2020-2021学年 北师大版八年级数学下册第四章因式分解 同步测试（五一假期作业）含答案

北师大版八年级数学下册第四章因式分解
同步测试
一．选择题
1．下列各式因式分解正确的是（　　）
A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n）
B．﹣2x﹣8＝﹣2（x﹣4）
C．a2﹣a＝a（a﹣1）
D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
2．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2
B．1
C．﹣2
D．﹣1
3．下列式子为因式分解的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x
B．x2﹣x＝x（x+1）
C．x2+x＝x（x+1）
D．x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
4．给出下面四个多项式：①3x2﹣xy﹣2y2；②x2+x﹣y2﹣y；③x7﹣xy6；④x3+y3，其中以代数式x﹣y为因式的多项式的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（　　）
A．1﹣3x﹣4y
B．﹣1﹣3x﹣4y
C．1+3x﹣4y
D．﹣1﹣3x+4y
6．把8x2y﹣2xy分解因式（　　）
A．2xy（4x+1）
B．2x（4x﹣1）
C．xy（8x﹣2）
D．2xy（4x﹣1）
7．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　　）
A．1.1111111×1016
B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056
D．1.1111111×1017
8．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝，n＝
B．m＝，n＝5
C．m＝25，n＝5
D．m＝5，n＝
9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为x2﹣49，乙与丙相乘，积为x2﹣9x+14，则甲与丙相加的结果是（　　）
A．2x+5
B．2x﹣5
C．2x+9
D．2x﹣9
10．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（　　）
A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）
B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）
D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）
11.下列因式分解中，正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
12．以下关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　）
A．x2﹣3x+2
B．3x2﹣x+1
C．2x2﹣9x﹣1
D．x2﹣4x+2
二．填空题
13．2x3y2与12x4y的公因式是　
　．
14．分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝　
　．
15．分解因式：9a2﹣4＝　
　．
16．因式分解：8﹣2x2＝　
　．
17．分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝　
　．
18．若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为　
　．
三．解答题
19．因式分解：
（1）﹣3ma2+12ma﹣12m；
（2）n2（m﹣2）+4（2﹣m）．
20．因式分解：
（1）（a+4）（a﹣1）﹣3a；
（2）27x2y﹣36xy2+12y3．
21．因式分解：
（1）8a3﹣2a；
（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
22．分解因式：
（1）﹣3ab2+27a；
（2）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12；
（3）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2．
23.已知
是△的三边的长，且满足：
试判断此三角形的形状.
24.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解.
.
25．已知，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2
（2）x2﹣y2．
26．阅读例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．
北师大版八年级数学下册第四章因式分解
同步测试答案
一．选择题
1．下列各式因式分解正确的是（　　）
A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n）
B．﹣2x﹣8＝﹣2（x﹣4）
C．a2﹣a＝a（a﹣1）
D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝﹣2（x+4），不符合题意；
C、原式＝a（a﹣1），符合题意；
D、原式＝（a+1）2，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2
B．1
C．﹣2
D．﹣1
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，
∴b＝0.5，a＝1.5，
∴a+b＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
3．下列式子为因式分解的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x
B．x2﹣x＝x（x+1）
C．x2+x＝x（x+1）
D．x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
【解答】解；A、x（x﹣1）＝x2﹣x，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、原因式分解错误，正确的是x2﹣x＝x（x﹣1），故此选项不符合题意；
C、x2+x＝x（x+1），是正确的因式分解，故此选项符合题意；
D、原因式分解错误，正确的是x2﹣x＝x（x﹣1），故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
4．给出下面四个多项式：①3x2﹣xy﹣2y2；②x2+x﹣y2﹣y；③x7﹣xy6；④x3+y3，其中以代数式x﹣y为因式的多项式的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】先将四个多项式分解因式，根据分解的结果，找到有因式x﹣y的多项式即可作出判断．
【解答】解：①3x2﹣xy﹣2y2＝（3x+2y）（x﹣y）；
②x2+x﹣y2﹣y＝（x+y）（x﹣y）+（x﹣y）＝（x+y+1）（x﹣y）；
③x7﹣xy6＝x（x6﹣y6）＝x（x3+y3）（x3﹣y3）＝x（x+y）（x2﹣xy+y2）
（x﹣y）（x2+xy+y2）；
④x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）．
故有因式x﹣y的多项式有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．
5．若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（　　）
A．1﹣3x﹣4y
B．﹣1﹣3x﹣4y
C．1+3x﹣4y
D．﹣1﹣3x+4y
【分析】利用多项式的每一项除以公因式，即可得到另一个因式．
【解答】解：﹣6ab+18abx+24aby＝﹣6ab（1﹣3x﹣4y），
所以另一个因式是（1﹣3x﹣4y）．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商．
6．把8x2y﹣2xy分解因式（　　）
A．2xy（4x+1）
B．2x（4x﹣1）
C．xy（8x﹣2）
D．2xy（4x﹣1）
【分析】直接找出公因式2xy，进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝2xy（4x﹣1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　　）
A．1.1111111×1016
B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056
D．1.1111111×1017
【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可．
【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452＝（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）＝1.1111111×1017．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝，n＝
B．m＝，n＝5
C．m＝25，n＝5
D．m＝5，n＝
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
【解答】解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，
∴2n＝5，m＝n2，
解得m＝，n＝，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为x2﹣49，乙与丙相乘，积为x2﹣9x+14，则甲与丙相加的结果是（　　）
A．2x+5
B．2x﹣5
C．2x+9
D．2x﹣9
【分析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．
【解答】解：∵x2﹣49＝（x+7）（x﹣7），
x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），
∴乙为x﹣7，
∴甲为x+7，丙为x﹣2，
∴甲与丙相加的结果x+7+x﹣2＝2x+5．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式，十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
10．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（　　）
A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）
B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）
D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）
【分析】根据十字相乘法的分解方法，要把x﹣y看做是个整体．
【解答】解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，
＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．
故选：C．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，把（x﹣y）看作一个整体比较关键．
11.下列因式分解中，正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
解析：A.用平方差公式，应为，故本选项错误；
B.用提公因式法，应为，故本选项错误；
C.用平方差公式，，故本选项正确；
D.用完全平方公式，应为9，故本选项错误．故选C．
12．以下关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　）
A．x2﹣3x+2
B．3x2﹣x+1
C．2x2﹣9x﹣1
D．x2﹣4x+2
【分析】A选项直接利用十字相乘法因式分解，C、D选项先配方成a（x﹣b）2﹣c的形式，再利用平方差公式分解，据此可得答案．
【解答】解：A．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），此选项不符合题意；
B．3x2﹣x+1不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意；
C．2x2﹣9x﹣1＝2（x﹣）2﹣＝[（x﹣）+][（x﹣）﹣]，此选项不符合题意；
D．x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2＝（x﹣2+）（x﹣2﹣），此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查实数范围内分解因式，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．
二．填空题
13．2x3y2与12x4y的公因式是　2x3y　．
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
【解答】解：∵2x3y2＝2x3y?y，12x4y＝2x3y?6x，
∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y，
故答案为：2x3y．
【点评】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
14．分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝　（x﹣3）（x+1）（x﹣1）　．
【分析】直接提取公因式（x﹣3），进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2（x﹣3）﹣x+3
＝x2（x﹣3）﹣（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣1）
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
15．分解因式：9a2﹣4＝　（3a﹣2）（3a+2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：9a2﹣4＝（3a﹣2）（3a+2）．
故答案为：（3a﹣2）（3a+2）．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
16．因式分解：8﹣2x2＝　2（2+x）（2﹣x）　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝2（4﹣x2）＝2（2+x）（2﹣x），
故答案为：2（2+x）（2﹣x）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确因式分解的前提．
17．分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝　（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）　．
【分析】前三项一组，利用完全平方公式分解因式，然后再与第四项利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣1，
＝（x2﹣2xy+y2）﹣1，
＝（x﹣y）2﹣1，
＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
【点评】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解．
18．若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为　﹣9　．
【分析】设另一个因式为x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2﹣px+q，根据各项系数相等列式，计算可得3p+q的值．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则x2﹣px+q＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
由此可得，
由①得：a＝﹣p﹣3③，
把③代入②得：﹣3p﹣9＝q，
3p+q＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．
三．解答题
19．因式分解：
（1）﹣3ma2+12ma﹣12m；
（2）n2（m﹣2）+4（2﹣m）．
【分析】（1）首先提取公因式﹣3m，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）首先提取公因式（m﹣2），进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）
＝﹣3m（a﹣2）2；
（2）原式＝（m﹣2）（n2﹣4）
＝（m﹣2）（n+2）（n﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
20．因式分解：
（1）（a+4）（a﹣1）﹣3a；
（2）27x2y﹣36xy2+12y3．
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式化简，再利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式3y，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：（1）（a+4）（a﹣1）﹣3a
＝a2﹣a+4a﹣4﹣3a
＝a2﹣4
＝（a+2）（a﹣2）；
（2）27x2y﹣36xy2+12y3
＝3y（9x2﹣12xy+4y2）
＝3y（3x﹣2y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
21．因式分解：
（1）8a3﹣2a；
（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2a（4a2﹣1）
＝2a（2a+1）（2a﹣1）；
（2）原式＝[3（x﹣y）+2]2
＝（3x﹣3y+2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．分解因式：
（1）﹣3ab2+27a；
（2）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12；
（3）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2．
【分析】通过提公因式和公式法及十字相乘法求解．
【解答】解：（1）原式＝3a（9﹣b2）＝3a（3+b）（3﹣b）．
（2）原式＝（x2+x﹣2）（x2+x﹣6）＝（x+2）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．
（3）原式＝[3（m﹣2n）+（m+2n）][3（m﹣2n）﹣（m+2n）]＝（4m﹣4n）（2m﹣8n）＝8（m﹣n）（m﹣4n）．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底．
23.已知
是△的三边的长，且满足：
试判断此三角形的形状.
解：=0，=0，
所以，即=0，=0，所以
所以△ABC是等边三角形.
24.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解.
.
解：本题答案不唯一.例如：
；
25．已知，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【分析】先由已知条件得到x+y＝2，xy＝（）2﹣（）2＝4，x﹣y＝2，然后用它们表示所求的代数式，再利用整体代入的方法代入计算即可．
【解答】解：x+y＝2，xy＝（）2﹣（）2＝4，x﹣y＝2
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝24；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝8．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解，先把所求的代数式因式分解，然后利用整体代入的思想代入计算．
26．阅读例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2+4x+m＝（x+1）（x+n），则
x2+4x+m＝x2+（n+1）x+n，∴，解得．
∴另一个因式（x+3），m的值为3．
问题：已知二次三项式2x2+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．
【分析】设另一个因式为（x+p），得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3）＝2x2+（2p﹣3）﹣3p，可知2p﹣3＝1，﹣3p＝k，继而求出p和k的值及另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+p），
得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3），
则2x2+x+k＝2x2+（2p﹣3）﹣3p，
∴，
解得，
∴另一个因式为（x+2），k的值为﹣6．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．