8.2立体图形的直观图-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第八章立体图形初步（人教A版2019）
8.2立体图形的直观图
【基础梳理】
要点一、直观图
定义:用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
画法：斜二测画法和正等测画法.
要点二、斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且false=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
【课堂探究】
例1.已知梯形 ABCD 是直角梯形， AD∥BC ， AB⊥BC ，且 AD=2 ， BC=4 ， AB=2 .按照斜二测画法作出它的直观图 A'B'C'D' ，则直观图 A'B'C'D' 面积为(?? )
A.?3?????????????????????????????????????B.?22?????????????????????????????????????C.?324?????????????????????????????????????D.?322
例2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(?? ).

A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【课后练习】
1.底边长为2，高为4的等腰三角形在斜二测画法中对应的直观图为 ΔABC ，则 ΔABC 的面积为（??? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?6?????????????????????????????????????????D.?4
2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（??? ）
A.?圆柱????????????????????????????????????B.?圆锥????????????????????????????????????C.?球体????????????????????????????????????D.?组合体
3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45? ，腰为 2 ，上底长为 2 的等腰梯形，那么原平面图形的面积为(?? )
A.?32?????????????????????????????????????B.??6?????????????????????????????????????C.?62?????????????????????????????????????D.?122
4.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为 2cm 的正方形，则原图形的周长（?? ）
A.?12cm??????????????????????????B.?16cm??????????????????????????C.?4(1+3) cm??????????????????????????D.?4(1+2) cm
5.下列说法正确的是（??? ）
A.?用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台
B.?空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等
C.?通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线
D.?相等的角在直观图中对应的角仍相等
6.如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（??? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
7.如图所示，正方形 O'A'B'C' 的边长为 1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（??? ）
A.?6cm?????????????????????????????B.?8cm?????????????????????????????C.?2+32cm?????????????????????????????D.?2+23cm
8.点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( ?????)
A.?梯形???????????????????????B.?空间四边形???????????????????????C.?正方形???????????????????????D.?有一内角为60o的菱形
9.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
10.已知一个四棱锥的三视图如图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（?? ）
A.?4 5???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.?4 2???????????????????????????????????????D.?4
高中数学必修第二册第八章立体图形初步（人教A版2019）
8.2立体图形的直观图
【基础梳理】
要点一、直观图
定义:用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
画法：斜二测画法和正等测画法.
要点二、斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且false=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
【课堂探究】
例1.已知梯形 ABCD 是直角梯形， AD∥BC ， AB⊥BC ，且 AD=2 ， BC=4 ， AB=2 .按照斜二测画法作出它的直观图 A'B'C'D' ，则直观图 A'B'C'D' 面积为(?? )
A.?3?????????????????????????????????????B.?22?????????????????????????????????????C.?324?????????????????????????????????????D.?322
【答案】 D
【解析】梯形 ABCD 的面积为 (2+4)22=6 ，则直观图 A′B′C′D′ 的面积为 6×24=322 .
故答案为：D
【分析】根据斜二测画法作出直观图，结合梯形的面积公式，即可求出相应的面积.
例2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(?? ).

A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【答案】 B
【解析】A、C选项中正视图不符合，A的正视图为
，
C的正视图为
D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为
故答案为：B．
【分析】本题利用空间组合体的三视图还原空间组合体，再利用空间组合体的结构特征画出相应的直观图。
【课后练习】
1.底边长为2，高为4的等腰三角形在斜二测画法中对应的直观图为 ΔABC ，则 ΔABC 的面积为（??? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?6?????????????????????????????????????????D.?4
【答案】 A
【解析】原等腰三角形的面积为 12×2×4=4 ，因此， ΔABC 的面积为 24×4=2 .
故答案为：A.
【分析】计算出原等腰直角三角形的面积，乘以 24 即可得出 ΔABC 的面积.
2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（??? ）
A.?圆柱????????????????????????????????????B.?圆锥????????????????????????????????????C.?球体????????????????????????????????????D.?组合体
【答案】 C
【解析】根据题意用任意一个平面截一个几何体，
圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，组合体的界面不确定，
只有球体的任意截面图形都是圆.
故答案为：C
【分析】圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，组合体的界面不确定，只有球体满足条件.
3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45? ，腰为 2 ，上底长为 2 的等腰梯形，那么原平面图形的面积为(?? )
A.?32?????????????????????????????????????B.??6?????????????????????????????????????C.?62?????????????????????????????????????D.?122
【答案】 C
【解析】由题意得,斜二测画法内梯形的上底长为2,高为 2×sin45°=1 ,下底长为
2+2×2cos45°=4 ,故斜二测图像内梯形面积 S=12(2+4)×1=3 ,故原平面图形面积 S0=3×22=62 .
故答案为：C
【分析】根据斜二测画法的图像性质,原平面图形面积为斜二测画法所得面积的 22 倍,故先求得斜二测画法梯形的面积再乘以 22 即可.
4.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为 2cm 的正方形，则原图形的周长（?? ）
A.?12cm??????????????????????????B.?16cm??????????????????????????C.?4(1+3) cm??????????????????????????D.?4(1+2) cm
【答案】 B
【解析】原图为平行四边形，边长分别为2cm和 22+(42)2=6cm，周长为 (2+6)×2=16cm ，故答案为：B.
【分析】利用斜二测画法作直观图的方法结合已知条件，再利用原图与正方形的直观图对应关系，最后利用四边形周长公式，从而求出原图形的周长。
5.下列说法正确的是（??? ）
A.?用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台
B.?空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等
C.?通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线
D.?相等的角在直观图中对应的角仍相等
【答案】 C
【解析】对A， 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，所以A不符合题意；
对B， 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以B不符合题意；
对C，根据母线的定义可知，正确；
对D，如等腰直角三角形，画出直观图后，不是等腰三角形，所以D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相关知识，逐个判断即可．
6.如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（??? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】 D
【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C，
光线从前向后照射，得到A，
光线从左向右照射得到B，
故答案为：D。
【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件和中点的性质，从而利用正投影的定义得出空间四边形D'OEF在该正方体的面上不可能的正投影。
7.如图所示，正方形 O'A'B'C' 的边长为 1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（??? ）
A.?6cm?????????????????????????????B.?8cm?????????????????????????????C.?2+32cm?????????????????????????????D.?2+23cm
【答案】 B
【解析】 OA=OA'=1 ， OB=2O'B'=22 ， BC=B'C'=1 ，
∴AB=OC=1+(22)2=3 , ∴ 原图形周长为8.
故答案为：B.
【分析】逆用斜二测画法，把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形.
8.点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( ?????)
A.?梯形???????????????????????B.?空间四边形???????????????????????C.?正方形???????????????????????D.?有一内角为60o的菱形
【答案】 C
【解析】【分析】如图所示：因为点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，所以EF∥HG∥=12AC,EH∥FG∥=12BD,所以，EF=FG=GH=HE,并且所成角为直角，所以四边形为正方形.
9.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】 A
【解析】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确；
对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；
对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；
对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；
∴只有命题①正确．
故答案为：A．
【分析】利用斜二测画法规则，棱柱与正棱锥的结构特征，二面角的概念分别判断各选项，即可得到正确命题的个数 .
10.已知一个四棱锥的三视图如图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（?? ）
A.?4 5???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.?4 2???????????????????????????????????????D.?4
【答案】 B
【解析】解：由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，由题意得，
直角梯形的直角边为：1,2，高为4，棱锥的高为4，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱长最长，即底面梯形下底边最小角的顶点与棱锥顶点的连线，故最长的棱的的长度为：42+22+42=6
故答案为：B
【分析】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱的长度就可以了。