选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名
☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2. 会运用数学归纳法证明不等式
重点：应用数学归纳法证明不等式.
知识情景：
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n取 时命题 ( 即n＝时命题成立) (归纳奠基） ；
20. 假设当 时命题成立，证明当n=k＋1时命题 (归纳递推）.
30. 由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题 ！(结论）
要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .
数学归纳法的应用：
例1. 用数学归纳法证明不等式.
例2已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.
例3 证明: 如果为正整数)个正数的乘积,
那么它们的和.
例4 证明:
例5.当时,求证:
选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式（1） 姓名
1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的
值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6
2、.观察下列式子：
…则可归纳出____ _____.
3、已知, , 则的值分别为_____ ____，由此猜想
_________.
4、用数学归纳法证明: 能被8整除.
5、用数学归纳法证明
6、.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N
7、求证：
8、已知，， 用数学归纳法证明：
9、.求证：用数学归纳法证明 ．
答案:
1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n取第一个值时命题成立( 即n＝时命题成立) (归纳奠基） ；
20. 假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.
30. 由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例1 ⑴当时,上式左边右边,不等式成立.
⑵设当时,不等式成立,即有.
那么,当时,
=
例2 证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立
（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是
左边=(1+x)k+1 右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
例3 证明:⑴当时,有，命题成立.
⑵设当时，命题成立，即若个正数的乘积,
那么它们的和.
那么当时,已知个正数满足.
若个正数都相等,则它们都是1.其和为,命题成立.
若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数
(否则与矛盾).不妨设.
例4证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.
(2)假设n=k( )时命题成立,即
则当n=k+1时,
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切都成立.
例5（1）
练习
1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C
2、解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
、、、
4、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.
(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.
那么:
因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.
5．证明： 1当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。
2假设当n=k时，等式成立，
即。
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n都成立。
6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2?)
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
7．证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．
（2）假设当时命题成立，即．
则当时，
所以则当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．
8. 证明：
（1）当n=2时，，∴命题成立．
（2）假设当时命题成立，即 ．
则当时，
所以则当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．
9、证明：（1） 当n=1时， ，不等式成立；
当n=2时， ，不等式成立；
当n=3时， ，不等式成立．
（2）假设当时不等式成立，即 ．
则当时， ，
∵，∴，（*）
从而，
∴．
即当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，对一切都成立．选修4-5学案 §4.1.2数学归纳法证明不等式(2) 姓名
☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2. 会运用数学归纳法证明不等式
重点：应用数学归纳法证明不等式.
知识情景：
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n取 时命题 ( 即n＝时命题成立) (归纳奠基） ；
20. 假设当 时命题成立，证明当n=k＋1时命题 (归纳递推）.
30. 由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题 ！(结论）
要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .
数学归纳法的应用：
例1. 求证：，其中，且．
例2 已知数列的各项为正，且.
（1）证明; （2）求数列的通项公式.
例3 (06湖南）已知函数, 数列满足:
证明: (ⅰ) ; (ⅱ) .
例4 （09山东）等比数列{}的前n项和为, 已知对任意的, 点均在函数
且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式成立
选修4-5练习 §4.1.2数学归纳法证明不等式（2） 姓名
1、正数a、b、c成等差数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.
2、正数a、b、c成等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.
3、若n为大于1的自然数，求证：.
4、（05辽宁）已知函数, 设数列满足，
满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明； （Ⅱ）证明.
5、（05湖北）已知不等式为大于2的整数，表
示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
证明:
6、(09广东）已知曲线．从点向曲线引斜率
的切线，切点为．
（1）求数列的通项公式；（2）证明：.
参考答案:
1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n取第一个值时命题成立( 即n＝时命题成立) (归纳奠基） ；
20. 假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.
30. 由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例1.求证：，其中，且．
分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法
证法一：用数学归纳法证明．
（1）当m=2时，，不等式成立．
（2）假设时，有，则 ，
∵，∴，即．
从而， 即时，亦有．
由（1）和（2）知，对都成立．
证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．
∴当，且时，．
例2（2005年江西第21题第（1）小题，本小题满分12分）
已知数列
（1）证明 （2）求数列的通项公式an.
分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。
对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴，命题正确.
2°假设n=k时有 则
而
又 ∴时命题也正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴；
2°假设n=k时有成立， 令，在[0，2]上单调递增，
所以由假设有：
也即当n=k+1时 成立，所以对一切．
（2）下面来求数列的通项：
所以
则
又bn=－1，所以．
本题也可先求出第（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数
的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无
形当中加大了第（1）问的难度， 显然不如用数学归纳法证明来得简捷．
例3（06 年湖南卷. 理 .19本小题满分14分）
已知函数,数列{}满足:
证明:(ⅰ);(ⅱ).
证明: （I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…
(i).当n=1时,由已知显然结论成立.
(ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,
从而.故n=k+1时,结论成立.
由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.
又因为时，，
所以，综上所述．
（II）．设函数，．由（I）知，当时，，
从而
所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,
所以当时，g (x)>0成立.于是．
故．
点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不
等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.
需要灵活运用各分支的数学知识.
例4解(1) :因为对任意的,点，均在函数且均为常
数的图像上.所以得,当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则, 所以
下面用数学归纳法证明不等式成立.
当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=
所以当时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,
并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
练习:
1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，
当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.
分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比
数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而
ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.
2.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq ＞0且q≠1)
∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn
(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
②设n=k时成立，即
则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=
(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1
根据①、②可知不等式对n＞1,n∈N*都成立．
3、若n为大于1的自然数，求证：.
证明：(1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即
所以：对于n∈N*，且n>1时，有
4、（05 年辽宁卷.19本小题满分12分）
已知函数设数列满足， 满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明； （Ⅱ）证明
分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力
（Ⅰ）证明：当 因为a1=1， 所以
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1=，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以
故对任意）
5、（05年湖北卷.理22.本小题满分14分）
已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
分析：本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.
（Ⅰ）证法1：当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有故取N=1024，可使当n>N时，都有
6、解：（1）设直线：，联立得
，
则，∴（舍去）
，即，∴
（2）证明：∵
∴
由于，可令函数，则，
令，得，给定区间，则有，
则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，
又，则有，即
.
7、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，
试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.
(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2
(2)证明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］
而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1?的大小
比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*)
① 当n=1时，已验证(*)式成立.
② 假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，
,即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.
于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1?,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1?
