三角恒等变换综合练习
一、单选题
1.有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
2.已知
和
为函数
（其中
）的两条相邻的对称轴，则
的值是（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
3.将函数
的图像沿
轴向右平移
个单位长度，所得函数的图像关于
轴对称，则
的最小值是（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.设函数
，其中
，若
对一切
恒成立，则以下结论：①函数
的图象关于
对称；②函数
的单调递增区间是
；③函数
既不是奇函数也不是偶函数；④函数
的图象关于
对称．其中正确的说法是（???
）
A.?①②③??????????????????????????????????B.?②④??????????????????????????????????C.?③④??????????????????????????????????D.?①③④
5.设函数
，将函数
的图像向左平移
个单位长度，得到函数
的图像，若
为偶函数，则
的最小值是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.在
中，若
，则
的取值范围是（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?以上答案都不对
7.函数
在
上递增，则
的最小正周期的最小值为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?π????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2π
8.对于函数f（x）＝cos2x+
sinxcosx，x∈R，下列命题错误的是（???
）
A.?函数f（x）的最大值是
B.?不存在
使得f（x0）＝0
C.?函数f（x）在[
，
]上单调递减
D.?函数f（x）的图象关于点（
，0）对称
二、多选题
9.函数
，下列结论正确的是（???
）
A.?
在区间
上单调递增
B.?
的图象关于点
成中心对称
C.?将
的图象向左平移
个单位后与
的图象重合
D.?若
则
10.已知函数
，则（???
）
A.?
的最大值为3???????????????????????????????????????????????B.?
的最小正周期为
C.?
的图象关于直线
对称???????????????????????D.?
在区间
上单调递减
11.已知函数
，则下列结论正确的是（???
）
A.?函数
的图象关于点
对称
B.?函数
在
单调递增
C.?函数
在
上的值域为
D.?把函数
的图象向左平移
个单位长度可得到函数
的图象
12.已知函数
，若将函数
的图象平移后能与函数
的图象完全重合，则下列说法正确的有（???
）
A.?函数
的最小正周期为
B.?将函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称
C.?当
时，函数
的值域为
D.?当函数
取得最值时，
三、填空题
13.函数
在区间
上的最大值为________.
14.已知函数
，
，则函数
的最大值是________，且取到最大值时
的集合是________．
15.已知
，且
，则
________，
________.
16.函数
的图象可由函数
的图象至少向右平移________个单位长度得到．
四、解答题
17.已知函数
，且
的最小正周期为
.
（1）求函数
的单调递减区间；
（2）若
，求x的取值范围.
18.在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
边上的中线
，求
面积的最大值.
19.在
中，
．
（1）求B；
（2）若
，
的面积为
，求
的周长．
20.在
中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，
．
（1）求角B的大小；
（2）若
为锐角三角形，
，求
的取值范围．
21.已知函数
．
（1）求
的值：
（2）求函数
的单调递增区间．
22.已知函数
(
)
（1）求
的最小正周期；
（2）求
在区间
上的最大值和最小值，并分别写出相应的
的值.答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】如图：
在
中，设
，
则
，
在
中，
，所以
，
，
设矩形A
BCD的面积为S，
则
，
由于
，
所以当
时，
，
故答案为：C
【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型，利用三角函数的性质求最值。
2.【答案】
D
【解析】【解答】由
，
由
和
为两条相邻的对称轴，所以周期
，
所以
，解得
.
故答案为：D.
【分析】直接由对称轴得半周期为
，
再利用周期公式求解即可。
3.【答案】
D
【解析】【解答】
，
将函数的图像沿
轴向右平移
个单位长度，
可得
，此函数图像关于
轴对称，
则
，解得
，
因为
，则当
时，
取得最小值
，
故答案为：D。
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用图象的平移变换结合图象的对称性，从而推出函数图像关于
轴对称，再利用函数图象的对称性，从而求出
，因为
，则当
时，从而求出
的最小值。
4.【答案】
D
【解析】【解答】解：由辅助角公式得：
，
由
恒成立，得
，
所以
，取
，
从而
，由
得①正确，
由
得
，
所以函数的单调递增区间为
，②不正确，
根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，
由
，得对称轴为
，④正确，
故答案为：D．
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由
恒成立，得出
的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称点和对称轴，并判断出正弦型函数的单调性，从而求出对应的单调递增区间，再利用奇函数和偶函数的定义判断出正弦型函数的奇偶性，从而找出说法正确的序号。
5.【答案】
A
【解析】【解答】因为
，
所以
，
因为
为偶函数，所以
，
，
所以
，
，
因为
，所以
时，
取最小值
.
故答案为：A.
【分析】利用恒等变换公式和诱导公式化简
，
根据平移变换得
，
根据
为偶函数可得结果。
6.【答案】
B
【解析】【解答】由题意，在
中，若
，
因为
，可得
或
，
当
时，可得
，则
，
可得
，
因为
，所以
，所以
；
当
时，可得
，则
，
可得
，
其中
，
设
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
又由
，
，
所以
，即
，
综上可得，
的取值范围是
，
故答案为：B.
【分析】由题意，在
中，若
，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用分类讨论的方法结合三角形内角和为180度，从而结合两角差的余弦公式结合辅助角公式化简函数
为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出
的取值范围
。
7.【答案】
D
【解析】【解答】函数f（x）=sinωx+cosωx=
sin（ωx+
），
且ω＞0，x∈[﹣
，
]时，ωx+
∈[﹣
ω+
，
ω+
]；
又函数f（x）在[﹣
，
]上单调递增，
∴
，
解得0＜ω≤1；
∴f（x）最小正周期的最小值为2π．
故答案为：D．
【分析】化函数
为正弦型函数，根据题意求出的取值范围，再求最小值周期的最小值。
8.【答案】
D
【解析】【解答】由已知
，
的最大值是
，A符合题意．
时，
，
，
无解，B符合题意；
时，
，
递减，C符合题意；
，
图象关于点
对称，D不符合题意．
故答案为：D．
【分析】化简函数的解析式得
，
由三角函数的性质，逐项进行判断即可得出答案。
?
二、多选题
9.【答案】
A,C,D
【解析】【解答】
，
时，
，此时
递增，A正确；
，B错误；
将
的图象向左平移
个单位后得解析式
，C正确；
易知函数周期为
，因此当
则
，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】
先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
10.【答案】
B,C
【解析】【解答】
所以
的最大值为
，A不正确；
的最小正周期为
，B符合题意；
因为
，解得：
，所以直线
是
的图象的对称轴，C符合题意；
令
，解得：
，
所以
在区间
和
单调递减，在
上单调递增，D不正确，
故答案为：BC.
【分析】
先将函数解析式化简成y=Asin（ωx+φ）+k的形式，即可根据三角函数的性质判断各选项的真假．
11.【答案】
B,C
【解析】【解答】函数
对于A，当
时，
，故图像不关于点
对称，A不符合题意；
对于B，由
得
，当
时，知函数
在
单调递增，B符合题意；
对于C，由
，知
，由正弦函数性质知
，
，C符合题意；
对于D，函数
的图象向左平移
个单位长度可得到函数
，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】利用二倍角的余弦公式和正弦公式，再结合诱导公式和辅助角公式，进而化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数图象的对称点；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数图象的值域；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像判断出正弦型函数图象在
上的单调性；再利用正弦型函数的图象变换得出函数
的图象向左平移
个单位长度可得到函数f(x)的图象，进而选出结论正确的选项。
12.【答案】
A,B,D
【解析】【解答】由题意得，
，
因为函数
的图象平移后能与函数
的图象完全重合，
所以
，
因为
，
所以函数
的最小正周期
，A符合题意；
将
的图象向左平移
个单位长度，
得到曲线
，
其图象关于y轴对称，B符合题意；
当
时，
，
则
，
即
的值域为
，C不符合题意；
令
，解得
，
所以当
取得最值时，
，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】先利用三角恒等变换公式，将函数化简变形得
，
函数的图象平移后能与
函数?的图象完全重合，可得
，
得
，
再利用三角函数的图象和性质对选项逐一分析判断，即可得到答案.
三、填空题
13.【答案】
3
【解析】【解答】
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
可得
，
所以函数
在区间
上的最大值为
，
故答案为：3.
【分析】
利用二倍角公式，两角和的余弦公式化简函数解析式，依题意可求
，结合三角函数的图象及性质即可求得最值．
14.【答案】
1；
【解析】【解答】函数
，又因为
，所以
的最大值是
；此时
，即
，所以此时x的集合为
。
故答案为：1；
。
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最大值；进而求出正弦型函数取最大值时对应的x的集合。
15.【答案】
；
【解析】【解答】①由题：
，且
，所以
，
所以
②
=
故答案为：
；
【分析】根据题意由已知的同角三角函数关系即可求出cosx以及tanx的值，再由三角函数的恒等变换应用代入数值计算出结果即可。
16.【答案】
【解析】【解答】
,故应至少向右平移
个单位.
【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数关系及图像的变换平移即可。
四、解答题
17.【答案】
（1）解：
，
又函数
的最小正周期为x，所以
，故
，
所以
.
由题意，得
，
解得
，
所以
的单调递减区间是
（2）解：因为
，
所以
，
解得
，
所以
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的单调递减区间。
(2)由（1）求出的正弦型函数的解析式画出正弦型函数的图像，再利用正弦型函数的图像结合已知条件
，
从而求出x的取值范围。
18.【答案】
（1）解：依题意有
.
∴
，
，∴
，又
解得
，
，∴
（2）解：
，
，即
∴
，当且仅当
时成立.
故
面积的最大值为
【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可求cosA的值，结合A的范围可求出A的值即可．
（2）由题意可得
，
两边平方，利用基本不等式可求出进而根据三角形的面积公式即可求解△ABC面积的最大值．
19.【答案】
（1）解：由
，得
，
∴
，即
，
∴
．
由正弦定理，得
，又
，
∴
，即
，
，
∴
（2）解：由
的面积为
，得
，解得
，即
．
由余弦定理
，可得
，解得
．
∴
的周长为
【解析】【分析】
（1）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB的值，结合0＜B＜π，可得B的值．
（2）由题意利用三角形的面积公式可求a的值，进而可求c的值，由余弦定理可求b的值，即可求解△ABC的周长的值．
20.【答案】
（1）解：由正弦定理可得
．
因为
，故
，又
，则
（2）解：因为
为锐角三角形，
所以
，所以
，得
，
因为
，
，所以由
，
得
，
，
所以
因为
，则
．所以
，
所以
的取值范围为
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得结果；
（2）利用锐角三角形求出
?
，根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换公式可得
，
根据C的范围可求得结果。
21.【答案】
（1）解：因为
所以
，
则
；
（2）解：因为
，
由
，
所以
，
所以函数
的单调递增区间为
【解析】【分析】（1）利用正弦，余弦的二倍角公式以及辅助角公式得出
，
求出
?的值；
（2）利用正弦函数的单调性即可求出函数??的单调递增区间
。
22.【答案】
（1）解：
，
，
，
所以
的最小正周期为
（2）解：∵
，
∴
，
当
，即
，
，
当
，
时，
【解析】【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求得函数的最小正周期；
（2）由题意
?，
当?时，函数
取得最大值，
当?
时，函数取得最小值。
