(共49张PPT)
8.5.3 平面与平面平行
必备知识·自主学习
1.平面与平面平行的判定定理
(1)定理:如果一个平面内的_____________与另一个平面平行,那么这两个
平面平行;
(2)符号:a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β.
(3)本质:线面平行?面面平行;
(4)应用:判定面面平行.
两条相交直线
【思考】
如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行吗?
提示:不一定.当这两条直线平行时,这两个平面有可能相交.
2.平面与平面平行的性质定理
(1)定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行;
(2)符号:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b;
(3)本质:面面平行?线线平行;
(4)应用:由面面平行推证线线平行、线面平行.
【思考】
面面平行还有哪些性质?
提示:(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行;
(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等;
(3)两个平面平行,其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离相等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
( )
(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行.
( )
(3)已知两个平面平行,若第三个平面与其中的一个平面平行,则也与另一个平面平行.
( )
提示:(1)×.这无数条直线可能是平行直线.
(2)×.也可能是异面直线.
(3)√.第三个平面与另一个平面也没有公共点,所以也是平行的.
2.a是平面α外一条直线,过a作平面β,使α∥β,这样的β
( )
A.只能作一个
B.至少可以作一个
C.不存在
D.至多可以作一个
【解析】选D.当a∥α时,过a作平面β,使得β∥α,由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个.当a与α相交时,设a与α的交点为P,根据题意知,P∈β,P∈α,则α∩β=l且P∈l,这与α∥β矛盾,所以这样的β不存在.综上所述,过平面α外一条直线a与α平行的平面至多有1个.
3.(教材二次开发:练习改编)已知直线a?α,给出以下三个命题:
①若平面α∥平面β,则直线a∥平面β;
②若直线a∥平面β,则平面α∥平面β;
③若直线a不平行于平面β,则平面α不平行于平面β.
其中正确的命题是
( )
A.②
B.③
C.①②
D.①③
【解析】选D.①若平面α∥平面β,则直线a∥平面β:因为直线a?α,平面α∥平面β,则α内的每一条直线都平行于平面β,显然正确.②若直线a∥平面β,则平面α∥平面β:因为当平面α与平面β相交时,仍然可以存在直线a?α使直线a∥平面β,故错误.③若直线a不平行于平面β,则平面α不平行于平面β:因为平面内有一条直线不平行于另一个平面,两平面就不会平行.显然正确.
关键能力·合作学习
类型一 面面平行的判定(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·泰安高一检测)如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与P,R,Q三点所在平面平行的是
( )
2.(2020·孝感高一检测)如图,在三棱柱ABC
-A1B1C1中,D,P分别是棱AB,A1B1的中点,求证:平面APC1∥平面B1CD.
【解析】1.选D.由题意可知,经过P,Q,R三点的平面如图:截面为六边形PQEFRS(E,F,S为所在棱中点),可知N在经过P,Q,R三点的平面上,所以B,C错误;MC1与QE是相交直线,所以A不正确,故选D.
2.连接BC1与B1C相交于点O,连接OD,
因为四边形BCC1B1为平行四边形,
所以O为B1C的中点,又D是AB的中点,
所以OD是三角形ABC1的中位线,则OD∥AC1,
又因为AC1?平面B1CD,OD?平面B1CD,
所以AC1∥平面B1CD;
因为P为A1B1的中点,点D是AB的中点,
所以AD∥B1P且AD=B1P,
则四边形ADB1P为平行四边形,所以AP∥DB1,
又因为AP?平面B1CD,DB1?平面B1CD,
所以AP∥平面B1CD.
又AC1∥平面B1CD,AC1∩AP=A,
且AC1?平面APC1,AP?平面APC1,
所以平面APC1∥平面B1CD.
【解题策略】
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)利用线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
【补偿训练】
在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点,求证:平面MNP∥平面CC1D1D.
【证明】连接AC,CD1,因为四边形ABCD是正方形,N是BD的中点,所以N是AC的中点,
又因为M是AD1的中点,所以MN∥CD1,
因为MN?平面CC1D1D,CD1?平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D;连接BC1,C1D,
因为四边形B1BCC1是正方形,P是B1C的中点,
所以P是BC1的中点,
又因为N是BD的中点,所以PN∥C1D,
因为PN?平面CC1D1D,C1D?平面CC1D1D,
所以PN∥平面CC1D1D,
又MN∥平面CC1D1D,且MN∩PN=N,MN?平面MNP,PN?平面MNP,
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
类型二 面面平行的性质(逻辑推理)
【典例】(2020·无锡高一检测)如图,已知在斜三棱柱ABC
-A1B1C1中,点D,D1分
别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求
的值.
【思路导引】将面面平行转化为线线平行,再利用平行线的性质求比值.
【解析】连接A1B,设A1B∩AB1=O,连接OD1,如图,
由平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.
知BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
所以
.
又因为
=1,所以
=1,即
=1.
【解题策略】
1.应用平面与平面平行的性质定理的步骤
2.关于平行平面分线段
类比平面中平行线分线段成比例定理,在空间中,平行平面分线段也是成比例的.
【跟踪训练】
(2020·银川高一检测)如图,已知α∥β,P是平面α,β外的一点,直线PB,PD分别与α,β相交于A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD.
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
【解析】(1)因为α∥β,平面PBD∩α=AC,平面PBD∩β=BD,所以AC∥BD.
(2)由(1)可知AC∥BD,所以
,
即
,所以PD=
.
类型三 面面平行的综合应用(逻辑推理)
角度1 平行条件的探究?
【典例】如图所示,在四棱锥C
-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.线段AB上是否存在一点H,使得平面GFH∥平面ACD.若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由.
【思路导引】尝试特殊点是否满足,并证明.
【解析】线段AB上存在一点H满足题意,且点H是AB的中点.理由如下:连接AE,FH,GH.由四边形ABED为正方形可知,AE必与BD相交于中点F,
因为G为EC的中点,
所以GF∥AC,因为GF?平面ACD,AC?平面ACD,所以GF∥平面ACD.
由点F,H分别为BD,AB的中点可得:FH∥AD,
因为FH?平面ACD,AD?平面ACD,
所以FH∥平面ACD,
且GF∩FH=F,故平面GFH∥平面ACD.
角度2 平行关系的综合应用?
【典例】如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点.
(1)求证:MN∥平面PCD.
(2)求证:平面MNQ∥平面PBC.
【思路导引】(1)利用中位线定理证明线线平行,从而证明线面平行;
(2)结合第(1)问的结论构造线面平行证明面面平行.
【证明】(1)由题意知,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,
点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点,
所以N是AC的中点,所以MN∥PC,
又因为PC?平面PCD,MN?平面PCD,
所以MN∥平面PCD.
(2)由(1)知,MN∥PC,
因为PC?平面PBC,MN?平面PBC,
所以MN∥平面PBC,
因为M,Q分别是PA,PD的中点,
所以MQ∥AD∥BC,
又因为BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
因为MQ?平面MNQ,MN?平面MNQ,MQ∩MN=M,
所以平面MNQ∥平面PBC.
【解题策略】
1.关于面面平行条件的探究
(1)从线线平行的角度:确定出动点的位置满足线线平行,从而得到线面平行,进而证明面面平行.
(2)从面面平行的角度:先确定出满足条件的、且与已知平面平行的平面,则动点在线上或面内任意点均满足面面平行.
2.关于空间中线、面平行的内在联系
注:判定是按线线→线面→面面方向证明;性质是按面面→线面→线线方向证明.
【题组训练】
1.在正方体AC1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图.
(1)若A1C交平面EFBD于点R,求证:P,Q,R三点共线.
(2)线段AC上是否存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,若存在,确定M的位置,若不存在,说明理由.
【解析】(1)连接A1C,因为在正方体AC1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,A1C交平面EFBD于点R,如图.
所以P,Q,R是平面BDEF和平面AA1C1C的公共点,所以P,Q,R三点共线.
(2)取AD中点G,AB中点H,连接GH,交AC于点M,连接D1G,B1H,由题意得,GH∥EF,B1H∥DE,因为GH∩B1H=H,EF∩DE=E,
所以平面GHB1D1∥平面BDEF,
所以线段AC上存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,且M为AP中点.
2.(2020·杭州高一检测)已知如图:E,F,G,H分别是正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点.
(1)求证:EG∥平面BB1D1D.
(2)求证:平面BDF∥平面B1D1H.
【证明】(1)正方体ABCD
-A1B1C1D1中,取B1D1的中点O,连接GO,OB,由OG,BE都平行且等于B1C1的一半,可得四边形BEGO为平行四边形,
故OB∥GE,而OB?平面BB1D1D,GE?平面BB1D1D,故EG∥平面BB1D1D.
(2)由正方体得BD∥B1D1,由于B1D1?平面B1D1H,而BD?平面B1D1H,所以BD∥平面B1D1H.
如图,连接HB,D1F,
易证BH与FD1平行且相等,可得四边形HBFD1是平行四边形,故HD1∥BF.
因为HD1?平面B1D1H,而BF?平面B1D1H,
所以BF∥平面B1D1H.
又BD∩BF=B,BD?平面BDF,BF?平面BDF,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
平行关系的相互转化:
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.平面与平面平行的判定
2.平面与平面平行的性质
应用性质定理时定理中的三个条件缺一不可
逻辑推理：在平行关系的转化证明过程中，培养逻辑推理的核心素养
线线平行
线面平行
面面平行
性质
判定定理
性质定理
判定定理
性质定理
平面与平面平行
性质
课堂检测·素养达标
1.下列命题中不正确的是
( )
A.平面α∥平面β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β
B.平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β
C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
【解析】选A.A中,因为a有可能在β内,故错误;
B中,由面面平行可得一个平面内的线与另一平面平行,故正确;
C中,由面面平行的判定可知C选项正确;
D中,由面面平行的性质可知D选项正确.
2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是
( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
【解析】选A.如图,因为EG∥E1G1,EG?平面E1FG1,
E1G1?平面E1FG1,所以EG∥平面E1FG1,
又G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1,
又H1E∩EG=E,H1E,EG?平面EGH1,
所以平面E1FG1∥平面EGH1.
3.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .?
【解析】因为平面ABFE∥平面CDHG,
又平面EFGH∩平面ABFE=EF,
平面EFGH∩平面CDHG=HG,
所以EF∥HG.同理EH∥FG.
所以四边形EFGH的形状是平行四边形.
答案:平行四边形
4.(教材二次开发:习题改编)如图,平面α∥β∥γ,直线l,m分别与α,β,γ相
交于点A,B,C和点D,E,F.若
,DF=20,则EF= .?
【解析】利用平行平面分线段成比例得:
,又DF=20,求得EF=15.
答案:15
5.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n?γ,且 ,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.?
①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.
【解析】由面面平行的性质定理可知①可以;对于②,若γ∥β,则γ内的任一直线都满足条件,m与n也可异面;对于③,因为α∩β=m,n?γ,m?γ,所以m∥n或m∩n=P.假设m∩n=P,则P∈m,P∈n,又α∩β=m,所以P∈β,这与n∥β相矛盾,因此m∩n=P不成立,故m∥n,所以③可以.
答案:①或③(共45张PPT)
8.5.2 直线与平面平行
必备知识·自主学习
1.直线与平面平行的判定定理
(1)定理:如果_______一条直线与此平面内的一条直线_____,那么该直线与此
平面平行;
(2)符号:a?α,b?α,且a∥b?a∥α;
(3)本质:线线平行?线面平行,空间问题转化为平面问题.
(4)应用:判定直线与平面平行.
平面外
平行
【思考】
如果一条直线与平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面一定平行吗?
提示:不一定,该直线可能在平面内.
2.直线与平面平行的性质定理
(1)定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么
该直线与_____平行;
(2)符号:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b;
(3)本质:线面平行?线线平行,直线与平面平行中蕴含直线与直线平行;
(4)应用:作平行线的一种方法.
交线
【思考】
一条直线与一个平面平行,该直线与此平面内任意直线平行吗?
提示:不是,可能是异面直线.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.( )
(2)若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点.
( )
(3)平行于同一平面的两条直线平行.
( )
提示:(1)×.直线也可能与平面相交.
(2)√.若有公共点,则平行不成立.
(3)×.两条直线可能平行,也可能相交或异面.
2.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F分别是对角线A1D,B1D1的中点,则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有 .?
【解析】如图,连接A1C1,C1D,
因为F为B1D1的中点,
所以F为A1C1的中点,
在△A1C1D中,EF为中位线,
所以EF∥C1D,
又EF?平面C1CDD1,C1D?平面C1CDD1,所以EF∥平面C1CDD1.同理,EF∥平面A1B1BA.
故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.
答案:平面C1CDD1和平面A1B1BA
3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG.则EH与BD的位置关系是 .?
【解析】因为EH∥FG,FG?平面BCD,EH?平面BCD,所以EH∥平面BCD.因为EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.
答案:平行
关键能力·合作学习
类型一 直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.过正方体ABCD
-A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面BCC1B1平行的直线有 条.?
2.已知正方形ABCD与正方形ABEF不共面,N,M分别在AE和BD上且为中点.
求证:MN∥平面BCE.
【解析】1.设AB,A1B1,C1D1,CD的中点分别为E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE,EG,FH,
则EF,FG,GH,HE,EG,FH都与平面BCC1B1平行,共6条直线,同理平面ADD1A1四条边中点分别为M,N,O,P,即还有MN,NO,OP,MP,NP,OM,共6条直线.因此,满足条件的直线一共有12条.
答案:12
2.方法一:由题意可知,在正方形ABCD和ABEF中,M,N分别为中心,连接AC,则M为AC的中点,
所以在△AEC中,MN∥EC,
又MN?平面BEC,EC?平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
方法二:分别取BC,BE的中点G,H,连接AC,MG,GH,HN,则M为AC的中点,
则MG?
AB,NH?
AB,所以MG?NH,
所以四边形MGHN是平行四边形,所以MN∥GH.
又MN?平面BEC,GH?平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
【解题策略】
关于线面平行的判定
(1)充分利用平面图形中的平行关系,如三角形中,中位线平行于底边,平行四边形对边平行,梯形的两底平行等.
(2)连接平行四边形的对角线是常作的辅助线,因为平行四边形的对角线相互平分,可以得到中点从而构造平行关系.
(3)书写步骤时一定要注明面外直线,面内直线,避免步骤扣分.
【补偿训练】
如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E,F分别为棱AB,PD的中点.
求证:AF∥平面PCE.
【证明】取PC的中点G,连接EG,FG,
因为F,G分别是PD,PC的中点,所以FG?
CD,
因为AB?
CD,E是AB的中点,所以AE?
CD,
所以FG?
AE,所以四边形AEGF是平行四边形,
所以AF∥EG,因为AF?平面PCE,EG?平面PCE,所以AF∥平面PCE.
类型二 直线与平面平行的性质(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,三棱柱ABC
-A1B1C1中,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M,并写出作图步骤,但不要求证明.
【思路导引】先要作出平面PQB1与平面ABC的交线,再根据线面平行的性质作AM.
【解析】取BB1中点E,连接AE,则AE∥PB1,
连接CE,取CE中点N,连接QN,则QN∥AE,
所以QN∥PB1,即Q,N,P,B1四点共面,
连接B1N交BC于H,连接QH,则Q,H,B1,P四点共面,过A作AM∥QH交BC于M,即为所求.
【解题策略】
关于线面平行性质定理的应用
(1)如果题目中存在线面平行的条件,寻找或作出交线是前提,也是关键.
(2)对应画线问题,要根据线面平行,确定出平行的直线后画出.
【跟踪训练】
已知正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ长为 .?
【解析】连接AD1,A1D,
因为PQ∥平面AA1B1B,
PQ?平面AB1D1,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,
所以PQ∥AB1,由正方体的性质得,AD1∩A1D=P,
P是AD1的中点,所以Q是B1D1的中点,
所以PQ=
AB1=
=
.
答案:
类型三 直线与平面平行的判定、性质的应用(逻辑推理)
角度1 判定、性质的综合应用?
【典例】如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH,求证:CD∥平面EFGH.
【思路导引】利用线线平行证明线面平行.
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥GH,因为EF?平面BCD,GH?平面BCD,
所以EF∥平面BCD,
又因为EF?平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,
所以EF∥CD,因为EF?平面EFGH,
CD?平面EFGH,所以CD∥平面EFGH.
【变式探究】
本例条件不变,试证明:EH∥AB.
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形,
所以EH∥FG,因为EH?平面ABC,FG?平面ABC,
所以EH∥平面ABC.
又因为EH?平面ABD,平面ABD∩平面ABC=AB,
所以EH∥AB.
角度2 平行条件的确定?
【典例】(2020·哈尔滨高一检测)如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,CC1,AD的中点.棱CD上是否存在点T,使得AT∥平面B1EF?请证明你的结论.
【思路导引】先将平面EFB1延展,再确定点T的位置.
【解析】在棱CD上取点T,使得DT=
DC,则AT∥平面B1EF.
证明如下:延长BC,B1F交于点H,连接EH交DC于点K,
因为CC1∥BB1,F为CC1的中点,所以C为BH的中点.
因为CD∥AB,所以KC∥AB,且KC=
EB=
CD,
因为DT=
DC,E为AB的中点,所以TK∥AE,
且TK=AE,即四边形AEKT为平行四边形,
所以AT∥EK,即AT∥EH,又EH?平面B1EF,AT?平面B1EF,所以AT∥平面B1EF.
【解题策略】
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行?线面平行?线线平行,既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系,也体现了空间和平面之间的相互转化.
【题组训练】
1.(2020·南昌高一检测)如图,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则
( )
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
【解析】选B.四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,由直线与平面平行的性质定理可得:MN∥PA.
2.在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P满足
条件 时,A1P∥平面BCD.?
【解析】取CC1中点P,连接A1P,
因为在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,
所以当点P满足条件P是CC1的中点时,A1P∥CD,
因为A1P?平面BCD,CD?平面BCD,所以当点P满足条件P是CC1的中点时,A1P∥平面BCD.
答案:P是CC1的中点(答案不唯一)
【补偿训练】
如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA的上一点,当点E满足
条件 时,SC∥平面EBD,写出条件并加以证明.?
【解析】取SA的中点E,连接EB,ED,AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以点O是AC的中点.
又E是SA的中点,所以OE是△SAC的中位线.
所以OE∥SC.因为SC?平面EBD,OE?平面EBD,所以SC∥平面EBD.
答案:SE=EA(或E为SA的中点)
核心知识
直线与平面平行的性质定理
直线与平面平行的判定定理
方法总结
判定直线与平面平行
（1）关键是在平面内找一条直线与平面平行
（2）方法是利用平行的传递性，通过中位线定理或平行四边形的性质
核心素养
注意性质定理中两条直线的位置
应用
直线与平面平行
易错提醒
逻辑推理：转化为证明直线与直线平行判定
课堂检测·素养达标
1.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是
( )
A.直线m在平面α外
B.直线m与平面α内的两条直线平行
C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D.直线m与平面α内的一条直线平行
【解析】选C.选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项B与D不符合题意,因为缺少条件m?α;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.
2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质定理知,l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
3.(教材二次开发:练习改编)在三棱台ABC
-A1B1C1中,A1B1=2AB,点E,F分别是棱B1C1,A1B1的中点,则在三棱台的各棱所在的直线中,与平面ACEF平行的有 .?
【解析】因为点E,F分别是棱B1C1,A1B1的中点,
所以EF∥A1C1,又EF?平面ACEF,A1C1?平面ACEF,所以A1C1∥平面ACEF.
因为AB∥A1B1,A1B1=2AB,FB1=
A1B1,
所以AB?
FB1,所以四边形ABB1F是平行四边形,
所以AF∥BB1,又AF?平面ACEF,BB1?平面ACEF,所以BB1∥平面ACEF.
答案:A1C1,BB1
4.过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有 个.?
【解析】如图:异面直线a,b,过b上任一点作a的平行线c,
则相交直线b,c确定一个平面,且与a平行.
答案:1
5.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交平面α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG= .?
【解析】因为a∥α,a?平面ABD,α∩平面ABD=EG,
所以a∥EG,即BD∥EG,所以
,
则EG=
.
答案:(共41张PPT)
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
必备知识·自主学习
1.基本事实4
(1)事实:平行于_______直线的两条直线平行;
(2)本质:判定空间中两直线平行的依据,也叫平行线的传递性;
(3)应用:判定空间直线的平行,平移空间直线.
同一条
【思考】
平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理?
提示:三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等.
2.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别_________,那么这两个角相等或互补.
对应平行
【思考】
平面中怎样利用平行证明两个角相等?
提示:两直线平行同位角、内错角相等,平行四边形中对角相等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线.
( )
(2)如果空间中的两个角相等或互补,那么这两个角的两条边分别对应平行.
( )
(3)空间中两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,则两组直线所成的锐角(或直角)相等.
( )
提示:(1)×.也可能是相交直线.
(2)×.等角定理的逆定理不成立.
(3)√.由等角定理可知正确.
2.(教材二次开发:练习改编)如图所示,在长方体木块AC1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有
( )
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
【解析】选B.由于E,F分别是B1O,C1O的中点,故EF∥B1C1,因为和棱B1C1平行的棱还有3条:AD,BC,A1D1,所以共有4条.
关键能力·合作学习
类型一 空间直线平行的判定及应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.下列各图中,直线a与b平行的只可能是
( )
【解析】选D.对于A,B,C中直线a,b是异面直线,D中直线a,b共面,可能是平行直线.
2.(2020·浦东高一检测)在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形.
【证明】取AD的中点G,连接FG,BG,
可得B1B∥FG,B1B=FG,
所以四边形B1BGF为平行四边形,
则BG∥B1F,BG=B1F,
由ABCD
-A1B1C1D1为正方体,且E,G分别为BC,AD的中点,可得BEDG为平行四边形,所以BG∥DE,BG=DE,则B1F∥DE,且B1F=DE,
所以四边形B1EDF为平行四边形,
由△B1BE≌△B1A1F,可得B1E=B1F,
所以四边形B1EDF是菱形.
【解题策略】
关于空间中两直线平行的证明
(1)辅助线:常见的辅助线作法是构造三角形中位线,平行四边形的对边.
(2)证明依据:三角形中位线定理,平行线分线段成比例定理的逆定理,基本事实4,几何体中相对的棱、对角线等的平行关系.
类型二 等角定理及应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
求证:∠BMC=∠B1M1C1.
步骤
内容
理解
题意
1.条件:正方体中,M,M1分别是棱的中点;
2.求证:∠BMC=∠B1M1C1
思路
探求
证明角的两边分别平行,利用等角定理证明.
步骤
内容
书写
表达
【证明】连接MM1,
因为在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,
所以MM1?
AA1.又因为AA1?
BB1,
所以MM1∥BB1,且MM1=BB1.
所以四边形BB1M1M为平行四边形.
所以B1M1∥BM.①
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
所以C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角,②
所以∠BMC=∠B1M1C1.
①构造平行四边形证明对边平行是常用的方法;
②等角定理的结论是角相等或互补,因此必须说明相等的依据.
步骤
内容
题后
反思
(1)基本事实4、三角形的中位线、平行四边形的性质是证明空间直线平行的常用工具
(2)应用等角定理证明角相等时要区分互补的情况
【解题策略】
关于等角定理的应用
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行.
(2)根据角的两边的方向、角的大小判定角相等.
【跟踪训练】
如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB的中点,M,N分别为B1C1,C1D1的中点.
求证:∠EA1F=∠NCM.
【证明】如图,取A1D1的中点I,连接DI,MI,
又M为B1C1的中点,几何体ABCD
-A1B1C1D1为正方体,所以C1D1?
CD,MI?
C1D1,
根据基本事实4知CD?
MI,故四边形IDCM为平行四边形,所以MC∥ID,
又I,E分别为A1D1,AD的中点,所以A1I?
ED,
所以四边形A1IDE为平行四边形,所以A1E∥ID.
故MC∥A1E.同理可证A1F∥CN.
因为A1F∥CN,MC∥A1E,
又∠EA1F与∠NCM两边的方向均相反,
所以∠EA1F=∠NCM.
类型三 空间中平行关系的综合应用(逻辑推理、直观想象)
角度1 共面问题?
【典例】如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,求证:四边形EFGH是梯形.
【思路导引】首先证明E,F,G,H四点共面,再证明是梯形.
【证明】连接AC,因为E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,
所以HE∥AC,GF∥AC,
所以HE∥GF,则E,F,G,H四点共面.
又HE=
AC,GF=
AC,所以HE≠GF,
所以四边形EFGH是梯形.
【变式探究】
本例中,试证明EF,GH,BD交于一点.
【证明】由例题可知,E,F,G,H四点共面,HG与EF不平行,不妨设EF,HG交于点P,
所以P∈平面BCD,且P∈平面ABD,而平面BCD∩平面ABD=BD,所以P∈BD,所以EF,GH,BD交于一点.
角度2 探究性问题?
【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,点M,N分别在AC,PB
上,且AM=
MC,BN=
BP,作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l,
直线l与MN是否平行,如果平行请给出证明,如果不平行请说明理由.
【思路导引】先作出直线l,再利用比例关系证明是否平行.
【解析】连接BM并延长,交DA于点E,连接PE,
则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l,因为底面ABCD是平行四边
形,所以AE∥BC,
所以△AEM∽△CBM,所以
,
因为点M,N分别在AC,PB上,
且AM=
MC,BN=
BP,
所以
,所以
,
所以MN∥PE,即直线l∥MN.
【解题策略】
1.关于共面问题
根据两平行直线确定一个平面,可以证明共面问题,其实质是证明直线平行.
2.关于探究问题
处理探究问题时一般假设其存在,再进行证明,或先选取如中点等特殊位置进行验证,再给出严格证明.
【题组训练】
如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:E,F,G,H四点共面.
(2)设FG与HE交于点P,求证:P,A,C三点共线.
【证明】(1)在△ABD中,因为E,F为AD,AB中点,所以EF∥BD.在△CBD中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2,
所以GH∥BD,所以EF∥GH,
所以E,F,G,H四点共面.
(2)因为FG∩HE=P,P∈FG,P∈HE,
所以P∈平面ABC,P∈平面ADC,
又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈直线AC.
所以P,A,C三点共线.
【补偿训练】
如图,在长方体ABCD
-A′B′C′D′中,AB=BC=1,AA′=2,E,F分别是BB′,A′B′的中点.
求证:E,F,C,D′四点共面.
【证明】如图所示,连接A′B,D′C,EF,
则EF∥A′B∥D′C,
所以E,F,C,D′四点共面.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
空间直线平行的证明
（1）辅助线：构造三角形中位线、平行四边形的对边
（2）证明依据：基本事实4，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系.
基本事实
定理
应用定理时注意角的方向
直观想象、逻辑推理：通过空间直线平行的证明得以体现
直线与
直线平行
课堂检测·素养达标
1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条
( )
A.相交
B.异面
C.相交或异面
D.平行
【解析】选C.举例说明:给出正方体模型,如图,
①直线AB与直线A1B1平行,且直线BC与直线A1B1异面,此时,直线BC与直线AB相交;
②直线AB与直线A1B1平行,且直线CC1与直线A1B1异面,此时,直线CC1与直线AB异面;
综上所述,一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.
2.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形
( )
A.全等
B.相似
C.仅有一个角相等
D.无法判断
【解析】选B.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.
3.(教材二次开发:例题改编)如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,若BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为 .?
【解析】
?EH=FG=
BD=1.
同理EF=GH=
AC=2,
所以四边形EFGH的周长为6.
答案:6
4.如图,在三棱柱ABC
-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是 .?
【解析】在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,
所以EF∥BC.又BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.
答案:平行
