2020—2021学年冀教版九年级数学上册第二十五章 图形的相似 测试卷（word版含答案）

第二十五章
图形的相似
一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)
1.如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是(　　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
2．在下列各组线段中，不成比例的是(　　)
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝1，b＝，c＝，d＝
3．已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的面积比为(　　)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶16
4．佳佳在家里写作业时，作业不小心被墨水污染了其中一部分(如图)，则污染的部分是(　　)
(第4题)
A．DF
B．AC
C．EF
D．CF
5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED的是(　　)
A．∠AED＝∠B
B．∠ADE＝∠C
C.＝
D.＝
(第5题)　　
　　
(第6题)
6．如图，在平行四边形ABCD中，
EF∥AB交AD于点E，交DB于点F，DE?EA＝3?4，EF＝3，则CD的长为(　　)
A．4
B．7
C．3
D．12
7．下列说法：①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；
②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；
③相似三角形一定不是全等三角形；
④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．
其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
8.下列说法正确的是(　　)
A．石家庄以岭药业生产的连花清瘟胶囊的商标图案都是相似的
B．嘉琪所有的照片都是相似的
C．每次购物手机上生成的付款二维码都是相似的
D．药店新买来的医用口罩都是相似的
9．如图，是相似三角形的是(　　)
(第9题)
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
10．如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则＝(　　)
A.
B.
C.
D.
(第10题)　　
　　
(第11题)
11．如图是一个直角三角形苗圃，它由一个正方形花坛和两块直角三角形草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4
m和6
m，则草皮的总面积为(　　)
A．3
m2
B．9
m2
C．12
m2
D．24
m2
12．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若AB＝3，AD＝BC＝5，则的值应该(　　)
A．等于
B．小于
C．大于
D．不能确定
(第12题)　　　　
　
(第13题)
13．如图，在平面直角坐标系中，点E(－4，2)，点F(－1，－1)，以O为位似中心，将△EFO缩小为原来的，则点E的对应点E′的坐标为(　　)
A．(2，－1)或(－2，1)
B．(8，－4)或(－8，4)
C．(2，－1)
D．(8，－4)
14．如图，AD为△ABC的中线，AE?EF?FD＝4∶3∶1，则AG?GH?HC等于(　　)
A．4∶5∶3
B．3∶4∶2
C．2∶3∶1
D．1∶1∶1
(第14题)　　
　　
(第15题)
15．如图，AB＝4，射线BM和线段AB互相垂直，D为线段AB上一点，点E在射线BM上，且2BE＝DB，作EF⊥DE，EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
16．如图，△ABC的面积为S.点P1，P2，P3，…，Pn－1是边BC的n等分点(n≥3，且n为整数)，点M，N分别在边AB，AC上，且＝＝，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn－1，NB，NP1，NP2，…，NPn－1，线段MP1与NB相交于点O1，线段MP2与NP1相交于点O2，线段MP3与NP2相交于点O3，…，线段MPn－1与NPn－2相交于点On－1，则△NO1P1，△NO2P2，△NO3P3，…，△NOn－1Pn－1的面积和是(　　)
A.S
B.S
C.S
D.S
(第16题)　　　
(第18题)
二、填空题(17、18题每题3分，19题每空2分，共12分)
17．已知＝，则＝________．
18．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．
(第19题)
19．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2.测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则点B到河岸l的距离为________米，场地的边AB为________米，BC为________米．
三、解答题(20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，26题12分，共66分)
20．如图，△ABC在方格纸(小正方形的边长均为1)中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(3，4)，C(7，3)，并写出点B的坐标；
(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积S.
(第20题)
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°.
(第21题)
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB＝4，BE＝，求CD的长．
22．如图，两车从路段AB两端同时出发，沿平行路线行驶(即AC∥BD)，CE和DF的长分别表示两车到路段AB的距离．
(第22题)
(1)如果两车行驶速度不相同，求证：△ACE∽△BDF；
(2)添加一个条件，使△ACE≌△BDF，请说明理由．
23．如图，要从一块直角三角形的白铁皮余料ABC上截出一块矩形白铁皮EFGH.已知∠A＝90°，AB＝16
cm，AC＝12
cm，要使截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，则所截矩形的长和宽各是多少？
(第23题)
24．如图，在△ABC中，AB＝10
cm，BC＝20
cm，点P从点A开始沿AB边以2
cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以4
cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过多久，△PBQ与△ABC相似？
(第24题)
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另外一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直．
(1)设AD＝x，CF＝y，求y与x之间的函数表达式，并直接写出函数自变量的取值范围；
(2)如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．
(第25题)
26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(2，2)，点C是线段OA上的一个动点(不运动至O，A两点)，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在其右侧作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t.
(1)求的值．
(2)用含t的代数式表示△OAB的面积．
(3)是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．
(第26题)
答案
一、1.C　2.C　3.D　4.C　5.D　6.B
7．A　8.A　9.C　10.A　11.C　12.C
13．A　
14．B　【点拨】如图，过点D作DN∥AC，分别交BG，BH于点N，M，
∴易得＝，＝.
∵AE∶EF∶FD＝4∶3∶1，
∴＝＝＝1，＝＝＝，∴DN＝AG，DM＝AH.
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
又∵DN∥AC，
∴点N是BG的中点，点M是BH的中点，
∴DN＝CG，DM＝CH，
∴AG＝CG，CH＝AH.
∵AG＋CG＝AC，CH＋AH＝AC，
∴AG＝AC，CH＝AC，
∴GH＝AC－AG－CH＝AC－AC－AC＝AC，∴AG∶GH∶HC＝AC∶AC∶AC＝3∶4∶2.
(第14题)
15．A　【点拨】过点F作FG⊥BC于G，
∵∠DBE＝∠DEF＝90°，
∴∠BDE＋∠BED＝∠BED＋∠FEG＝90°，∴∠BDE＝∠FEG.
又∵∠DBE＝∠EGF＝90°，
∴△DBE∽△EGF.∴＝＝.
∵EF＝DE，2BE＝DB，BE＝x，
∴FG＝BE＝x，EG＝DB＝x.
∵AB⊥BM，FG⊥BM，
∴FG∥AB，∴△CFG∽△CAB.
∴＝.
∴＝，整理得y＝.
16．D　【点拨】连接MN，
∵＝＝，∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC.
∴＝＝，∠AMN＝∠ABC.
∴MN∥BC.
∵点P1，P2，P3，…，Pn－1是边BC的n等分点，∴MN＝BP1＝P1P2＝P2P3＝…＝Pn－1C.
∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2，…，四边形MNPn－1Pn－2都是平行四边形．
易知S△BCN＝S，S△MNB＝S，
∴S△BP1O1＝S△P1P2O2＝S△P3P2O3＝…＝S△Pn－2Pn－1On－1＝S.
∴S阴＝S△NBC－(n－1)·S△BP1O1－S△NPn－1C＝S－(n－1)·S－S＝S.
二、17.　18.(－5，－1)
19．10；15
；20
【点拨】∵AE⊥l，BF⊥l，∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF都是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN.
∵EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15＋2＋8＝25(米)，
BF＝FN＝2＋8＝10(米)．
∴AN＝25
米，BN＝10
米，
∴AB＝AN－BN＝15
米．
如图，过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于点P，交CH于点Q，
∴AE∥CH∥BF，
∴易得四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10米，PB＝EF＝15米，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴＝＝＝，
∴设MH＝3x米，CH＝5x米，∴CQ＝(5x－10)米，BQ＝FH＝(3x＋2)米，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP＋∠PAB＝∠ABP＋∠CBQ＝90°，∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，∴＝，
∴＝，∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20米，∴BC＝20
米．
(第19题)
三、20.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．点B的坐标为(3，2)．
(第20题)
(2)如图所示．
(3)△A′B′C′的面积S＝×4×8＝16.
21．(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∠AED＝45°，∴∠BAE＝∠CED.∴△ABE∽△ECD.
(2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝4
.
∵BE＝，∴EC＝3
.
∵△ABE∽△ECD，
∴＝，即＝，
解得CD＝.
22．(1)证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∴△ACE∽△BDF.
(2)解：添加的条件为两车等速行驶．
理由：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°.
∵两车等速同时行驶，∴AC＝BD.
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF.
23．解：过点A作AN⊥BC交EF于点M，交BC于点N.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BNA＝∠BAC，BC＝＝20
cm.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABN∽△CBA.∴＝.
∴AN＝＝
cm.
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF∥HG.
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.
∴△AEF∽△ABC.∴＝.
设FG＝x
cm，则MN＝x
cm，EF＝2x
cm.∴＝，
解得x＝.∴2x＝.
答：所截矩形的长是cm，宽是
cm.
24．解：设经过t
s，△PBQ与△ABC相似．
由题意得AP＝2t
cm，BQ＝4t
cm，BP＝(10－2t)cm.
当△PBQ∽△ABC时，有＝，
即＝，解得t＝2.5；
当△QBP∽△ABC时，有＝，
即＝，解得t＝1.
综上所述，经过2.5
s或1
s，△PBQ与△ABC相似．
25．解：(1)∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于点D，∴∠FDB＝60°.
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.
∴△BDF是等边三角形．∴BD＝BF.∵BC＝1，∠A＝30°，∴AB＝2，
∴2－x＝1－y，∴y＝x－1.
自变量的取值范围是1≤x≤.
(2)①如图①，当△CEF∽△EDF时，
＝，∠CEF＝∠EDF＝30°.
∵CF＝y，∴EF＝2y.
∵△BDF是等边三角形，
∴DF＝BF＝1－y.
∴＝.解得y＝.
∵AD＝x，y＝x－1，
∴AD＝1＋＝；
　
(第25题)
②如图②，当△CEF∽△FED时，
＝，∠CFE＝∠FDE＝30°.
∴CE＝EF.∴＝，
解得y＝，∴AD＝1＋＝.
∴AD的长为或.
26．解：(1)∵A(2，2)，∴∠AOD＝45°.
∴△OCD是等腰直角三角形．
∵OD＝t，∴正方形CDEF的边长为t.
∴OE＝OD＋DE＝t＋t＝2t.
∴＝＝.
(2)∵A(2，2)，∴OA＝2
.
∵OD＝t，∴OC＝t.
∴AC＝OA－OC＝2
－t.
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF∥OB.∴△ACF∽△AOB.
∴＝，即＝.
解得OB＝.
∴易得S△OAB＝(0＜t＜2)．
(3)存在．
要使△BEF与△OEF相似，
∵∠FEO＝∠FEB＝90°，
∴只要＝或＝即可，
即＝或＝.
解得BE＝2t或BE＝t.
①当BE＝2t时，BO＝4t，
∴＝4t.解得t＝0(舍去)或t＝.∴B(6，0)．
②当BE＝t时，若B在E的左侧，
则OB＝OE－EB＝2t－t＝t，
∴＝t.解得t＝0(舍去)或t＝.∴B(1，0)；
若B在E的右侧，则OB＝OE＋EB＝2t＋t＝t，∴＝t.
解得t＝0(舍去)或t＝.∴B(3，0)．
综上所述，B点的坐标为(6，0)或(1，0)或(3，0)．