教
案
教学基本信息
课题
中位数的概念
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：八年级下册数学
出版社：人民教育出版社出版
出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：1.了解并掌握中位数的概念,体会其优势和研究必要性.
2.感受中位数在实际情境中的意义,能应用其解决简单问题.
3.在解决问题的过程中培养数据分析观念和数学运算能力.
教学重点：中位数的概念及特点.
教学难点：中位数在实际问题中的意义及简单应用
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
【引言】
在前两节课中,我们学习了一个刻画数据集中趋势的重要统计量——平均数.它代表的是一组数据的平均水平,在我们的生活中应用十分广泛.那么,这个统计量它是不是万能的呢？是不是无论怎样的数据,都可以用平均数来很好地刻画其特征呢？下面,就让我们一起来看看小林遇到的这个问题.
【问题】
小林在应聘一家公司时,想要去了解其员工的薪酬水平.一位主管称全公司所有员工的平均工资为9200元.小林心想自己应聘的中层岗位应该可以达到和平均工资相近的水平,可一看合同才发现,这个岗位的实际工资仅为6000元.他又询问了公司的另外几位职员,发现他们中没有一个人达到了9200元的平均水平.小林觉得很奇怪,怀疑是那位主管提供了虚假的信息,可这位主管拿出了公司员工的具体薪酬分布表格.
分析表格的意义,第一行是数据,第二行是数据出现的次数.数据的总个数为1+1+1+3+6+1+11+1=25.
求平均数：
由此看出,公司主管并没有说谎.
在仔细分析数据的特点后可发现,只有60000、30000、18000这3个数高于平均数9200,其他数据均未达到.可由于前三个数与后面的数差距很大,对平均数的影响也大,这是一个典型的由少数极端值影响了整体平均数水平的例子.用平均数这个统计量来描述这组数据的集中趋势显然是片面的.由此,我们来引入一个新的统计量.
通过一个具体问题,帮助学生感受平均数作为应用广泛的重要统计量,也有着容易被极端值所影响的局限性.由此引出学习和使用其他统计量的必要性.同时,培养学生在统计表中分析和提取信息的能力.
新课
【中位数的概念讲解】
给出如下一组数据：
1、7、3、4、9、5、10
将这组数据按照由小到大的顺序进行排列,得到：
1、3、4、5、7、9、10
易知,这组数据的个数是7,为一个奇数.那么,一定可以找到位于其最中间位置的一个数.
我们称这个中间位置的数5为这组数据的中位数.
如果将数据调整为：1、3、4、5、6、7、9、10
数据的个数变成了8,是一个偶数.
此时,我们可以找到这组数据最中间的两个数5和6,再计算他们的平均数得到5.5.
将这个平均数称为是这组数据的中位数.
【中位数的概念梳理】
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,若数据的个数为奇数,则称位于中间位置的数为这组数据的中位数；若数据的个数为偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
【中位数概念的简单应用】
下面通过几道练习进一步熟悉中位数这个统计量.
练习1.（1）一组数据的个数为13,将其按从大到小的
顺序重新排列后,中位数应是第____个数.
（2）一组数据的个数为20,将其按从小到大的顺序重新排列后,中位数应是第___个和第___个数的_____.
解答：
由中位数的概念易得
（1）第7个数.
（2）第10个和第11个数的平均数
练习2.一组数据中包括3个25,
2个23,
1个30和1个27,那么这组数据的中位数是_____.
解答：
数据需要先排序（此处按从大到小）得到：
30,27,25,25,25,23,23.
再根据定义找到中位数为25.
练习3.若一组数据
20,30,40,m,35,10的平均数是30,
则这组数据的中位数是______.
解答：
需先确定字母m的值.
根据平均数为30可列：
,解得m=45.
再将整组数据按顺序排序得到：
10,20,30,35,40,45.
从而易得其中位数为30和35的平均数32.5.
在具体数据的例子中逐步操作给出中位数的概念,便于学生理解.
在带领学生经历过具体数据的操作后,再次梳理归纳概念,便于学生完整叙述并掌握.
通过几个简单例子对中位数的概念及求法进行巩固,便于学生落实掌握.
例题
【例1】
例1.
在一次男子马拉松长跑比赛中,抽得12位选手所
用的时间（单位：min）如下所示：
136
140
129
180
124
154
146
145
158
175
165
148
（1）这组样本数据的中位数是多少？
（2）一名选手的成绩是148min,你认为他的成绩如何？
解答：
（1）先对数据进行整理并排序,得到
124
129
136
140
145
146
148
154
158
165
175
180
数据的总个数为12,根据定义,易得中位数应是第6个数146和第7个数148的平均数,即这组样本数据的中位数是147.
它代表了这12名运动员中,位于中间位置的水平.换句话说,就是有一半人的成绩比147min快,而另一半人的成绩比147min慢.
（2）用中位数147来比较,148大于147,说明该选手的用时比至少一半的选手要长,即他比至少一半的选手要慢.
用平均数为150来比较,148小于150,说明该选手的用时比平均用时要短,即其成绩比整组选手的平均成绩快.
这里需要根据不同的需求,从不同的角度去进行数据分析,从而得到相应的结果.在比赛更关心排名、顺序等问题时,中位数作为位置代表值,应用性更强.
【根据情境选择统计量】
（1）了解某小区居民家庭每年的用电量水平.
（2）给一批应聘者划定初试达标线,使得其中一半左右的人可以进入复试.
（3）了解你所在班级同学的视力水平.
解答：
（1）平均数更合适
（2）中位数更合适
（3）根据需求和角度不同,平均数和中位数均可
【例2】
例2.学校开展线上防疫知识大赛,将八年级（1）班40
名学生的成绩数据(百分制)进行整理、描述和分
析．下面给出了部分信息．
a.竞赛成绩的频数分布直方图如下:
b.竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
82
83
84
84
85
85
85
86
87
88
88
89
（1）求该班级学生竞赛成绩的中位数.
解答：
先分析统计图.横轴表示的是竞赛的成绩,分为四组.而纵轴表示的频数是每组内学生的人数,即每组中数据的个数.这组数据的总个数为40,中位数从小到大排序后的第20个与第21个数据的平均数.
从图中易看出,前两组的数据个数为4+15=19,那么第20和21个数显然在80到90这一组里.该组的具体数据均以给出,所需的第20、21个数为82和83.
由此,这组数据的中位数是他们的平均数82.5.
（2）学校要求每班按成绩高低推荐一半左右的同学参加复赛.两个班的班长在对成绩进行初步统计后,列出了如下的表格：
小江同学说：“虽然我没达到班平均,但肯定能进复赛！”而小张同学说“我超过了班平均分,却也要被淘汰了.”
你是否能够判断他们来自于哪个班级？
解答：
是否被推荐参加复赛,取决于个人的成绩是否能排在班级的前一半里.要想晋级,成绩至少应不低于全班成绩的中位数.
小江说他没有达到平均数,却可以晋级,说明他的分数应低于班平均,却高于班中位数.也就是说,他所在的班级成绩的平均数高于中位数.观察表格发现八年级2班的数据满足这个特点.
同理,小张说他达到了平均分却没有晋级,说明他的成绩高于平均数却低于中位数.因此,他所在的班级中位数比平均数高.观察得,八年级1班满足这个条件.
所以,所以小江来自2班,而小张来自1班.
（3）你认为在本次竞赛中哪个班级的成绩更好？
解答：
2班同学认为自己班级的平均分高于1班,说明在这次竞赛中他们的平均水平更强.
而1班的同学认为他们班级成绩的中位数高于2班,说明他们得到高分的优秀同学更多.
两个班同学选取不同的统计量从不同角度对数据进行了分析和比较,都是具有实际意义的.此处的答案并不唯一.
【对引入部分问题的解答】
根据定义,可求出该组数据的中位数为6000.
相比于平均数的9200而言,显然中位数更好的描述了该公司中层岗位的薪酬水平.如果公司主管没有只选择平均数,而是也给出其中位数作参考,小林也就不至于面对期望和现实的巨大落差了.看来,学好不同的统计量,会从不同的角度去分析和描述数据,真的是很有必要的.
通过例题,巩固求一组数据的中位数的基本过程.体会中位数在实际情境中所代表的的意义,感受从不同的需求出发,选取不同的统计量从不同角度对数据进行分析,可能会得到不同的结论.关键在于具体情境的具体需要.
通过几个具体情境,帮助学生体会根据需要选择统计量的重要性.
培养学生阅读统计图,从图中分析和提取信息的能力.进一步经历求数据中位数的过程,体会中位数在实际情境中的意义,明确根据情境与需求,可以从不同的角度选取不同的统计量对数据进行分析.
呼应本节课开篇的问题,当平均数描述数据特征有片面性时,对引入新统计量有了需求.而利用本节课学习的中位数,描述这组数据的特征更加适合.帮助学生体会学习中位数的作用与优势.
总结
【课堂小结】
今天,我们重点学习了中位数的概念及求法.给出一组数据,先要将其按从小到大或从大到小的顺序排列好.找到这组数据的总个数,判断其奇偶性.若个数为奇数,则取最中间位置的那个数,若个数为偶数,则最中间两个数的平均数,所得到的结果即为这组数据的中位数.有时,数据是以统计图或统计表的形式给出的,那就需要我们先仔细分析,将数据进行有效的提取,再按照前面的求法操作.
我们还学习了中位数的特点.它是反映数据集中趋势的位置代表量,且只与一组数据中的部分数据有关.相比于平均数,中位数更不易受极端数据的影响.在研究与中等水平,排名,顺序等相关的问题时,具有较强的实际意义,是我们进行数据分析的好帮手.
对本节课所学进行归纳总结,帮助学生再次巩固求一组数据中位数的基本步骤,明确中位数这个统计量的特点、优势及作用.
作业
在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
（1）分别求出这15名运动员成绩的平均数和中位数.
（2）若小张跳了1.75米,你认为他成绩如何？
巩固落实,检测学习效果.《中位数的概念》学习任务单
【学习目标】
通过本节课的学习,了解并掌握中位数的概念,体会其作为刻画数据集中趋势的一个重要统计量的优势和研究的必要性并能应用其解决简单问题,培养数据分析观念和数学运算能力.共设置2道例题和2组练习
【课上学习任务】
如何分析和提取统计表中的信息？
用平均数去描述引入问题中的数据，存在怎样的片面性？
中位数的概念是什么？
求一组数据的中位数的基本步骤是什么？
在具体情境中，如何说明中位数所代表的实际意义？
在关注排名、顺序等问题的情境中，选择哪个统计量更合适？
根据什么去选择不同的统计量描述数据特征？
如何分析和提取统计表中的信息？
选取不同的统计量去分析和描述数据时，所得到的结论一定唯一吗？
【课后作业】
在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示：
（1）分别求出这15名运动员成绩的平均数和中位数.
（2）若小张跳了1.75米,你认为他成绩如何？
【课后作业参考答案】
（1）平均数：
中位数：数据总个数为15，中位数应为从小到大排列后第8个数据.
即这组数据的中位数是1.70
（2）小张的成绩1.75米高于这组选手的平均水平1.67米，也高于排名在中间位置的1.70米，属于成绩较好的那一半人.
