勾股定理的逆定理案例
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文档简介
初中数学教学案例
18.1勾股定理（第一课时）
教 学目标 知识技能 1.了解勾股定理的文化背景.2.体验勾股定理的探索和证明过程.
数学思考 在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
解决问题 1．通过拼图活动，体验数学思维的严密性，发展形象思维.2．在探究活动中，学会与他人合作并交流思维的过程和探究的结果．
情感态度 1．通过对勾股定理历史的了解，对比介绍中西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习.2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神.
教学重点 探索和验证勾股定理．
教学难点 用拼图的方法验证勾股定理．
教具 多媒体课件
教学过程
教学流程 教师活动 学生活动 设计意图
情景引人探究新知组内交流得出猜想实践验证总结升华 [活动1]讲述资料故事提出问题1：数学家大会为什么用该图做会徽呢 它有什么特殊的含义吗？ 教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．问题2：你听说过“勾股定理”吗？教师关注：学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣.引人课题18.1《勾股定理》（板书课题） [活动2] 问题1.你能发现SA 、 SB 、SC之间的关系吗？问题2.等腰直角三角形的三边a、 b、 c之间有什么关系？出示幻灯片3 在本次活动中，教师重点关注：(1)教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积.(2) 幻灯片展示答案(3)引导学生将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来：[活动3] 实践验证早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用赵爽弦图验证了“勾股定理”幻灯片展示赵爽弦图 教师详细介绍赵爽弦图的拼割过程.问题：.你能利用手中的材料通过其他的拼法验证勾股定理吗？试试看，你能拼几种在本次活动中，教师重点关注：（1）学生能否进行合理的拼图．对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；（2）学生能否用语言准确的表达自己的观点．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（板书）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来)追溯历史，激发情感 学生观察图片发表见解．生1.会徽是很具有代表性的东西，比如2008年体育奥运会的会徽是五环旗.生2.我在其他的资料里见过这个图案.生3.课本面上也有这样的图案.（同学们积极踊跃的发言,学习积极性很高）学生当听到是“赵爽弦图”时，好奇之心更加强烈，学习热情很高.对“勾股定理”表示不理解 观察图片后结合课本上的内容，学生很快就发现这一关系式SA + SB =SCa2 + b2 = c2纷纷举手回答，并总结：等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方在独立探究的基础上，学生分组（前后位四人一组）合作交流.用不同的方法得出大正方形C的面积生1：把C“补” 成边长为7的正方形面积的一半. 生2：将正方形C分“割”成若干个直角边为整数的三角形 当答案不同、意见有分歧时，所有同学都在积极思考，大胆发言，各抒己见，直到探求出正确结果.学生总结命题：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方观看幻灯片感受赵爽弦图的奇妙学生对拼图活动很感兴趣利用手中准备好的材料（直角三角形纸板4个）进行拼图验证.小组之间合理分工（两名同学拼图，另两名同学负责理论验证）合作效果很好各组之间争先恐后，积极展示自己的成果,真是奇思妙想，各抒己见，拼图方法已经超过了老师的预设范围，同学们之间争得面红耳赤，极大限度的开发了学生的潜能，课堂气氛进入又一个高潮.在老师的帮助下学困生也能较好的完成拼图.同学们总结：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（生口述）．通过阅读材料感受数学文化的辉煌历史，学习热情高涨. 从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料．问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇心和主动学习的欲望．为学生提供参与数学活动的时间和空间，让学生积极动手，发挥学生的主体作用，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．， 通过动画演示，让学生更直观形象地理解和掌握赵爽弦图的拼割过程.让学生积极动手，发挥学生的主体作用，培养学生的类比迁移能力，体会数形结合的思想. 回放勾股定理数学史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，点燃他们热爱数学的热情.
尝试应用 在本环节中，教师重点关注：（1）提出问题后，引导学生将实际问题转化为数学模型；（2）规范学生的解题格式书写（3）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对学生进行指导. 问题（1）、（2）、（3）学生在练习本上独立完成后口答.问题（3）学生展示了两种解法，通过比较，更加深了对勾股定理的理解和掌握.问题（4）将实际问题转化为数学模型：学生自主解答：学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成．问题（5）也是将实际问题转化为数学模型：学生以口述的方式给出答案，讲解生动，效果好.. 同学们能够及时发现自己的错误，弥补过失. 通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活．
交流展示 在本环节中，教师重点关注：（1）不同层次的学生对知识的理解程度.（2）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯. 小组推选代表发言，其他组作补充说明.学生畅所欲言（课堂气氛活跃）学生能从不同方面谈感受，能认真倾听他人的意见和观点. 学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力.
补偿提高 在本环节中，教师重点关注：（1）当学生探索受阻时，要给予必要的点播、引导（2）对学有余力的学生，鼓励他们进一步加以变式、拓展． 问题（1）学生很容易得到答案：S2+S3= S1问题（2）需要一定的验证首先用圆的面积公式分别表示出S1、S2、S3然后得出结论：S1+S2=S3学生在独立探究的基础上，分组交流（课堂上再现紧张而又活跃的学习气氛，学生讨论热烈）两名学生同时板演了解题过程，效果很好部分学困生对于问题（2）的探讨感到吃力，在老师的引导下找到解决问题的办法 变式训练，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生插上联想的翅膀，在知识的海洋翱翔。使所学的知识得到进一步掌握和深化．
布置作业 1．必做题：课本69页第一题。 2．选做题：收集有关勾股定理的其它证明方法，下节课展示、交流. 根据自己的情况选择完成 及时掌握学生学习情况，以便调整教学计划和教学进度
案例说明
勾股定理是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切联系起来，有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位，在实际中有很大的用途。
整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华----综合应用”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程。由于我们的学生知识面狭窄，更需要文化的引领，所以先通过欣赏图片，了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣;；然后通过观察、分析方格图，得出直角三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。在对勾股定理的探究证明过程中，向学生渗透由特殊到一般的数学方法及数形结合的数学思想。对教学难点采用割补面积及拼图法进行突破。图形的变化，使得课堂教学严谨、有趣，让学生的学习变得轻松愉快。
本节课运用了探究式教学方法，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间。使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，学生的学习方式和思维方式发生了质的飞跃。
关于练习的设计，我采用分层训练，让不同的学生都学有所得，以达到因材施教的目的。练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近生活的实例，使学生更加深刻地认识到数学的本质特征：数学来源于生活，并服务于生活．
最后让学生总结了本堂课的收获。从内容，到数学思想方法，到获取知识的途径等方面。给学生自由的空间，鼓励学生多说。引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将所学知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力，效果很好。
18.1勾股定理（第一课时）
教 学目标 知识技能 1.了解勾股定理的文化背景.2.体验勾股定理的探索和证明过程.
数学思考 在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
解决问题 1．通过拼图活动，体验数学思维的严密性，发展形象思维.2．在探究活动中，学会与他人合作并交流思维的过程和探究的结果．
情感态度 1．通过对勾股定理历史的了解，对比介绍中西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习.2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神.
教学重点 探索和验证勾股定理．
教学难点 用拼图的方法验证勾股定理．
教具 多媒体课件
教学过程
教学流程 教师活动 学生活动 设计意图
情景引人探究新知组内交流得出猜想实践验证总结升华 [活动1]讲述资料故事提出问题1：数学家大会为什么用该图做会徽呢 它有什么特殊的含义吗？ 教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．问题2：你听说过“勾股定理”吗？教师关注：学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣.引人课题18.1《勾股定理》（板书课题） [活动2] 问题1.你能发现SA 、 SB 、SC之间的关系吗？问题2.等腰直角三角形的三边a、 b、 c之间有什么关系？出示幻灯片3 在本次活动中，教师重点关注：(1)教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积.(2) 幻灯片展示答案(3)引导学生将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来：[活动3] 实践验证早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用赵爽弦图验证了“勾股定理”幻灯片展示赵爽弦图 教师详细介绍赵爽弦图的拼割过程.问题：.你能利用手中的材料通过其他的拼法验证勾股定理吗？试试看，你能拼几种在本次活动中，教师重点关注：（1）学生能否进行合理的拼图．对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；（2）学生能否用语言准确的表达自己的观点．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（板书）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来)追溯历史，激发情感 学生观察图片发表见解．生1.会徽是很具有代表性的东西，比如2008年体育奥运会的会徽是五环旗.生2.我在其他的资料里见过这个图案.生3.课本面上也有这样的图案.（同学们积极踊跃的发言,学习积极性很高）学生当听到是“赵爽弦图”时，好奇之心更加强烈，学习热情很高.对“勾股定理”表示不理解 观察图片后结合课本上的内容，学生很快就发现这一关系式SA + SB =SCa2 + b2 = c2纷纷举手回答，并总结：等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方在独立探究的基础上，学生分组（前后位四人一组）合作交流.用不同的方法得出大正方形C的面积生1：把C“补” 成边长为7的正方形面积的一半. 生2：将正方形C分“割”成若干个直角边为整数的三角形 当答案不同、意见有分歧时，所有同学都在积极思考，大胆发言，各抒己见，直到探求出正确结果.学生总结命题：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方观看幻灯片感受赵爽弦图的奇妙学生对拼图活动很感兴趣利用手中准备好的材料（直角三角形纸板4个）进行拼图验证.小组之间合理分工（两名同学拼图，另两名同学负责理论验证）合作效果很好各组之间争先恐后，积极展示自己的成果,真是奇思妙想，各抒己见，拼图方法已经超过了老师的预设范围，同学们之间争得面红耳赤，极大限度的开发了学生的潜能，课堂气氛进入又一个高潮.在老师的帮助下学困生也能较好的完成拼图.同学们总结：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（生口述）．通过阅读材料感受数学文化的辉煌历史，学习热情高涨. 从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料．问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇心和主动学习的欲望．为学生提供参与数学活动的时间和空间，让学生积极动手，发挥学生的主体作用，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．， 通过动画演示，让学生更直观形象地理解和掌握赵爽弦图的拼割过程.让学生积极动手，发挥学生的主体作用，培养学生的类比迁移能力，体会数形结合的思想. 回放勾股定理数学史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，点燃他们热爱数学的热情.
尝试应用 在本环节中，教师重点关注：（1）提出问题后，引导学生将实际问题转化为数学模型；（2）规范学生的解题格式书写（3）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对学生进行指导. 问题（1）、（2）、（3）学生在练习本上独立完成后口答.问题（3）学生展示了两种解法，通过比较，更加深了对勾股定理的理解和掌握.问题（4）将实际问题转化为数学模型：学生自主解答：学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成．问题（5）也是将实际问题转化为数学模型：学生以口述的方式给出答案，讲解生动，效果好.. 同学们能够及时发现自己的错误，弥补过失. 通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活．
交流展示 在本环节中，教师重点关注：（1）不同层次的学生对知识的理解程度.（2）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯. 小组推选代表发言，其他组作补充说明.学生畅所欲言（课堂气氛活跃）学生能从不同方面谈感受，能认真倾听他人的意见和观点. 学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力.
补偿提高 在本环节中，教师重点关注：（1）当学生探索受阻时，要给予必要的点播、引导（2）对学有余力的学生，鼓励他们进一步加以变式、拓展． 问题（1）学生很容易得到答案：S2+S3= S1问题（2）需要一定的验证首先用圆的面积公式分别表示出S1、S2、S3然后得出结论：S1+S2=S3学生在独立探究的基础上，分组交流（课堂上再现紧张而又活跃的学习气氛，学生讨论热烈）两名学生同时板演了解题过程，效果很好部分学困生对于问题（2）的探讨感到吃力，在老师的引导下找到解决问题的办法 变式训练，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生插上联想的翅膀，在知识的海洋翱翔。使所学的知识得到进一步掌握和深化．
布置作业 1．必做题：课本69页第一题。 2．选做题：收集有关勾股定理的其它证明方法，下节课展示、交流. 根据自己的情况选择完成 及时掌握学生学习情况，以便调整教学计划和教学进度
案例说明
勾股定理是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切联系起来，有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位，在实际中有很大的用途。
整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华----综合应用”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程。由于我们的学生知识面狭窄，更需要文化的引领，所以先通过欣赏图片，了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣;；然后通过观察、分析方格图，得出直角三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。在对勾股定理的探究证明过程中，向学生渗透由特殊到一般的数学方法及数形结合的数学思想。对教学难点采用割补面积及拼图法进行突破。图形的变化，使得课堂教学严谨、有趣，让学生的学习变得轻松愉快。
本节课运用了探究式教学方法，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间。使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，学生的学习方式和思维方式发生了质的飞跃。
关于练习的设计，我采用分层训练，让不同的学生都学有所得，以达到因材施教的目的。练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近生活的实例，使学生更加深刻地认识到数学的本质特征：数学来源于生活，并服务于生活．
最后让学生总结了本堂课的收获。从内容，到数学思想方法，到获取知识的途径等方面。给学生自由的空间，鼓励学生多说。引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将所学知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力，效果很好。