《众数的概念》学习任务单
【学习目标】
通过本节课的学习,帮助学生了解并掌握众数的概念,体会其作为刻画数据集中趋势的一个重要统计量的优势和研究的必要性并能应用其解决简单问题,培养学生的数据分析观念和数学运算能力.共设置2道例题和2组练习.
【课上学习任务】
如何分析和提取统计表中的信息？
众数的概念是什么？
众数有怎样的特点？
在具体情境中,如何说明众数所代表的的实际意义？
在何种情况下,众数可以更好地描述数据特征？
根据什么去选择不同的统计量描述数据特征？
如何分析和提取统计表中的信息？
选取不同的统计量去分析和描述数据时,所得到的结论一定唯一吗？
【课后作业】
某校男子足球队的年龄分布如下图所示.请找出这些队员年龄的平均数、中位数和众数,并解释他们的意义(结果取整数）
【课后作业参考答案】
平均数：
中位数：数据总个数为20,按从小到大排列后第10、11个数均为15.
所以这组数据的中位数为15.
众数：
这组数据的众数为15.
意义：
这些队员年龄的平均水平约为17岁,其中至少有一半人年龄不低于15
岁,且各年龄段中,15岁的人数最多.
人数
86420
131415161718年龄/岁教
案
教学基本信息
课题
众数的概念
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：八年级下册数学
出版社：人民教育出版社出版
出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：1.了解并掌握众数的概念,体会其优势和研究必要性.
2.感受众数在实际情境中的意义,能应用其解决简单问题.
3.在解决问题的过程中培养数据分析观念和数学运算能力.
教学重点：众数的概念及特点.
教学难点：众数在实际问题中的意义及简单应用
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
【引言】
在前几节课中,我们学习了两个重要的统计量—平均数和中位数.平均数是能代表一组数据平均水平的量.而中位数更加关注的是位置关系.这两个统计量都可以用来刻画一组数据的集中趋势.在学习中位数时,我们帮助小林解开了他在应聘某家公司时,对其薪酬水平的疑惑.现在,小龙也去了同一家公司进行应聘,他又碰到了什么新的问题呢？
【问题】
小龙在应聘一家公司时想要了解其员工的薪酬水平.一位主管称全公司所有员工工资的平均数为9200元,中位数为6000元.小龙看到这两个数据很满意,认为自己应聘的最普通岗位薪酬也不会太差,可看完合同却发现实际工资仅有4000元.他又询问了公司的几位职员,发现他们的薪酬也都是4000元.小林觉得很奇怪,怀疑是那位主管提供了虚假的信息,可这位主管又拿出了公司员工的具体薪酬分布表格.
分析表格的意义,第一行是数据,第二行是数据出现的次数.数据的总个数为1+1+1+3+6+1+11+1=25.
求平均数：
中位数应是从大到小排列后,第13个数据.
即中位数为6000.
由此发现,公司主管所给出的数据的确属实.由于前面几档工资和后面的差异非常大,这样的极端值影响了平均数对这组数据的代表性.而中位数虽然给出了位于最中间位置的参考值,但对于其前、后数据的具体大小并没有太大的参考性.那么,对于想要应聘最普通岗位的小林来说,有没有更加适合的统计量去帮助他了解相应的薪酬水平呢？
通过一个具体问题,帮助学生感受平均数容易被极端值所影响的局限性和中位数更关注位置,对其前后数据的大小参考性小的特点.由此引出学习和使用其他统计量的必要性.同时,培养学生在统计表中分析和提取信息的能力.
新课
【众数的概念讲解】
给出如下的一组数据：
1,3,3,4,9,5,10,3,4,7,6,3,4.
观察后容易发现,这里面有一些重复出现的数据.比如3出现了4次,4出现了3次.其他的数据1,9,5,10,7,6都各是1次.
我们把一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
在这组数据中,出现次数最多的数据是3,即这组数据的众数为3.
将数据进行一下变化,得到：
1,3,3,4,9,4,10,3,4,7,6,3,4.
此时,3出现了4次,4也出现了4次,其他的数据依然只出现1次.
3和4出现的次数一样多,且比其他的数据都要多.此时,我们就说这组数据的众数为3和4.
需注意：一组数据的众数可能是不唯一的.
再将数据进行一下变化,得到：
2,3,3,4,9,4,13,3,4,7,6,3,4.
易得,这组数据的众数为3和4.和上面的例子相同.改变了部分数据,众数却没有改变.
这说明：一组数据的众数只与其中部分数据有关.
【众数概念的简单应用】
下面通过几道练习进一步熟悉众数这个统计量.
练习1.在某校组织的诗词诵读活动中,八年级（3）班
40名学生“一周诗词背诵数量”的数据如下图所
示．这组数据的众数是______.
解答：
横轴表示的是背诵的数量,也就是数据.而纵轴表示的是背诵了相应数量诗词的人数,也就是不同数据的个数.
由条形图的高低容易看出,数据的个数最多的,也就是出现次数最多的是6首和8首,即这组数据的众数是6和8.
这道练习再次提醒我们,众数可能是不唯一的.
练习2.一组数据20,30,m,30,40,50,20的众数是30,
则m的值为_______.
解答：
根据定义,众数为30,就是说这组数据中,30出现的次数是最多的.除了未知数m之外,20出现的次数为2,30出现的次数目前也是2,而剩下的40,50各只有1个.
那么,为了让30成为唯一的众数,它出现的次数就必须比20多,所以m的值一定是30.
练习3.有5个从小到大排列的正整数,其中位数是3,
唯一的众数是7,则这5个数的和为_______.
解答：
中位数3是这组数据的最中间位置,即排好序后,5个数中的第3个.把它前面的2个位置和后面的2个位置先摆好.
有唯一的众数7,即7的个数肯定不会是1个,按从小到大的顺序,7只能排在3右侧.可知,右边两位置都是7.
又由于众数只有7,则左边两位置一定是不同的数.按从小到大的顺序为正整数1和2.
因此这5个数确定是1,2,3,7,7,其和为20.
在具体数据的例子中给出众数的概念,便于学生理解.同时,通过几组变化帮助学生体会一组数据的众数不一定是唯一的及其只与部分数据有关的特点.
通过几个简单例子对中位数的概念及求法进行巩固,便于学生落实掌握.
例题
【例1】
例1.
有一家鞋店在一段时间内销售了某种篮球鞋50
双,其中各个尺码分别的销售量如下表所示:
（1）你能根据表中的数据为这家鞋店提供合理的进货
建议吗？
解答：
关于进货的建议指的是对商家的建议,那么商家最关心的是什么呢？是来买鞋顾客尺寸的平均水平？还是这些顾客尺寸大小的排序和位置关系？又或者是哪个尺寸的鞋卖的最多呢？
显然,商家更为关心鞋的销量.因此,在平均数、中位数和众数这三个统计量中,选择众数去进行分析,是更为合适的.
分析表格,第一行的尺码是关心的数据.第二行销售量则是每个数据出现的次数.
根据定义,众数指的是所有数据中出现的次数最多的数据.从第二行易看出,最多的次数是18,而它所对应的数据为25.5.
即25.5是这组数据的众数.在这个情境中,它表示的是在该鞋店销售的50双该种篮球鞋中,尺码为25.5的销售量最大.
销售量大意味着需求量可能也比较大,基于这个分析结果可以给出适当多进25.5cm的鞋的建议.
（2）这家店又统计了一段时间内50双女鞋的销售情
况,各种尺码的销售量如下表所示：
分析表格后得到,这组数据的众数为24.
于是他们效仿前面的做法建议多进24cm的女鞋,却发现出现了一定的滞销,这是怎么回事呢？
解答：
对比篮球鞋和女鞋的销售数据后不难发现,篮球鞋的尺码数据中,众数25.5出现的次数18,相比于其他数据出现的次数而言,有明显的优势.因此,这组数据的众数代表性也较强,基于它所给出的建议比较合理.
而女鞋的尺码数据,虽然24是它的众数,但其出现次数11次,与其他数据如23出现的10次,23.5出现的10次和24.5出现的9次等差距较小,并没有明显的数量优势.因此,这组数据的众数对整组数据的代表性并不太强,单纯基于这个数去给出进货建议也和实际情况有较大差距.
无论选取怎样的统计量,都只能从一些角度去描述数据的特征,而不是绝对的,对于数据的代表性也有强有弱,绝对不能脱离数据本身的特点而只靠统计量去进行判断.
【根据情境选择统计量】
（1）某商家为回馈客户发放优惠券10000张,各档位优惠
金额的分布如下表所示.
（2）八年级5班的12名女生身高数据（单位：cm）如下
所示：
152
155
156
157
160
163
164
165
165
167
170
172
解答：
（1）众数更合适.
（2）根据需求和角度不同,平均数、中位数均可.
但众数的代表性不强.
【例2】
例2.某校射箭队有三名种子选手,下面是他们在一次练习
赛上20箭后的成绩统计情况：
（1）你认为谁的成绩更理想？
解答：
先分析统计图,横轴为成绩,即关心的数据.纵轴是每个成绩出现的次数,即数据的个数.
纵览三个图易看出,在20支箭的比赛中,小刘同学成绩的众数为10环,且这个数据出现的次数为14次,占了很大的比重.同时,他还没有一次打出一次6环或是7环的低分.
即便没有计算其他的统计量,也可以从数据的直观特征得到小刘呈现出明显优势这一结论.
（2）小金和小高谁的发挥更好？
解答：
从统计图来看,小金的数据是“两边高中间低”,而小高的数据是“中间高,两边低”.不能再从直观明显去判断两人水平,需要计算各统计量.
为方便提取和计算,将统计图所给出的数据信息转化为统计表,得到：
通过计算,两人成绩的平均数均为8.15,而中位数均为8,并没有比出高低.
小金成绩的众数为10,而小高成绩的众数为8,是否这样就可以说小金的成绩一定比小高更好呢？
由具体数据可看出,小金打10环有8次,可他也有6次6环.小高没有6环低分,大部分成绩都集中在8环,可他打出10环却仅有2次.两人的数据特点鲜明,各有优势劣势.不能用众数去进行简单的比大小.
（3）你能给小金和小高的训练提出合理建议吗？
解答：
小金“两头高中间低”的成绩分布,说明他具备得高分的能力,但发挥不稳定,水平失常次数较多.可建议多巩固技术动作,锻炼心理素质,提高发挥的稳定性.
而小高中间高两边低的成绩分布,说明他水平基本稳定在中等的8环水平,低分失误较少,可得高分次数也较少.可建议他再精炼技术,提高水平,使得自己能向更优秀的方向前进.
【对引入部分问题的解答】
通过本节课的学习不难想到,小龙想要应聘最普通的岗位,而一个公司中最普通岗位职员的数量往往是最多的.比起容易被极端值影响的平均数和只关注了位置关系的中位数而言,小龙更应去了解的是所有数据中出现次数最多的,也就是众数.
观察表格易得,这组数据的众数是4000.显然,这和小龙拿到的实际工资就十分吻合了.
通过本道例题巩固求一组数据的众数的基本方法.同时,帮助学生感受用众数去描述一组数据的代表性强弱,与该数据占整组数据比例的大小有关.明确不管用什么统计量去描述数据,都不能脱离数据本身的特点.
通过几个具体情境,帮助学生体会根据需要选择统计量的重要性.
培养学生阅读统计图,从图中分析和提取信息的能力.经历求一组数据的平均数、中位数和众数的过程,明确根据情境与需求,可以从不同的角度选取不同的统计量对数据进行分析.同时,进一步理解用统计量去描述数据的结论并不是绝对的,不能脱离数据本身的特点.
呼应本节课开篇的问题,感受众数是更适合描述这个问题中普通薪酬水平的统计量.体会学习众数的作用与优势.
总结
【课堂小结】
众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
众数的特点：
众数可能是不唯一的.
众数只与一组数据中的部分数据有关.
当重复数据较多时,能更好的反应数据的集中趋势.
对本节课所学进行归纳总结,明确众数的概念、特点、优势及平均数、中位数、众数几个统计量的关系.
作业
某校男子足球队的年龄分布如下图所示.请找出这些队员年龄的平均数、中位数和众数,并解释他们的意义(结果取整数））.
巩固落实,检测学习效果.
