2020-2021学年七年级数学人教版(五四制)下册第18章全等三角形单元练习（word解析版）

第18章
全等三角形
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．不能判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．两个锐角对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
2．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　）
A．DC
B．BC
C．AB
D．AE+AC
3．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1（　　）S2+S3．
A．＞
B．＝
C．＜
D．无法确定
4．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（　　）
A．斜边和一直角边对应相等
B．一直角边和一角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
5．如图，已知，AC∥BD，AB∥CD，AD与BC交于点O，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，那么图中全等的三角形有（　　）
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
6．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC，AC＝DB
B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（　　）个．（不含△ABC）
A．28
B．29
C．30
D．31
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
9．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD＝10，则PE的长度为　
　．
10．从同一张底片上冲出来的两张五寸照片　
　全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片　
　全等图形（填“是”或“不是”）．
11．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　
　．
12．如图，△ABC≌△EDF，DF＝BC，AB＝ED，AF＝20，EC＝10，则AE的长是　
　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝12cm，BD＝8cm，则点D到AB的距离为　
　cm．
14．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　
　．
15．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是　
　．
16．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，BF＝EC，则除条件以外，相等的线段还有　
　．
三、解答题（本题共计8小题，共计72分，）
17．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．
18．如图所示，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F．求证：∠1＝∠2．
19．如图：△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知BC＝32，BD：DC＝9：7，求点D到AB的距离．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BD＝DF，求证：CF＝EB．
21．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．
22．如图，AD⊥BC于D，AD＝BD，DC＝DE，∠1与∠C有什么关系？证明你的结论．
23．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E．
（1）求证：△CBE≌△ACD；
（2）若AD＝25m，DE＝17m，求BE的长．
24．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：
（1）AB∥CD；
（2）△ABC≌△BAD．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．不能判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．两个锐角对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意．
故选：A．
2．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　）
A．DC
B．BC
C．AB
D．AE+AC
【分析】通过角的计算可得出∠B＝∠D、∠BCA＝∠DCE，再结合AC＝CE即可证出△ABC≌△EDC（AAS），由此即可得出DE＝BA，此题得解．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠CFB，∠1+∠AFD+∠D＝180°＝∠2+∠CFB+∠B，
∴∠B＝∠D．
∵∠2＝∠3，∠DCE＝∠DCA+∠3，∠BCA＝∠2+∠DCA，
∴∠BCA＝∠DCE．
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴DE＝BA．
故选：C．
3．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1（　　）S2+S3．
A．＞
B．＝
C．＜
D．无法确定
【分析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1＝?AB?PD，S2＝?BC?PF，S3＝?AC?PE，然后根据三角形三边的关系求解．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝?AB?PD，S2＝?BC?PF，S3＝?AC?PE，
∴S2+S3＝?（AC+BC）?PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
4．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（　　）
A．斜边和一直角边对应相等
B．一直角边和一角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
【分析】此题需用排除法，对各个选项进行分析从而确定答案．
【解答】A、符合HL，正确；
B、仅知道一条直角边和一角也不能确定确定其它各边的长，从而不能判定两直角三角形相等，错误；
C、知道两直角边，可以求得第三边．从而利用SSS，正确；
D、知道斜边和一锐角，可以推出另一角的度数．从而可以确定其它边，正确．
故选：B．
5．如图，已知，AC∥BD，AB∥CD，AD与BC交于点O，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，那么图中全等的三角形有（　　）
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
【分析】根据能完全重合的三角形是全等三角形，可得答案．
【解答】解：AB∥CD，AC∥BD，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
那么图中全等的三角形有：△ACE≌△DBF，△AEO≌△DFO，△ACO≌△DBF，△AOB≌△DOC，△AEB≌△DFC，△ACB≌△DBC，△ACD≌△DBA，共有7对，
故选：C．
6．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC，AC＝DB
B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．
【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．
A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．
故选：D．
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据全等三角形的判定和性质解答．
【解答】解：在BE上截取BG＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
8．如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（　　）个．（不含△ABC）
A．28
B．29
C．30
D．31
【分析】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．
【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，
当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，
故选：D．
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
9．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD＝10，则PE的长度为　10　．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PD．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝10．
故答案为：10．
10．从同一张底片上冲出来的两张五寸照片　是　全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片　不是　全等图形（填“是”或“不是”）．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，图形重合的是全等形，不重合的不是全等形，进行判断．
【解答】解：由全等形的概念可知：从同一张底片上冲出来的两张五寸照片是全等图形，
由同一张底片冲洗出来的一寸照片和二寸照片，大小不一样，所以不是全等图形．
故答案为：是，不是．
11．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　BC＝EF　．
【分析】此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：BC＝EF
12．如图，△ABC≌△EDF，DF＝BC，AB＝ED，AF＝20，EC＝10，则AE的长是　5　．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC＝EF，然后求出AE＝CF，代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF，
∴AC﹣CE＝EF﹣CE，
即AE＝CF，
∵AF＝20，EC＝10，
∴AE＝×（20﹣10）＝5．
故答案为：5．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝12cm，BD＝8cm，则点D到AB的距离为　4　cm．
【分析】先过点D作DE⊥AB于点E，根据BC＝12cm，BD＝8cm求出DC的长，由∠C＝90°可知，DC⊥AC，再根据AD平分∠BAC可得出DE＝DC，故可得出结论．
【解答】解：先过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝12cm，BD＝8cm，
∴DC＝12﹣8＝4cm，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝4cm．
故答案为：4．
14．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　∠B＝∠C　．
【分析】添加条件是∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：∠B＝∠C，
理由是：∵在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠B＝∠C．
15．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是　∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）　．
【分析】要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．
【解答】解：∵AC＝BD，BC＝BC，
∴可添加∠ACB＝∠DBC或AB＝CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）．
16．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，BF＝EC，则除条件以外，相等的线段还有　AB＝DE，BC＝EF，BF＝CE．　．
【分析】利用HL定理证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应边相等即可解答．
【解答】解：在直角△ABC和直角△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，BC＝EF，则BF＝CE．
故答案是：AB＝DE，BC＝EF，BF＝CE．
三、解答题（本题共计8小题，共计72分，）
17．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．
【分析】根据全等三角形的判定定理AAS进行证明．
【解答】解：△ABC≌△ADC．理由如下：
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°．
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
18．如图所示，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F．求证：∠1＝∠2．
【分析】根据HL证明Rt△AEC与Rt△AFB全等，再利用等式的性质解答即可．
【解答】证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，
∴△AEC是Rt△，△AFB是Rt△，
在Rt△AEC与Rt△AFB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），
∴∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAC﹣∠BAC＝∠FAB﹣∠BAC，
即∠1＝∠2．
19．如图：△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知BC＝32，BD：DC＝9：7，求点D到AB的距离．
【分析】先由BC＝32，BD：DC＝9：7计算出DC＝14，再由∠C＝90°，得到点D到AC的距离等于14，然后根据角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BC＝32，BD：DC＝9：7，
∴DC＝14，
∵∠C＝90°，
∴点D到AC的距离等于14，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于14．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BD＝DF，求证：CF＝EB．
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在△CDF与△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
21．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．
【分析】连接AD，易证△ACD≌△ABD，根据全等三角形对应角相等的性质可得∠EAD＝∠FAD，再根据∠AED＝∠AFD，AD＝AD，即可证明△ADE≌△ADF，根据全等三角形对应边相等的性质可得DE＝DF．
【解答】证明：
连接AD，在△ACD和△ABD中，，
∴ACD≌△ABD（SSS），
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴在△ADE和△ADF中，，
∴△ADE≌△ADF，
∴DE＝DF．
22．如图，AD⊥BC于D，AD＝BD，DC＝DE，∠1与∠C有什么关系？证明你的结论．
【分析】相等，可通过证明三角形BED和ACD全等来实现，已知了一组直角和两组对应边相等因此可证得两三角形全等，也就得出了∠C＝∠1的结论．
【解答】解：∠C＝∠1，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°．
又∵DC＝DE，AD＝BD，
∴△ADC≌△BDE．
∴∠C＝∠1．
23．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E．
（1）求证：△CBE≌△ACD；
（2）若AD＝25m，DE＝17m，求BE的长．
【分析】（1）先证∠CBE＝∠ACD，再由AAS证明△CBE≌△ACD即可；
（2）根据全等三角形的性质得出BE＝CD，CE＝AD＝25m，即可推出答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，
∴∠E＝∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△CBE和△ACD中，
，
∴△CBE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△CBE≌△ACD，
∴BE＝CD，AD＝CE＝AD＝25m，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝25﹣17＝8（m），
即BE的长为8m．
24．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：
（1）AB∥CD；
（2）△ABC≌△BAD．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，求出∠OAB＝∠OCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出AC＝BD，根据SAS推出即可．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，
∵∠COD＝∠AOB，∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠OCD+∠ODC+∠COD＝180°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC，
即∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD；
（2）∵OA＝OB，OC＝OD，
∴AC＝BD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．