2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》单元练习（word版，含答案）

第1章
三角形的证明
一、单选题
1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
2．已知，如图在△ABC中，AB＝AC，AD是三角形的高，若∠CAD＝20°，则∠B的度数是（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，点D是AE上的一点，则下列结论错误的是（　　）
A．AE⊥BC
B．△BED≌△CED
C．△BAD≌△CAD
D．∠ABD＝∠DBE
4．将一副三角板按如图所示平放在一平面上（点B在AD上），则∠1的度数为（　　）
A．135°
B．105°
C．95°
D．75°
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）
A．AD平分∠BAC
B．∠ADC＝60°
C．点D在AB的垂直平分线上
D．S△DAC：S△ABC＝1：2
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E都在边BC上，且BD＝CE，若AD＝3，则AE的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（　　）
A．以C为圆心，以CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若AG＝4，BC＝15，则△BCG的面积为（　　）
A．60°
B．45°
C．30
D．15
9．如图，△ABC为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使AD＝AO，则∠DOB的度数为（　　）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
10．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．30°
D．36°
11．在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A、B连线为一边构造格点等腰三角形ABC，则符合的点C的个数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
12．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题
13．已知，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且BC＝2AD，则等腰三角形ABC底角的度数为　
　．
14．如图所示，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，若DE＝2，则BC＝　
　．
15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝2，△ABD的周长为10，则△ABC的周长为　
　．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是它的角平分线，若AB：AC＝3：2，且BD＝2，则点D到直线AB的距离为　
　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是　
　．
18．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是　
　．
19．如图，△ABC是正三角形，点D为三边中线的交点，则∠ADB＝　
　度．
20．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝6cm，点E、F分别为OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值为　
　cm．
三、解答题
21．（10分）在△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB＝BE，∠AED＝∠C．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：AD+DE＝BD．
22．（10分）如图，在四边形ACDB中，CD⊥BD，CD＝4，△BCD的面积为6，AC＝12，AB＝13．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，线段AP恰好平分∠CAB？
（3）当t为何值时，△ACP是等腰三角形？
参考答案与试题解析
一、单选题
1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
2．已知，如图在△ABC中，AB＝AC，AD是三角形的高，若∠CAD＝20°，则∠B的度数是（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B的度数即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是三角形的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠B＝＝70°，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，点D是AE上的一点，则下列结论错误的是（　　）
A．AE⊥BC
B．△BED≌△CED
C．△BAD≌△CAD
D．∠ABD＝∠DBE
【分析】根据等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线即可确定正确的结论．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE垂直平分BC，
∴A、B、C正确，
∵点D为AE上的任一点，
∴∠ABD＝∠DBE不正确，
故选：D．
4．将一副三角板按如图所示平放在一平面上（点B在AD上），则∠1的度数为（　　）
A．135°
B．105°
C．95°
D．75°
【分析】由∠BAC＝90°，∠DAE＝30°可得∠CAE＝60°，由三角形外角性质可得∠1的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠DAE＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠1＝∠C+∠CAE＝45°+60°＝105°，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）
A．AD平分∠BAC
B．∠ADC＝60°
C．点D在AB的垂直平分线上
D．S△DAC：S△ABC＝1：2
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；通过角度的计算得到∠BAC＝60°，∠CAD＝∠BAD＝30°，则可对B选项的结论正确；利用∠B＝∠BAD得到DA＝DB，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对C选项进行判断；根据含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2CD，则BD＝2CD，所以BC＝3CD，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，所以B选项的结论正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以C选项的结论正确；
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，
而BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，所以D选项的结论错误．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E都在边BC上，且BD＝CE，若AD＝3，则AE的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】由等腰三角形的性质得出AB＝AC，证明△ABD≌△ACE（SAS），得出AE＝AD，进而得出结论．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE＝3，
故选：B．
7．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（　　）
A．以C为圆心，以CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
【分析】利用作角的平分线的画法进行判断．
【解答】解：由作图可知，弧①是以C为圆心，以大于CD长为半径的弧．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若AG＝4，BC＝15，则△BCG的面积为（　　）
A．60°
B．45°
C．30
D．15
【分析】由作法得CG平分BAC，作GH⊥BC，如图，根据角平分线的性质得GH＝GA＝4，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：由作法得CG平分BAC，
作GH⊥BC，如图，则GH＝GA＝4，
所以△BCG的面积＝×15×4＝30．
故选：C．
9．如图，△ABC为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使AD＝AO，则∠DOB的度数为（　　）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝∠ABC＝60°．∠DBO＝30°．再根据角之间的关系求得∠D＝∠DBO，根据三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BO是中线，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∠DBO＝30°．
又∵AD＝AO，
∴∠D＝∠AOD．
又∵∠BAO＝∠D+∠AOD，
∴∠D＝∠AOD＝∠BAO＝30°．
∴∠D＝∠DBO＝30°．
∴∠DOB＝180°﹣30°﹣30＝120°．
故选：B．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．30°
D．36°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形我觉得性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠C＝90°﹣∠B＝∠BAD+∠B，
∵∠B＝2∠BAD，
∴4∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∴∠BAD＝18°，
故选：A．
11．在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A、B连线为一边构造格点等腰三角形ABC，则符合的点C的个数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】根据等腰三角形的判定和长方形网格的特点易作出满足条件的C点．
【解答】解：如图：
故选：C．
12．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】利用三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义求出各个角即可判断．
【解答】解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴△AED是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，∠EDB＝∠EBD＝36°，
∴△ABD，△BDE都是等腰三角形，
∵∠C＝∠BDC＝72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴等腰三角形有5个，
故选：C．
二、填空题
13．已知，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且BC＝2AD，则等腰三角形ABC底角的度数为　45°或15°或75°　．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，从而得到AD＝BD＝CD，再利用等边对等角的性质可得∠B＝∠BAD，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【解答】解：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
∵BC＝2AD，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD＝（180°﹣90°）＝45°．
当AB＝BC，AD垂直于BC延长线，∠B＝150°，底角＝15°；
当AB＝BC，AD垂直于BC，∠B＝30°；
底角＝75°，
故答案为：45°或15°或75°．
14．如图所示，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，若DE＝2，则BC＝　12　．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，利用直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE＝30°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE＝CE＝2DE＝4，
∴CE＝2AE＝8，
∴BC＝BE+CE＝8+4＝12，
故答案为：12．
15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝2，△ABD的周长为10，则△ABC的周长为　14　．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝4，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝2，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝4，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+BD+AD＝10，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝10，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+4＝14，
故答案为：14．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是它的角平分线，若AB：AC＝3：2，且BD＝2，则点D到直线AB的距离为　　．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝DC，利用面积法可得出＝，结合AB：AC＝3：2，且BD＝2，可求出CD的长，此题得解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC．
∵S△ABD＝AC?BD＝AB?DE，S△ACD＝AC?CD，
∴＝＝，即＝，
∴CD＝，
∴点D到直线AB的距离为．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是　15°　．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD＝∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
18．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是　10　．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值等于AC的长，根据AB，AC的长度即可得到△ABP周长的最小值．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝4+6＝10．
故答案为：10．
19．如图，△ABC是正三角形，点D为三边中线的交点，则∠ADB＝　120　度．
【分析】根据等边三角形中三线合一和等边三角形中内角是60°可得∠ABD和∠DAB的度数，根据三角形的内角和可得∠ADB的度数．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝60°．
∵点D为三边中线的交点，
∴BD平分∠ABC，AD平分∠CAB，
∴∠DBA＝∠DAB＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120．
20．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝6cm，点E、F分别为OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值为　6　cm．
【分析】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小，然后根据∠AOB＝30°，证明△OP1P2是等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．
从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P1OP2＝60°．
∵OP1＝OP2，
∴△OP1P2是等边三角形．
∴P1P2＝OP1＝OP＝6cm．
∴△PEF周长的最小值是6cm．
故答案为：6．
三、解答题
21．（10分）在△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB＝BE，∠AED＝∠C．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：AD+DE＝BD．
【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质解答即可；
（2）延长DA至F，使AF＝DE，连接FB，根据SAS证明△FBA和△DBE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，
∵∠AEB＝∠EAC+∠C，∠CDE＝∠EAC+∠AED，
∵∠AED＝∠C，
∴∠CDE＝∠AEB＝60°，
（2）如图，延长DA至F，使AF＝DE，连接FB，
由（1）得△ABE为等边三角形，
∴∠AEB＝∠ABE＝60°，
∵∠BED＝∠AEB+∠AED＝60°+∠AED，
∵∠BAF＝∠ABE+∠C＝60°+∠C，且∠C＝∠AED，
∴∠BED＝∠BAF，
在△FBA和△DBE中，
，
∴△FBA≌△DBE（SAS），
∴DB＝FB，∠DBE＝∠FBA，
∴∠DBE+∠ABD＝∠FBA+∠ABD，
∴∠ABE＝∠FBD＝60°，
∵DB＝FB，
∴△FBD为等边三角形，
∴BD＝FD，
∵FD＝AF+AD，且AF＝DE，
∴FD＝DE+AD＝BD．
22．（10分）如图，在四边形ACDB中，CD⊥BD，CD＝4，△BCD的面积为6，AC＝12，AB＝13．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据面积公式可求出BD的长，再根据勾股定理可求出BC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据直角三角形的面积求法求解即可．
【解答】解：（1）在△BCD中，CD⊥BD，CD＝4，△BCD的面积为6，
∴△BCD是直角三角形，
∴＝，
∴BD＝3，
∴在Rt△BCD中，．
（2）在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，
∵BC2+AC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出∠DBA＝30°，再求出答案即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出BD＝CD，求出AD＝CD，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD＝CD，
∵AD＝BD，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AC＝4．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，线段AP恰好平分∠CAB？
（3）当t为何值时，△ACP是等腰三角形？
【分析】（1）根据题意求出CP，根据三角形面积公式计算；
（2）作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PC＝PD，根据勾股定理列式计算；
（3）分CA＝CP、PA＝PC、AC＝AP、AC＝CP四种情况，根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：（1）由题意得，当t＝2时，CP＝2（cm），则BP＝8﹣2＝6（cm），
∴△ABP的面积＝×BP×AC＝×6×6＝18（cm2）；
（2）当线段AP恰好平分∠CAB时，作PD⊥AB于D，如图1，
∵线段AP平分∠CAB，∠ACB＝90°，PD⊥AB，
∴PC＝PD，AC＝AD＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
∴BD＝AB﹣AD＝4（cm），
在Rt△BPD中，PB2＝PD2+BD2，即（8﹣PC）2＝PC2+42，
解得，PC＝3（cm），
∴当t＝3时，线段AP恰好平分∠CAB；
（3）当CA＝CP时，CP＝6cm，
∴t＝6÷1＝6秒；
如图2，当PA＝PC时，∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC+∠B＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC，
∴PA＝PC＝PB＝5cm，
∴t＝（CB+BP）÷1＝13；
如图3，当AC＝AP时，AP＝6cm，AB＝10cm，
∴PB＝AB﹣AP＝4cm，
∴t＝（CB+BP）÷1＝12；
如图4，当AC＝CP时，作CD⊥AB于点D，
△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×6×8＝×10×CD，
解得，CD＝4.8，
在Rt△ACD中，AD＝＝3.6，
∴AP＝2AD＝7.2，
∴BP＝AB﹣AP＝2.8，
∴t＝（CB+BP）÷1＝10.8；
综上所述，当t为6或13或12或10.8时，△ACP是等腰三角形．