8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
【基础梳理】
要点一、三个基本事实
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
要点二、三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
要点三、空间中直线与直线的位置关系
异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
要点四、空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面平行——没有公共点
要点五、空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行——没有公共点
两个平面相交——有一条公共直线
【课堂探究】
例1.有以下三种说法，其中正确的是(?? )
①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；
②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；
③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b?α，则a平行于经过b的任何平面.
A.?①②??????????????????????????????????????B.?①③??????????????????????????????????????C.?②③??????????????????????????????????????D.?①
例2如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ， 则直线EF是平面ACD1与( ??)
A.?平面BDB1的交线???????????B.?平面BDC1的交线???????????C.?平面ACB1的交线???????????D.?平面ACC1的交线
【课后练习】
1.已知m，n是空间中两条不同的直线， α ， β 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（??? ）
A.?若 m?α ，则 m⊥β?????????????????????????????????????????B.?若 m?α ， n?β ，则 m⊥n
C.?若 m?α ， m⊥β ，则 m//a?????????????????????????D.?若 α∩β=m ， n⊥m ，则 n⊥a
2.已知平面 α 和 α 外的一条直线 l ，下列说法不正确的是（??? ）
A.?若l垂直于 α 内的两条平行线，则 l⊥α??????????????B.?若l平行于 α 内的一条直线，则 l//α
C.?若l垂直于 α 内的两条相交直线，则 l⊥α???????????D.?若l平行于 α 内的无数条直线，则 l//α
3.已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（?? ）
A.?b?平面α?????????????????B.?b⊥平面α?????????????????C.?b∥平面α?????????????????D.?b与平面α相交，或b∥平面α
4.直线a与平面α不垂直，则下列说法正确的是（?? ）
A.?平面α内有无数条直线与直线a垂直?????????????????????B.?平面α内有任意一条直线与直线a不垂直
C.?平面α内有且只有一条直线与直线a垂直??????????????D.?平面α内可以找到两条相交直线与直线a垂直
5.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，直线 A1C1 与平面 DBB1D1 所成的角为（?? ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.??90°
6.在下列命题中，不是公理的是（?? ）
A.?经过两条相交直线有且只有一个平面
B.?平行于同一直线的两条直线互相平行
C.?如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
D.?如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
7.如图，在三棱锥S－ABC中，G1 ， G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是(　　)
A.?相交????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?以上都有可能
8.已知直线α∥平面α ， P∈α ， 那么过点P且平行于直线α的直线(?? )
A.?只有一条，不在平面α内?????????????????????????????????????B.?有无数条，不一定在α内
C.?只有一条，且在平面α内?????????????????????????????????????D.?有无数条，一定在α内
9.在空间四边形 ABCD 的各边 AB、BC、CD、DA 上的依次取点 E、F、G、H ，若 EH、FG 所在直线相交于点 P ，则（??? ）
A.?点 P 必在直线 AC 上?????????????????????????????????????????B.?点 P 必在直线 BD 上
C.?点 P 必在平面 DBC 外??????????????????????????????????????D.?点 P 必在平面 ABC 内
10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
【基础梳理】
要点一、三个基本事实
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
要点二、三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
要点三、空间中直线与直线的位置关系
异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
要点四、空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面平行——没有公共点
要点五、空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行——没有公共点
两个平面相交——有一条公共直线
【课堂探究】
例1.有以下三种说法，其中正确的是(?? )
①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；
②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；
③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b?α，则a平行于经过b的任何平面.
A.?①②??????????????????????????????????????B.?①③??????????????????????????????????????C.?②③??????????????????????????????????????D.?①
【答案】 D
【解析】①正确，若在α内存在一条直线b，使a∥b，则a∥α与“a与平面α相交”矛盾，故①正确；②错误，反例如图(1)所示；③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内.
故答案为：D
【分析】由空间中直线与平面之间的位置关系可以判断①正确.
例2如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ， 则直线EF是平面ACD1与( ??)
A.?平面BDB1的交线???????????B.?平面BDC1的交线???????????C.?平面ACB1的交线???????????D.?平面ACC1的交线
【答案】 B
【解析】连接BC1.因为E∈DC1 ， F∈BD，所以EF?平面BDC1 ， 故EF=平面ACD1∩平面BDC1.
故答案为：B.
【分析】利用公理2，即可得出结论。
【课后练习】
1.已知m，n是空间中两条不同的直线， α ， β 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（??? ）
A.?若 m?α ，则 m⊥β?????????????????????????????????????????B.?若 m?α ， n?β ，则 m⊥n
C.?若 m?α ， m⊥β ，则 m//a?????????????????????????D.?若 α∩β=m ， n⊥m ，则 n⊥a
【答案】 C
【解析】对于A，直线m与平面 β 可能垂直，也可能平行或m在平面 β 内，A不正确；
对于B，直线m与n平行、异面或相交，B不正确；
对于C， m⊥β ，则 m//a 或 m?α ，又 m?α ，所以 m//a ，C符合题意；
对于D，缺少条件 n?β ，D不正确；
故答案为：C
【分析】利用直线与平面的位置关系逐一判断即可.
2.已知平面 α 和 α 外的一条直线 l ，下列说法不正确的是（??? ）
A.?若l垂直于 α 内的两条平行线，则 l⊥α??????????????B.?若l平行于 α 内的一条直线，则 l//α
C.?若l垂直于 α 内的两条相交直线，则 l⊥α???????????D.?若l平行于 α 内的无数条直线，则 l//α
【答案】 A
【解析】若l垂直于 α 内的两条相交直线，则 l⊥α ，A错误，符合题意；C正确，不符合题意；
若l平行于 α 内的一条直线，则 l//α ，B正确，不符合题意；
若l平行于 α 内的无数条直线，则 l//α ，D正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
3.已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（?? ）
A.?b?平面α?????????????????B.?b⊥平面α?????????????????C.?b∥平面α?????????????????D.?b与平面α相交，或b∥平面α
【答案】 D
【解析】∵两条相交直线a，b，a∥平面α，
∴b与平面α相交，或b∥平面α
故答案为：D.
【分析】若b?平面α，那么a∥b，与直线a，b相交矛盾.
4.直线a与平面α不垂直，则下列说法正确的是（?? ）
A.?平面α内有无数条直线与直线a垂直?????????????????????B.?平面α内有任意一条直线与直线a不垂直
C.?平面α内有且只有一条直线与直线a垂直??????????????D.?平面α内可以找到两条相交直线与直线a垂直
【答案】 A
【解析】解：由直线a与平面α不垂直，知：
在A中，平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故A正确；
在B中，平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故B错误；
在C中，平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故C错误；
在D中，平面α内没有两条相交直线与直线a垂直，故D错误．
故答案为：A．
【分析】根据直线与平面垂直的定义可知，若平面外一条直线与平面内两条直线都垂直，则该直线与平面垂直。直线a与平面α不垂直，可能α?α或α∥α，平面内有无数条平行线与a垂直。
5.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，直线 A1C1 与平面 DBB1D1 所成的角为（?? ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.??90°
【答案】 D
【解析】如图所示，由正方体的性质可得： DD1⊥平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1 ，上顶面为正方形，则 A1C1⊥B1D1，且DD1B1D1=D1 ，
利用线面垂直的判断定理可得： A1C1⊥平面DBB1D1 ,
则直线 A1C1与平面DBB1D1 所成的角为90 0 .
故答案为：D.
【分析】根据题意利用线面角的定义结合线面垂直即可求出结果。
6.在下列命题中，不是公理的是（?? ）
A.?经过两条相交直线有且只有一个平面
B.?平行于同一直线的两条直线互相平行
C.?如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
D.?如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】 A
【解析】解：对于A，经过两条相交直线有且只有一个平面，是公理2的推理，不是公理；
对于B，平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理；
对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理1；
对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，是公理3．
故选：A．
【分析】根据空间中平面的基本公理与推论，对选项中的命题进行分析、判断即可．
7.如图，在三棱锥S－ABC中，G1 ， G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是(　　)
A.?相交????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?以上都有可能
【答案】 B
【解析】因为G1 ， G2分别是△SAB和△SAC的重心，所以,所以。又因为M、N分别为AB、AC的中点，所以MN//BC，所以。
【分析】我们要掌握重心性质:若G1为△SAB的重心，M为AB中点，则。
8.已知直线α∥平面α ， P∈α ， 那么过点P且平行于直线α的直线(?? )
A.?只有一条，不在平面α内?????????????????????????????????????B.?有无数条，不一定在α内
C.?只有一条，且在平面α内?????????????????????????????????????D.?有无数条，一定在α内
【答案】 C
【解析】假设过点P且平行于a的直线有两条m与n,所以m∥a且n∥a，由平行公理4得m∥n。这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，又因为点P在平面内，所以点P且平行于a的直线有一条且在平面内,所以假设错误．故选C．
【分析】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
9.在空间四边形 ABCD 的各边 AB、BC、CD、DA 上的依次取点 E、F、G、H ，若 EH、FG 所在直线相交于点 P ，则（??? ）
A.?点 P 必在直线 AC 上?????????????????????????????????????????B.?点 P 必在直线 BD 上
C.?点 P 必在平面 DBC 外??????????????????????????????????????D.?点 P 必在平面 ABC 内
【答案】 B
【解析】如图：连接EH、FG、BD，
∵EH、FG所在直线相交于点P，
∴P∈EH且P∈FG，
∵EH?平面ABD，FG?平面BCD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，
由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，
故答案为：B．
【分析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上．
10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】 B
【解析】AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值,即AC1与平面ABCD的夹角的正弦值；连接AC，以为长方体中， CC1⊥面ABCD, 所以 CC1⊥AC ，故线面角即角 C1AC ，正弦值为 CC1AC1 ， AC1=1+22+22=3 ， CC1AC1=13.
故答案为：B.
【分析】本题利用长方体的结构特征结合已知条件找出线面角，再利用直角三角形的正弦值的求解方法求出线面角。