8.5空间直线、平面的平行-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.5空间直线、平面的平行
【基础梳理】
要点一、直线与直线平行
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
要点二、直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：false
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：false
要点三、平面与平面平行
判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言：false
性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言：false
【课堂探究】
例1.下列说法中，不正确是（??? ）
A.?平行于同一个平面的两平面平行
B.?一条直线与两个平行平面中的一个相交，必定与另一个也相交
C.?平行于同一条直线的两个平面平行
D.?一个平面与两条均不在该平面内的平行直线中的一条平行，必定与另一条也平行
例2如图，长方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB=BC=4 ， BB1=22 ，点 E ， F ， M 分别为 A1B1 ， A1D1 ， B1C1 的中点，过点 M 的平面 α 与平面 AEF 平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（??? ）
A.?65???????????????????????????????????????B.?66???????????????????????????????????????C.?12???????????????????????????????????????D.?24
【课后练习】
1.如果直线l的方向向量是 a=(?2,0,1) ，且直线l上有一点P不在平面 α 内，平面 α 的法向量是 b=(2,0,4) ，那么（??? ）.
A.?直线l与平面 α 垂直 B.?直线l与平面 α 平行
C.?直线l在平面 α 内 D.?直线l与平面 α 相交但不垂直
2.在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3) ， ， C(3,2,1) ， D(4,3,0) ，则直线 AB 与 CD 的位置关系是（???? ）
A.?垂直????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?相交但不垂直
3.设 α ， β 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下结论正确的是（??? ）
A.?若 l⊥α ， α//β ，则 l⊥β
B.?若 l//α ， l//β ，则 α//β
C.?若 l⊥α ， α⊥β ，则 l?β
D.?若 l//α ， α⊥β ，则 l⊥β
4.已知平面 α ，直线 m ， n 满足 m?α ， n?α ，则“ m//n ”是“ m//α ”的 ( ? )
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
5.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， BD1 与 B1C 是（??? ）
A.?相交直线???????????????????????B.?平行直线???????????????????????C.?异面直线???????????????????????D.?相交且垂直的直线
6.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(??? )
A.?1条或2条????????????????????????B.?2条或3条????????????????????????C.?1条或3条????????????????????????D.?1条或2条或3条
7.正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1 的中点．那么，正方体的过 P,Q,R 的截面图形是（? ）
A.?三角形????????????????????????????????B.?四边形????????????????????????????????C.?五边形????????????????????????????????D.?六边形
8.过平面外一条直线作平面的平行平面( ??)
A.?必定可以并且只可以作一个??????????B.?至少可以作一个??????????C.?至多可以作一个??????????D.?一定不能作
9.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 AB// 平面 MNP 的图形的序号是（??? ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?②④
10.在棱长为1的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， E,F 分别为 AB 和 DD1 的中点，经过点 B1 ，E，F的平面 α 交 AD 于 G ，则 AG= （?? ）
A.?13??????????????????????????????????????????B.?14??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?23
高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.5空间直线、平面的平行
【基础梳理】
要点一、直线与直线平行
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
要点二、直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：false
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：false
要点三、平面与平面平行
判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言：false
性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言：false
【课堂探究】
例1.下列说法中，不正确是（??? ）
A.?平行于同一个平面的两平面平行
B.?一条直线与两个平行平面中的一个相交，必定与另一个也相交
C.?平行于同一条直线的两个平面平行
D.?一个平面与两条均不在该平面内的平行直线中的一条平行，必定与另一条也平行
【答案】 C
【解析】解：A项，由面面平行的判定定理可得：平行于同一个平面的两个平面平行.A表述正确.
B项，利用反证法可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.B表述正确.
C项，平行于同一直线的两个平面平行或者相交.C表述不正确.
D项，根据平行的传递性，一个平面与两条均不在该平面内的平行直线中的一条平行，必定与另一条也平行.D表述正确.
故答案为：C.
【分析】根据空间直线与平面平行的判定和性质定理和空间平面与平面平行的判定和性质定理判定，即可得到答案。
例2如图，长方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB=BC=4 ， BB1=22 ，点 E ， F ， M 分别为 A1B1 ， A1D1 ， B1C1 的中点，过点 M 的平面 α 与平面 AEF 平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（??? ）
A.?65???????????????????????????????????????B.?66???????????????????????????????????????C.?12???????????????????????????????????????D.?24
【答案】 A
【解析】取 C1D1 中点 N ，连 MN,BM,BD,DN,B1D1 ，
∵ 点 E ， F ， M 分别为 A1B1 ， A1D1 ， B1C1 的中点，
∴EF//MN//B1D1,EF=MN=12B1D1, ?
由长方体 AC1,∴BD//B1D1,∴MN//BD ，
? ∴MN,BD 确定平面 MNDB ，
∴EF//MN,EF? 平面 MNDB ， MN? 平面 MNDB ，
∴EF// 平面 MNDB ，同理可证 AF// 平面 MNDB ，
EF∩AF=F,EF,AF? 平面 AEF ，
∴ ?平面 AEF// 平面 MNDB ，平面 MNDB 即为所求的平面 α ，
? MN=12B1D1=12BD=22,BM=DN=23 ，
平面 α 与长方体交线围成的图形是等边梯形 MNDB
等腰梯形的高为 12?2=10 ，
面积为 12?(22+42)?10=65 .
故答案为：A
【分析】过点 M 作两条相交的直线与平面 AEF 平行，这两条相交线确定平面 α ，作出平面 α 与长方体的交线，可得交线围成图形为等腰梯形，求出等腰梯形的面积即可求解.
【课后练习】
1.如果直线l的方向向量是 a=(?2,0,1) ，且直线l上有一点P不在平面 α 内，平面 α 的法向量是 b=(2,0,4) ，那么（??? ）.
A.?直线l与平面 α 垂直 B.?直线l与平面 α 平行
C.?直线l在平面 α 内 D.?直线l与平面 α 相交但不垂直
【答案】 B
【解析】因为直线l的方向向量是 a=(?2,0,1) ，平面 α 的法向量是 b=(2,0,4) ，
又因为 a?b=?4+0+4=0 ，所以直线l在平面 α 内或与平面 α 平行，又因为直线l上有一点P不在平面 α 内，所以直线l与平面 α 平行.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量得出向量 a→ 和向量 b→ 的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以直线l在平面 α 内或与平面 α 平行，又因为直线l上有一点P不在平面 α 内，所以得出直线l与平面 α 的位置关系，从而找出正确答案。
2.在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3) ， ， C(3,2,1) ， D(4,3,0) ，则直线 AB 与 CD 的位置关系是（???? ）
A.?垂直????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?相交但不垂直
【答案】 B
【解析】因为 A(1,2,3) ， B(?2,?1,6) ， C(3,2,1) ， D(4,3,0) ，所以, AB=(?3,?3,3),CD=(1,1,?1) ,可得 AB=?3CD ，所以 AB∥CD ，线 AB 与 CD 的位置关系是平行，故答案为：B．
【分析】首先由空间向量共线的坐标公式求出向量的坐标再由平行向量坐标的关系计算出结果即可。
3.设 α ， β 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下结论正确的是（??? ）
A.?若 l⊥α ， α//β ，则 l⊥β
B.?若 l//α ， l//β ，则 α//β
C.?若 l⊥α ， α⊥β ，则 l?β
D.?若 l//α ， α⊥β ，则 l⊥β
【答案】 A
【解析】A. 若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面，A符合题意.
B. 若 α∩β=m ，若 l//m ， l//m 且直线 l 不在平面 α，β 内，
此时满足 l//α ， l//β ，但此时 α∩β ，B不正确.
C. 若 l⊥α ， α⊥β ，则直线 l 可能有 l?β ，也可能有 l//β ，C不正确.
D. 若 l//α ， α⊥β ,则直线 l 可能在平面 β 内，可能与平面 β 相交，也可能 l//β ，D不正确.
故答案为：A
【分析】利用直线与平面以及面面之间的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
4.已知平面 α ，直线 m ， n 满足 m?α ， n?α ，则“ m//n ”是“ m//α ”的 ( ? )
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】解： ∵m?α ， n?α ，
∴ 当 m//n 时， m//α 成立，即充分性成立，
当 m//α 时， m//n 不一定成立，即必要性不成立，
则“ m//n ”是“ m//α ”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
5.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， BD1 与 B1C 是（??? ）
A.?相交直线???????????????????????B.?平行直线???????????????????????C.?异面直线???????????????????????D.?相交且垂直的直线
【答案】 C
【解析】由图形可知， BD1 与 B1C 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故答案为：C.
【分析】根据异面直线的概念可判断出 BD1 与 B1C 是异面直线.
6.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(??? )
A.?1条或2条????????????????????????B.?2条或3条????????????????????????C.?1条或3条????????????????????????D.?1条或2条或3条
【答案】 D
【解析】分类讨论：
当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；
当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线；
当β∩γ=b，α∩β=a，α∩γ=c时，有3条交线，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而求出这三个平面可能的交线的情况。
7.正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1 的中点．那么，正方体的过 P,Q,R 的截面图形是（? ）
A.?三角形????????????????????????????????B.?四边形????????????????????????????????C.?五边形????????????????????????????????D.?六边形
【答案】 D
【解析】延长QP，CB交于V，连接RV，交BB1于S．
作RT∥PQ，交C1D1于M．延长PQ，CD交于T，连接TM，交DD1于N．
如图所示：
正方体过P、Q、R的截面图形是六边形，且是边长是正方体棱长的 22 倍的正六边形．
故答案为：D
【分析】由正方体的性质得出截面图形为六边形，再由边长的值结合勾股定理即可得出六个边的边长相等进而得出该图形为正六边形。
8.过平面外一条直线作平面的平行平面( ??)
A.?必定可以并且只可以作一个??????????B.?至少可以作一个??????????C.?至多可以作一个??????????D.?一定不能作
【答案】 C
【解析】因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行．①当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；②当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．综上可得所能作的平面至多有一个。
故答案为：C。
【分析】考查平面平行的性质，结合想象能力和生活实际，即可得出答案。
9.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 AB// 平面 MNP 的图形的序号是（??? ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?②④
【答案】 C
【解析】对于①，连接 AC 如图所示，由于 MN//AC,NP//BC ，根据面面平行的性质定理可知平面 MNP// 平面 ACB ，所以 AB// 平面 MNP .
对于②，连接 BC 交 MP 于D，由于N是 AC 的中点，D不是 BC 的中点，所以在平面 ABC 内 AB 与 DN 相交，所以直线 AB 与平面 MNP 相交.
对于③，连接 CD ，则 AB//CD ，而 CD 与 PN 相交，即 CD 与平面 PMN 相交，所以 AB 与平面 MNP 相交.
对于④，连接 CD ，则 AB//CD//NP ，由线面平行的判定定理可知 AB// 平面 MNP .
综上所述，能得出 AB// 平面 MNP 的图形的序号是①④.
故答案为：C
【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.
10.在棱长为1的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， E,F 分别为 AB 和 DD1 的中点，经过点 B1 ，E，F的平面 α 交 AD 于 G ，则 AG= （?? ）
A.?13??????????????????????????????????????????B.?14??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?23
【答案】 D
【解析】平面 B1EF 与平面 CC1D1D 的交线与 B1E 平行，即过 F 作 B1E 的平行线交 C1D1 于 H ，连接 B1H ，过 E 作 EG∥B1H 交 AD 于 G ，由比例关系， H 为 C1D1 的四等分点，从而 G 为 AD 的三等分点，故而 AG=23 ．
故答案为：D．
【分析】由面面平行的性质定理可得平面 B1EF 与平面 CC1D1D 的交线与 B1E 平行，过F作 B1E 的平行线交 C1D1 于 H ，连接 B1H ，过E作 EG∥B1H 交 AD 于G，由比例关系可得所求值.