2020-2021年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册第13章13.3空间图形的表面积和体积同步习题Word含解析

苏教版必修第二册数学2020-2021年高一下第13章13.3空间图形的表面积和体积同步习题
一、单选题
1．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（ ）
A．18＋6 B．6＋
C．24 D．18
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
3．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是（ ）
A． B．
C． D．
5．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的外接球的表面积（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的（ ）
A． B．
C． D．不确定
7．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，在各小正方形边长为 的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ）
A．侧面积之比为 B．侧面积之比为
C．体积之比为 D．体积之比为
10．已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则（ ）
A．该三棱锥的内切球半径为 B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为 D．该三棱锥体积为
11．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（ ）
A．64π cm2 B．36π cm2
C．54π cm2 D．48π cm2
12．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的表面积最小
三、填空题
13．已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.
14．已知一个铜质的五棱柱的底面积为，高为，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是________ .
15．已知球的半径为点均在球面上，若为等边三角形，且其面积为则三棱锥的最大体积是___________.
16．已知正三棱锥A﹣BCD的四个顶点在同一个球面上，AB=AC=AD=4，CD=6，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.
17．如图所示，在三棱锥中，和都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时______．
四、解答题
18．圆台上底的面积为，下底半径为6，母线长为10，那么圆台的侧面积和体积各是多少？
19．如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.
20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
21．如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.
（1）求该圆锥的表面积；
（2）求剩余几何体的体积.
22．如图所示，每个最小方格的边长为1．粗线部分是一个几何体的三视图．
（1）画出该几何体的直观图；
（2）求该几何体的表面积．
23．如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？
参考答案
1．B
依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，
故由公式可知，棱台的体积是，
故选：B.
2．A
如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，
△ABC为等边三角形，AB＝a，
∴，
∴表面积为.
故选：A.
3．A
因为平面BCD，
所以，，
∴，
在中，，
∴，
∴.
如图所示：
三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，
设球O的半径为R，则，
解得，
所以球O的表面积为，
故选：A.
4．C
因为轴截面的面积为16，所以圆柱的底面直径和高均为4，
所以圆柱的体积.
故选：C
5．A
解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥，底面为等腰，
且侧面底面，如图所示；
设为的中点，
又，且平面，
三棱锥的外接球的球心在上，设，则，，
，
解得，
该几何体外接球的表面积是．
故选：．
6．B
解：令正方体棱长为，则V正方体＝a3，
，∴V四棱锥S－ABCD＝V正方体.
故选：B
7．C
设球的半径为，则，所以，
所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为.
故选：C
8．D
解:由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，
体积
故选：D
9．BD
依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.
故选：BD.
10．ABD
如图，是棱锥的高，则是的中心，是中点，
，，故C错D正确；
，，．
，
所以，
设内切球半径为，则，，A正确；
易知外接球球心在高上，球心为，设外接球半径为，
则，解得，B正确；
故选：ABD．
　　
11．AB
分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，
即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2,36π cm2.
故选：AB
12．CD
由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为，高均为，球的半径为.
则圆柱的侧面积为，故错误.
圆锥的侧面积为，故错误.
球的表面积为圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确.
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，
球的表面积为圆锥的表面积最小，故正确.
故选：.
13．4
解：，，
．
故答案为：4
14．
由题意可知，铜质的五棱柱的体积为，
融化后，正方体铜块的体积为，解得.
故答案为：.
15．
设外接圆的圆心为
由是面积为的等边三角形，得解得，
则
当三棱棱锥体积最大时，球心在上，
因此有
所以的最大值为，
三棱锥的最大体积为.
故答案为：.
16．64π
如图所示：
取三角形BCD的中心为G，连接AG，则AG⊥底面BCD，
可知三棱锥的外接球的球心O在AG的延长线上，
因为底面三角形的边长为6，
所以BG=，，
设三棱锥的外接球的半径为R，在中，，
解得R=4.
∴该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=64π.
故答案为：64π.
17．
三棱锥的表面积为，，，
，
当，即时，表面积最大为，
此时.
故答案为：
18．；．
由题可知，圆台的上底面半径为4，
所以（）
因为圆台的高（）
所以（）
19．.
在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5知，AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
所以CD＝，记为r＝，
那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，
母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以所得旋转体的表面积为πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π.
所以旋转体的表面积是π.
20．（1）；（2）.
解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：
设，在半圆⊙A中，， 弧长，
这是圆锥的底面周长，所以，
所以，
故圆锥的底面积为；
（2）设圆柱的高，，
在中，，
，所以，
即，，
，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时.
21．（1）；（2）.
（1）因为圆锥的底面直径和高均是4，
所以半径为2，母线，
所以圆锥的表面积为.
（2）由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，
所以.
22．
（1）在棱长为的正方体中，还原该几何体如下：
该几何体为三棱锥；
（2）由（1）可得，该几何体的表面积为.
23．.
由题意，边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，
锯掉的三棱锥的体积.
正方体的体积.
锯掉的这块的体积是原正方体的.
故答案为：.