(共37张PPT)
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
必备知识·自主学习
1.圆柱、圆锥、圆台、球
定义
相关概念
圆柱
以矩形的_____所在直线为旋转轴,其余三边旋
转一周形成的面所围成的旋转体
圆柱OO′:
圆锥
以直角三角形的一条_____边所在直线为旋转
轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋
转体
圆锥SO:
圆台
用_______圆锥底面的平面去截圆锥,底面和
截面之间的部分
圆台OO′:
球
半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周
形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体
球O:
一边
直角
平行于
【思考】
球和球面有什么区别?
提示:球面和球是两个完全不同的概念,球是球面围成的空间,球面是球的表面部分;球可以看作“实心”的,球面应看作“空心”的.
2.柱体、锥体、台体
柱体:棱柱和圆柱;锥体:棱锥和圆锥;
台体:棱台和圆台.
3.组合体的结构特征
(1)定义:由简单几何体组合而成的几何体.
(2)基本形式:
【思考】
怎样正确认识简单组合体?
提示:(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征.
(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式.
(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥.
( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.
( )
(3)空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面叫做球.
( )
【解析】(1)×.应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴.
(2)×.应以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为轴.
(3)×.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球.
2.下列几何体不是简单旋转体的是
( )
A.圆柱
B.圆台
C.球
D.棱柱
【解析】选D.在A中,圆柱是矩形绕着它的一条边所在直线旋转而成的,故圆柱是简单旋转体;
在B中,圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而成的,故圆台是简单旋转体;
在C中,球是半圆绕着直径所在直线旋转而成的球面所围成的几何体,故球是简单旋转体;在D中,棱柱不是旋转体.
3.如图所示的组合体的结构特征是
( )
A.一个棱柱中截去一个棱柱
B.一个棱柱中截去一个圆柱
C.一个棱柱中截去一个棱锥
D.一个棱柱中截去一个棱台
【解析】选C.由简单组合体的基本形式可知,该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥.
关键能力·合作学习
类型一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征(直观想象)
【题组训练】
1.(2020·石家庄高二检测)(多选题)给出下列说法:
①圆柱的母线与它的轴可以不平行;
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形;
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是
( )
A.①
B.②
C.③
D.④
2.(2020·南昌高二检测)下列说法中,错误的是
( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
【解析】1.选BD.对于①,圆柱的母线与它的轴是平行的,所以①错误;对于②,圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形,所以②正确;对于③,在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆台的母线,所以③错误;对于④,圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,所以④正确.
2.选B.对于A,圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个,为2rl,A正确;对于B,用一个平行于底面的平面截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,所以B错误;对于C,圆台的所有平行于底面的截面都是圆,C正确;对于D,圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形,D正确.
【解题策略】
1.判断旋转体形状的步骤
(1)明确旋转轴l.
(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系.
(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状.
2.与简单旋转体的截面有关的结论
(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.
(2)
圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
类型二 球的结构特征(直观想象)
【典例】下列说法中正确的是
( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;
②以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,半圆的直径叫做球的直径;
③球面上任意三点可能在一条直线上;
④球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③④
【思路导引】根据球的定义、结构特征判断.
【解析】选C.由球的结构特征可知②④正确.
【解题策略】
关于球的几何特征
(1)正确理解相关的概念:如球面、球的区别,直径、半径的定义等.
(2)利用实物、模具想象:如果涉及截面等问题,可以利用实物、模具观察结合空间想象解题.
【跟踪训练】
下列说法:
①球面上四个不同的点一定不在同一平面内;
②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径;
③用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
其中正确的序号是 .?
【解析】作球的一个大圆,在大圆上任取四点,则这四点就在球面上,且共面,故①错误;根据球的直径的定义可知,两圆的交点连线过球心,是直径,②正确;③正确.
答案:②③
【拓展延伸】
球的截面的性质
如图所示,球心与截面圆圆心的连线与截面垂直,与截面内的直线都垂直.
在直角三角形中,R2=d2+r2.
【拓展训练】
已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距
离为1,那么这个球的半径为
( )
A.9 B.3 C.
D.2
【解析】选B.如图所示,因为两个平行截面的面积分别为5π,8π,
所以两个截面圆的半径分别为r1=
,r2=2
.
因为球心到两个截面的距离d1=
,d2=
,所以d1-d2=
=1,所以R2=9,所以R=3(负值舍去).
类型三 简单组合体的相关问题(直观想象)
角度1 旋转问题?
【典例】(2020·杭州高一检测)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的.
( )
【思路导引】通过截面想象旋转后的组合体的形状.
【解析】选A.因为几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体,所以它是由A选项中的平面图形旋转而成的.
【变式探究】
将本例中的组合体变为:
则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转
一周可以得到.
( )
【解析】选B.A的旋转体是圆锥,不满足题意;B的旋转体是两个圆锥,满足题意;
C的旋转体是圆锥不满足题意;D的旋转体是圆柱挖去一个圆锥的几何体,不满足
题意.
角度2 组合问题?
【典例】(2020·南昌高一检测)如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的旋转体形状为
( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
【思路导引】根据内外平面图形旋转成的几何体判断.
【解析】选B.圆面绕直径所在的直线旋转一周所得几何体是球体,中间矩形旋转一周所得几何体是圆柱,则平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周,所得旋转体是一个球体中间挖去一个圆柱.
【解题策略】
识别简单组合体的结构特征的策略
(1)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的,因此,要仔细观察组合体的组成,结合柱、锥、台、球的几何结构特征,对原组合体进行分割.
(2)用分割法识别简单组合体,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)
,进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体.
【题组训练】
1.以钝角三角形的最小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是
( )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】选D.以钝角三角形的最小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周,如图,钝角△ABC中,AB边最小,以AB所在直线为轴,其他两边旋转一周,得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥.
2.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括
( )
A.一个圆台、两个圆锥
B.一个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
【解析】选D.设等腰梯形ABCD,较长的底边为CD,则绕着底边CD所在直线旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥(如图为轴截面图).
【补偿训练】
如图,AB为圆弧BC所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周,得到一个组合体,试说明这个组合体的结构特征.
【解析】如图所示,这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.
圆柱、圆锥、
圆台、球、简单组合体的
结构特征
求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．
1.判断简单旋转体结构特征的方法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的定义．；
2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．；
3.数学运算：旋转体的母线、底面圆半径、球的相关计算
4.直观想象：简单组合体的结构特征。
1.明确由哪个平面图形旋转而成．
2.明确旋转轴是哪条直线．
2.旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构
特征的关键量．
1.圆柱：
定义，相关概念
2.圆锥：
定义，相关概念
3.圆台：
定义，相关概念
4.球：
定义，相关概念
5.组合体:
定义
课堂检测·素养达标
1.如图所示的几何体是由简单几何体 构成的.?
答案:四棱台和球
2.(教材二次开发:复习巩固改编)如图,将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是
( )
A.圆锥
B.圆锥和球组成的简单组合体
C.球
D.一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体
【解析】选D.形成的几何体为一个圆锥内部挖去一个球.
3.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是
( )
A.圆锥
B.圆台
C.圆柱
D.两个圆锥的组合体
【解析】选D.连接正方形的两条对角线,因为正方形的两条对角线互相垂直,故绕其一条对角线旋转一周形成的是两个圆锥的组合体.
4.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是 .?
答案:一个正六棱柱中挖去一个等高的圆柱(共46张PPT)
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
必备知识·自主学习
1.空间几何体
(1)定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
(2)分类:
(3)本质:空间中各种各样的物体抽象出来的空间图形,用数学语言加以描述、定义.
多面体
旋转体
定义
一般地,由若干个
___________围成
的几何体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面
内的一条_______旋转所形成的曲面叫
做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体
概念
面、棱、顶点
轴、旋转面
平面多边形
定直线
2.棱柱、棱锥、棱台
定义
相关概念
棱柱
一般地,有两个面互相_____,其余
各面都是四边形,并且相邻两个四
边形的公共边都_________,由这
些面所围成的多面体
四棱柱
ABCD
-A′B′C′D′:
棱锥
一般地,有一个面是多边形,其余
各面都是有一个_________的三角
形,由这些面围成的多面体
四棱锥S-ABCD:
棱台
用一个_______棱锥底面的平面去
截棱锥,底面和截面之间那部分多
面体
四棱台
ABCD
-A′B′C′D′:
平行
互相平行
公共顶点
平行于
3.特殊的棱柱、棱锥
直棱柱
侧棱_______底面的棱柱
斜棱柱
侧棱_________底面的棱柱
正棱柱
底面是_________的直棱柱
平行六面体
底面是___________的四棱柱
四面体
___棱锥
正棱锥
底面是正多边形,并且___________
_________________底面的棱锥
垂直于
不垂直于
正多边形
平行四边形
三
顶点与底面
中心的连线垂直于
【思考】
棱柱、棱锥、棱台的分类依据是什么?
提示:以底面多边形的边数为分类依据.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形,由这些面所围成的几何体一定是棱柱.
( )
(2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体是棱台.
( )
提示:(1)×.如图几何体就不是棱柱,故错误.
(2)×.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,故错误.
2.下列几何体中,多面体是
( )
【解析】选B.选项A中给的几何体是球,它是旋转体,故A错误;选项B中给的几何体是三棱柱,它是多面体,故B正确;选项C中给的几何体是圆柱,它是旋转体,故C错误;选项D中给的几何体是圆锥,它是旋转体,故D错误.
3.(教材二次开发:练习改编)一个几何体有6个顶点,则这个几何体不可能是
( )
A.三棱柱
B.三棱台
C.五棱锥
D.四面体
【解析】选D.三棱柱,三棱台,五棱锥都是六个顶点,四面体是四个顶点.
关键能力·合作学习
类型一 棱柱的结构特征(直观想象)
【题组训练】
1.下面的几何体中是棱柱的有
( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.下列叙述中,错误的一项为
( )
A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B.棱柱的各个侧面都是平行四边形
C.棱柱的两底面是全等的多边形
D.棱柱的面中,至少有两个面相互平行
3.如图,将装有一半水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜5°,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是 .?
【解析】1.选C.棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面是四边形;(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合.
2.选A.在A中,棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面,例如正六棱柱的相对侧面互相平行,故A错误;在B中,由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形,故B正确;在C中,由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形,故C正确;在D中,棱柱的定义是,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体是棱柱,由此得到D正确.
3.由于倾斜角度较小,所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.
答案:四棱柱
【解题策略】
棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:
①两个面互相平行;
②其余各面是四边形;
③相邻两个四边形的公共边互相平行.
求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
【补偿训练】
关于如图所示的4个几何体,说法正确的是
( )
A.只有②是棱柱
B.只有②④是棱柱
C.只有①②是棱柱
D.只有①②④是棱柱
【解析】选D.解决这类问题,要紧扣棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行.图①②④满足棱柱的定义,正确;图③不满足侧面都是平行四边形,不正确.
类型二 棱锥、棱台的结构特征(直观想象)
【题组训练】
1.下列关于棱台的说法,正确的个数为
( )
①所有的侧棱延长后交于一点;②只有两个面互相平行;
③上下两个底面全等;④所有的侧面不存在两个面互相平行.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列说法正确的是
( )
A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥
D.底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
【解析】1.选C.由棱台的定义可知:
①所有的侧棱延长后交于一点,正确;
②只有两个面互相平行,就是上、下底面平行,正确;
③上下两个底面全等,不正确;
④所有的侧面不存在两个面互相平行,正确.
2.选C.在A中,如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,才是棱锥.故A错误;在B中,把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台,故B错误;在C中,当棱锥的各个侧面的顶角之和是360°时,各侧面构成平面图形,构不成棱锥,由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥,故C正确;对于D,底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,故D错误.
【解题策略】
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【补偿训练】
下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②棱锥的侧面只能是三角形;
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 .?
【解析】①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;③错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案:①②
类型三 多面体的分类及侧面展开(直观想象、逻辑推理)
角度1 几何体的分类?
【典例】下列说法正确的是
( )
A.四棱柱是平行六面体
B.底面是矩形的四棱柱是长方体
C.直平行六面体是长方体
D.六个面都是矩形的六面体是长方体
【思路导引】根据几何体的定义判断.
【解析】选D.在A中,当四棱柱的底面是梯形时,则不是平行六面体,故A不对;
在B中,当四棱柱的侧棱与底面不垂直时,四棱柱不是长方体,故B不对;
在C中,根据直平行六面体的定义和长方体的结构特征知,直平行六面体的底面有可能是菱形,此时不一定是长方体,故C不对;在D中,由长方体的定义得六个面都是矩形的六面体是长方体,故D对.
【变式探究】
(1)长方体是平行六面体吗?
(2)正四棱柱是长方体吗?
【解析】(1)长方体的底面是矩形,也是平行四边形,因此长方体是平行六面体.
(2)正四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,因此是长方体.
角度2 多面体的展开?
【典例】1.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形为灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①,②,③处可依次写上
( )
A.乐、新、快
B.快、新、乐
C.新、乐、快
D.乐、快、新
2.已知正三棱柱ABC
-A1B1C1的底面边长为4
cm,高为10
cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面,绕行两周到达点A1的最短路线的长为
( )
A.16
cm
B.12
cm
C.24
cm
D.26
cm
【思路导引】1.将展开图还原成四棱锥后判断.
2.将侧面展开,利用两点之间线段最短求值.
【解析】1.选B.根据四棱锥图形,正好看到“新年快乐”的字样,顺序可为②年
①③.
2.选D.将正三棱柱ABC
-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,如图所示,
最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的长度,即为三棱柱的侧面上所求路线
的最小值.由已知,拼成的矩形的长等于6×4=24(cm),宽等于10
cm,所以最短路
线长为
=26(cm).
【解题策略】
1.多面体的分类问题
2.多面体的展开
涉及多面体面上的问题,可以将多面体的面展开到一个平面上,将空间的问题转化为平面上的问题,借助平面几何知识解题.
【题组训练】
1.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是
( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
2.如图,M是棱长为2
cm的正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.?
【解析】1.选C.可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面
体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
2.由题意,若以BC为轴将面BCC1B1展平,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形
的两直角边的长度分别为2
cm,3
cm,故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展
开,则A、M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两
点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
答案:
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
2.逻辑推理：从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3..直观想象：棱柱、棱锥、棱台的分类；
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
注意概念中的特殊字眼，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．
判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，弄清它们的内涵和外延。
多面体
棱柱
棱锥
棱台
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
其他直棱柱
正棱锥
其他棱锥
课堂检测·素养达标
1.三棱锥的顶点个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.如图,显然A,B,C,D为三棱锥的顶点,共四个.
2.如图所示的几何体是
( )
A.五棱锥
B.五棱台
C.五棱柱
D.五面体
【解析】选C.几何体中,有两个面是全等且互相平行的五边形,另外五个面是平行四边形,且相邻两个侧面的交线互相平行,所以该几何体是五棱柱.
3.(教材二次开发:练习改编)面数最少的棱台为 棱台;共有 个面.?
【解析】由棱台的定义得:面数最少的棱台为三棱台,共有5个面.
答案:三 5
4.下列结论中,正确的是 .(将正确结论的序号全填上)?
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
②正四棱锥的底面为正方形;
③一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.
【解析】对于①,有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱,如斜放的一摞书,所以①错误;
由正棱锥的定义知,正四棱锥的底面是正方形,
所以②正确;
对于③,如图所示,PA⊥AB,PA⊥AC,PB⊥BC,AB⊥BC,
则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形,
所以③正确.综上,正确的结论是②③.
答案:②③
