6.2 平面向量的运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.2平面向量的运算
【基础梳理】
要点一、向量的加法运算
1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2.向量加法的方法：向量加法的三角法则
已知非零向量false，false在平面内任取一点A，做false=false，false=false，则向量false叫做false与false的和，记作false，即false,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点
平行四边形法则
以同一O为起点的两个已知向量false，false，以false，false为邻边做falseOACB，则以O为起点的向量false，（OC是falseOACB的对角线）就是向量false与false的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量false，我们规定false+false=false+false=false
平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同
要点二、向量的减法运算
定义：向量false加上false的相反向量，叫做false与false的差，即false，求两个向量差的运算叫做向量的的减法.
相反向量：我们规定，与向量false,长度相等，方向相反的向量，叫做false的相反向量，记作﹣false
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此false和﹣false互为相反量，于是-（-false）=false.
由两个向量和的定义易知false
即任意向量与其相反向量的和是零向量
几何意义：已知向量false，false，在平面内任取一点O，作false，false，则false，即false可以表示为从false的终点指向向量false的终点的向量
要点三、向量的数乘运算
向量数乘的定义
一般地，我们规定实数false与向量false的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作falsefalse，它的长度与方向规定
如下；falsefalse
false当false>0时，falsefalse的方向与false的方向相同；当false<0时，falsefalse的方向与false的方向相反.
由false可知，当false=0时，falsefalse=0
由falsefalse可知，false
向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设false，false为实数，那么falsefalse
falsefalse
falsefalse
特别的，我们有
false
false
向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量false，false以任意实数false，false，false，恒有
false
要点四、向量的数量积
向量的夹角
已知两个非零向量false,false,O是平面上的任意一点，作false=false,false=false,则∠AOB=falsefalse叫做向量false与false的夹角.
显然，当false时，false与false同向；当false时，false与false反向.
如果false与false的夹角是false，我们说false与false垂直，记作falsefalsefalse
向量数量积的定义
已知两个非零向量false与false，他们的夹角为false，我们把数量falsefalse叫做向量false与false的数量积false，记作falsefalsefalse
即；falsefalsefalse=falsefalse
规定；零向量与任一向量的数量积为0.
向量的投影
设false,false是两个非零向量，false=false,false=false,我们考虑如下的变换，过false的起点A和和终点B，分别作false坐在直线的垂线，垂足分别为false,得到false,我们称上述变换为向量false向量false投影，false叫做向量false在向量false在向量false上的投影向量.
【课堂探究】
例1.在 ΔABC 中， AD=14AB ， DE//BC ，且与边 AC 相交于点E， ΔABC 的中线 AM 与 DE 相交于点N，设 AB=a ， AC=b ，则 MN= （??? ）
A.??38(a+b)???????????????????B.??38(a?b)???????????????????C.??34(a+b)???????????????????D.??34(a?b)
例2AB+BC+CD+DE+EF+FA= ( ??)
A.?0??????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????C.?2AD??????????????????????????????????????D.??2AD
【课后练习】
1.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且 AO+OB=DO+OC ,则四边形ABCD是(?? )
A.?空间四边形???????????????????????????B.?平行四边形???????????????????????????C.?等腰梯形???????????????????????????D.?矩形
2.若非零向量 a 和 b 互为相反向量，则下列说法中错误是（??? ）
A.?a//b????????????????????????????????B.?a≠b????????????????????????????????C.?|a|≠|b|????????????????????????????????D.?a=?b
3.若 OA ＝(1，－2)， OB ＝(1，1)，则 AB 等于（??? ）
A.?(－1，2)?????????????????????????????B.?(2，－1)?????????????????????????????C.?(0，－3)?????????????????????????????D.?(0，3)
4.下列命题正确的是（??? ）
A.?若向量 a//b ，则 a 与 b 的方向相同或相反?????????????B.?若向量 a//b ， b//c ，则 a//c
C.?若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等?????D.?若向量 a=b ， b=c ，则 a=c
5.在 △ABC 中， D 是 BC 边上的一点， F 是 AD 上的一点，且满足 2AD=AB+AC 和 FD+2FA=0 ，连接 CF 并延长交 AB 于 E ，若 AE=λEB ，则 λ 的值为（??? ）
A.?12??????????????????????????????????????????B.?13??????????????????????????????????????????C.?14??????????????????????????????????????????D.?15
6.如图，已知向量 a,b,c ，那么下列结论正确的是（?? ）
A.?a+b=c?????????????????????B.?a+b=?c?????????????????????C.?a?b=?c?????????????????????D.?b+c=a
7.已知 ΔABC 中， D 为 BC 的中点，E为 AD 的中点，则 BE= （??? ）
A.??34AB+14AC???????????????B.?34AB?14AC???????????????C.??14AB+34AC???????????????D.?14AB?34AC
8.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 BC=5e1 ， DC=3e2 则 OC =（?? ）
A.?12(5e1+3e2)????????????????????B.?12(5e1?3e2)????????????????????C.?12(3e2?5e1)????????????????????D.?12(5e2?3e1)
9.已知向量 e1 ， e2 ，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是（??? ）
A.?e1 ， e1+e2??????????B.?e1?2e2 ， e2?2e1??????????C.?e1?2e2 ， 4e2?2e1??????????D.?e1+e2 ， e1?e2
10.已知向量 a→ ， b→ 不共线，且向量 λa→+b→ 与 a→+(2λ?1)b→ 的方向相反，则实数 λ 的值为(??? )
A.?1?????????????????????????????????B.??12?????????????????????????????????C.?1或 ?12?????????????????????????????????D.?-1或 ?12
高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.2平面向量的运算
【基础梳理】
要点一、向量的加法运算
1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2.向量加法的方法：向量加法的三角法则
已知非零向量false，false在平面内任取一点A，做false=false，false=false，则向量false叫做false与false的和，记作false，即false,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点
平行四边形法则
以同一O为起点的两个已知向量false，false，以false，false为邻边做falseOACB，则以O为起点的向量false，（OC是falseOACB的对角线）就是向量false与false的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量false，我们规定false+false=false+false=false
平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同
要点二、向量的减法运算
定义：向量false加上false的相反向量，叫做false与false的差，即false，求两个向量差的运算叫做向量的的减法.
相反向量：我们规定，与向量false,长度相等，方向相反的向量，叫做false的相反向量，记作﹣false
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此false和﹣false互为相反量，于是-（-false）=false.
由两个向量和的定义易知false
即任意向量与其相反向量的和是零向量
几何意义：已知向量false，false，在平面内任取一点O，作false，false，则false，即false可以表示为从false的终点指向向量false的终点的向量
要点三、向量的数乘运算
向量数乘的定义
一般地，我们规定实数false与向量false的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作falsefalse，它的长度与方向规定
如下；falsefalse
false当false>0时，falsefalse的方向与false的方向相同；当false<0时，falsefalse的方向与false的方向相反.
由false可知，当false=0时，falsefalse=0
由falsefalse可知，false
向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设false，false为实数，那么falsefalse
falsefalse
falsefalse
特别的，我们有
false
false
向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量false，false以任意实数false，false，false，恒有
false
要点四、向量的数量积
向量的夹角
已知两个非零向量false,false,O是平面上的任意一点，作false=false,false=false,则∠AOB=falsefalse叫做向量false与false的夹角.
显然，当false时，false与false同向；当false时，false与false反向.
如果false与false的夹角是false，我们说false与false垂直，记作falsefalsefalse
向量数量积的定义
已知两个非零向量false与false，他们的夹角为false，我们把数量falsefalse叫做向量false与false的数量积false，记作falsefalsefalse
即；falsefalsefalse=falsefalse
规定；零向量与任一向量的数量积为0.
向量的投影
设false,false是两个非零向量，false=false,false=false,我们考虑如下的变换，过false的起点A和和终点B，分别作false坐在直线的垂线，垂足分别为false,得到false,我们称上述变换为向量false向量false投影，false叫做向量false在向量false在向量false上的投影向量.
【课堂探究】
例1.在 ΔABC 中， AD=14AB ， DE//BC ，且与边 AC 相交于点E， ΔABC 的中线 AM 与 DE 相交于点N，设 AB=a ， AC=b ，则 MN= （??? ）
A.??38(a+b)???????????????????B.??38(a?b)???????????????????C.??34(a+b)???????????????????D.??34(a?b)
【答案】 A
【解析】由题,如图所示,
因为 AD=14AB , DE//BC ,
所以 AN=14AM ,
因为 AM=12(AB+AC) ,
所以 MN=?34AM=?34×12(a+b)=?38(a+b) ,
故答案为：A
【分析】由题,画出图形,可知 AN=14AM ,则 MN=?34AM ,即可求解.
例2AB+BC+CD+DE+EF+FA= ( ??)
A.?0??????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????C.?2AD??????????????????????????????????????D.??2AD
【答案】 B
【解析】由向量加法的运算法则可知 AB+BC+CD+DE+EF+FA=0 . 故答案为：B
【分析】根据向量的加法运算法则，首尾相接和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点即可得出结果。
【课后练习】
1.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且 AO+OB=DO+OC ,则四边形ABCD是(?? )
A.?空间四边形???????????????????????????B.?平行四边形???????????????????????????C.?等腰梯形???????????????????????????D.?矩形
【答案】 B
【解析】由已知得 AB=DC ,即 AB,DC 是相等向量,因此 AB,DC 的模相等,方向相同,
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
2.若非零向量 a 和 b 互为相反向量，则下列说法中错误是（??? ）
A.?a//b????????????????????????????????B.?a≠b????????????????????????????????C.?|a|≠|b|????????????????????????????????D.?a=?b
【答案】 C
【解析】由平行向量的定义可知A项正确；
因为 a 和 b 的方向相反，所以 a≠b ，B项正确；
由相反向量的定义可知 a=?b ，故答案为：项D符合题意；
由相反向量的定义知 |a|=|b| ，C项错误.
故答案为：C.
【分析】根据相反向量的定义：两个向量方向相反，大小相等，可得选项.
3.若 OA ＝(1，－2)， OB ＝(1，1)，则 AB 等于（??? ）
A.?(－1，2)?????????????????????????????B.?(2，－1)?????????????????????????????C.?(0，－3)?????????????????????????????D.?(0，3)
【答案】 D
【解析】 AB=OB?OA=(1,1)?(1,?2)=(0,3)
故答案为：D
【分析】由向量的减法，即可得出结果.
4.下列命题正确的是（??? ）
A.?若向量 a//b ，则 a 与 b 的方向相同或相反?????????????B.?若向量 a//b ， b//c ，则 a//c
C.?若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等?????D.?若向量 a=b ， b=c ，则 a=c
【答案】 D
【解析】对于A选项，向量 a//b ，可能 b=0 ，此时不能得到 a 与 b 的方向相同或相反，A选项错误.
对于B选项，向量 a//b ， b//c ，可能 b=0 ，此时不能得到 a//c ，B选项错误.
对于C选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，C选项错误.
对于D选项，根据向量相等的知识可知D选项正确.
故答案为：D
【分析】根据向量共线、向量相等的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
5.在 △ABC 中， D 是 BC 边上的一点， F 是 AD 上的一点，且满足 2AD=AB+AC 和 FD+2FA=0 ，连接 CF 并延长交 AB 于 E ，若 AE=λEB ，则 λ 的值为（??? ）
A.?12??????????????????????????????????????????B.?13??????????????????????????????????????????C.?14??????????????????????????????????????????D.?15
【答案】 C
【解析】如图所示，过 D 做 DG//CE ，交 AB 于 G .
因为 2AD=AB+AC ，所以 D 为 BC 的中点.
因为 DG//CE ，所以 G 为 BE 的中点，
因为 FD+2FA=0 ，所以 AF:FD=1:2 .
因为 DG//CE ，所以 AE:EG=AF:FD=1:2 ，即 AE=12EG .
又因为 EG=BG ，所以 AE=14EB ，
故 AE=14EB .
故答案为：C
【分析】首先过 D 做 DG//CE ，交 AB 于 G ，根据向量加法的几何意义得到 D 为 BC 的中点，从而得到 G 为 BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案.
6.如图，已知向量 a,b,c ，那么下列结论正确的是（?? ）
A.?a+b=c?????????????????????B.?a+b=?c?????????????????????C.?a?b=?c?????????????????????D.?b+c=a
【答案】 B
【解析】根据向量加法的三角形法则， a,b 向量首尾顺次相连，所以根据图形可知， a+b 与向量 c 反向且相等，所以 a+b=?c 。
故答案为： B.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和相等向量、相反向量的定义，从而用平面向量基本定理求出 向量 a,b,c 的关系式。
7.已知 ΔABC 中， D 为 BC 的中点，E为 AD 的中点，则 BE= （??? ）
A.??34AB+14AC???????????????B.?34AB?14AC???????????????C.??14AB+34AC???????????????D.?14AB?34AC
【答案】 A
【解析】由题意得：
BE=AE?AB=12AD?AB=12×12(AB+AC)?AB
=14AC?34AB .
故答案为：A.
【分析】先将 BE 化为 AE?AB ,再将 AE 化为 12AD ,再将 AD 化为 12(AB+AC) 即可解.
8.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 BC=5e1 ， DC=3e2 则 OC =（?? ）
A.?12(5e1+3e2)????????????????????B.?12(5e1?3e2)????????????????????C.?12(3e2?5e1)????????????????????D.?12(5e2?3e1)
【答案】 A
【解析】解：因为矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 BC=5e1,DC=3e2,则OC=12(BC+DC)
故答案为：A
【分析】利用平行四边形法则结合共线定理和平面向量基本定理求出向量OC→。
9.已知向量 e1 ， e2 ，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是（??? ）
A.?e1 ， e1+e2??????????B.?e1?2e2 ， e2?2e1??????????C.?e1?2e2 ， 4e2?2e1??????????D.?e1+e2 ， e1?e2
【答案】 C
【解析】解：对于A，向量 e1 与 e1+e2 是不共线的两个向量，能作为基底。
对于B，向量 e1?2e2 与 e2?2e1 是不共线的两个向量，能作为基底。
对于C，因为 4e2?2e1=?2(e1?2e2) ，所以 4e2?2e1 与 e1?2e2 共线，不能作为一组基底．
对于D，向量 e1+e2 与 e1?e2 是不共线的两个向量，能作为基底。
故答案为：C
【分析】判断各组所给向量是否共线，即可得出答案。
10.已知向量 a→ ， b→ 不共线，且向量 λa→+b→ 与 a→+(2λ?1)b→ 的方向相反，则实数 λ 的值为(??? )
A.?1?????????????????????????????????B.??12?????????????????????????????????C.?1或 ?12?????????????????????????????????D.?-1或 ?12
【答案】 B
【解析】解：由题可知， a→ ， b→ 不共线，且向量 λa→+b→ 与 a→+(2λ?1)b→ 的方向相反，
则 {λa+b=k[a+(2λ?1)b]k<0 ，即 {λa+b=ka+k(2λ?1)bk<0 ，
则 {λ=k1=k(2λ?1)k<0 ，即 {λ(2λ?1)=1λ=k<0 ，
解得： λ=?12 或 λ=1 （舍去）.
即实数 λ 的值为 ?12 .
故答案为：B.
【分析】根据题意，得出 λa→+b→=k[a→+(2λ?1)b→] 且 k<0 ，化简后得出 λ(2λ?1)=1 ， λ=k<0 ，即可求出实数 λ 的值.