6.2 平面向量的运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（17张PPT）

第六章平面向量及其应用
6.2向量的运算
了解掌握平面向量的加法运算
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了解掌握平面向量的减法运算
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了解掌握平面向量的数乘运算及数量积
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学习目标
6.2.1向量的加法运算

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1.定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
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向量加法的方法

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向量的加法的三角法则：已知非零向量 ???? ,???? 在平面内任取一点A，做????????=????，?????????=????，则向量????????叫做????与????的和，记作???? + ????，即???? + ????= ????????+ ?????????= ????????,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点。
?
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向量加法运算
平行四边形法则：以同一O为起点的两个已知向量 ， ,以 ， 为邻边做?OACB，则以O为起点的向量 ,（OC是?OACB的对角线）就是向量 与 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量 a ，我们规定 + = + =
平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同
向量的减法运算
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（1）定义：：向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 ，
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
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相反向量
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我们规定，与向量 ,长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作﹣
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 和﹣ 互为相反量，于是
-(- ) = .
由两个向量和的定义易知
即任意向量与其相反向量的和是零向量
几何意义：已知向量 ， ，在平面内任取一点O，作 ， ，则
，即 可以表示为从 的终点指向向量 的终点的向量
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向量的数乘运算
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向量数乘的定义：
一般地，我们 规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ，它的长度与方向规定
如下;(1)
(2)当 >0时， 的方向与a的方向相同；当 <0时， 的方向与 的方向相反.
由(1)可知，当 =0时， =0
由(1) (2)可知，
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向量的数乘运算律
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根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设 ， 为实数，那么 (1)
(2)
(3)
特别的，我们有


向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量 ， 以任意实数 ， ， ，恒有

向量的数量积
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向量的夹角
已知两个非零向量 , ,O是平面上的任意一点，作 = , = ,则
∠AOB= 叫做向量 与 的夹角.
显然，当 时， 与 同向；当 时， 与 反向.
如果 与 的夹角是 ，我们说 与 垂直，记作
向量的数量积
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向量数量积的定义
已知两个非零量 与 ，他们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(或内积) ，记作 .
即:= .
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
向量的数量积
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向量的投影
设 , 是两个非零向量， = , = ,我们考虑如下的变换，过 的起点A和和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ,得到 ,我们称上述变换为向量 向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量.
如图(2),我们可以在平面内任意取一点 ,作 = , = .过点M作直线ON的垂线，垂足为M，则 就是向量 在向量上 的投影向量.
例1
已知向量 =(2,-1)， =(3,-2)， =(1,m)，若 ( - ）⊥ ，则 =（ ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
经典例题
解析
经典例题
【答案】B【分析】
由题设可得 - =(-1,1) ，
因为 ( - )⊥ ，故 -1×1+1×m=0 ，
解得 m=1 ，
所以 = (1 , 1) ,故 = 。
故答案为：B。
随堂练习
1.空间直角坐标系中，已知A ( 2 , 3 , -1) ，B ( 2 , 6 , 2 ) ，C ( 1 , 4 , - 1 )则直线 AB与 AC的夹角为________．
解析
经典例题
【答案】60°
【解析】因为 = ( 0 ,3 ,3)， =(- 1, 1, 0) ,所以 =3 ， = ，则由向量的数量积公式可得直线 AB 与 AC 的夹角的余弦为cos< , > = = ，故直线 AB 与AC 的夹角为 60°，应填答案60°．
感谢聆听