8.1基本立体图形第2课时 圆柱、圆锥、圆台（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第八章 立体几何初步
8.1基本立体图形
第2课时 圆柱、圆锥、圆台
一、教学目标
1.通过计算机模拟或者利用实物概括出圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征；?
2.能用数学语言概述圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
3.通过对圆柱、圆锥、圆台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。
二、教学重难点
1.让学生观察大量空间实物及计算机模型，进而概括出圆柱、圆锥、圆台的结构特征；
2.会进行旋转体的相关计算.
三、教学过程：
（1）创设情景
通过上节课学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体，那么生活中常见的旋转体有哪些？它们具有什么样的结构特点？
阅读课本以及通过计算机模拟生活中的一些物体,让学生小组合作完成以下问题
（2）新知探究
问题1：什么是旋转体？旋转体包含哪些图形？
让学生仔细观察这些物体,回答出概念.
问题2：能否通过观察给出圆柱、圆锥、圆台、球的定义？它们具有什么样的结构特点？
让学生仔细观察这些物体,小组合作，让学生畅所欲言，学生之间质疑，教师从旁引导学生不断揭示它们联系和区别。
问题3：什么是简单组合体，它们具有什么样的结构特点？
让学生仔细观察这些物体,回答出概念，并找出它们的结构特征。
圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
圆柱的构成：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱的表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱O’O。
练习：判断正误
(1)圆柱的底面是圆面 ( )
(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 ( )
(3)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 ( )
(1)√,圆柱的底面是圆面．(2)√,如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)×，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。
圆柱的构成：旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；绕着轴的边旋转而成曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
圆锥的表示法：用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥SO。
练习：下列说法正确的是（ ）
A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形
D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
【答案】BCD
【解析】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；
B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；
D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）．
故选：BCD．
圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。
圆台的构成：旋转轴叫做圆台的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；绕着轴的边旋转而成曲面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台侧面的母线。
圆台的表示法：用表示它的轴的字母表示，如图，圆台O’O。
练习：判断正误
(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台（ ）
(2)圆台中过轴的截面是轴截面（ ）
(3)圆台的轴截面是等腰梯形（ ）
(1)×直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个
圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(2)(3)√
球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。
球的构成：半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径，
球的表示法：用球心字母O表示，如图，球O。
注意：常见空间几何体有棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。其中棱柱、圆柱统称为柱体，棱锥、圆锥统称为锥体，棱台、圆台统称为台体，所以简单空间几何体概括分类为：柱体、锥体、台体和球体。
简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．
简单组合体的构成：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成.
（4）数学运用
例1.给出下列命题：
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行；
B.圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的选项是（ ）
【答案】BD
【解析】圆柱的母线与它的轴平行，故A错误；
圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确；
在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C错误；
圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，故D正确；故选：BD.　
例2.求下列值：
（1）圆柱的轴截面是正方形，它的面积为，求圆柱的高与底面的周长.
（2）圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，求该圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长.
（3）圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，求圆台母线的长.
【答案】（1）3； ；（2），，；；（3）5cm.
【解析】（1）因为圆柱的轴截面是正方形，
设高为h，底面半径为r，因为轴截面的面积为，
所以，解得，则，
所以底面的周长.
（2）因为圆锥的轴截面是正三角形，
设母线的长为，则半径为r，高为h，
因为轴截面的面积是，
所以，即，解得，
所以该圆锥的底面半径为，圆锥的高，母线的长为2.
（3）因为圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，
所以.
变式训练:已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为，高为1，和是底面圆周上两点，则圆锥的侧面展开图的圆心角为___________；面积的最大值为___________.
【答案】 2
【解析】设侧面展开图的圆心角为，则；如图，和都是圆锥的母线，则，设圆锥经过，的截面为，在直角三角形中，，可得的顶角为120°，所以面积的最大值为.
故答案为：，2
例3.已知圆锥的母线长为4 cm,圆锥的底面圆半径为1 cm,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A点出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则求蚂蚁爬行的最短路程为多少cm.?
【答案】
【解析】　由题意得,底面圆的直径为2 cm,故底面圆的周长为2π cm.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°.
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得2π=,解得n=90,
所以展开图中扇形的圆心角为90°,
所以蚂蚁爬行的最短路程是= cm.
变式训练:《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ）
A．21尺 B．25尺
C．29尺 D．33尺
【答案】C
【解析】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，
由题意得2丈=20尺，圆周长BE=3尺，
则葛藤绕圆柱7周后长为尺，故选：C.
四、小结：
圆柱
圆锥
圆台
球
简单组合体
五、作业：习题8.1