
1.false
2.false
要点二、正、余弦定理的综合运用
三角形的面积公式
三角形面积的公式
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【课堂探究】
例1.已知锐角△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足面积为 332 ， 3sinC?cosB=cos(A?C),a=7 ，则△ ABC 的周长为（??? ）
A.?2+7????????????????????????????????B.?3+7????????????????????????????????C.?4+7????????????????????????????????D.?5+7
例2设 A、B、C 为三角形三内角，且方程 (sinB?sinA)x2+(sinA?sinC)x+sinC?sinB=0 有两相等的实根，那么角 B （ ??）
A.?B>60°???????????????????????????B.?B≥60°???????????????????????????C.?B<60°???????????????????????????D.?B≤60°
【课后练习】
1.在 △ABC 中， B=60° ， b2=ac ，则 cosA= （??? ）
A.?0????????????????????????????????????????B.?12????????????????????????????????????????C.?22????????????????????????????????????????D.?32
2.ΔABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 b=3 ， c=2 ， cos(B+C)=14 ，则 a =（??? ）
A.?10??????????????????????????????????????B.?15??????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????D.?17
3.已知 △ABC 中， a=23,b=22,B=π4 ，那么满足条件的 △ABC （??? ）
A.?有一个解??????????????????????????????B.?有两个解??????????????????????????????C.?不能确定??????????????????????????????D.?无解
4.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度h为(??? )
A.?(30+303)m?????????????????B.?(30+153)m?????????????????C.?(15+303)m?????????????????D.?(15+153)m
5.在 △ABC 中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若 b2=ac ， A=30° ，则 bsinBc= (??? )
A.?12????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????????D.?34
6.在 △ABC 中， a2 等于（??? ）
A.?a2+b2?2abcosC????????B.?b2+c2?2bcsinC????????C.?a2+c2?2accosB????????D.?b2+c2?2bccosA
7.在 △ABC 中， A=60° ， a=3 ，则 a+b+csinA+sinB+sinC= （??? ）
A.?833?????????????????????????????????B.?2393?????????????????????????????????C.?2633?????????????????????????????????D.?23
8.在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ， 若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于（?? ）
A.?1∶2∶3????????????????????????????B.?2∶3∶4????????????????????????????C.?3∶4∶5????????????????????????????D.?1∶ 3 ∶2
9.在△ABC中，c＝ 3 ，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为（?? ）
A.?π4?????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.?2π?????????????????????????????????????????D.?4π
10.如图，在平面四边形 ABCD 中， AB⊥BC ， ∠BCD=60? ， ∠ADC=150? ， BE=3EC ， CD=233，BE=3 ，若点F为边 AD 上的动点，则 EF?BF 的最小值为（??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?1516?????????????????????????????????????????C.?3132?????????????????????????????????????????D.?2
高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.4平面向量的应用
【基础梳理】
要点一、余弦定理、正弦定理
余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；
falsefalse,false
余弦定理得推论；
cosA=false，cosB=false,cosC=false
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；
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正弦定理的变形：
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2.false
要点二、正、余弦定理的综合运用
三角形的面积公式
三角形面积的公式
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【课堂探究】
例1.已知锐角△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足面积为 332 ， 3sinC?cosB=cos(A?C),a=7 ，则△ ABC 的周长为（??? ）
A.?2+7????????????????????????????????B.?3+7????????????????????????????????C.?4+7????????????????????????????????D.?5+7
【答案】 D
【解析】由题意， 3sinC+cos(A+C)=cos(A?C) ，
即 3sinC+cosAcosC?sinAsinC=cosAcosC+sinAsinC ，
则 3sinC=2sinAsinC ，
因为 sinC≠0 ，所以 sinA=32 ，
因为 A∈(0,π2) ，所以 A=π3 .
又 S△ABC=12bcsinA=34bc=332 ，解得 bc=6 .
由余弦定理可得， cosA=b2+c2?a22bc=b2+c2?712=12 ，
解得 b2+c2=13 ，所以 (b+c)2=b2+c2+2bc=13+12=25 ，即 b+c=5 .
所以△ ABC 的周长为 a+b+c=7+5 .
故答案为：D.
【分析】将 ?cosB=cos(A+C) 代入原式，进而将 cos(A+C) 和 cos(A?C) 展开，可求出 sinA ，然后结合三角形的面积公式及余弦定理，可分别求出 bc 及 b2+c2 ，再结合 (b+c)2=b2+c2+2bc ，可求出 b+c ，从而可求出△ ABC 的周长.
例2设 A、B、C 为三角形三内角，且方程 (sinB?sinA)x2+(sinA?sinC)x+sinC?sinB=0 有两相等的实根，那么角 B （ ??）
A.?B>60°???????????????????????????B.?B≥60°???????????????????????????C.?B<60°???????????????????????????D.?B≤60°
【答案】 D
【解析】依题意有 Δ=(sinA?sinC)2?4(sinB?sinA)(sinC?sinB)=0 ，
根据正弦定理得： (a?c)2?4(b?a)(c?b)=0 ，
即 a2?2ac+c2?4(bc?ac?b2+ab)=0 ，
化简得： a2+c2+4b2+2ac?4ab?4ac=0 ，
整理得： (a+c?2b)2=0 ，
即 a+c=2b ，
所以 cosB=a2+c2?b22ac=(a+c)2?2ac?b22ac =3b2?2ac2ac=32?b2ac?1 ，
因为 (2b)2=(a+c)2≥4ac ，所以 b2≥ac ，
所以 32?b2ac?1≥32?1=12 ，
又因为 ?1所以 0故答案为：D.
【分析】根据方程有两相等实根可得判别式 Δ=0 ，在依据正弦定理把角换成边，化简得 a+c=2b ，代入余弦定理得 cosB=32?b2ac?1 ，再根据 a+c=2b 两边平方，得出 b2 与 ac 的关系，进而推断出 cosB 的范围.
【课后练习】
1.在 △ABC 中， B=60° ， b2=ac ，则 cosA= （??? ）
A.?0????????????????????????????????????????B.?12????????????????????????????????????????C.?22????????????????????????????????????????D.?32
【答案】 B
【解析】由余弦定理得： b2=a2+c2?2accosB=a2+c2?ac ，
又 b2=ac ， ∴a2+c2?ac=ac ， ∴(a?c)2=0 ，
∴a=c ， ∴A=B=C=60° ，
∴cosA=12 ．
故答案为：B．
【分析】由余弦定理且 B=60° 得 b2=a2+c2?ac ，再由 b2=ac ，得 a2+c2?ac=ac ，得 a=c ，得 A=B=C=60° ，可求 cosA 的值．
2.ΔABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 b=3 ， c=2 ， cos(B+C)=14 ，则 a =（??? ）
A.?10??????????????????????????????????????B.?15??????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????D.?17
【答案】 C
【解析】在 ΔABC 中，可得 B+C=π?A ，所以 cos(B+C)=?cosA=14 ，即 cosA=?14 ，
由余弦定理可得 a2=b2+c2?2bccosA=9+4?2×3×2×(?14)=16 ，
解得 a=4 .
故答案为：C.
【分析】由 cos(B+C)=14 ，求得 cosA=?14 ，结合余弦定理，即可求解.
3.已知 △ABC 中， a=23,b=22,B=π4 ，那么满足条件的 △ABC （??? ）
A.?有一个解??????????????????????????????B.?有两个解??????????????????????????????C.?不能确定??????????????????????????????D.?无解
【答案】 B
【解析】由题可知： a=23,b=22,B=π4
asinB=23?22=6 ，由 6所以可知 △ABC 有两个解
故答案为：B
【分析】通过比较 asinB 与 b 的大小关系，简单判断可得结果.
4.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度h为(??? )
A.?(30+303)m?????????????????B.?(30+153)m?????????????????C.?(15+303)m?????????????????D.?(15+153)m
【答案】 A
【解析】∵ ∠BAP+∠APB=45° ,∴ ∠APB=45°?30° .
由已知及正弦定理,得 60sin(45°?30°)=PBsin30° ,∴ PB=30sin(45°?30°)=306?24=30(6+2) .
∴ ?=PB?sin45° =30(6+2)×22=(30+303)m .
故答案为：A
【分析】先利用正弦定理求出 PB=30(6+2) ，再求出h得解.
5.在 △ABC 中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若 b2=ac ， A=30° ，则 bsinBc= (??? )
A.?12????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????????D.?34
【答案】 A
【解析】∵b2=ac，又 A=30° ，
由正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC= 12 sinC，
∴ sin2BsinC=12 ，则 bsinBc=sin2BsinC=12 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合正弦定理变形推出bsinBc的值。
6.在 △ABC 中， a2 等于（??? ）
A.?a2+b2?2abcosC????????B.?b2+c2?2bcsinC????????C.?a2+c2?2accosB????????D.?b2+c2?2bccosA
【答案】 D
【解析】根据余弦定理可得 a2=b2+c2?2bccosA ，
故答案为：D.
【分析】根据余弦定理对应的式子即可得结果.
7.在 △ABC 中， A=60° ， a=3 ，则 a+b+csinA+sinB+sinC= （??? ）
A.?833?????????????????????????????????B.?2393?????????????????????????????????C.?2633?????????????????????????????????D.?23
【答案】 D
【解析】解：由条件利用正弦定理可得 asinA=2R=3sin60°=23 ，
∴ a+b+csinA+sinB+sinC=2R(sinA+sinB+sinC)sinA+sinB+sinC=2R=23 ，
故答案为：D．
【分析】由条件利用正弦定理可得 asinA=2R 的值，再利用正弦定理化间要求的式子，从而得到结果．
8.在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ， 若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于（?? ）
A.?1∶2∶3????????????????????????????B.?2∶3∶4????????????????????????????C.?3∶4∶5????????????????????????????D.?1∶ 3 ∶2
【答案】 D
【解析】解：由题可得：A=30°，B=60°，C=90°，由正弦定理： a:b:c=sinA:sinB:sinC=1:3:2 ,
故答案为：D.
【分析】由三角形内角和为180°可得A,B,C的值，然后根据正弦定理可得结论.
9.在△ABC中，c＝ 3 ，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为（?? ）
A.?π4?????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.?2π?????????????????????????????????????????D.?4π
【答案】 B
【解析】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝ csinC ，解得R＝1，
故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.
故答案为：B.
【分析】根据正弦定理可得2R＝ csinC ，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.
10.如图，在平面四边形 ABCD 中， AB⊥BC ， ∠BCD=60? ， ∠ADC=150? ， BE=3EC ， CD=233，BE=3 ，若点F为边 AD 上的动点，则 EF?BF 的最小值为（??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?1516?????????????????????????????????????????C.?3132?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】 B
【解析】以 B 为原点建立如图所示平面直角.
依题意 CE=13BE=33 ， BC=BE+CE=433 ， ∠BCD=60° ，
在三角形 BCD 中，由余弦定理得
BD=(433)2+(233)2?2×433×233×cos60°=2 .
所以 BD2+CD2=BC2 ，所以 ∠BDC=90° .
而 BC=2CD ，所以 ∠DBC=30°,∠DCB=60° .
在三角形 CDE 中，由余弦定理得 DE=(33)2+(233)2?2×33×233×cos60°=1 .
所以 CE2+DE2=CD2 ，所以 ∠DEC=90° .
在三角形 ABD 中， ∠ABD=∠ADB=60° ，所以三角形 ABD 是等边三角形，
所以 AB=BD=2 .
所以 A(0,2),D(3,1),E(3,0) ，设 F(x,y)
依题意令 AF=λAD(0≤λ≤1) ，即 (x,y?2)=λ(3,?1)=(3λ,?λ) ，
所以 {x=3λy?2=?λ?{x=3λy=2?λ ，所以 F(3λ,2?λ) ，
所以 EF?BF=(3λ?3,2?λ)?(3λ,2?λ)
=4λ2?7λ+4 .
对于二次函数 f(λ)=4λ2?7λ+4(0≤λ≤2) ，其对称轴为 λ=78 ，开口向上，所以当 λ=78 时， f(λ) 有最小值，也即 EF?BF 有最小值为 4×(78)2?7×78+4=1516 .
故答案为：B
【分析】建立平面直角坐标系，设出 F 点坐标，求得 EF?BF 的表达式，进而求得 EF?BF 的最小值.