(共45张PPT)
（一）、基本不等式
不等式的性质
⑴(对称性或反身性)
1、
⑵(传递性)
⑶(可加性)
移项法则
2、
(同向可相加)
2答案
3答案
3、基本不等式
几何解释
算术平均数
几何平均数
几何解释
O
a
b
D
A
C
B
可以用来求最值(积定和小，和定积大)
课堂练习：
总结：
当且仅当
时取等号
变形式：
例 1求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短.
x
y
S
周长L=2x+2y
设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y,
例2: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价每平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元. (1)设总造价为S元,AD长 x 为米,试建立S关于x的函数关系式; (2)当为何值时S最小, 并求出这个最小值.
Q
D
B
C
F
A
E
H
G
P
M
N
解:设AM=y米
书 P7
新课：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
例1 求函数 在 上的最大值.
问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.
x
y
z
解：设长方体的三边长度分别为x、y、z,则长方体的体积为
而
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？
a
x
题
求证:
关于绝对值还有什么性质呢
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
证明:10 .当ab≥0时,
20. 当ab<0时,
综合10,20知定理成立.
由这个图，你还能发现什么结论？
答案继续
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
20
40
60
10
20
30
0
答: 生活区建于两路碑间的任意位置都满足条件.
方法一: 利用绝对值的几何意义观察；
方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论;
方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号;
方法四: 利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
主要方法有:
0
-1
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ 0≤x＜1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论
探索：不等式|x|<1的解集。
对原不等式两边平方得x2<1
即 x2－1<0
即 (x+1)(x－1)<0
即－1所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.
o
x
y
1
1
－1
y=1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1方法四：利用函数图象观察
一般地，可得解集规律:
形如|x|a (a>0)的含绝对值的不等式的解集:
① 不等式|x|② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
0
-a
a
0
-a
a
试解下列不等式：
课堂练习一：
小 结 一
或
不等式
形如
1答案
2答案
课堂练习 ：
2.试解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解绝对值不等式关键是去绝对值符号,你有什么方法解决这个问题
还有没有其他方法
2.试解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想．
-2
1
2
-3
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
所以原不等式的解为
方法小结
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解：１０当x>1时，原不等式同解于
x≥2
x<-2
-(x-1)-(x+2) ≥5
(x-1)+(x+2) ≥5
x>1
-(x-1)+(x+2) ≥5
x≤-3
综合上述知不等式的解集为
3０当x<-2时，原不等式同解于
2０当-2≤x≤1时，原不等式同解于
方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0
(x-1)+(x+2)-5 (x>1)
-(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1)
-(x-1)-(x+2)-5 (x<-2)
f(x)=
2x-4 (x>1)
-2 (-2≤x≤1)
-2x-6 (x<-2)
令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则
-3
1
2
-2
-2
x
y
由图象知不等式的解集为
f(x)=
方法三：通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想．
方法小结
形如
不等式
2.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
4.不等式 有解的条件是
( )
B
1、教材P20第5，8题
5、已知
，若关于
的方程
有实根，
的取值范围是 ．
则
6、如果关于
的不等式
的解集不是空集，求参数
的取值范围
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
解：１０当x>2时，原不等式同解于
x>2
3０当x<-3时，原不等式同解于
2０当-3≤x≤2时，原不等式同解于
x<-3
-(2x-4)+(3x+9)<1
(2x-4)-(3x+9)<1
x>2
-(2x-4)-(3x+9)<1
x<-13
综合上述知不等式的解集为(共14张PPT)
尝试2
尝试3
练习：P23 习题1，2，3
类似：P22例题2
（加糖原理）
练习：书 P 23 4，P 26 6,7
练习：P26 3，5, 9
练习：P 25 2 ,P26 4
作差（或作商）尝试！
转化尝试！（执果索因）
联想尝试！（由因导果）
小 结
1答案
2答案
2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0 （P27 例题2）
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
书P27 例题1
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
P27例题2：已知a + b + c > 0，
ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
练习：P29 1,4
方法五是通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,讲这种证明方法称为放缩法.4-5不等式选讲练习（一）
——不等式
1、已知，则不等式的解是（ ） D
A. B. C.,或 D.，或
2、不等式和同时成立的条件是（ ） B
A. B. C. D.
3、若a、b为实数，则a＞b＞0是a＞b的 （ ） A
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4、设，且，则（ ）D
A. B. C. D.
5、下列各式中，最小值等于的是（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：D
6、已知，则的最小值为（ ） C
A．8 B．6 C． D．
7、设，且，， ， ，，
则它们的大小关系是（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / )
C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案： A 为平方平均数，它最大
8、若，则函数有（ ）
A ( http: / / wxc. / ) 最小值 B ( http: / / wxc. / ) 最大值
C ( http: / / wxc. / ) 最大值 D ( http: / / wxc. / ) 最小值
答案： C
9、若且满足，则的最小值是（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：D
10、若，则函数的最小值为（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / ) 非上述情况
答案：B
11、设，则函数的最大值是__________ ( http: / / wxc. / )
答案： ，即
12、若，则的最小值是_____________ ( http: / / wxc. / )
答案：
13、函数的最小值为_____________ ( http: / / wxc. / )
答案：
14、设，求证
证明：，
当且仅当，即且时取等号，所以
15、设满足，证明：
证明：对于任意的，
故
4-5不等式选讲练习（二）
——绝对值不等式
1、不等式的解集为（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / )
C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：D ，得
2、若，则的元素个数为（ ）Ｃ
A．0 B．1 C．2 D．3
3、不等式的解集是（ ） D
A． B. C. D.
4、已知，且，则（ ）B
A. B. C. D.
5、函数的最小值为（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：A
6、不等式的所有实数解的集合是（ ）C
A． B． C． D．
7、则的大小关系为 （ ）D
A. B. C. D.
8、若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为 ．
解：， 即范围为
9、不等式的解集是_____________。
10、不等式的解集是__________
解：因为对任意，，所以原不等式等价于．
即，，，故解为．
所以原不等式的解集为．
11、不等式的解集是 .
12、不等式的解集是 . {x| 113、已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
14、如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围 ( http: / / wxc. / )
解：
当时，解集显然为，
所以
4-5不等式选讲练习（三）
——比较法
1、设都是正数，且则下列不等式中恒成立的是（ ）A
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
2、设下列不等式中不正确的是（ ）D
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
3、设则下列关于和的大小关系中正确的是（ ）D
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
4、如果，且，那么（ ）A
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
5、已知，则有（ ）C
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
6、设则的大小关系是_____
7、设若，则实数应满足的条件是_______
8、设则和的大小关系是________
9、设且，则和的大小关系是________
解析： 当时，，则
当时，，则
10、已知则和的大小关系是_______
解析： 当时， 当时，
11、若，则和的大小关系是________
解析：
12、已知则和的大小关系是________
解析：
4-5不等式选讲练习（四）
——综合法和分析法
1、已知且，则的大小关系是（ ）A
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / ) 的大小和有关
2、若，且，则下列四个数中最小的一个是（ ）D
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
3、设不等的两个正数满足，则的取值范围是（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：B ，而
所以，得
4、若，且, ，则与的大小关系是
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案： A
，即
5、的关系是_______
答案： 设，则，得
即，显然，则
6、已知，比较与的大小关系为 ( http: / / wxc. / )
答案： 构造单调函数，则，
，即，恒成立，
所以，即
7、设且，则的最大值是_______
解析：
8、若是正数，且满足，用表示
中的最大者，则的最小值为__________ ( http: / / wxc. / )
答案：
，即
9、若，且，则
答案：
而
即，而均不小于
得，
此时，或，或，
得，或，或
10、已知实数满足，且有 求证：
证明：
是方程的两个不等实根，
则，得
而
即，得
所以，即
11、已知，且
求证：
证明：显然
是方程的两个实根，
由得，同理可得，
12、已知，
求证：（1）
（2）
4-5不等式选讲练习（五）
——反证法和放缩法
1、设, ，则的大小关系是（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：B ，即
2、设，，，则的大小顺序是（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / )
C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：B ，即；
又，即，所以
3、，设，
则下列判断中正确的是（ ）
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
答案：B
即，，，，
得，
即，得，所以
4、若，则, , , 按由小到大的顺序排列为
答案： 由糖水浓度不等式知，
且，得，即
5、已知，且，则的最大值等于_____________ ( http: / / wxc. / )
答案：
6、设，则与的大小关系是_____________ ( http: / / wxc. / )
答案：
7、若，求证
证明：，从而不等式成立。
8、若为正整数，求证：
9、求证：
10、设，且，求证：
答案：证明：
，
4-5不等式选讲练习（六）
——柯西不等式
1、若，且，则的取值范围是（ ）A
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
2、已知则的最大值是（ ）C
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
3、已知那么的最小值是（ ）B
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
4、设，且，则的最小值是（ ）C
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
5、已知，且，则的最小值为（ ）A
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
6、已知是给定的正数，则的最小值是（ ）C
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
7、已知半圆的直径，是弧上一点，则的最大值是（ ）C
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
8、函数则的最大值是（ ）A
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
9、表达式的最大值是（ ）B
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
10、，则的最大值是（ ）A
A ( http: / / wxc. / ) B ( http: / / wxc. / ) C ( http: / / wxc. / ) D ( http: / / wxc. / )
11、若，则的最小值是________
12、利用柯西不等式解方程：
13、求函数的最大值 ( http: / / wxc. / )
答案：函数的定义域为，且
14、已知且，求证：
15、已知且，求证：
证明：
16、已知，求证
证明：，
当且仅当时，上式取等号
所以 ，整理可得
PAGE
- 5 -(共10张PPT)
设 为任意实数.
联 想
思考解答
变形
你能简明地写出这个定理的证明吗？
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！
三角不等式
O
这个图中有什么不等关系
O
2
课堂练习：P36 第1，3，4
课堂练习：P36 第6，7，8, 9