(共41张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直(二)
必备知识·自主学习
面面垂直的性质定理
(1)性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线___________________
_____,那么这条直线与另一个平面垂直;
(2)图形:
导思
面面垂直有哪些性质?有什么样的应用?
垂直于这两个平面的
交线
(3)符号:α⊥β,a?α,α∩β=b,a⊥b?a⊥β;
(4)本质:面面垂直?_________.
线面垂直
【思考】
若平面α⊥平面β,点A∈α,过点A作直线l⊥β,那么直线l与平面α的关系是什么?
提示:直线l在平面α内,即l?α.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直.
( )
(2)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.
( )
(3)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ.
( )
提示:(1)×.不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.
(2)√.若平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α与平面β垂直,故正确.
(3)√.设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在m,n上,过P在底面γ内作直线a,b,使a⊥m,b⊥n.因为γ⊥α,a⊥m,则a⊥α.所以a⊥l,同理有b⊥l.又a∩b=P,a?γ,b?γ,所以l⊥γ.故正确.
2.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么
( )
A.直线a垂直于第二个平面
B.直线b垂直于第一个平面
C.直线a不一定垂直于第二个平面
D.过a的平面必垂直于过b的平面
【解析】选C.直线a与直线b均不一定垂直两面的交线.
3.(教材二次开发:练习改编)已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,若α⊥β,则下列结论正确的是
( )
A.l∥β或l?β
B.l∥m
C.m⊥α
D.l⊥m
【解析】选A.对于A,直线l⊥平面α,α⊥β,则l∥β或l?β,A正确;对于B,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,所以B错误;对于C,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则m⊥α或m与α相交(不垂直)或m?α或m∥α,所以C错误;对于D,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,所以D错误.
关键能力·合作学习
类型一 面面垂直性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则
PB= .?
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB,四边形ABCD为矩形,PA=AB,E,F
分别为PC,PB的中点.
证明:平面DEF⊥平面PBC.
【解析】1.因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),所以
PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,所以
.
答案:
2.因为平面ABCD⊥平面PAB,平面ABCD∩平面PAB=AB,CB⊥AB,所以CB⊥平面ABP,
因为EF∥CB,所以EF⊥平面ABP,
因为PB?平面ABP,所以EF⊥PB,
连接AF,则EF∥CB∥AD,所以A,D,E,F四点共面,因为PA=AB,所以PB⊥AF,
因为AF∩EF=F,所以PB⊥平面EDF,
因为PB?平面PBC,所以平面DEF⊥平面PBC.
【解题策略】
应用面面垂直的性质定理的策略
(1)应用步骤:面面垂直
线面垂直→线线垂直.
(2)应用类型:①证明线面垂直、线线垂直;②作线面角或作二面角的平面角.
提醒:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一
条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
【跟踪训练】
如图,在三棱锥P-ABC中,AP=AB,M,N分别为棱PB,PC的中点,平面PAB⊥平面PBC.
求证:平面AMN⊥平面PBC.
【证明】因为PA=AB,点M为棱PB的中点,所以AM⊥PB,又平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AM?平面PAB,所以AM⊥面PBC,又AM?平面AMN,所以平面AMN⊥平面PBC.
类型二 面面垂直的综合应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 折叠问题?
【典例】如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=
,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对
角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,
求证:A′B⊥A′C.
【思路导引】利用面面垂直,证明A′B⊥平面A′CD.
【证明】因为AB=AD=1,BD=
,所以BD2=AB2+AD2,所以三角形ABD是直角三角形,所以AB⊥AD,即A′B⊥A′D.由题意,平面A′BD⊥平面BCD,
平面A′BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,
所以CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B,又因为A′B⊥A′D,且A′D∩CD=D,所以A′B⊥平面A′CD,所以A′B⊥A′C.
【变式探究】
(变问法)求直线A′C与平面BCD、平面A′BD所成的角.
【解析】取BD的中点O,连接OA′,OC.
因为A′B=A′D,所以A′O⊥BD,
又因为平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,所以A′O⊥平面BCD.
所以∠A′CO是直线A′C与平面BCD所成的角.
在Rt△A′OC中,A′O=
,A′C=
,
所以sin∠A′CO=
,所以∠A′CO=30°.
所以直线A′C与平面BCD所成的角是30°.
因为CD⊥平面A′BD,所以∠CA′D是直线A′C与平面A′BD所成的角.在Rt△A′CD中,A′D=CD,
所以∠CA′D=45°,所以直线A′C与平面A′BD所成的角是45°.
角度2 直线、平面垂直关系的应用?
【典例】(2020·杭州高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平
面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E是AD的中点.
(1)求证:PE⊥CD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
【思路导引】(1)利用已知的面面垂直得到线线垂直,推线面垂直进而完成线线垂直;
(2)寻求线面垂直推面面垂直.
【证明】(1)因为PA=PD,E是AD的中点,
所以PE⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,
因为CD?平面ABCD,所以PE⊥CD.
(2)因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD,
由(1)得CD⊥PE,又AD∩PE=E,
所以CD⊥平面PAD,
因为AP?平面PAD,所以CD⊥AP,
因为PA⊥PD,PD∩CD=D,所以PA⊥平面PCD,
因为PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.
【解题策略】
1.关于折叠问题
(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况,注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.
2.关于垂直关系的综合应用
(1)熟练垂直关系的转化,线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.
(2)垂直关系证明的核心是线面垂直,准确确定要证明的直线是关键,再利用线线垂直证明.
【题组训练】
1.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为 .?
【解析】如图所示,取BD的中点O,连接A′O,CO,
则∠A′OC是二面角A′-BD
-C的平面角.即∠A′OC=90°,又A′O=CO=
a,所
以A′C=
,
即折叠后AC的长(A′C)为a.
答案:a
2.如图,四棱锥P-ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,AB∥CD,∠DAB=90°,PA=AD,DC=2AB,E为PC中点.
(1)求证:PA⊥BC;
(2)求证:平面PBC⊥平面PDC.
【证明】(1)因为平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB,
PA?平面PAB,所以PA⊥平面ABCD.
又因为BC?平面ABCD,所以PA⊥BC.
(2)因为AP=AD,设F为PD的中点,
连接AF,EF,如图,则EF?
CD.又AB?
CD,
所以EF?AB.
所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.
因为PA=AD且F为PD的中点,所以AF⊥PD,又∠DAB=90°,所以AB⊥DA,又PA⊥AB,PA∩DA=A,所以AB⊥平面PAD,所以EF⊥平面PAD,所以AF⊥EF,又PD∩EF=F,所以AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PDC.
又因为BE?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDC.
【补偿训练】
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,
已知BD=8,AD=4,AB=2DC=4
.
(1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)在△ABD中,
因为AD=4,AB=4
,BD=8,
所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,又BD?平面BDM,所以平面MBD⊥平面PAD.
(2)过P作PO⊥AD,垂足为O.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,
即PO为四棱锥P-ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,
所以PO=2
.
过D作DN⊥AB,则
.
所以S梯形ABCD=
,
所以VP-ABCD=
.
核心知识
面面垂直的性质定理
应用
易错提醒
利用性质定理时要注意直线在平面内
核心素养
逻辑推理：在面面垂直的性质定理中得以体现
方法总结
平行关系的相互转化
判定定理
性质定理
判定定理
判定
性质
性质
平面与平面垂直（二）
课堂检测·素养达标
1.已知平面α,β及直线a满足α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB,则
( )
A.a?β
B.a⊥β
C.a∥β
D.a与β相交但不垂直
【解析】选B.由题意,α中存在直线b,b∥a,因为a⊥AB,所以b⊥AB,因为α⊥β,α∩β=AB,所以b⊥β,因为b∥a,所以a⊥β.
2.(教材二次开发:习题改编)三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的
( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【解析】选C.如图所示,
三个侧面两两垂直,可看成正方体的一角,
则AP⊥平面PBC,因为BC?平面PBC,所以AP⊥BC,因为PH⊥平面ABC,BC?平面ABC,
所以PH⊥BC,又AP∩PH=P,
所以BC⊥平面APH,因为AH?平面APH,
所以AH⊥BC,同理可得CH⊥AB,
故H为△ABC的垂心.
3.把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC,如图所示,互相垂直的
平面有 对.?
【解析】由已知得CD⊥AD,CD⊥BD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以平面ADC⊥
平面ABD,平面ADB⊥平面BDC,又因为平面ADC⊥平面BDC,所以互相垂直的平面有
3对.
答案:3
4.在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,
则线段CM的长为 .?
【解析】如图所示,取BD的中点O,连接OA,OC,
因为AB=AD=BC=CD=1,所以OA⊥BD,OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD,所以OA⊥平面BCD,所以OA⊥OC.又AB⊥AD,所以DB=
.
取OB中点N,连接MN,CN,
所以MN∥OA,所以MN⊥平面BCD.因为CN2=ON2+OC2=
,
,
所以
.
答案:(共50张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直(一)
必备知识·自主学习
1.直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l与平面α内的_________直线都垂直,那么直线l与平面α互
相垂直,记作l⊥α.
导思
1.怎样判定直线与平面垂直?
2.斜线与平面所成的角是怎样定义的?
任意一条
(2)相关概念:
垂线
直线l叫做平面α的_____
垂面
平面α叫做直线l的_____
垂足
直线与平面垂直时,它们唯一的_______
垂线段
过一点作平面的垂线,该点与垂足间的_____
点到平面的距离
垂线段的_____
垂线
垂面
公共点
线段
长度
(3)发现:过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
【思考】
如果直线l和平面α垂直,那么直线l与平面α内的直线是什么位置关系?
提示:垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理
(1)定理:如果一条直线与一个平面内的两条_________垂直,那么该直线与此平
面垂直.
(2)本质:直线与平面垂直?直线与直线垂直.
(3)应用:判定直线与平面垂直.
相交直线
【思考】
定理中的“相交”能去掉吗?
提示:不能,如果是平行直线,则直线与平面不一定垂直.
3.斜线与平面所成的角
(1)相关概念:
斜线
一条直线l与一个平面α相交,但不与平面垂直
斜足
斜线与平面的交点
射影
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO
(2)定义:平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角
(3)直线与平面所成角θ的取值范围:______________.
(4)本质:把空间图形问题转化为平面图形问题,即用线线角定义线面角.
射影
0°≤θ≤90°
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线与平面垂直.
( )
(2)平面的斜线与平面所成的角θ的范围是0°<θ<90°.
( )
(3)如果一条直线与平面的垂线垂直,则该直线与这个平面平行.
( )
提示:(1)×.直线可能是平面的斜线,也可能在平面内.
(2)√.平面的斜线与平面所成的角θ的范围是0°<θ<90°.
(3)×.该直线可能在平面内.
2.如果下列平面图形中的某些线段与一条直线垂直,能保证该直线与该平面图形所在的平面垂直的是
( )
①三角形的两边;②梯形的两边;
③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
A.①③
B.②
C.②④
D.①②④
【解析】选A.因为三角形的任意两边是相交的,所以①可证线面垂直.
因为梯形的上下两边是平行的,此时不相交,所以②不一定能保证线面垂直.
因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以证明线面垂直.
若直线垂直于正六边形的两条对边,此时两条对边是平行的,所以④不一定能保证线面垂直.
综上所述,正确的是:①③.
3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,直线AC与平面A1D所成
的角为
( )
A.45°
B.90°
C.30°
D.60°
【解析】选A.如图,因为CD⊥平面ADD1A1,所以直线AC与平面A1D所成的角为
∠CAD,因为△ADC是等腰直角三角形,所以∠CAD=45°.
关键能力·合作学习
类型一 直线与平面垂直的判定(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·白城高一检测)正方体ABCD
-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是
( )
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB1
2.(2020·合肥高一检测)如图,该几何体的三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是矩形.若AA1=2AC,AC⊥AB,M为CC1的中点.
证明:A1M⊥平面ABM.
【解析】1.选D.在A中,AD1与平面DD1C1C相交但不垂直,故A错误;
在B中,AD1与平面A1DB相交但不垂直,故B错误;
在C中,AD1与平面A1B1C1D1相交但不垂直,故C错误;
在D中,AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,
所以AD1⊥平面A1DB1,故D正确.
2.因为侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是矩形,
所以A1A⊥AB.又因为AC⊥AB,A1A∩AC=A,
所以AB⊥平面AA1C1C.因为A1M?平面AA1C1C,
所以AB⊥A1M.
因为M为CC1的中点,AA1=2AC,
所以△ACM,△A1C1M都是等腰直角三角形,
所以∠AMC=∠A1MC1=45°,∠A1MA=90°,
即A1M⊥AM.而AB∩AM=A,
所以A1M⊥平面ABM.
【解题策略】
1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.证明线面垂直的方法
在推线线垂直的过程中,若三角形的三边长符合勾股定理,则三角形是直角三角形,两直角边相互垂直,得到线线垂直.即通过计算证明垂直关系.
【补偿训练】
(2020·南通高一检测)如图,在正三棱柱ABC
-A1B1C1中,已知点E在棱AB上,且AE=2EB,点F在棱AC上,且AF=2FC,点D为棱B1C1的中点,点G为棱BC的中点.
求证:EF⊥平面A1AGD.
【证明】因为在正三棱柱ABC
-A1B1C1中,点D为棱B1C1的中点,点G为棱BC的中点,所以AG⊥BC,DG∥BB1,因为EF∥BC,所以AG⊥EF,
因为在正三棱柱ABC
-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,EF?平面ABC,所以EF⊥AA1,
因为AA1∥BB1,DG∥BB1,所以EF⊥DG,
因为DG∩AG=G,所以EF⊥平面A1AGD.
类型二 直线与平面所成的角(直观想象、数学运算)
【典例】(2020·湛江高一检测)如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,O是AC中点.
求直线D1A与平面A1ACC1所成的角的值.
步骤
内容
理解
题意
(1)正方体ABCD
-A1B1C1D1中,O是AC中点
(2)求直线D1A与平面A1ACC1所成的角的值
思路
探求
先作出直线与平面所成的角,再求值
步骤
内容
书写
表达
如图,连接B1D1,B1D1∩A1C1=O1,连接AO1.
因为AA1⊥A1D1,AA1⊥A1B1,A1D1?平面A1B1C1D1,
A1B1?平面A1B1C1D1,且A1D1∩A1B1=A1,
所以AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,又因为C1A1⊥B1D1,C1A1?平面
AA1C1C,AA1?平面AA1C1C,且AA1∩C1A1=A1,所以D1O1⊥平面AA1C1C,①
所以∠D1AO1为直线D1A与平面A1ACC1所成的角.②
因为D1O1=
B1D1=
AD1,
所以∠D1AO1=30°.
所以直线D1A与平面A1ACC1所成的角的大小是30°.③
①确定直线与平面所成角的关键是线面垂直,即确定垂足;
②要注明要求的直线与平面所成的角;
③求出直线与平面所成角后要下结论,避免步骤扣分.
步骤
内容
题后
反思
先作出直线与平面所成的角,再证明,最后求角.
【解题策略】
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.
(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
在正三棱柱ABC
-A′B′C′中,AB=1,AA′=2,求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值.
【解析】如图所示,取A′B′的中点D,连接C′D,BD.
因为底面△A′B′C′是正三角形,所以C′D⊥A′B′.
因为AA′⊥底面A′B′C′,所以A′A⊥C′D.
又AA′∩A′B′=A′,所以C′D⊥侧面ABB′A′,
所以BD是斜线BC′在平面ABB′A′上的射影,∠C′BD是直线BC′与平面
ABB′A′所成的角.等边三角形A′B′C′的边长为1,C′D=
,
在Rt△BB′C′中,
BC′=
故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值
为
类型三 直线与平面垂直的应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 三角形中的“心”?
【典例】(2020·延吉高一检测)已知三棱锥P-ABC中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作PO⊥平面ABC,垂足为O,则点O是△ABC的
( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【思路导引】分析点O满足的性质,AO与BC的关系.
【解析】选D.连接AO并延长,交BC于D,连
接BO并延长,交AC于E.
因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC.
因为PO⊥平面ABC,故PO⊥BC,又因为PA∩PO=P,故BC⊥平面PAO,故AO⊥BC,即
AD⊥BC;
同理BE⊥AC,故O是△ABC的垂心.
【变式探究】 (1)(变条件)本例中,若PA=PB=PC,则点O是三角形ABC的什么心?
(2)(变条件)本例中,若点P到边AB,AC,BC的距离相等,则点O是三角形ABC的什么心?
【解析】(1)连接OA,OB,OC,则OA=OB=OC.
则点O是三角形ABC的外心.
(2)如图,由题意PD=PE=PF,所以OD=OE=OF,
因为PO⊥平面ABC,
所以PO⊥AB,又AB⊥平面POD,
所以AB⊥OD,同理,OE⊥BC,OF⊥AC,
所以点O到边AB,BC,AC的距离相等,
故点O是三角形ABC的内心.
角度2 垂直条件的探究?
【典例】如图,在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=
,D是
A1B1的中点.
当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
【思路导引】设计条件满足线线垂直,即可得到线面垂直.
【解析】作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,C1D,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求.
因为ABC
-A1B1C1是直三棱柱,
所以A1C1=B1C1=1,
且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1,
C1D?平面A1B1C1,
所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,
所以C1D⊥平面AA1B1B,因为AB1?平面AA1B1B,
所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,
所以AB1⊥平面C1DF.
因为AA1=A1B1=
,所以四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,所以F为BB1的中点,
所以当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
【解题策略】
1.关于三角形垂心、内心、外心的确定
首先要明确三种心的定义及其性质,再通过垂直关系确定点满足的条件,对应相应的性质进行判断.
2.关于垂直的条件的确定
(1)借助直观想象,选取特殊点后进行证明,若满足垂直关系,则即为要求的点.
(2)设出要求的点,通过计算确定点的位置,一般需要利用勾股定理构造方程解题.
【题组训练】1.若三棱锥P-ABC满足PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,点O为点P在底面ABC上的射影,则点O是△ABC的 心.?
【解析】PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,则点O到A,B,C的距离相等,所以点O是△ABC的外心.
答案:外
2.(2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体
ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.
证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;
(2)点C1在平面AEF内.
【证明】(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1,
所以BB1⊥平面ABCD,所以AC⊥BB1,
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,
所以四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,
因为BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D1D,
因此AC⊥平面BB1D1D,
因为EF?平面BB1D1D,所以EF⊥AC;
(2)在CC1上取点M使得CM=2MC1,连接DM,MF,EC1,
因为D1E=2ED,DD1∥CC1,
DD1=CC1,
所以ED=MC1,ED∥MC1,
所以四边形DMC1E为平行四边形,所以DM∥EC1,
因为MF∥DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形,所以DM∥AF,所以EC1∥AF,
因此点C1在平面AEF内.
课堂检测·素养达标
1.下列说法中正确的是
( )
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直;
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直;
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行;
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直.
A.①②③
B.①③④
C.②③
D.②③④
【解析】选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直.
2.(2020·镇江高一检测)如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,若G为CC1的中点,则
直线AG与侧面BCC1B1所成角的正弦值是
( )
【解析】选A.连接BG.因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AGB是直线AG与侧面BCC1B1所
成角,在Rt△ABG中,若AB=a,则AG=
a,
所以sin
∠AGB=
.
3.(教材二次开发:练习改编)设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA,PB,PC的关系是 .?
【解析】因为H为AC中点,∠ABC=90°,所以AH=BH=CH,又PH⊥平面ABC,由勾股定理知PA=PB=PC.
答案:PA=PB=PC
4.在三棱锥P-ABC中,最多有 个直角三角形.?
【解析】不妨设PA⊥AB,PA⊥AC,则△APB,△PAC为直角三角形,由线面垂直的判定定理,可得PA⊥平面ABC,由线面垂直的定义,可知PA⊥BC,若∠ABC=90°,则BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,即∠PBC=90°,所以△ABC,△PBC为直角三角形,故直角三角形最多有4个.
答案:4
5.(2020·上海高一检测)已知圆锥的底面半径为1
cm,侧面积为2π
cm2,则母线
与底面所成角的大小为 .?
【解析】由圆锥侧面积公式S=πrl=π·1·l=2π,解得l=2,
设母线与底面所成角为θ,则cos
θ=
所以θ=
.
答案:(共45张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直(二)
必备知识·自主学习
1.直线与平面垂直的性质定理
(1)定理:垂直于同一个平面的两条直线_____.
(2)符号:a⊥α,b⊥α?a∥b.
(3)本质:垂直关系?平行关系,揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.
导思
1.直线与平面垂直有哪些性质?
2.直线与平面、平面与平面的距离是怎样定义的?
平行
【思考】
如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,那么另一条直线与这个平面是什么位置关系?
提示:垂直.
2.距离
(1)直线与平面的距离:直线与平面平行,直线上_________到平面的距离.
(2)平面与平面的距离:平面与平面平行,其中一个平面上_________到另一个平
面的距离.
任意一点
任意一点
【思考】
是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离?
提示:不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对于直线a和平面α,β,若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
( )
(2)对于直线a和平面α,β,若a⊥α,α∥β,则a⊥β.
( )
(3)对于直线a,b和平面α,若a⊥α,a⊥b,则b∥α.
( )
提示:(1)√.垂直于同一条直线的两个平面平行.
(2)√.直线垂直于平行平面中的一个,也垂直于另一个平面.
(3)×.直线b可能在平面α内.
2.如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】选B.由PB⊥α,AC?α,得PB⊥AC,
又AC⊥PC,PC∩PB=P,
所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.
3.(教材二次开发:练习改编)已知直线a∥b,平面α∥β,a⊥α,则b与β的位置关系是
( )
A.b⊥β
B.b∥β
C.b?β
D.b?β或b∥β
【解析】选A.因为a⊥α,a∥b,所以b⊥α.又α∥β,所以b⊥β.
关键能力·合作学习
类型一 直线与平面垂直的性质的应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或平行
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E,F分别是棱AB,PC的中点.若EF⊥
平面PCD,求证:PA=AD.
【解析】1.选B.因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面,所作的垂线也垂直于底面,
由线面垂直的性质定理可知,二者平行.
2.取PD的中点H,连接HF,AH,
因为FH?
CD,又因为AE?
CD,则AE?HF,
所以四边形AEFH是平行四边形,所以EF?AH.
因为EF⊥平面PCD,
所以AH⊥平面PCD,所以AH⊥PD,所以PA=AD.
【解题策略】
关于线面垂直性质定理的应用
(1)在证明与垂直相关的平行问题时,可以考虑线面垂直的性质定理,利用已知的垂直关系构造线面垂直,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用,利用平行关系转化为垂直关系,或将垂直关系转化为平行关系.
【补偿训练】
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,
且EF⊥BC,则
= .?
【解析】在三棱锥P-ABC中,
因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,
所以AB⊥平面APC.
因为EF?平面PAC,所以EF⊥AB,
因为EF⊥BC,BC∩AB=B,
所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,
因为F是AC的中点,E是PC上的点,
所以E是PC的中点,所以
=1.
答案:1
类型二 空间中的距离问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,CD⊥平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=2
,∠BAD=60°,点Q在棱AB上
(1)证明:PD⊥平面ABCD;
(2)若三棱锥P-ADQ的体积为2
,求点B到平面PDQ的距离.
【思路导引】(1)证明PD与平面ABCD内的两条相交直线垂直;
(2)将所求距离转化,再转化为三棱锥的高求值.
【解析】(1)因为AD=2PD=4,PA=2
,
所以PA2=PD2+AD2,即PD⊥AD,
因为CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,且AD∩CD=D.
所以PD⊥平面ABCD.
(2)因为三棱锥P-ADQ的体积为2
,
所以
S△ADQ·PD=2
,所以S△ADQ=3
.
所以
AD·AQ·sin
60°=3
,所以AQ=3.
所以Q为AB中点,即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离.
在△ADQ中,由余弦定理可得
所以S△PDQ=
×PD×DQ=
.
由VP-ADQ=VA-PDQ?2
=
×
×d,所以
.
所以点B到平面PDQ的距离为
.
【解题策略】
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化:利用线面距离、面面距离的定义,转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
(2)利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离,借助中点(等分点),转化为另一点到平面的距离.
(3)通过换底转化:一是直接换底,以方便求几何体的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.
【跟踪训练】
(2020·渭南高一检测)如图所示的几何体中,ABC
-A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面
ABC,AA1=AC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.
(1)求证:AC1⊥平面A1B1CD;
(2)若CD=2,求C1到平面A1B1CD的距离.
【解析】(1)因为ABC
-A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,
四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.
所以四边形AA1C1C是正方形,所以AC1⊥A1C,
设CD=a,则AD=2a,
,
所以CD2+AC2=AD2,所以AC⊥DC,所以AC⊥AB,
因为AA1⊥AB,又因为AC∩AA1=A,
所以AB⊥平面ACC1A1,
所以A1B1⊥AC1,因为A1B1∩A1C=A1,
所以AC1⊥平面A1B1CD.
(2)因为CD=2,所以AD=4,AC=AA1=
,所以AC1=
.
所以点C1到平面A1B1CD的距离为
AC1=
.
类型三 直线与平面垂直关系的综合应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 探究性问题?
【典例】已知四边形ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,当平行四边形ABCD满足
条件 时,有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可).?
【思路导引】构造条件使BD⊥平面PAC.
【解析】连接AC,因为四边形ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.
当平行四边形ABCD是菱形时,BD⊥AC,
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD.
答案:平行四边形ABCD是菱形(答案不唯一)
【变式探究】
将本例的条件变为:在矩形ABCD中,AB=2
,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上存在
点Q满足PQ⊥DQ,试求a的最小值.
【解析】假设在BC边上存在点Q,使得PQ⊥DQ,连接AQ,因为在矩形ABCD中,AB=2
,BC=a,PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ,
因为PQ⊥DQ,PA∩PQ=P,所以DQ⊥平面PAQ,
所以DQ⊥AQ,
所以∠AQD=90°,由题意得△ABQ∽△QCD,
设BQ=x,所以x(a-x)=8,即x2-ax+8=0(
),
当Δ=a2-32≥0时,(
)方程有解,
所以当a≥4
时,在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ,
故a的最小值为4
.
角度2 综合性问题?
【典例】(2020·本溪高一检测)如图,AB为☉O直径,C为☉O上一点,PA⊥平面
ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,求证:PB⊥EF.
【思路导引】设法证明PB⊥平面AEF,即证明AF⊥PB.
【证明】因为PA⊥平面ABC,BC在平面ABC上,所以PA⊥BC.
又AB是圆O的直径,所以AC⊥BC.
又AC,PA在平面PAC中交于A,
所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC,所以BC⊥AF.
因为AF⊥PC,BC,PC在平面PBC中交于C,
所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC,所以AF⊥PB.
又AE⊥PB,AF,AE在平面AEF中交于A,
所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.
【解题策略】
关于线面垂直判定、性质的应用
(1)分析已知的垂直关系,得出能够推出的线线、线面垂直,即挖掘已知条件,以方便后续证明.
(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维,如要证明直线a垂直于平面α内直线b,可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.
(3)掌握线线、线面垂直的相互转化.
【题组训练】
(2020·丽水高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面
ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=1,PA=AD=2.
(1)求证:CD⊥平面PAC;
(2)在棱PC上是否存在点H,使得AH⊥平面
PCD?若存在,确定点H的位置;若不存在,说
明理由.
【解析】(1)由题意,可得DC=AC=
,
所以AC2+DC2=AD2,即AC⊥DC,
又因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,
又因为PA∩AC=A,所以DC⊥平面PAC.
(2)过点A作AH⊥PC,垂足为H,
由(1)可得CD⊥AH,又PC∩CD=C,
所以AH⊥平面PCD,
因为在Rt△PAC中,PA=2,AC=
,
,
所以可得PH=
PC,即在棱PC上存在点H,
且PH=
PC,使得AH⊥平面PCD.
【补偿训练】
(2020·三明高一检测)在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,∠BAC=90°,以下能使A1C⊥BC1的是
( )
A.AB=AC
B.AA1=AC
C.BB1=AB
D.CC1=BC
【解析】选B.如图,
在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,∠BAC=90°,即AB⊥AC,又AA1⊥AB,AA1∩AC=A,所以
AB⊥平面AA1C1C,又A1C?平面AA1C1C,所以AB⊥A1C,若AA1=AC,则长方形AA1C1C为
正方形,可得A1C⊥AC1,又AB∩AC1=A,所以A1C⊥平面ABC1,
又BC1?平面ABC1,所以A1C⊥BC1.
1
2
3
4
方法总结
易错提醒
核心素养
核心知识
逻辑推理：线面垂直的的综合应用中的相互转化问题
线面垂直的判断方法：
（1）基本事实4；
（2）线面平行的性质定理；
（3）面面平行的性质定理；
（4）线面垂直的性质定理；
直线与
平面垂直（二）
（1）注意线面垂直关系应用中的转化思想
（2）注意求直线到面的距离、平行平面间的距离时转化思想的应用
性质定理
平行平面间的距离
直线到面的距离
应用
课堂检测·素养达标
1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.不确定
【解析】选C.因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,
所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC,
所以l∥m.
2.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面
体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数有
( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】选A.因为AB是圆O的直径,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,所以三角形ABC是直角三角形.又因为PA⊥圆O所在平面,所以△PAC,△PAB是直角三角形.因为BC在☉O内,所以PA⊥BC,因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线,所以BC⊥平面PAC,所以△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是4.
3.已知平面α∥平面β,a是直线,则“a⊥α”是“a⊥β
”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.根据题意,“a⊥α”,又因为平面α∥平面β,所以“a⊥β
”,则“a⊥α”是“a⊥β
”的充分条件,反之,若“a⊥β
”,又因为平面α∥平面β,所以“a⊥α”,则“a⊥α”是“a⊥β
”的必要条件,所以“a⊥α”是“a⊥β
”的充要条件.
4.(教材二次开发:练习改编)已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA≠AD,M,N分别是AB,PC的中点,则MN垂直于
( )
A.AD
B.CD
C.PC
D.PD
【解析】选B.连接AC,取AC的中点为O,连接NO,MO,如图所示.
因为N,O分别为PC,AC的中点,所以NO∥PA,
因为PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,
所以NO⊥CD.又因为M,O分别为AB,AC的中点,
所以MO∥BC.因为BC⊥CD,所以MO⊥CD,
因为NO∩MO=O,所以CD⊥平面MNO,
所以CD⊥MN.
5.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是 .?
【解析】如图,由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,
所以PA⊥平面PBC.又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,
所以PB=PC=
,所以PA=
,
所以VP
-ABC=VA
-PBC=
PA·S△PBC
答案:(共48张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
必备知识·自主学习
1.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)本质:通过平移把异面直线转化为相交直线,即把空间图形问题转化为平面图形问题.
(3)应用:刻画异面直线的位置关系.
导思
1.怎样刻画异面直线的位置关系?
2.怎样定义空间中两条直线垂直?
【思考】
平面内两条相交直线所成角的定义是什么?
提示:两直线相交,所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角.
2.异面直线互相垂直
(1)定义:如果两条异面直线所成的角是_____,那么这两条异面直线互相垂直;
(2)记作:a⊥b;
(3)异面直线所成角的范围:_____________.
0°<α≤90°
直角
【思考】
异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同?
提示:相同点是所成的角都是90°,不同点是异面直线垂直没有交点,平面内两条直线垂直有公共点.
3.空间两条直线所成的角
(1)当两直线a∥b时,规定a与b所成的角为0°;
(2)空间两条直线成角α的取值范围:0°≤α≤90°.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)空间中若两条直线垂直,则两条直线是相交直线.
( )
(2)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
( )
(3)△ABC中,A=120°,则与AB,AC分别平行的异面直线所成的角为120°.
( )
提示:(1)×.两直线可能是异面直线.
(2)×.两直线可能相交.
(3)×.与AB,AC平行的异面直线所成的角为60°.
2.已知空间中的三条直线a,b,c满足a⊥c且b⊥c,则直线a与直线b的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或相交或异面
【解析】选D.
如图,在长方体AC1中,
AB⊥AD,AB⊥A1D1,AD∥A1D1,
AB⊥AD,AB⊥AA1,AD∩AA1=A,AB⊥AD,AB⊥CC1,AD与CC1异面,所以,垂直于同一直线的两条直线可平行,可相交,也可异面.
3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F分别是
AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.连接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等边三角形,所以D1B1与B1C所成角为
60°,故B1C与EF所成角也是60°.
关键能力·合作学习
类型一 求异面直线所成的角(直观想象、数学运算)
【题组训练】
1.(2020·新乡高一检测)在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=
,点O
为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角
为 .?
2.(2020·南京高一检测)如图,已知四面体ABCD的棱长均为2,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 .?
【解析】1.连接AC,AC1,BD,因为点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中
点,所以OE∥AC1,
所以∠D1AC1是异面直线AD1与OE所成角,
在Rt△D1AC1中,AD1=
,C1D1=3,
所以tan
∠D1AC1=
,所以∠D1AC1=60°,
所以异面直线AD1与OE所成的角为60°.
答案:60°
2.取AD的中点F,连接CF,EF,因为EF∥BD,所以∠CEF(或其补角)为所求,
又CE=CF=
,EF=1,所以cos
∠CEF=
所以异面直线CE与BD所成角的余弦值为
.
答案:
【解题策略】
异面直线所成的角的求法
(1)作:利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段,平行四边形的对边等平移两异面直线使之相交于一个点,并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角.
(2)求:求出三角形的边,利用余弦定理求出角的余弦,进而求出角;如果是特殊三角形,如等边三角形、直角三角形等,则利用相应三角形的性质求角.
【补偿训练】
(2020·长春高一检测)如图,正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为1,M为B1C1的中点,连接A1B,D1M,则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为 .?
【解析】如图,连接CD1,CM,由A1D1∥BC,A1D1=BC,可得四边形A1BCD1为平行四边形,
则A1B∥CD1,
所以∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角,
由正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为1,M为B1C1中点,得D1M=MC=
,CD1=
.
在△CMD1中,由余弦定理可得,cos
∠CD1M=
,所以异面直线A1B
和D1M所成角的余弦值为
.
答案:
类型二 异面直线垂直的证明(直观想象,逻辑推理)
【典例】正方体ABCD
-A1B1C1D1,点E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥DA1.
步骤
内容
理解
题意
(1)正方体ABCD
-A1B1C1D1,点E,F分别是BB1,D1B1的中点
(2)求证EF⊥DA1
思路
探求
求出异面直线EF和DA1所成的角
步骤
内容
书写
表达
如图,连接B1C,分别取BC,B1C1的中点G,I,连接GE,GF,FI,GI.因为
A1D∥B1C∥EG,
所以∠FEG是异面直线EF和A1D所成的角(或其补角),①
设正方体的棱长为2,
在Rt△FGI中,FI=1,GI=2,所以FG=
,
在Rt△EFB1中,B1E=1,B1F=
,
所以EF=
,又EG=
B1C=
,
FG2=EF2+EG2,所以△EFG是直角三角形,∠FEG=90°.②
所以EF⊥DA1.
①先作平行线,再注明异面直线所成的角(或其补角),
②利用勾股定理的逆定理证明角为直角
步骤
内容
题后
反思
证明线线垂直的一种方法:求出两直线所成角为直角
【解题策略】
证明两异面直线垂直的步骤
(1)作出两异面直线所成的角.
(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系.
(3)结论.
【跟踪训练】
如图,已知在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,
求证:CD1⊥EF.
【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.
因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=
BC.
因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
所以DF∥BC,DF=
BC,所以EG∥DF,EG=DF,
所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,
所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,
所以异面直线CD1,EF所成的角为90°.
所以CD1⊥EF.
类型三 异面直线所成角的应用(直观想象、数学运算)
角度1 补形求异面直线所成的角?
【典例】正方体ABCD
-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则DB1与CM所成角的余弦值
为 .?
【思路导引】要作异面直线所成的角,可以考虑将正方体补成一个长方体,方便作平行线构造角.
【解析】将正方体ABCD
-A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体,构成一个长方体,
连接CE1,ME1.
因为DB1∥CE1,
所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角),
设正方体的棱长为a.在三角形MCE1中,
CM=
那么cos∠MCE1=
答案:
【变式探究】 本例中,若N是BB1的中点,试求异面直线DN,CM所成角的余弦值.
【解析】将正方体ABCD
-A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体,构成一个长方
体,P为所在棱中点,连接CP,MP,DN∥CP,所以∠MCP是异面直线DN与CM所成角,
设正方体棱长为a.在三角形MCP中,
CM=
那么cos∠MCP=
角度2 利用异面直线所成的角求值?
【典例】正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为4,点P是棱BB1上一点,若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为
,则BP= .?
【思路导引】先补形作出异面直线所成的角,再设出BP,利用BP表示出异面直线所成角的余弦值后求值.
【解析】将原正方体的一侧补上另一个正方体ABEF-A1B1E1F1变为如图所示的长
方体.
在EE1上取点P1使EP1=BP,
连接AP1,C1P1,则DP?AP1,∠P1AC1即为异面直线AC1,DP
所成的角(或补角).
设BP=x,则AP1=
,P1C1=
.
又AC1=4
,
=48+32+x2=80+x2,P1
=80+x2-8x,
>P1
,
所以∠C1AP1为锐角,
cos
∠C1AP1=
解得x=1.
答案:1
【解题策略】
1.关于补形作异面直线所成的角
当不方便作异面直线所成角时,可以考虑补形,一是补一个相同形状的几何体,以方便作平行直线,二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体,如四棱锥补成一个正方体.
2.关于异面直线的应用
当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是已知角的补角,应分情况讨论.
【题组训练】1.如图,正方体ABCD
-A1B1C1D1中,点M,N分别为棱A1D1,C1D1的中点,过M,N,B三点的截面与平面BCC1B1的交线为l,则直线l与AD所成角的余弦值为 .?
【解析】在平面ABCD中,连接AC,过B作BE∥AC,交DC的延长线于点E,连接NE,交CC1于F,连接BF,
则BF就是过M,N,B三点的截面与平面BCC1B1的交线l,由题意得CE=DC=2NC1,所以CF=2C1F,
因为BC∥AD,所以∠FBC是直线l与AD所成角(或所成角的补角),设正方体
ABCD
-A1B1C1D1的棱长为3,则BC=3,CF=2,BF=
所以cos
∠FBC=
所以直线l与AD所成角的余弦值为
.
答案:
2.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,对棱AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为 .?
【解析】取BC的中点E,连接EN,EM,
因为M为AB的中点,所以ME∥AC,且ME=
AC=
,
同理得,EN∥BD,且EN=
,所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,在
△MEN中,EM=EN,若∠MEN=60°,则△MEN为等边三角形,所以MN=
.
若∠MEN=120°,可得MN=
.
答案:
或
直线与
直线垂直
核心知识
易错提醒
核心素养
方法总结
直观想象：求作异面直线所成角的问题
异面直线所成的角的求法
(1)作：利用中位线、长方体、平行四边形等性质平移至一个三角形，并说明为异面直线所成的角或补角.
(2)求：利用余弦定理求角（如果是特殊三角形），或利用三角形的性质求角。
求异面直线所成的角时注意的范围
直线与直线垂直
异面直线所成的角
求异面直线所成的角
课堂检测·素养达标
1.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,
因为B1D1∥BD,
所以∠BDC是异面直线B1D1与CD所成角,
因为BC=DC,BC⊥DC,所以∠BDC=45°,
所以异面直线B1D1与CD所成角的大小是45°.
2.(教材二次开发:练习改编)如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、AB的中点,则异面直线EF与A1C1所成角的大小是 .?
【解析】连接A1B,则A1B∥EF,
则∠BA1C1为异面直线EF与A1C1所成角,
在正△BA1C1中,∠BA1C1=60°.
答案:60°
3.如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中.
(1)AA1与C1D1所成的角的度数为 ;?
(2)AA1与B1C所成的角的度数为 .?
【解析】(1)因为AA1∥DD1,所以∠DD1C1即为所求的角.
因为∠DD1C1=90°,所以AA1与C1D1所成的角为90°.
答案:90°
(2)因为AA1∥BB1,所以∠BB1C即为所求的角.
因为∠BB1C=45°,所以AA1与B1C所成的角为45°.
答案:45°
4.如图,正三棱柱ABC
-A1B1C1的各棱长均为2,D为棱BC的中点.求异面直线AB与C1D所成角的余弦值.
【解析】取AC的中点E,连接DE,
因为DE∥AB,所以∠C1DE为异面直线AB与C1D所成角,在△C1DE
中,C1E=C1D=
,DE=1,
所以cos
∠C1DE=
故异面直线AB与C1D所成角的余弦值为
.
