福建省建瓯市芝华中学2020-2021学年高一下学期4月第一阶段考试数学试卷 Word版含答案

2020-2021学年芝华中学高一下月考数学模拟试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)
A .＝＋ B.＝－
＝－＋ D.＝－－
2已知复数z＝是纯虚数，则实数a＝(　　)
A．3 B．－3
C. D．－
3已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，k)，若a与b共线，则|3a＋b|＝(　　)
A．3 B．4
C. D．5
4在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝3，A＝，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
5 在△ABC中，若点D满足＝2，则＝(　　)
A.＋
B.－
C.－
D.＋
6已知向量＝， ＝，则∠ABC＝(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．已知△ABC所在平面内的一点P满足＋＋＝，则点P必在(　　)
A．△ABC的外部
B．△ABC的内部
C．直线AB上
D．线段AC上
8.△ABC中三边上的高依次为，，，则△ABC(　　)
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若a，b是任意两个向量，λ∈R，给出下列四个结论正确是(　　)
A若a，b共线，则存在非零实数λ，使得b＝λa；
B若b＝－λa，则a，b共线；
C若a＝λb，则a，b共线；
D当b≠0时，a，b共线等价于存在唯一的实数λ使得a＝λb.
10.设z1，z2是复数，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2
B．若z1＝z2，则z1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
11.在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式成立的是(　　)
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
12.设z是复数，则下列命题中真命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2≥0
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________
14.已知a＝(cos α，sin α)，b＝(1，1)，且a∥b，α∈(0，π)，则α＝________
15.在△ABC中， ＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
16.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________m.
四、解答题：共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17．(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，
且bc＝8，
（1）求角A
（2）求△ABC的面积．
18(12分)已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
19(12分)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1，2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．
20．(12分) 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE＝2EB，CF＝2FB.
(1)若＝x＋y，求x，y的值；
(2)求·的值；
(3)求cos∠BEF的值．
21．(12分)如图K23?6，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处沿山坡向山顶前进l米到达B处后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的斜度为θ.
(1)求BC的长；（用字母表示）
(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．
图K23?6
22.(12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)sin A＝ab(sin C＋2sin B)，a＝1.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC周长的取值范围
2020-2021学年芝华中学高一下月考数学模拟试卷答案
1.B　[解析] 由向量减法的三角形法则知＝－.
2．A　[解析] z＝＝是纯虚数，所以＝0，≠0，所以a＝3.
3.C　[解析] ∵a与b共线，∴1×k－2×(－2)＝0?k＝－4，∴3a＋b＝(1，2)，∴|3a＋b|＝
4．C　[解析] 由正弦定理得＝，∴sin B＝.∵a>b，∴05.D　[解析] 因为＝2，所以＝＝(－)，所以＝ ＋ ＝＋(－)＝＋.故选D.
6.D　[解析] ＝，∴cos∠ABC＝＝＝
－，∴∠ABC＝150°
D　[解析] 由题知＋＋＋＝0，所以2＝，故选D.
8．C　[解析] 根据三角形的面积相等，得a×＝b×＝c×，所以可设a＝13，b＝5，c＝11，由余弦定理得cos A＝<0，即A∈，所以△ABC为钝角三角形，故选C.
BCD　[解析] 由于零向量与任意向量共线，故当b＝0，而a≠0时，A不成立．
10,ABC设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝0，所以a＝c，b＝d，故选项A是真命题；
若z1＝z2，则a＝c，b＝－d，所以z1＝z2，故选项B是真命题；
若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1·z1＝z2·z2，故选项C是真命题；
若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，又z＝(a2－b2)＋2abi，z＝(c2－d2)＋2cdi，由a2＋b2＝c2＋d2不能推出z＝z，故选项D是假命题．
11，ABD解析] ＝·?·(－)＝0?·＝0，A中等式成立．同理B中等式也成立．对于D，等式可以变形为||2·||2＝||2||2，通过“等积法”可知该等式成立．
12.AB　[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或所以a＝0时，b＝0；b＝0时，a∈R.故z是实数，所以A为真命题．由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，故B为真命题．由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．
13．5　[解析] 因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以其实部为5.
14.　[解析] ∵a∥b，∴cos α－sin α＝0，即tan α＝1，又α∈(0，π)，∴α＝.
15.　[解析] ∵＝，∴＝4，∴＝m＋＝m＋.∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝
16.40　[解析] 如图，设电视塔AB的高度为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，解得x＝40(负值舍去)，所以电视塔的高度为40 m.
17解：[解析] (1)由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，所以A＝，（5分）
(2)所以S△ABC＝bcsin A＝×8×＝2.（10分）
18(1)当z为实数时，有
得
所以m＝6，即当m＝6时，z为实数．（4分）
(2)当z为虚数时，有m2－5m－6≠0且m2－1≠0，
所以m≠－1且m≠6且m≠1，
即当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．（8分）
(3)当z为纯虚数时，有
所以故不存在实数m使得z为纯虚数．（12分）
19解：(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.（5分）
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5，
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，
即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin＝－.
又由0<θ<π知，<2θ＋<，
所以2θ＋＝或2θ＋＝，
因此θ＝或θ＝.（12分）
20解：(1)∵AE＝2EB，∴＝，∴＝－＝－，∴x＝，y＝－1.（3分）
(2)·＝·＝2－·＝×42－4×2×＝.（7分）
(3)设，的夹角为θ.∵||2＝(＋)2＝，∴||＝.
又∵·＝2＋·＝＋＝，||＝，
∴cos θ＝＝＝.（12分）
21.(1)在△ABC中，∠ACB＝β－α，根据正弦定理得＝，
所以BC＝，即BC的长为米．（5分）
(2)由(1)知，BC＝＝＝12(－)(米)．
在△BCD中，∠BDC＝90°＋30°＝120°，所以sin∠BDC＝，
根据正弦定理得＝，
所以CD＝24－8，即建筑物CD的高度为(24－8)米．（12分）
22.解：(1)由(a2＋b2－c2)sin A＝ab(sin C＋2sin B)，结合余弦定理可得2abcos Csin A＝ab(sin C＋2sin B)，
即2cos Csin A＝sin C＋2sin(A＋C)，化简得sin C(1＋2cos A)＝0.
因为sin C≠0，所以cos A＝－，
又A∈(0，π)，所以A＝.（5分）
(2)因为A＝，a＝1，所以由正弦定理可得
b＝＝sin B，c＝sin C，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝1＋sin B＋sin C＝1＋＝1＋＝1＋sin.
因为B∈，所以B＋∈，
则sin∈，
则l＝a＋b＋c＝1＋sin∈.
故△ABC周长的取值范围为（12分）