(共45张PPT)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
必备知识·自主学习
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
导思
1.怎样求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积?
2.怎样求圆柱、圆锥、圆台、球的体积?
图形
面积公式
旋
转
体
圆柱
底面积:S底=πr2;
侧面积:S侧=_____;
表面积:S=2πrl+2πr2
圆锥
底面积:S底=πr2;
侧面积:S侧=____;
表面积:S=πrl+πr2
2πrl
πrl
图形
面积公式
旋
转
体
圆台
上底面面积:S上底=πr′2;
下底面面积:S下底=πr2;
侧面积:S侧=__________;
表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)
π(r′+r)l
【思考】
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系?
提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:
S圆柱侧=2πrl
S圆台侧=π(r′+r)l
S圆锥侧=πrl.
2.柱体、锥体、台体的体积公式
柱体的体积公式V=___(S为底面面积,h为高);
锥体的体积公式V=______(S为底面面积,h为高);
台体的体积公式V=_______________.
Sh
【思考】
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
提示:柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系:
V=Sh
V=
(S′+
+S)h
V=
Sh.
3.球的表面积和体积
(1)表面积:S=_____.
(2)体积:V=_______.
4πR2
【思考】
怎样解释V=
S表面积R?
提示:把球O的表面分成n个小网格,连接O与每个小网格的顶点,整个球体就分割
成了n个“小锥体”.当n越大,每个小网格越小,每个“小锥体”的底面就越平,
“小锥体”就越近似于棱锥,其高就越近似于球的半径R,设O-ABCD是其中一个
“小锥体”,
则SO-ABCD=
SABCDR,由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和,这n个“小
锥体”底面积的和就是球的表面积,故球的体积V=
S表面积R=
×4πR2R=
πR3.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两球的半径比为3∶1,则体积比为9∶1.
( )
(2)长方体既有内切球又有外接球.
( )
(3)球面展开是平面的圆面.
( )
提示:(1)×.体积比为27∶1.
(2)×.长方体一定有外接球,但是不一定有内切球.
(3)×.球面不能展开成平面图形.
2.若将棱长为4的一块正方体木料经过切割、打磨加工出一个体积最大的球,则
这个球的体积是
( )
【解析】选A.欲将正方体打磨成体积最大的球,即求出与该正方体每个面均相
切的内切球即可,设球的半径为R,则2R=4,R=2,故V=
πR3=
π·8=
.
3.(教材二次开发:例题改编)一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径,则圆柱的表面积与球的表面积之比为
( )
A.2∶1
B.3∶2
C.4∶3
D.1∶1
【解析】选B.设球的半径为R,则圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,球的表面积S2=4πR2,S1∶S2=3∶2.
关键能力·合作学习
类型一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积(数学运算)
【题组训练】
1.若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形,则这个圆柱的侧面积为
( )
A.9π
B.12π
C.
π
D.
π
2.(2020·南充高一检测)用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积
为π,则球的表面积为
( )
A.
B.
C.8π
D.
3.圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为
180
,则圆台的侧面积为 .?
【解析】1.选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形,则h=2r=3,所以圆柱的
侧面积为2πr·h=9π.
2.选C.设球的半径为R,则截面圆的半径为
所以截面圆的面积为S=(R2-1)π=π,所以R2=2,
所以球的表面积S=4πR2=8π.
3.圆台的两个底面面积之比为4∶9,所以设圆台的上底面圆的直径为4k,下底面
圆的直径为6k,由于母线与底面的夹角是60°,所以母线长为2k,高为
k.
由于轴截面的面积为180
,
所以
解得k=6(负值舍去).
所以圆台的上底半径为12,下底半径为18,母线长为12.所以圆台的侧面积为
π(12+18)×12=360π.
答案:360π
【解题策略】
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:
(1)得到空间几何体的平面展开图.
(2)依次求出各个平面图形的面积.
(3)将各平面图形的面积相加.
2.球的表面积的求法
要求球的表面积,关键是知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入球的表面积公式求解.
【补偿训练】
在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,顶点是圆柱下底
面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面展开图的面积为
( )
A.
π
B.
π
C.3π
D.4π
【解析】选A.根据题意知,圆锥的高为2,圆锥的底面半径为1,所以圆锥的底面
周长为2π,圆锥的母线长为
所以圆锥的侧面展开图的面积为S=
×2π×
=
π.
类型二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积(数学运算)
【典例】1.若圆锥侧面展开图是圆心角为120°,半径为9的扇形,则这个圆锥的
体积为
( )
A.18
π
B.54
π
C.10
π
D.30
π
2.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个球,这个大球的半径是 .?
3.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和
4,腰长为
的等腰梯形,则该几何体的体积是 .?
【思路导引】1.求出展开扇形的弧长即底面圆的周长,进而求出底面圆的半径后求体积;
2.利用熔化后的大球体积求半径;
3.根据三视图确定几何体类型,求出相关的量后用公式求体积.
【解析】1.选A.依题意,扇形的弧长为l=
×9=6π,因为扇形的弧长为圆锥底
面的周长,所以圆锥底面半径为
=3,圆锥的高为
故圆锥的体
积为
×(π×32)×6
=18
π.
2.设大球的半径为R,则有
πR3=2×
π×13,R3=2,所以R=
.
答案:
3.由三视图可知此几何体为一圆台,上底半径为2,下底半径为1,
如图,h=
故体积V=
π(22+2×1+12)×1=
答案:
【解题策略】
解决与球有关的组合体问题的解题技巧
(1)与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形,明确切点位置,明确有关元素间的数量关系,并且作出合适的截面图.
(2)球与旋转体的组合,通过作它们的轴截面解题.
(3)球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图.
【跟踪训练】
1.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩
形ABCD(如图),若底面圆的弦AB所对的圆心角为
则圆柱被分成的两部分中
较大部分的体积为 .?
【解析】由题意可知,圆柱中较大部分的底面面积为
×22·π+
×2×2
×sin
所以较大部分的体积为
答案:10π+3
2.已知某圆锥的母线长为底面圆半径的
倍,且其侧面积为4
π,则该圆锥
的体积为 .?
【解析】设圆锥的底面半径为r,则母线为
r,其侧面积为4
π,所以
×
2πr×
r=4
π,解得r=2,圆锥的高为4,则该圆锥的体积为
答案:
类型三 表面积、体积公式的应用(直观想象、数学运算)
角度1 与球有关的切、接问题?
【典例】已知一长方体的底面是边长为1的正方形,长方体的所有顶点都在同
一球面上.若球的体积为
π,则该长方体的体积为
( )
【思路导引】球的内接长方体的体对角线的长度等于球的直径.
【解析】选B.长方体的所有顶点都在同一球面上,所以长方体的体对角线的长
度就是外接球的直径,球的体积为
π,所以
解得R=2,长方体的
体对角线的长度为4,所以长方体的高为
所以长方体的体积为
1×1×
【变式探究】
本例中,若一个圆柱的底面半径为
,它的两个底面圆周均在球O的球面上,试
求圆柱的体积.
【解析】如图,由例题可知OA=R=2,O′A=r=
,OO′=1,
则圆柱的高为2,故圆柱的体积V=π×(
)2×2=6π.
角度2 组合体的体积?
【典例】如图,某几何体由两个同底面的圆锥组合而成,若底面积为9π,小圆锥与大圆锥的高分别为4和6,则该几何体的表面积为 .?
【思路导引】该几何体的表面积等于两个圆锥的侧面积相加.
【解析】因为底面积为9π,所以底面圆的半径为r=3,
所以该几何体的表面积为S=π·3·(
)=(15+9
)π.
答案:(15+9
)π
【解题策略】
球的切接问题处理策略及常用结论
(1)在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.
(2)几个常用结论
①球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;
②球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径;
③球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆
的直径;
④球与棱锥相切,则可利用V棱锥=
S底h=
S表R,求球的半径R.
【题组训练】
1.(2020·杭州高一检测)已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高
分别为3,4,5,则这个球的半径为 ,球的表面积为 .?
【解析】各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则该球
为长方体的外接球,设球的半径为r,则(2r)2=32+42+52,解得r=
故球的表面
积为S=4π·r2=50π.
答案:
50π
2.如图所示的几何体是一棱长为4的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2,深为1的圆柱形的洞,则挖洞后几何体的表面积是 .?
【解析】正方体的表面积为4×4×6=96,
圆柱的侧面积为2π×1×1=2π,
则挖洞后几何体的表面积为96+2π.
答案:96+2π
【补偿训练】
三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长分别为2a,a,a,求其外接球的表面积和体积.
【解析】以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱,将三棱锥补成
长方体,则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,其球的直径等于长方体的体
对角线长,
故2R=
R=
a,所以S球=4πR2=6a2π,
V球=
圆柱、圆锥、圆台、
球的表面积和体积
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求圆锥的表面积应注意侧面展开图，底面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
1.
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积。
(1)公式法
(2)等积法
(3)补体法
(4)分割法
求几何体体积
的常用方法
课堂检测·素养达标
1.已知圆柱的高为2,若它的轴截面为正方形,则该圆柱的体积为
( )
A.
B.2π
C.
D.8π
【解析】选B.如图,由圆柱的高为2,轴截面为正方形,可得底面半径r=1.
所以该圆柱的体积为π×12×2=2π.
2.半径为1的球的表面积是 .?
【解析】由题意,半径为1的球的表面积是4π·12=4π.
答案:4π
3.(教材二次开发:综合运用改编)将一半径为1
dm的实心铁球经高温熔化后铸
造成一个底面半径为0.5
dm的实心圆锥(不计损耗),则圆锥的高为______dm.?
【解析】根据题意知V球=V圆锥,整理得
·π·13=
·π·
·h,解得h=16.
答案:16
4.如果圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为 .?
【解析】由圆锥的侧面积公式得S=π×1×2=2π.
答案:2π
5.一个橡皮泥制作的上、下底面圆半径分别为2,4的圆台恰好可以重新制作成
半径分别为2,3的两个球,则圆台的高h为 .?
【解析】因为一个橡皮泥制作的上、下底面圆半径分别为2,4的圆台恰好可以
重新制作成半径分别为2,3的两个球,所以
×π×h×(22+42+2×4)=
π(23
+33),解得h=5.
答案:5(共42张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
必备知识·自主学习
1.棱柱、棱锥、棱台的高
导思
1.什么是棱柱、棱锥、棱台的高?
2.怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积?
棱柱的高
两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作
垂线,___________(垂线与底面的交点)之间的距离.
棱锥的高
从顶点向底面作垂线,___________之间的距离.
棱台的高
两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,
___________之间的距离.
这点与垂足
顶点与垂足
这点与垂足
2.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的_______.
面积和
【思考】
棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等?
提示:是.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小.常把多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积.
3.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱:棱柱的底面面积为S,高为h,则V=___.
棱锥:棱锥的底面面积为S,高为h,则V=_______.
棱台:棱台的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,则V=_________________.
Sh
【思考】
棱柱、棱锥、棱台的体积之间有什么关系?
提示:棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系可以理解为:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)锥体的体积是等底等高的柱体体积的
.
( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.
( )
(3)多面体无论从哪条棱展开,展开图都是一样的.
( )
提示:(1)√.由锥体、柱体的体积公式可得.
(2)×.是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.
(3)×.展开图不一定相同,但面积相等.
2.已知一个正三棱柱的底面边长为
,且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三
棱柱的体积为
( )
【解析】选D.因为正三棱柱的底面边长为
,
所以底面面积为S=
高与侧棱长相等为2
,
所以该正三棱柱的体积为V=
3.(教材二次开发:例题改编)已知一个多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平
面展开图如图所示,则该多面体的体积V=
( )
A.1+
B.1
C.
D.1+
【解析】选A.几何体如图:下部分是正方体,棱长为1,
上部分是正四棱锥,高为
,
所以该多面体的体积V=1×1×1+
×1×1×
=1+
.
关键能力·合作学习
类型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·南京高一检测)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,
侧棱长为10,则该棱台的侧面积为
( )
A.80
B.240
C.320
D.640
2.(2020·武汉高一检测)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体
对角线的长为
( )
A.4
B.
C.2
D.4
3.(2020·赣州高一检测)已知正六棱柱的高为2,底面边长为1,则该正六棱柱的表面积为 .?
【解析】1.选B.作出一个侧面等腰梯形的高,也是棱台的斜高,则由等腰梯形的
性质,
可得斜高h′=
=8.再用棱台侧面积公式,得棱台的侧面积为S侧=
×(4+16)×8×3=240.
2.选B.设长方体的长,宽,高分别为x,y,z,
则
可得体对角线的长为
3.正六棱柱的高为2,底面边长为1,所以正六棱柱的底由6个全等的等边三角形
构成.则正六棱柱的侧面积为S侧=6×1×2=12,正六棱柱的底面积为S底=2×6×
×1×1×sin
所以正六棱柱的表面积为S表=12+3
.
答案:12+3
【解题策略】
关于棱锥、棱台的表面积
能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加,计算时要注意构造直角三角形,直角梯形,如图四棱锥,四棱台中的直角三角形,直角梯形.
【补偿训练】
长方体的体对角线长为2
,长、宽、高的比为3∶2∶1,那么它的表面积为
( )
A.44
B.88
C.64
D.48
【解析】选B.设长、宽、高分别为3x,2x,x,则体对角线长为
所以x=2.
所以表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积(数学运算、直观想象)
【典例】1.(2020·东城高一检测)如图,正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为1,那么四棱锥D1-ABCD的体积是
( )
2.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是
( )
3.已知正四棱锥的底面边长为2
,体积为8,则正四棱锥的侧面积为
.?
【思路导引】1.确定底面积、高求体积;
2.利用三视图求出上下底面积、高后求体积;
3.由条件求出高,再求出侧面的高求侧面积.
【解析】1.选B.因为DD1⊥平面ABCD,
所以
=
S正方形ABCD·DD1=
×1×1×1=
.
2.选B.由四棱台的三视图可知,此棱台的上底面积S1=1×1=1,下底面积S2=
2×2=4,高h=2,代入台体的体积公式V=
3.设正四棱锥的高为h,由于正四棱锥的底面边长为2
,体积为8,
则V=
·h=8,解得h=3,
所以正四棱锥的侧面的高为
所以正四棱锥的侧面积为4×
答案:4
【解题策略】
常见的求几何体体积的方法
(1)公式法:直接代入公式求解.
(2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
【跟踪训练】
(2020·贵阳高一检测)在棱长为1的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,三棱锥B-AB1C1的体积为
( )
【解析】选A.如图所示,正方体ABCD
-A1B1C1D1中,棱长AB=1,则三棱锥B-AB1C1的
体积为:
类型三 棱柱、棱锥、棱台表面积、体积的应用(数学运算)
角度1 组合体的体积?
【典例】(2020·东城高一检测)鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.如图1是某个经典的六柱鲁班锁,如图2是其中一个构件的三视图(图中单位:mm),则此构件的体积为
( )
A.34
000
mm3
B.33
000
mm3
C.32
000
mm3
D.30
000
mm3
【思路导引】根据三视图和实物图判断几何体的组成,再利用公式求体积.
【解析】选C.由题三视图得,鲁班锁中的一个零件是长为100,宽为20,高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20,高为10的小长方体的一个几何体,如图,
所以该零件的体积V=100×20×20-40×20×10=32
000(mm3).
角度2 体积的应用?
【典例】如图,在棱长为a的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,点A到平面A1BD的距离d= .?
【思路导引】利用等体积法求高即为距离d.
【解析】在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=
a,
因为
所以
所以d=
a.
答案:
a
【解题策略】
关于点到面的距离
利用等体积法求点到面的距离时,一般是先选择适当的顶点求出锥体的体积,再改变顶点,设出所求的点到面的距离,用该距离表示出体积后求距离.
【题组训练】
1.(2020·银川高一检测)如图所示,正方体的棱长为4,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 .?
【解析】由题意知所得几何体是八面体,且八面体是两个底面边长为2
,高
为2的四棱锥组成;则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和.又四棱
锥的侧棱长为l=
所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体
的表面积为:S=8×
×2
×2
×sin
60°=16
.
答案:16
2.(2020·石景山高一检测)若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其表面积的值可能是 .(只需写出一个可能的值)?
【解析】由四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,如图,
可取三条侧棱长均为2,底面边长BC=BD=2,CD=1.
其表面积为
故其表面积的一个可能值为
答案:
(答案不唯一)
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.数学抽象：棱柱、棱锥、、棱台的体积公式；
2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；
3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
棱锥
棱台
棱柱
棱柱、棱锥、棱台的体积
各面面积之和
棱柱、棱锥、棱台
展开图
求多面体表面积1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
课堂检测·素养达标
1.棱长为3的正方体的表面积为
( )
A.27
B.64
C.54
D.36
【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为6×32=54.
2.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥
B-AB1C的体积为
( )
【解析】选D.
3.(教材二次开发:练习改编)各面均为等边三角形的四面体的表面积为
,则
棱长等于
( )
【解析】选A.设各面均为等边三角形的四面体的棱长为a,所以它的表面积由四
个边长为a的等边三角形的面积组成,即S=4×
×a×a×sin
60°=
a2=
,解得a=1.
4.如图,ABC
-A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C
-AA′B′B的体积是
( )
【解析】选C.因为VC
-A′B′C′=
V柱=
,所以VC
-AA′B′B=1-
=
.
5.如图(1)所示,已知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2)所示的几何体,那么此几何体的全面积为 .?
【解析】正方体棱长为
a,新几何体的全面积为S全=2×
a×a+4×
=(2+
)a2.
答案:(2+
)a2
