2020-2021学年高二下学期数学苏教版选修2-3《计数原理》单元复习 学案Word含解析

《计数原理》单元复习
【基础回顾】
知识点一：分类计数原理与分步计数原理
　原理 异同点 分类计数原理 分步计数原理
定义 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法
区别 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事 各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事
知识点二：排列与组合
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合
并成一组
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；
(2)C＝,A)＝＝
性质 (1)0！＝1；A＝n！；
(2)C＝C；C＝C＋C；
(3)C＝C；
(4)C＝C＋C＋C＋…＋C(m≤n)；
(5)C＝CC＋CC＋…＋CC＋CC
知识点三：.二项式定理
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，2，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.
(2)C＝C.
(3)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以和两者相等)最大.
(4)C＋C＋…＋C＝2n.
3.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
【典型例题】
【例1】 （1）从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)
A．300 B．216
C．180 D．162
(2) 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
(3) 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法(用数字作答)．
拓展1．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)
A．12种 B．24种
C．48种 D．120种
拓展2．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　)
A．80种 B．90种
C．120种 D．150种
拓展3． “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为__________．
【例2】 (1)在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
(2)若x9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则的值为________．
拓展1．将3展开后，常数项是__________．　
拓展2．－1＋3C－9C＋27C－…－310C＋311除以5的余数是__________．
拓展3．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)
A．39 B．310
C．311 D．312
思考：设，．
（1）求证：，时，；
（2）求的值（用表示）；
（3）当时，试比较与的大小．
【总结反思】
【巩固练习】
一、单选题
1．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有(　　)
A．9个 B．3个
C．12个 D．6个
2．甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有(　　)
A．18种　　　　　　　　 　B．12种
C．36种 D．24种
3. 某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有(　　)种．
A．5 040 B．1 260
C．210 D．630
4. 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C 除以88的余数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)
A．－5 B．5
C．90 D．180
二、多选题
6. 将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）
A． B. C. D. 18
关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为32 B. 所有项的系数和为0
C. 常数项为-20 D. 二项式系数最大的项为第3项
三、填空题
8．若(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020，则＋＋…＋等于________．
9. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种(用数字作答).
四、解答题
10．用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数，其中：
(1)能被25整除的数有多少个？
(2)设x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，满足x(3)偶数必须相邻的数有多少个？
11．（1）设，，，求证：；
（2）设，且，记集合的所有个元素的子集为，
为中的最大元素，．
①当时，求的值；
②求的值．
《计数原理》单元复习课（参考答案）
【典型例题】
【例1】 （1）解析： C　分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，共有CCA＝72(个)；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，共有CC(A－A)＝108(个)，所以满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．
（2）解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C＝6(种)，再分配给3个人，有A＝6(种)，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．
(3)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55(种)不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12(种)不同的选法．根据分步乘法计算原理知共有55×12＝660(种)不同的选法．答案 (1)D　(2)660
拓展1．B　解析 甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)．
拓展2．D 解析：有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有CA＝60(种)；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有＝90(种)，所以共有150种，故选D. 答案：D
拓展3．解析 “渐升数”由小到大排列，形如的“渐升数”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；形如的“渐升数”共有5个；形如的“渐升数”共有4个，故此时共有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列的四位“渐升数”的第30个数为1 359. 答案 1 359
【例2】 (1)解析 ：在二项式n的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，所以A＝4n，二项展开式的二项式系数和为2n，所以B＝2n，所以4n＋2n＝72，解得n＝3，所以n＝3的展开式的通项为Tr＋1＝C()3－rr＝，令＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9.故选B. 答案 (1)B　
(2)解析 ：解析：令x＝2，得29＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＋a9，
令x＝0，得0＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9，
所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝28.
又x9＝[1＋(x－1)]9，其中T8＝C(x－1)7，
所以a7＝C＝36，故＝＝.答案：
拓展1．解析 3＝6展开后的通项是C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k.
令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C(－2)3＝－160.答案 －160
拓展2．解析 －1＋3C－9C＋27C－…－310C＋311＝(－1＋3)11＝211＝2 048＝2 045＋3，它除以5余数为3.答案 3
拓展3．解析：对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.答案：D
思考：（1）证明：，时，


，
，时，．
（2）解：由（1）得，

，
．
（3）解：


，
，
，
即当时，．
【巩固练习】
一、单选题
1．C　解析 当重复数字是1时，有C·C种；当重复数字不是1时，有C种．由分类加法计数原理，得满足条件的“好数”有C·C＋C＝12(个)．
2．解析：选D　若A景点只有一个人，则不同的方案有CCA＝18种；若A景点有2个人，则不同的方案有CA＝6种．所以不同的方案有18＋6＝24种．故选D.
3. 错解：B　把从周一到周日7天分为3组，第一组选2天，第二组选2天，剩下的3天给第三组，这三组再分给三人，共有：CCCA＝1 260.(平均分组问题中的重复计数)
错因分析：本题是一个平均分组问题；错解中的挑选方法可能为第一组挑选的是周一、周二，第二组挑选的是周三、周四；也可能是第一组挑选的是周三、周四，第二组挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了．
正解：D　·A＝630种．
4. 解析：∵1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910，∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1. 故选A.
5．D　解析 因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C×22×(－1)8＝180，故选D.
二、多选题
6. 【答案】BC 7.【答案】BC
三、填空题
8．解析：　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，
∴0＝1＋＋＋…＋. 即＋＋…＋＝－1.
9.解析　第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有CA＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有AA＝36(种).根据分类计数原理可得，共有36＋18＝54(种).答案　54
四、解答题
10．解析 (1)能被25整除的数有两类：后两位是50时，总的个数是A＝120；后两位是25时，先排首位有4种方法，其他四位有A种方法，共有4×A＝96(个)数．所以能被25整除的数有120＋96＝216(个)．
(2)0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数有6A个，满足x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，且x(3)先把四个偶数放在一起，共有A种排法，再把四个偶数看作一个元素与三个奇数组成四个元素进行排列，有A种排法，总的排法有A×A＝576(种)，由于此种排法会出现0在首位的现象，故从总的计数中减去0在首位的排法个数，0在首位时，三个偶数的排法有A种，三个奇数排在个、十、百位也有A种方法，故0在首位的排法有A×A＝36(种)．所以偶数必须相邻的数有576－36＝540(个)．
11．（1）证明：，，，

，
．
（2）解：①当时，，
它的所有个元素的子集为，，，
，
；
②，且，集合的所有个元素的子集为
，，，，，，
当最大元素为时，共有个集合；
当最大元素为时，共有个集合；
当最大元素为时，共有个集合；

当最大元素为时，共有个集合．

，，


．