8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（26张PPT）

第八章立体图形初步
8.6空间直线、平面的垂直
掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义，了解常见的形式
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会求异面直线所成的角
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会用判定定理证明垂直关系
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学习目标
直线与直线垂直
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两条异面直线所成的角的定义
已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线 ， 把直线 ， 所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
直线与直线垂直

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两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b
直线与直线垂直
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异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的取值范围是
易错提醒
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异面直线所成的角的大小不能是0°，若两条直线所成的角是0°，则这两条直线平行，不可能是异面
直线与平面垂直
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定义：一般地，如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作
直线 叫做平面 的垂点，平面 叫做直线 的垂面，直线 与平面 垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
直线与平面垂直
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直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
直线与平面垂直
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直线与平面垂直性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
直线与平面垂直
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直线与平面、平面与平面之间的距离
（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离
直线与平面垂直
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直线与平面所成的角
一条直线l与一个平面 相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面 引垂线 PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
直线与平面垂直
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直线与平面所成角的范围
(1）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
(2）直线与平面所成的角的取值范围是0°≤0≤90°
(3)斜线与平面所成的角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.
易错提醒
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（1）定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线（即所有直线），而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替
（2）已知直线与平面垂直时，可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直，简述为“线面垂直，则线线垂直”
平面与平面垂直
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二面角
如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
平面与平面垂直
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二面角的记法
(1)棱为AB,面分别为的二面角记作二面角
(2)在内（棱以外的半平面部分）分别取P,Q，将这个二面角记作二面角
(3)如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或二面角
平面与平面垂直
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二面角的平面角
如图,在二面角的棱上任取一点O, 以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和 OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
平面与平面垂直
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二面角的度量
(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(2)二面角 的平面角的取值范围是
平面与平面垂直
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平面与平面垂直的定义
(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作
(2)画法:如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
平面与平面垂直
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平面与平面垂直的判定及性质
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
自然语言
符号语言
判定定理
如果一个平面过另个平面的垂线,那么这两个平面垂直
性质定理
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
例1
经典例题
已知三棱锥 的侧棱都相等，侧棱的中点分别为D，E，F，棱AC的中点为G， 平面ABC．且AB=4，∠ABC=120°．若四面体DEFG的每个顶点都在球O的球面上，则该球面与三棱锥 侧面的交线总长为（ ）
A． B． C． D．
解析
经典例题
【详解】
如图所示：
连接BG，
∵ ，D,E,F,G分别为各棱的中点， ，
∴ ，
∴点即为球的球心，
∵ 平面ABC，
∴球面与三棱锥侧面的交线总长为 ，
故选：C．
例2
经典例题
2．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
解析
经典例题
【详解】
当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；
平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
如果两个相交平面 垂直于同一个平面 ，且 ，则在平面 内分别存在直线 垂直于平面 ，由线面垂直的性质可知，再由线面平行的判定定理得 ，由线面平行的性质得出 ，则 ，故D正确；
故选：D
随堂练习
1.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（ C ）
A． B． 平面PAC
C． D．
随堂练习
在空间四边形ABCD中， ， ，那么必有（C ）
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
感谢聆听