(共40张PPT)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识·自主学习
1.异面直线
(1)定义:不同在任何_________内,没有公共点.
(2)异面直线的画法.
一个平面
2.空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内,有且只有_____公共点
平行
同一平面内,_____公共点
异面直线
不同在任何一个平面内,没有公共点
一个
没有
【思考】
空间两条直线按照是否共面如何分类?
提示:共面:相交或平行;不共面:异面.
3.直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平
面α相交
直线a与平
面α平行
公共点
无数个公共点
一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α=A
a∥α
图形表示
【思考】
可以根据公共点的个数判断直线与平面的位置关系吗?
提示:可以,0个公共点时,直线与平面平行;1个公共点时,直线与平面相交;多个公共点时,直线在平面内.
4.两个平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点
(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β=l
图形表示
【思考】
判断平面与平面相交时的理论依据是什么?
提示:判断平面与平面相交时的理论依据是基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若空间两条直线没有公共点,则两条直线平行.( )
(2)若直线在平面外,则直线与平面平行.
( )
(3)若直线在平面外,则该直线与平面内的直线是异面直线.
( )
提示:(1)×.两直线可能是异面直线.
(2)×.直线可能与平面相交.
(3)×.当直线与平面相交时,直线与平面内的直线也可能是相交直线.
2.异面直线是指
( )
A.不相交的两条直线
B.不同在任何一个平面内的两条直线
C.分别位于两个平面内的直线
D.一个平面内的直线和不在这个平面内的直线
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,不相交的两条直线可以是平行直线,不一定是异面直线,不符合题意;对于B,异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线,符合题意;对于C,分别位于两个平面内的直线可以是相交直线或平行直线,不符合题意;对于D,一个平面内的直线和不在这个平面内的直线可以是相交直线或平行直线,不符合题意.
3.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上都有可能
【解析】选D.如图所示,长方体ABCD
-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,A1D1∥平面AC,有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中点M,N,连接MN,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,有A1B1与MN异面.
关键能力·合作学习
类型一 利用符号语言表示位置关系(直观想象)
【题组训练】
1.如图所示,用符号语言可表述为
( )
A.α∩β=m,n?α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n?α,A?m,A?n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
【解析】选A.平面α与平面β相交于m,所以α∩β=m;直线n在平面α内,所以n?α;直线m与直线n相交于A,所以m∩n=A.
2.用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
【解析】图①中,a?α,b∩α=A.
图②中,α∩β=c,a?α,a∥c,b?β,b∩c=P.
【解题策略】
关于用符号表示点、线、面之间的关系
首先符号书写要规范、准确,其次可以按照平面与平面、直线与平面、直线与直线、点与线面的顺序依次表示,避免遗漏.
【补偿训练】
用符号语言表示如图所示的点、直线、平面的关系为 .
【解析】用符号语言表示为:α∩β=a,P?α,且P?β.
答案:α∩β=a,P?α,且P?β?
类型二 空间点、直线、平面位置关系的判断(直观想象)
【题组训练】
1.若a,b,c是空间中的三条直线,a∥b,a与c相交,则b与c的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.异面或相交
2.(2020·通化高一检测)下列命题正确的是
( )
A.一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行
B.平行于同一个平面的两条直线平行
C.平面外的两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行
D.与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面
3.(2020·台州高一检测)异面直线a,b和平面α,β满足a?α,b?β,α∩β=l,则l与a,b的位置关系一定是
( )
A.l与a,b都相交
B.l与a,b中至少一条平行
C.l与a,b中至多一条相交
D.l与a,b中至少一条相交
【解析】1.选D.
如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,AB∥A1B1,AB与BC相交,A1B1与BC是异面直线,AB∥A1B1,AB与AA1相交,A1B1与AA1是相交直线,所以a,b,c是空间三条直线,a∥b,a与c相交,则b与c的位置关系是异面或相交.
2.选C.对于选项A:一条直线与一个平面平行,它和这个平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面,故错误.对于选项B:平行于同一个平面的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故错误.对于选项C:平面外的两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行,正确.对于选项D:与两个相交平面的交线平行的直线,可能平行于这两个平面,也可能在平面内,故错误.
3.选D.若a,b与l都不相交,即a∥l,b∥l,则必有a∥b与a,b是异面直线矛盾,即l与a,b中至少一条相交.
【解题策略】
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用空间想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
(3)利用生活中的实物,如墙面、电线、笔代表线面进行判断.
类型三 异面直线的判断与证明(直观想象、逻辑推理)
角度1 确定异面直线?
【典例】在正方体ABCD
-A1B1C1D1的各条棱中,棱所在直线与直线AA1异面的
有 条.?
【思路导引】借助正方体图形直观判断.
【解析】如图所示,正方体ABCD
-A1B1C1D1中,棱所在直线BC,B1C1,CD和C1D1与直线AA1是异面直线,共有4条.
答案:4
【变式探究】
本例中,与体对角线AC1异面的棱所在的直线有 .?
【解析】与体对角线AC1异面的棱所在的直线有BB1,BC,CD,DD1,A1B1,A1D1.
答案:BB1,BC,CD,DD1,A1B1,A1D1
角度2 异面直线的证明?
【典例】A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点,
求证:直线EF与BD是异面直线.
【思路导引】利用反证法证明.
【证明】用反证法.设EF与BD不是异面直线,
则EF与BD共面,从而DF与BE共面,
即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
【解题策略】
关于异面直线的证明
(1)直接证明:如图,若a?α,b∩α=P,P?a,则直线a与直线b是异面直线.
(2)反证法证明:先假设两条直线不是异面直线,两条直线共面,即平行或相交,再推出矛盾否定假设.
【题组训练】
1.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,AC与DB交于点O,则B1O与AA1是 直线.?
【解析】B1O与AA1是异面直线,理由如下:
假设B1O与AA1共面,
所以O∈平面A1B,与已知O?平面A1B矛盾,
所以B1O与AA1是异面直线.
答案:异面
2.如图,已知平面α∩平面β=直线a,直线b?α,直线c?β,b∩a=A,c∥a.求证:b与c是异面直线.
【证明】假设b,c不是异面直线,即b与c共面,设b与c确定的平面为γ,则γ∩α=b,γ∩β=c.
因为a∥c,a?γ,所以a∥γ.又因为a?α,且α∩γ=b,所以a∥b,这与a∩b=A矛盾.因此b与c不可能共面,故b与c是异面直线.
空间点、直线、平面之间的位置关系
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
直线、平面位置关系的判断：
1.利用长方体模型
2.利用现实生活中的实际物体
数学抽象：三种语言之间的相互转化
相交
共面
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行
平行
相交
异面
直线在平面外
直线在平面内
平行
相交
直线、平面位置关系的画法中平行与垂直的表示形式
直观想象：直线、平面位置关系的判断问题
课堂检测·素养达标
1.正方体的六个面中相互平行的平面有
( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
【解析】选B.前后两个面、左右两个面、上下两个面都平行.
2.(教材二次开发:练习改编)如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是 .?
【解析】①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④正确.
答案:②④
3.已知两条直线a,b,a∥平面α,b?α,则a与b的位置关系是 .?
【解析】a∥α,则a与α无交点,b?α,则a与b无交点,所以a,b平行或异面.
答案:平行或异面
4.如图,点P在平面ABC外,点F在BC的延长线上,点E在线段PA上,则直线AB,BC,AC,EF,AP,BP中有 对异面直线.?
【解析】异面直线有5对,分别是AB与EF,BC与AP,AC与BP,AC与EF,EF与BP.
答案:5(共43张PPT)
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平 面
必备知识·自主学习
1.平面
(1)定义:几何里所说的“平面”,是从生活中的课桌面、黑板面、平静的水面
等抽象出来的.
(2)本质:由点构成,平的,向四周_________.
无限延展
2.平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边
长等于其邻边长的2倍.如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分
用_____画出来.如图②.
虚线
3.平面的表示法
如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.
4.点、线、面之间的关系
(1)直线在平面内的概念:
如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说平面α经过直线l.
(2)符号表示:
点P在直线l上
_____
点P在平面α外
P?α
点P在直线l外
P?l
直线l在平面α内
l?α
点P在平面α内
______
直线l在平面α外
l?α
P∈l
P∈α
(3)本质:点与直线、点与平面是元素与集合的关系;直线与平面是集合与集合的关系.
5.平面的基本事实及推论
(1)基本事实:
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的
_______,有且只有一个
平面
A,B,C三点不共线?存在唯一的平面α使A,B,C∈α
三个点
基本事实
内容
图形
符号
基本事实2
如果一条直线上的
_______在一个平面
内,那么这条直线在
这个平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α
基本事实3
如果两个不重合的
平面有一个_______,
那么它们有且只有
一条过该点的公共直线
P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l
公共点
两个点
(2)基本事实1的推论
推论1 经过一条直线和这条直线外_____,有且只有一个平面(图①).
推论2 经过两条_________,有且只有一个平面(图②).
推论3 经过两条_________,有且只有一个平面(图③).
一点
相交直线
平行直线
(3)本质:基本事实是人们通过长期观察与实践总结出来的,是几何推理的基本依据,进一步研究立体几何的基础.
(4)应用:
基本事实1:确定平面;
基本事实2:确定直线在平面内;
基本事实3:确定点共线.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)平行四边形就是平面.
( )
(2)三个点确定一个平面.
( )
(3)两个平面的交线是一条线段.
( )
提示:(1)×.平行四边形表示平面,但不是平面.
(2)×.不共线的三个点才能确定平面.
(3)×.两个平面的交线是一条直线.
2.经过圆上任意三个不同的点可以作出 个平面.
( )?
A.0个
B.1个
C.2个
D.1个或无数个
【解析】选B.当空间中三个不同的点不共线时,过这三个点能确定1个平面.所以经过圆上任意三个不同的点可以作出1个平面.
3.(教材二次开发:练习改编)三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多可确定 个平面.?
【解析】因为三条直线两两平行,所以分两种情况.
①三条直线在同一平面α内,此时经过任意两条直线确定一个平面;②三条直线不在同一个平面内,如三棱柱三条侧棱所在的直线,此时经过任意两条直线确定三个平面.综上所述,可得过其中任意两条直线最多可确定3个平面.
答案:3
关键能力·合作学习
类型一 三种语言的简单应用(直观想象)
【题组训练】
1.(2020·桐城高一检测)若A,B表示点,a表示直线,α表示平面,则下列叙述中正确的是
( )
A.若A?α,B?α,则AB?α
B.若A∈α,B∈α,则AB∈α
C.若A?a,a?α,则AB?α
D.若A∈a,a?α,则A∈α
2.已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β=l,m?α,n?β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为 .?
3.根据下列条件画出图形:
平面α∩平面β=直线AB,直线a?α,直线b?β,a∥AB,b∥AB.
【解析】1.选D.点与面的关系用符号∈,而不是?,所以选项A错误;直线与平面的关系用?表示,则AB∈α表示错误;点A不在直线a上,但只要A,B都在平面α内,也存在AB?α,选项C错误;A∈a,a?α,则A∈α,所以选项D正确.
2.因为m?α,n?β,m∩n=P,所以P∈α,且P∈β.
又α∩β=l,所以点P在直线l上,所以P∈l.
答案:P∈l
3.图形如图所示.
【解题策略】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
【补偿训练】
说明语句“l?α,m∩α=A,A?l”表示的点、线、面的位置关系,并画出图形.
【解析】直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,图形如图所示.
类型二 点、线共面问题(逻辑推理)
【典例】已知直线a∥直线b,直线c与a,b分别相交于点A,B,求证:a,b,c三条直线共面.
步骤
内容
理解
题意
条件:a∥b,c∩a=A,c∩b=B;
结论:a,b,c三线共面.
思路
探求
先利用推理确定一个平面,再证明第三条直线也在这个平面内.
书写
表达
证明:因为a∥b,所以a,b确定一个平面α,①
因为a∩c=A,b∩c=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α,所以AB?α,即c?α,②
所以a,b,c?α,所以a,b,c三条直线共面.
①先确定一个平面,是证明共面问题的常用方法;
②利用基本事实证明线在平面内.
题后
反思
利用符号语言证明一是符号应用要规范;二是基本事实、推理的应用要充分.
【变式探究】
本例中,将条件变为:如图:直线AB、CD、EF两两平行,且分别与直线l相交于A,C,E,
求证:AB,CD,EF三条直线在同一平面内.
【证明】因为AB∥CD,所以直线AB与CD确定一个平面α,因为A∈α,C∈α,A∈l,C∈l,所以l?α.
因为EF∥CD,所以直线EF与CD确定一个平面β,
因为E∈β,C∈β,E∈l,C∈l,所以l?β.
所以CD与l既在平面α内,又在平面β内.
又因为CD∩l=C,则CD与l确定一个平面,因此α与β重合.故AB,CD,EF三条直线在同一平面内.
【解题策略】
证明直线共面常用的方法
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
【跟踪训练】
证明:两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.
【证明】方法一(纳入法):
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法二(重合法):
因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
类型三 点共线、线共点问题(逻辑推理)
角度1 点共线?
【典例】如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线.
【思路导引】证明E,F,G,H四点是两个面的公共点.
【证明】因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.
又因为AB∩α=E,AB?β,所以E∈α,E∈β,
即E为平面α与β的一个公共点.
同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点.
因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.
角度2 线共点?
【典例】求证:三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点.
【思路导引】先说明两条直线交于一点,再证明该点在第三条直线上.
【证明】延长AA1,BB1,设AA1∩BB1=P,
又BB1?平面BC1,所以P∈平面BC1,AA1?平面AC1,
所以P∈平面AC1,所以P为平面BC1和平面AC1的公共点,又因为平面BC1∩平面AC1=CC1,所以P∈CC1,
即AA1,BB1,CC1延长后交于一点P.
【解题策略】
证明三线共点常用的方法
(1)先说明两条直线共面且交于一点,然后说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.
(2)说明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再说明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
【题组训练】
1.已知α,β,γ是三个平面,且α∩β=c,β∩γ=a,α∩γ=b,且a∩b=O.求证:a,b,c三线共点.
【证明】因为a∩b=O,所以O∈a,O∈b,
又因为β∩γ=a,α∩γ=b,所以O∈β,O∈α,
因为α∩β=c,所以O∈c,所以a,b,c三线共点.
2.已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】因为AB∩α=P,所以P∈α,P∈AB,
而AB?平面ABC,则P∈平面ABC;
同理可得R∈α,R∈平面ABC;Q∈α,Q∈平面ABC,
所以P,Q,R在平面α与平面ABC的交线上.
所以P,Q,R三点共线.
平面
数学抽象：用符号语言描述点、线、面位置关系
逻辑推理：用平面的基本事实及推论解决有关问题
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
点、线、面位置关系符号
概念
基本事实
1.确定平面的依据
3.两平面相交的依据
2.直线在平面内的依据
相交直线
平行直线
直线与直线外一点
1.三点都在两平面的交线上
点共线
共面
线共点（归一法）:先证明两条直线交于一点，再证明其余直线都过这点
2.一点在另外两点确定的直线上
注意用符号正确表示点、线、面位置关系
1.先证点或线确定平面，再证其他点线也在这个平面上
2.先说明点线确定平面，再说明其他点线确定平面，证明两平面重合
推论
课堂检测·素养达标
1.(2020·宁德高一检测)当我们停放自行车时,只要将自行车旁的撑脚放下,自行车就稳了,这用到了
( )
A.三点确定一平面
B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面
D.两条平行直线确定一平面
【解析】选B.自行车前后轮与撑脚分别接触地面,此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面,即地面,从而使得自行车稳定.
2.下列图形中,满足α∩β=AB,a?α,b?β,a∥AB,b∥AB的图形是
( )
【解析】选C.可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断.
3.若直线l上有两个点在平面α外,则
( )
A.直线l上至少有一个点在平面α内
B.直线l上有无穷多个点在平面α内
C.直线l上所有点都在平面α外
D.直线l上至多有一个点在平面α内
【解析】选D.由已知得直线l?α,故直线l上至多有一个点在平面α内.
4.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是
( )
【解析】选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示.
5.(教材二次开发:练习改编)如图,已知直线PM∥QN,PM,QN分别与平面α交于M,N,直线PQ交平面α于A点.求证:M,N,A三点在同一条直线上.
【证明】因为PM∥QN,所以点P,M,N,Q共面,
因为PM,QN分别与平面α交于M,N,
所以平面PMNQ∩平面α=MN,
因为直线PQ交平面α于A点,所以A∈PQ,且A∈平面α,所以A∈MN,
所以M,N,A三点在同一条直线上.
