8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（含答案）

高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.6空间直线、平面的垂直
【基础梳理】
要点一、直线与直线垂直
两条异面直线所成的角的定义
已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线false，false，把直线false，false所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角false必须是锐角或直角，即false的取值范围是false
要点二、直线与平面垂直
1.定义：一般地，如果直线false与平面false内的任意一条直线都垂直，我们就说直线false与平面false互相垂直，记作false
直线false叫做平面false的垂点，平面false叫做直线false的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
2.点到平面的距离
（1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
（2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
3.直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
false
4.直线与平面垂直性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
false
5.直线与平面、平面与平面之间的距离
（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离
6.直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面false相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面false引垂线 PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
7.直线与平面所成角的范围
(1）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
(2）直线与平面所成的角false的取值范围是0°≤0≤90°
(3)斜线与平面所成的角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.
要点三、平面与平面垂直
1.二面角
如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
二面角的记法
棱为AB,面分别为false的二面角记作二面角false
在false内（棱以外的半平面部分）分别取P,Q，将这个二面角记作二面角false
(3)如果棱记作false,那么这个二面角记作二面角false或二面角false
二面角的平面角
如图,在二面角false的棱false上任取一点O, 以点O为垂足,在半平面false和false内分别作垂直于棱false的射线OA和OB,则射线OA和 OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的度量
(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(2)二面角的平面角false的取值范围是false
2.平面与平面垂直
平面与平面垂直的定义
定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面false与false垂直,记作false
画法:画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
平面与平面垂直的判定及性质
自然语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面过另
个平面的垂线,那么这
两个平面垂直
false
性质
定理
两个平面垂直,如果一
个平面内有一直线垂
直于这两个平面的交
线,那么这条直线与另
一个平面垂直
false
【课堂探究】
例1.如图，在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD 是边 BC 上的高， PA⊥ 平面 ABC ，则图中直角三角形的个数是（? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
例2如图，正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，异面直线 A1D 与 BD1 所成角的正弦值等于(?? )
A.?12????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????????D.?1
【课后练习】
1.已知直线 a? 平面 α ，直线 b? 平面 α ，则“直线 m⊥α ”是“ m⊥a ，且 m⊥b ”的（??? ）
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
2.已知l，m为两条不同直线， α ， β 为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（??? ）
A.?若 l//m ， m?α ，则 l//α?????????????????????????????????B.?若 l⊥m ， m?α ，则 l⊥α
C.?若 α//β ， m?α ，则 m//β??????????????????????????????D.?若 α⊥β ， m?α ，则 m⊥β
3.正方体 ABCD?A′B′C′D′ 中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于 （ ??）
A.?A′C′??????????????????????????????????????B.?BD??????????????????????????????????????C.?A′D′??????????????????????????????????????D.?AA′
4.ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（? ）
A.?平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B.?它们都分别相交且互相垂直
C.?平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D.?平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
5.如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（? ）
??????
A.?3对???????????????????????????????????????B.?2对???????????????????????????????????????C.?1对???????????????????????????????????????D.?4对
6.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于（? ）
????A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
7.如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1 ， 则下列结论中不正确的是（??）
A.?EH∥FG???????????????????????B.?四边形EFGH是矩形???????????????????????C.?是棱台???????????????????????D.?是棱柱
8.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小(　　)
A.?变大??????????????????????????????B.?变小??????????????????????????????C.?不变??????????????????????????????D.?有时变大有时变小
9.如图，点N为正方形 ABCD 的中心， ΔECD 为正三角形，平面 ECD⊥ 平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点，则（? ）
A.?BM=EN ，且直线 BM,EN 是相交直线????????B.?BM≠EN ，且直线 BM,EN 是相交直线
C.?BM=EN ，且直线 BM,EN 是异面直线????????D.?BM≠EN ，且直线 BM,EN 是异面直线
10.刘徽注《九章算术?商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.
在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC﹣A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点、A1B中点、A1C中点时，分别形成的四面体P﹣ABC中，鳖臑有（? ??）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
高中数学必修第二册第八章立体几何初步（人教A版2019）
8.6空间直线、平面的垂直
【基础梳理】
要点一、直线与直线垂直
两条异面直线所成的角的定义
已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线false，false，把直线false，false所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角false必须是锐角或直角，即false的取值范围是false
要点二、直线与平面垂直
1.定义：一般地，如果直线false与平面false内的任意一条直线都垂直，我们就说直线false与平面false互相垂直，记作false
直线false叫做平面false的垂点，平面false叫做直线false的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
2.点到平面的距离
（1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
（2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
3.直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
false
4.直线与平面垂直性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
false
5.直线与平面、平面与平面之间的距离
（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离
6.直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面false相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面false引垂线 PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
7.直线与平面所成角的范围
(1）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
(2）直线与平面所成的角false的取值范围是0°≤0≤90°
(3)斜线与平面所成的角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.
要点三、平面与平面垂直
1.二面角
如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
二面角的记法
棱为AB,面分别为false的二面角记作二面角false
在false内（棱以外的半平面部分）分别取P,Q，将这个二面角记作二面角false
(3)如果棱记作false,那么这个二面角记作二面角false或二面角false
二面角的平面角
如图,在二面角false的棱false上任取一点O, 以点O为垂足,在半平面false和false内分别作垂直于棱false的射线OA和OB,则射线OA和 OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的度量
(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(2)二面角的平面角false的取值范围是false
2.平面与平面垂直
平面与平面垂直的定义
定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面false与false垂直,记作false
画法:画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
平面与平面垂直的判定及性质
自然语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面过另
个平面的垂线,那么这
两个平面垂直
false
性质
定理
两个平面垂直,如果一
个平面内有一直线垂
直于这两个平面的交
线,那么这条直线与另
一个平面垂直
false
【课堂探究】
例1.如图，在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD 是边 BC 上的高， PA⊥ 平面 ABC ，则图中直角三角形的个数是（? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
【答案】 C
【解析】① ∵PA⊥ 平面 ABC ， ∴PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥AC,∴ΔPAB , ΔPAD,ΔPAC 都是直角三角形；
② ∵∠BAC=90°,∴△ABC 是直角三角形；
③ ∵AD⊥BC,∴ΔABD,ΔACD 是直角三角形；
④由 PA⊥BC,AD⊥BC 得 BC⊥ 平面 PAD ，可知： BC⊥PD,∴ΔPBD,ΔPCD 也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是 8 个，
故答案为：C．
【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．
例2如图，正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，异面直线 A1D 与 BD1 所成角的正弦值等于(?? )
A.?12????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????????D.?1
【答案】 D
【解析】解：连接 AD1 ，
因为四边形 AA1D1D 为正方形，所以 A1D⊥AD1 ，又 A1D⊥AB ，
所以 A1D⊥ 面 ABD1 ，
所以 A1D⊥BD1 ，
所以异面直线 A1D 与 BD1 所成角的正弦值等于1，
故答案为：D．
【分析】由线面垂直的判定定理得： A1D⊥AD1 ，又 A1D⊥AB ，所以 A1D⊥ 面 ABD1 ，由线面垂直的性质定理得： A1D⊥BD1 ，即可求解．
【课后练习】
1.已知直线 a? 平面 α ，直线 b? 平面 α ，则“直线 m⊥α ”是“ m⊥a ，且 m⊥b ”的（??? ）
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】直线 a? 平面 α ，直线 b? 平面 α ，
则“直线 m⊥α ”能推出“ m⊥a ，且 m⊥b ”，是充分条件，
反之“ m⊥a ，且 m⊥b ”，直线m与平面 α 不一定垂直，不是必要条件，
故答案为：A
【分析】根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可．
2.已知l，m为两条不同直线， α ， β 为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（??? ）
A.?若 l//m ， m?α ，则 l//α?????????????????????????????????B.?若 l⊥m ， m?α ，则 l⊥α
C.?若 α//β ， m?α ，则 m//β??????????????????????????????D.?若 α⊥β ， m?α ，则 m⊥β
【答案】 C
【解析】若 l//m ， m?α ，则 l//α 或 l?α ，A不符合题意；
若 l⊥m ， m?α ，则 l?α 或l在平面 α 外，B不符合题意；
若 α//β ， m?α ，则直线m与平面 β 没有公共点即 m//β ，C符合题意；
若 α⊥β ， m?α ，直线m不一定垂直于 β ，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据直线、平面之间的位置关系逐项判断.
3.正方体 ABCD?A′B′C′D′ 中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于 （ ??）
A.?A′C′??????????????????????????????????????B.?BD??????????????????????????????????????C.?A′D′??????????????????????????????????????D.?AA′
【答案】 B
【解析】连接B′D′，因为B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′=C′，所以B′D′⊥平面CC′E.又CE?平面CC′E，所以B′D′⊥CE.又因为BD∥B′D′，所以BD⊥CE.
故答案为:B.
【分析】由条件得到直线与平面垂直,再得到直线与直线垂直.
4.ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（? ）
A.?平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B.?它们都分别相交且互相垂直
C.?平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D.?平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
【答案】 A
【解析】解答：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．
5.如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（? ）
??????
A.?3对???????????????????????????????????????B.?2对???????????????????????????????????????C.?1对???????????????????????????????????????D.?4对
【答案】 A
【解析】由AB⊥平面BCD，又AB?平面ABC、平面ABD，
所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD；
由AB⊥平面BCD可得：CD⊥AB，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，
又CD?平面ACD，故平面ABC⊥平面ACD．
故选A．
【分析】根据面面垂直的判定定理，条件AB⊥平面BCD，BC⊥CD，只需考虑AB所在平面与平面BCD之间的关系即可；由BC⊥CD，考虑BC、CD所在平面的垂直关系即可．
6.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于（? ）
????A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
【答案】 D
【解析】连接A1D，B1C，则BC1⊥B1C，BC1⊥DC，B1C∩DC=C?BC1⊥平面A1B1CD，B1P?平面A1B1CD，
∴BC1⊥B1P，即B1P与BC1所成的角等于90°．
故选D
【分析】连接A1D，B1C，可知BC1⊥平面A1B1CD，于是BC1⊥B1P．从而得出直线B1P与直线BC1所成的角．
7.如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1 ， 则下列结论中不正确的是（??）
A.?EH∥FG???????????????????????B.?四边形EFGH是矩形???????????????????????C.?是棱台???????????????????????D.?是棱柱
【答案】 C
【解析】因为EH∥A1D1 ， A1D1∥B1C1 ，
所以EH∥B1C1 ， 又EH?平面BCC1B1 ， 平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，
所以EH∥平面BCB1C1 ， 又EH?平面EFGH，
平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，
所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1 ，
所以选项A、D正确；
因为A1D1⊥平面ABB1A1 ，
EH∥A1D1 ， 所以EH⊥平面ABB1A1 ，
又EF?平面ABB1A1 ， 故EH⊥EF，所以选项B也正确，
故选C．
【分析】中档题，本题综合性较强，须对各选项逐一分析，对立体几何知识考查较为全面。
8.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小(　　)
A.?变大??????????????????????????????B.?变小??????????????????????????????C.?不变??????????????????????????????D.?有时变大有时变小
【答案】 C
【解析】因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC,又因为直线l垂直于平面ABC，所以l⊥BC，根据线面垂直的判定定理可知，BC⊥平面PAC，所以∠PCB＝90°，即∠PCB的大小不变.
【分析】应用线面垂直的判定定理时要注意直线要垂直于平面内的两条相交直线.
9.如图，点N为正方形 ABCD 的中心， ΔECD 为正三角形，平面 ECD⊥ 平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点，则（? ）
A.?BM=EN ，且直线 BM,EN 是相交直线????????B.?BM≠EN ，且直线 BM,EN 是相交直线
C.?BM=EN ，且直线 BM,EN 是异面直线????????D.?BM≠EN ，且直线 BM,EN 是异面直线
【答案】 B
【解析】如图所示， 作 EO⊥CD 于O，连接 ON ，过M作 MF⊥OD 于F．
连 BF ，
∵ 平面 CDE⊥ 平面 ABCD ．
EO⊥CD,EO? 平面 CDE ， ∴EO⊥ 平面 ABCD ， MF⊥ 平面 ABCD ，
∴ΔMFB 与 ΔEON 均为直角三角形．设正方形边长为2，易知 EO=3,?ON=1??EN=2 ，
MF=32,BF=52,∴BM=7 ． ∴BM≠EN ，
故答案为：B．
【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
10.刘徽注《九章算术?商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.
在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC﹣A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点、A1B中点、A1C中点时，分别形成的四面体P﹣ABC中，鳖臑有（? ??）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
【答案】 B
【解析】解：设正方体的棱长为 a ，则由题意知， A1C1=AC=2a ， A1B=2a ， A1C=3a ，
当 P 为 A1A 的中点时，因为 PA⊥ 面 ABC ，则 ∠PAC=∠PAB=90° ， ∠ABC=90° ，
则 PB=PA2+AB2=a24+a2=52a ， PC=PA2+AC2=a24+2a2=32a ，又 BC=a ，则 BC2+PB2=PC2 ，则 △PBC 是直角三角形，即此时 P?ABC 是鳖臑；
当 P 为 A1B 的中点时，因为 BC⊥ 面 ABB1A1 ，所以 BC⊥PB,BC⊥AB ,
所以 △PBC,△ABC 为直角三角形，因为 ABB1A1 是正方形，所以 AP⊥BP ，
则 △PAB 是直角三角形，则 PA=22a,PC=BC2+PB2=a2+12a2=62a ，
又 BC=a ，由勾股定理可知， △PBC 不是直角三角形，则此时 P?ABC 不是鳖臑；
当 P 为 A1C 的中点时，此时 PA=PC=12A1C=3a2 ，又 AC=2a ，由勾股定理可知，
△PAC 不是直角三角形，则此时 P?ABC 不是鳖臑；
故答案为：:B.
【分析】设正方体的棱长为a，分别计算出三种情况下四面体的各边长，结合线面垂直的性质以及勾股定理可判断每种情况下各个三角形是否为直角三角形，即可选出正确答案.