8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.3简单几何体的表面积与体积
【基础梳理】
要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=falseSh
棱台：台体的上、下底面面积分别为false，false,高为h，则false
要点二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
表面积
圆柱表面积：false（r是底面半径，l是母线长）
2.圆锥表面积：false=false（r是底面半径，l是母线长）
3.圆台表面积：false（false分别是上、下底面半径，false是母线长）
4.球的表面积和体积：false
体积
（1）圆柱体积：false（r是底面半径，h是高）
（2）圆锥体积：false（r是底面半径，h是高）
（3）圆台体积：false（false分别是上、下底面半径，false是高）
（4）球的体积：false
【课堂探究】
例1.已知棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，E为DC中点，F在线段 D1C1 上运动，则三棱锥 F?ADE 的外接球的表面积最小值为（?? ）
A.?14π????????????????????????????????????B.?9π????????????????????????????????????C.?54564π????????????????????????????????????D.?52564π
例2《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（??? ）立方丈
A.?1334π???????????????????????????B.?13348π???????????????????????????C.?1331334π???????????????????????????D.?13313348π
【课后练习】
1.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（??? ）
A.?12π?????????????????????????????????????B.?24π?????????????????????????????????????C.?36π?????????????????????????????????????D.?144π
2.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（??? ）
A.?2π??????????????????????????????????????B.?3π??????????????????????????????????????C.?π??????????????????????????????????????D.?23π
3.底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是（??? ）
A.?22π3?????????????????????????????????B.?3π3?????????????????????????????????C.?26π?????????????????????????????????D.?6π
4.已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为（??? ）
A.?9π??????????????????????????????????????B.?18π??????????????????????????????????????C.?27π??????????????????????????????????????D.?54π
5.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，表面积为108，则a等于（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
6.把边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当直线 BD 和平面 ABC 所成的角为 60? 时，三棱锥 D?ABC 的体积为(??? )
A.?823?????????????????????????????????B.?463?????????????????????????????????C.?863?????????????????????????????????D.?1623
7.三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为 ?1 ， ?2 ， ?3 ，则它们的大小关系正确的是（?? ）
A.??2>?1>?3??????????????????????B.??1>?2>?3??????????????????????C.??3>?2>?1??????????????????????D.??2>?3>?1
8.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是(?? )
A.?16??????????????????????????????????????????B.?13??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?1
9.一个装有水的圆柱形玻璃杯的内半径为 3cm ，将一个玻璃球完全浸入水中，杯中水上升了 0.5cm ，则玻璃球的半径为（??? ）
A.?1cm???????????????????????????????????B.?1.5cm???????????????????????????????????C.?2cm???????????????????????????????????D.?2.5cm
10.如图所示，用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为 4π3 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（??? ）
A.?2?12????????????????????????????????B.?2+12????????????????????????????????C.?6?12????????????????????????????????D.?3?12
高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.3简单几何体的表面积与体积
【基础梳理】
要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=falseSh
棱台：台体的上、下底面面积分别为false，false,高为h，则false
要点二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
表面积
圆柱表面积：false（r是底面半径，l是母线长）
2.圆锥表面积：false=false（r是底面半径，l是母线长）
3.圆台表面积：false（false分别是上、下底面半径，false是母线长）
4.球的表面积和体积：false
体积
（1）圆柱体积：false（r是底面半径，h是高）
（2）圆锥体积：false（r是底面半径，h是高）
（3）圆台体积：false（false分别是上、下底面半径，false是高）
（4）球的体积：false
【课堂探究】
例1.已知棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，E为DC中点，F在线段 D1C1 上运动，则三棱锥 F?ADE 的外接球的表面积最小值为（?? ）
A.?14π????????????????????????????????????B.?9π????????????????????????????????????C.?54564π????????????????????????????????????D.?52564π
【答案】 C
【解析】取 AE 的中点 O1 ，易知 O1 为 Rt△ADE 的外心，取 D1C1 的中点 P ，连接 A1P ，取 A1P 的中点 Q ，连接 O1Q ，
由正方体的性质可得 O1Q⊥ 平面 ABCD ，
则三棱锥 F?ADE 的外接球球心 O 在直线 O1Q 上，连接 OF ，
取 D1P 的中点 H ，连接 OH 、 QH ，
由中位线的性质可得 QH//A1D1 且 QH=12A1D1=1 ，
所以 QH⊥D1C1 ，所以 D1C1⊥ 平面 QHO ， D1C1⊥OH ，
若要使三棱锥 F?ADE 的外接球的表面积最小，则要使其半径即 OF 最小，
易知当 OF⊥D1C1 即点 F 与 H 重合时， OF 最小，
设 O1O=m ，由题意 O1E=52 ， O1Q=2 ，
则 OE2=O1E2+O1O2=54+m2 ， OH2=OQ2+QH2=(2?m)2+1 ，
由 OE2=OH2 可得 54+m2=(2?m)2+1 ，化简可得 m=1516 ，
此时，三棱锥 F?ADE 的外接球的半径 R 满足 R2=OE2=54+m2=545256 ，
所以三棱锥 F?ADE 的外接球的表面积最小值 Smin=4πR2=4π?545256=54564π .
故答案为：C.
【分析】取 AE 的中点 O1 ，易知 O1 为 Rt△ADE 的外心，取 D1C1 的中点P，连接 A1P ，取 A1P 的中点Q，连接 O1Q ，由正方体的性质可得三棱锥 F?ADE 的外接球球心O在直线 O1Q 上，连接 OF ，取 D1P 的中点H，连接 OH 、 QH ，易知当 OF⊥D1C1 即点 F 与 H 重合时， OF 即外接球半径最小，设 O1O=m ，根据 OE2=OH2 求得 m=1516 ，进而可求得外接球半径，即可得解.
例2《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（??? ）立方丈
A.?1334π???????????????????????????B.?13348π???????????????????????????C.?1331334π???????????????????????????D.?13313348π
【答案】 D
【解析】因为该长方体的粮仓可装粟一万斛，1斛的体积为2.7立方尺
所以该长方体的体积为 2.7×10000=27000 立方尺
所以该长方体的高为 2700045×30=20 尺
因为长方体的外接球直径为其体对角线
所以长方体的外接球半径 R=452+302+2022=51332 尺
所以体积为 4π3R3=125×1331336π 立方尺，即为 13313348π 立方丈
故答案为：D
【分析】由条件先算出长方体的体积，然后可得出长方体的高，然后再算出长方体的外接球半径即可.
【课后练习】
1.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（??? ）
A.?12π?????????????????????????????????????B.?24π?????????????????????????????????????C.?36π?????????????????????????????????????D.?144π
【答案】 A
【解析】解：因为正方体的外接球的直径 2R=a2+a2+a2=3a ，
所以棱长为2的正方体外接球的直径 2R=22+22+22=23 ，
所以该球的表面积 4πR2=12π ，
故答案为：A.
【分析】利用正方体与球的位置关系，从而推出正方体的体对角线等于球的直径，再利用勾股定理求出球的直径，进而求出球的半径，再利用球的表面积公式，从而求出球的表面积。
2.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（??? ）
A.?2π??????????????????????????????????????B.?3π??????????????????????????????????????C.?π??????????????????????????????????????D.?23π
【答案】 A
【解析】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，
所以该圆锥底面半径为1，母线长为2，
所以该图锥的侧面积为 S侧=π×1×2=2π .
故答案为：A.
【分析】由题可知圆锥底面半径为1，母线长为2，即可直接计算侧面积.
3.底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是（??? ）
A.?22π3?????????????????????????????????B.?3π3?????????????????????????????????C.?26π?????????????????????????????????D.?6π
【答案】 A
【解析】因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，
所以圆锥的高 ?=32?12=22 ，
所以圆锥的体积为 V=13S底??=13(π×12)×22=22π3 .
故答案为：A.
【分析】由圆锥的底面半径为1，母线长为3，可知圆锥的高 ?=32?12 ，进而结合圆锥的体积 V=13S底?? ，计算即可.
4.已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为（??? ）
A.?9π??????????????????????????????????????B.?18π??????????????????????????????????????C.?27π??????????????????????????????????????D.?54π
【答案】 C
【解析】解：设该圆柱的底面圆的半径为 r ，
由题意得： 2πr?=18π ，
解得： r=3 ，
故该圆柱的体积为 V=πr2?=27π .
故答案为：C.
【分析】本题先求 r=3 ，再求圆柱的体积即可.
5.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，表面积为108，则a等于（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】 D
【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，则长方体的表面积为 3×4×2+2×4a+2×3a=108 ，解得a=6，
故答案为：D
【分析】利用长方体表面积的计算方法直接计算即可.
6.把边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当直线 BD 和平面 ABC 所成的角为 60? 时，三棱锥 D?ABC 的体积为(??? )
A.?823?????????????????????????????????B.?463?????????????????????????????????C.?863?????????????????????????????????D.?1623
【答案】 C
【解析】取 AC 的中点 O ，连接 BO,DO ，作 DM⊥BO
∵AD=DC ， AB=BC ??? ∴AC⊥DO ， AC⊥BO
∵BO,DO? 平面 BOD ， BO∩DO=O ??? ∴AC⊥ 平面 BOD
∵DM? 平面 BOD ??? ∴DM⊥AC
又 DM⊥BO ， BO,AC? 平面 ABC ， BO∩AC=O ?? ? ∴DM⊥ 平面 ABC
∴BD 与平面 ABC 所成角即为 ∠DBO ，则 ∠DBO=60?
∵DO=BO ??? ∴ΔDBO 为等边三角形
∵BO=DO=12×16+16=22 ??? ∴DM=6
∴VD?ABC=13SΔABC?DM=13×12×4×4×6=863
故答案为：C
【分析】取 AC 的中点 O ，作 DM⊥BO ，结合等腰三角形三线合一、线面垂直判定定理可证得 AC⊥ 平面 BOD ，由线面垂直性质证得 BM⊥AC ；根据线面垂直判定定理和线面角的定义可知 ∠DBO=60? ，由此可确定 DM 的长，即所求三棱锥的高；由棱锥体积公式计算可得结果.
7.三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为 ?1 ， ?2 ， ?3 ，则它们的大小关系正确的是（?? ）
A.??2>?1>?3??????????????????????B.??1>?2>?3??????????????????????C.??3>?2>?1??????????????????????D.??2>?3>?1
【答案】 A
【解析】解：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为 ?2 ，最低为 ?3 .
故答案为：A.
【分析】观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为 h2 ， 最低为 h3 .
8.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是(?? )
A.?16??????????????????????????????????????????B.?13??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?1
【答案】 A
【解析】∵ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，
∴三棱锥D1－ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，
高D1D=1，
∴三棱锥D1－ACD的体积为 V=13×12×1×1×1=16 ．
故答案为：A．
【分析】根据三棱锥的体积公式直接求得。
9.一个装有水的圆柱形玻璃杯的内半径为 3cm ，将一个玻璃球完全浸入水中，杯中水上升了 0.5cm ，则玻璃球的半径为（??? ）
A.?1cm???????????????????????????????????B.?1.5cm???????????????????????????????????C.?2cm???????????????????????????????????D.?2.5cm
【答案】 B
【解析】由设玻璃球的体积为 V1 ，水上升的体积为 V2 ，则有 V1=V2 ，设玻璃球的半径为 r ，
则有 43πr3=π?32?0.5 ，可得 r3=92×34=278 ，所以 r=32=1.5 ，则玻璃球的半径为 1.5cm
故答案为：B
【分析】利用球的体积等于水上升的体积即可求解.
10.如图所示，用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为 4π3 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（??? ）
A.?2?12????????????????????????????????B.?2+12????????????????????????????????C.?6?12????????????????????????????????D.?3?12
【答案】 D
【解析】因为蛋巢的底面是边长为 1 的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为 1 ，又因为鸡蛋的体积为 4π3 ，所以球的半径为 1 ，所以球心到截面的距离 d=1?14=32 ，而截面到球体最低点距离为 1?32 ，而蛋巢的高度为 12 ，故球体到蛋巢底面的最短距离为 12?(1?32)=3?12 .
故答案为：D
【分析】 根据题意由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案．