上海市实验高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海市实验学校2020-2021学年度第二学期期中考试
高一年级 数学试卷
填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1．终边在轴上的角的全体用集合表示是 .
2．已知扇形的弧长和半径都是，则扇形的面积是 .
3．已知角的终边落在函数的图象上，则 ．
4．可以写成的形式，其中，则 .
5．在中，已知，则角A 的正弦值为 ．
6．已知. 则的值为 ．
7．已知函数，其中. 在一个周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. 该函数的解析式为 .
8．已知函数既存在最大值，又存在最小值，则的值
为 ．
9．如图所示，在中，，AC=6，BC=8，D为AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE，交点为F，若，则CE= ．
10．若，则函数的值域为 ．
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）
11.如果，那么的值恒等于 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
12． 的一个充要条件是 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
13.函数 （ ）
（A）是奇函数，也是周期函数. （B）是奇函数，不是周期函数.
（C）是偶函数，也是周期函数.（D）是偶函数，不是周期函数.
14．设函数，其中，已知在区间内有且只有4个零点，则下列的值中满足条件的是 （ ）
（A） （B） （C） (D)
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15、（本题满分10分）
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
①求sinα的值；
②若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
16、（本题满分10分）
求函数的定义域、值域及单调增区间.
17、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100m的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80m．矩形就是拟建的健身室，其中分别在和上，在上。设矩形的面积为，，
（1）将表示为的函数；
（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在的何处？
18、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值；
(3)若b＝4，求△ABC面积的最大值与周长的范围．
四、附加题
19、（本题满分10分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值．
20、（本题满分10分）
求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，
恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥．
上海市实验学校2020-2021学年度高一第二学期期中数学参考答案
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1．终边在轴上的角的全体用集合表示是 .
2．已知扇形的弧长和半径都是，则扇形的面积是 .
3．已知角的终边落在函数的图象上，则 ．
4．可以写成的形式，其中，则 .
5．在中，已知，则角A 的正弦值为 ．
6．已知. 则的值为 ．
解：因为，并且，
所以.
7．已知函数，其中. 在一个周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. 该函数的解析式为 .
8．已知函数既存在最大值，又存在最小值，则的值
为 4
9．如图所示，在中，，AC=6，BC=8，D为AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE，交点为F，若，则CE= ．
10．若，则函数的值域为 ．
解：是奇函数，则求出最大值即可知最小值
令，则
，当时，k>0，此时

从而，所以函数的值域为
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）
11.如果，那么的值恒等于 （ C ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
12． 的一个充要条件是 （ A ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
13.函数（ D ）
（A）是奇函数，也是周期函数. （B）是奇函数，不是周期函数.
（C）是偶函数，也是周期函数.（D）是偶函数，不是周期函数.
14．设函数，其中，已知在区间内有且只有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
①求sinα的值；
②若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：①由角α的终边过点P得sin α＝－，
②由角α的终边过点P得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
16．求函数的定义域、值域及单调增区间.
解：由得已知函数的定义域为.
已知函数可化为.
因为，所以.
此时，. 所以，已知函数的值域为.
单调增区间为：
17．某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100m的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80m．矩形就是拟建的健身室，其中分别在和上，在上。设矩形的面积为，，
（1）将表示为的函数；（5分）
（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在的何处？
解：
（1）延长交于，,
整理得：
（2）设，　则，
当时，，
此时，，
当在的端点或处时，健身室面积最大，最大面积为2000平方米．
18．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值；
(3)若b＝4，求△ABC面积的最大值与周长的范围．
【解】　(1)由余弦定理及题设得
cos B＝＝＝. 又0(2)由(1)知A＋C＝，则
cos A＋cos C＝cos A＋cos＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝cos.
因为0(3)由题意知
a2＋c2－ac＝16，由基本不等式得16≥(2－)ac.
所以ac≤＝8(2＋)，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以S△ABC＝acsin B≤×8(2＋)×＝4(＋1)，
即当a＝c＝2时，S△ABC的最大值为4(＋1)．
又由a2＋c2－ac＝16，得(a＋c)2－(2＋)ac＝16.
由均值不等式≥知ac≤(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号，
所以≤(a＋c)2，
所以(a＋c)2≤32(2＋)，
所以a＋c≤4，
当且仅当a＝c＝2时，取等号．
又a＋c>b＝4，所以a＋b＋c>2b，
所以8四、附加题：
19．设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值．
解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．
∴ cosx siny cosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．
(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosx siny cosz=．
∵ cosx siny cosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．
由于sin(x－y)≥0，cosz>0，故cosx siny cosz≤cos2z=cos2=(1+cos)=．
当x= y=，z=时取得最大值． ∴ 最大值，最小值．
20．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有
（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥．
解：令sinθ+cosθ=u，则2sinθcosθ=u2－1，当θ∈[0，]时，u∈[1，]．
并记f(x)= (x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2．
∴ f(x)=(x+2+u2)2+(x+au)2=2x2+2(u2+au+2)x+(u2+2)2+(au)2
=2[x+(u2+au+2)]2+(u2－au+2)2．
∴ x=－(u2+au+2)时，f(x)取得最小值(u2－au+2)2．
∴ u2－au+2≥，或u2－au+2≤－．
∴ a≤u+，或a≥u+．当u∈[1，]时，u+∈[，]；u+∈[，]．
∴ a≤或a≥．
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