7.1复数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第七章复数（人教A版2019）
7.1复数的概念
【基础梳理】
要点一、复数的概念
我们把形如falsefalse的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.
全体复数梭构成的集合C=false叫做复数集，其中false
复数的分类
对于复数false【a，bfalse】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R,是复数集C的真子集，即false.
复数相等的充要条件
在复数集C=false中任取两个数false，false【a，b，c，d∈R】，
规定：false与false相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
要点二、复数的几何意义
复数z=a+bifalse.这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义---与向量对应
复数z=a+bifalse,这是复数的另一种几何意义.
复数的模和共轭复数
1.向量false模叫做复数z=false,的模或绝对值，记作false或false.即false=false=false，其中a,b∈R，false表示复平面内的点Zfalse到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=false是一个实数a，它的模就等于falsefalse.
共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用false表示，即如果z=a+bi,那么false=a-bi.
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
【课堂探究】
例1.以 2i?5 的虚部为实部，以 5i+2i2 的实部为虚部的新复数是（?? ）
A.?2﹣2i?????????????????????????????B.?2+i?????????????????????????????C.?﹣ 5 + 5i?????????????????????????????D.?5 + 5 i
例2已知z∈C，满足不等式 zz+iz?iz<0 的点Z的集合用阴影表示为（?? ）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【课后练习】
1.已知复数 z=(1?i)?m(1+i) 是纯虚数，则实数 m= （??? ）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?1
2.已知 i 是虚数单位， i?z=2+i ，则复数 z 的共轭复数的模是（??? ）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?3
3.已知i为虚数单位，复数 z=sin7π6?icos7π6 ，则z在复平面内对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
4.已知复数 z=(a2?1)+(a?2)i(a∈R) ，则“ a=1 ”是“ z 为纯虚数”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
5.已知复数 (2+ai)(3+i) 在复平面内对应的点在直线 y=x 上，则实数 a= （??? ）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
6.已知 m,n∈R ， i 是虚数单位，若 (m?i)(1+i)=ni ，则 |m?ni|= （???? ）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?1
7.欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数 z=eiπ?i ，则 |z|= （??? ）.
A.?22???????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????D.?22
8.设 z1,z2 是复数，则下列命题中的假命题是（?? ）
A.?若 |z1?z2|=0 ，则 z1=z2?????????????????????????????????B.?若 z1=z2 ，则 z1=z2
C.?若 |z1|=|z2| ，则 z1?z1=z2?z2????????????????????????????D.?若 |z1|=|z2| ，则 z12=z22
9.已知 x,y∈R ， i 为虚数单位，若 1+xi=(2?y)?3i ，则 |x+yi|= （?? ）
A.?10????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?5????????????????????????????????????????D.?2
10.给出下列命题 ①实数的共轭复数一定是实数；
②满足|z﹣i|+|z+i|=2的复数z的轨迹是椭圆；
③若m∈Z，i2=﹣1，则im+im+1+im+2+im+3=0；
④若“a，b，c是不全相等的实数”，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；
⑤若“a，b，c是不全相等的实数”，a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立
其中正确命题的序号是（?? ）
A.?①②③????????????????????????????????B.?①③④????????????????????????????????C.?②③⑤????????????????????????????????D.?③④⑤
高中数学必修第二册第七章复数（人教A版2019）
7.1复数的概念
【基础梳理】
要点一、复数的概念
我们把形如falsefalse的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.
全体复数梭构成的集合C=false叫做复数集，其中false
复数的分类
对于复数false【a，bfalse】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R,是复数集C的真子集，即false.
复数相等的充要条件
在复数集C=false中任取两个数false，false【a，b，c，d∈R】，
规定：false与false相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
要点二、复数的几何意义
复数z=a+bifalse.这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义---与向量对应
复数z=a+bifalse,这是复数的另一种几何意义.
复数的模和共轭复数
1.向量false模叫做复数z=false,的模或绝对值，记作false或false.即false=false=false，其中a,b∈R，false表示复平面内的点Zfalse到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=false是一个实数a，它的模就等于falsefalse.
共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用false表示，即如果z=a+bi,那么false=a-bi.
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
【课堂探究】
例1.以 2i?5 的虚部为实部，以 5i+2i2 的实部为虚部的新复数是（?? ）
A.?2﹣2i?????????????????????????????B.?2+i?????????????????????????????C.?﹣ 5 + 5i?????????????????????????????D.?5 + 5 i
【答案】A
【解析】解： 2i?5 的虚部为2，以 5i+2i2 =﹣2+ 5 i的实部为﹣2， ∴要求的新复数是2﹣2i，
故选：A．
【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．
例2已知z∈C，满足不等式 zz+iz?iz<0 的点Z的集合用阴影表示为（?? ）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】C
【解析】解：设z=x+yi（x，y∈R），则 zz+iz?iz<0 ，化为x2+y2+xi﹣y﹣xi﹣y=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1＜0，即x2+（y﹣1）2＜1， 故选：C．
【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入 zz+iz?iz<0 ，化简即可得出．
【课后练习】
1.已知复数 z=(1?i)?m(1+i) 是纯虚数，则实数 m= （??? ）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?1
【答案】 D
【解析】 z=(1?i)?m(1+i)=1?m?(m+1)i ，因为 z 为纯虚数且 m 为实数，
故 {1?m=01+m≠0 ，故 m=1 ，
故答案为：D
【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。
2.已知 i 是虚数单位， i?z=2+i ，则复数 z 的共轭复数的模是（??? ）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】 C
【解析】据题意，得 z=2+ii=(2+i)ii2=?1+2i?1=1?2i ，所以 z 的共轭复数是 1+2i ，所以 |z|=5 ，
故答案为：C.
【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数求模公式，从而求出复数 z 的共轭复数的模。
3.已知i为虚数单位，复数 z=sin7π6?icos7π6 ，则z在复平面内对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
【答案】 B
【解析】由 sin7π6=sin(π+π6)=?sinπ6=?12,cos7π6=cos(π+π6)=?cosπ6=?32
即复数 z=sin7π6?icos7π6=?12+32i ，
所以复数对应的点为 (?12,32) 位于第二象限.
故答案为：B
【分析】根据三角函数的诱导公式，求得复数 z=?12+32i ，结合复数的几何意义，即可求解.
4.已知复数 z=(a2?1)+(a?2)i(a∈R) ，则“ a=1 ”是“ z 为纯虚数”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】复数 z=(a2?1)+(a?2)i 为纯虚数，则 a2?1=0 ，且 a?2≠0 ，解得 a=±1 ，所以“ a=1 ”
是“ z 为纯虚数”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】解出复数 z=(a2?1)+(a?2)i 为纯虚数a的取值范围，即可得解.
5.已知复数 (2+ai)(3+i) 在复平面内对应的点在直线 y=x 上，则实数 a= （??? ）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】 C
【解析】因为 (2+ai)(3+i)=6?a+(2+3a)i ，
所以对应的点为 (6?a,2+3a) ，
代入直线 y=x 可得 6?a=2+3a ，
解得 a=1 ，
故答案为：C
【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.
6.已知 m,n∈R ， i 是虚数单位，若 (m?i)(1+i)=ni ，则 |m?ni|= （???? ）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】 A
【解析】 ∵(m?i)(1+i)=(m+1)+(m?1)i=ni ， ∴{m+1=0m?1=n?{m=?1n=?2 ，
∴|m?ni|=|?1+2i|=1+22=5 .
故答案为：A
【分析】 (m?i)(1+i) 整理为 a+bi 的形式，根据复数相等的充要条件求出m、n，代入 |m?ni| 求模即可.
7.欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数 z=eiπ?i ，则 |z|= （??? ）.
A.?22???????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????D.?22
【答案】 C
【解析】解：由题意得， z=eiπ?i=cosπ+isinπ?i=?1?i ，
所以 |z|=(?1)2+(?1)2=2 ，
故答案为：C
【分析】先利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 求出 z=eiπ?i ，然后再求其模
8.设 z1,z2 是复数，则下列命题中的假命题是（?? ）
A.?若 |z1?z2|=0 ，则 z1=z2?????????????????????????????????B.?若 z1=z2 ，则 z1=z2
C.?若 |z1|=|z2| ，则 z1?z1=z2?z2????????????????????????????D.?若 |z1|=|z2| ，则 z12=z22
【答案】 D
【解析】对（A），若 |z1?z2|=0 ，则 z1?z2=0,z1=z2 ，所以 z1=z2 为真；
对（B）若 z1=z2 ，则 z1 和 z2 互为共轭复数，所以 z1=z2 为真；
对（C）设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i ，若 |z1|=|z2| ，则 a12+b12=a22+b22 ，
z1?z1=a12+b12,z2?z2=a22+b22 ，所以 z1?z1=z2?z2 为真；
对（D）若 z1=1,z2=i ，则 |z1|=|z2| 为真，而 z12=1,z22=?1 ，所以 z12=z22 为假。
故答案为：D．
【分析】利用复数相等的充要条件、复数的模和数量积的关系式、零向量的定义，从而求出假命题的选项。
9.已知 x,y∈R ， i 为虚数单位，若 1+xi=(2?y)?3i ，则 |x+yi|= （?? ）
A.?10????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?5????????????????????????????????????????D.?2
【答案】 A
【解析】 1+xi=(2?y)?3i ?{2?y=1x=?3 ?{x=?3y=1 ，则 |x+yi|=10 ，
故答案为：A．
【分析】利用 复数相等的充要条件可得方程组，可解得x,y的值，即可得到结果.
10.给出下列命题 ①实数的共轭复数一定是实数；
②满足|z﹣i|+|z+i|=2的复数z的轨迹是椭圆；
③若m∈Z，i2=﹣1，则im+im+1+im+2+im+3=0；
④若“a，b，c是不全相等的实数”，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；
⑤若“a，b，c是不全相等的实数”，a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立
其中正确命题的序号是（?? ）
A.?①②③????????????????????????????????B.?①③④????????????????????????????????C.?②③⑤????????????????????????????????D.?③④⑤
【答案】B
【解析】解：①实数的共轭复数一定是实数，正确； ②满足|z﹣i|+|z+i|=2的复数z的轨迹是线段，因此不正确；
③若m∈Z，i2=﹣1，则im+im+1+im+2+im+3=0，正确；
④若“a，b，c是不全相等的实数”，a﹣b，b﹣c，c﹣a必有一个不等于0，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0，正确；
⑤若“a，b，c是不全相等的实数”，a≠b，b≠c，c≠a可能同时成立，不正确．
其中正确命题的序号是①③④．
故选：B．
【分析】①利用共轭复数的定义即可判断出正误；
②满足|z﹣i|+|z+i|=2的复数z的轨迹是线段，即可判断出结论；
③利用复数的周期性即可判断出结论；
④若“a，b，c是不全相等的实数”，a﹣b，b﹣c，c﹣a必有一个不等于0，即可判断出结论；
⑤若“a，b，c是不全相等的实数”，a≠b，b≠c，c≠a可能同时成立，即可判断出结论．