初升高衔接课2-一元二次方程与韦达定理（含答案）

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初升高衔接课2-一元二次方程与韦达定理
一、一元二次方程的相关知识点
1.三种解法：配方法（包括直接开平方），因式分解法（包括十字相乘），公式法()
2.根与系数关系：判别式▲=b2-4ac>0；
当▲>0时，有两个不相等实数根；
当▲=0时，有唯一解（或有两个相等的实数根）；
当▲<0时，无解（无实数根）；
当▲为开方数时，方程能进行十字相乘法；
①解一元二次方程
【例1】（1）(x+a)2=
（2）2x2-4x-1=0
（3）x2-6x-16＝0．
　(1)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+
　　　　　
∴x2=a2
　　　　　
用直接开平方法，得原方程的根为
　　　　　
∴　x1=a，x2=-a．
　(2)
a=2，b=-4，c=-1
　　　　　
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
　　　　　
x=
　　　　　
∴x1=，x2=.
（3）(x-8)(x+2)＝0，
∴
x-8＝0或x+2＝0，
∴
，．
【变式1】
（1）4x2﹣6x﹣3=0
（2）（x+8）（x+1）=﹣12
（1）a=4，b=﹣6，c=﹣3，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，
x==，
，；
（2）化简得，x2+9x+20=0，
（x+4）（x+5）=0，
解得，x1=﹣4，x2=﹣5．
【例2】当m取什么值时，关于x的方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，
①有两个不相等的实数根
②有唯一解
③没有实数根．
【答案】
①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m≠2；
②当原方程有两个相等的实数根时，b2
-4ac=20m-15=0，即；m=2；
③当原方程没有实数根时，
，即．
【变式2】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）
　
A．a＜1
B．
a≤4
C．
a≤1
D．
a≥1
【答案】C；
【解析】∵
关于x的一元二次方程有实根，
∴
△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选C．
【例3】已知-3x-9=0那么代数式的值为________.
【答案】9；
【解析】原方程化为：
【变式3】已知-3x-9=0，那么代数式+x的值为________,的值为________.
【答案】3；1.5
【变式4】设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
【例4】解方程组
解：由②,得
x＝2y＋2，
③
把③代入①,整理,得
8y2＋8y＝0，
即
y(y＋1)＝0．
解得
y1＝0，y2＝－1．
把y1＝0代入③,
得
x1＝2；
把y2＝－1代入③,
得x2＝0．
所以原方程组的解是
【变式5】（1）　　（2）
（3）　
（4）
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
二、韦达定理的应用
3.韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0中x1+x2=-
x1x2=
①；②；
③；④；
⑤；⑥；
⑦；⑧；
⑨；
⑩．
4.设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
③韦达定理公式应用
【例5】已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，x1?x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
【答案】D．
【解析】
解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣=﹣，x1?x2==﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=．
故选D．
【变式6】已知α、β是一元二次方程的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．
【答案】-6；
【解析】∵
α、β是一元二次方程的两实数根，
∴
α+β＝4，αβ＝-3．
∴
．
【变式7】已知关于x的方程的两根为，且，则m=__________。
【答案】利用通分+韦达定理可得m=1/3
【变式8】已知关于x的方程的两根满足关系式，求m的值
【答案】把关系式进行平方+韦达定理可得m=2或-8，
【变式9】已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。
【答案】把关系式进行配方+韦达定理可得m=17或-1，
【例6】实数在什么范围取值时，方程有两个正的实数根？只有一个正的实数根？
【答案】x1+x2>0,x1x2>0即有两个正实数根，k的范围是大于1或小于0，只有一个正的x1x2<0，解得k的范围是0到1之间
【变式10】实数在什么范围取值时，方程有两个负的实数根？只有一个正的实数根？
【答案】x1+x2<0,x1x2>0即有两个负实数根，k的范围是大于1或小于0，只有一个正的x1x2<0，解得k的范围小于2
④方程分析转化的问题
方程转化为函数交点问题：ax2+bx+c=0相当于y=ax2+bx+c与y=0的交点
ax2+bx+c=0可表示为ax2+bx=-c相当于y=ax2+bx与y=-c的交点
以次类推
【例6】如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是　
　．
【答案】﹣1≤x≤2；
【变式11】已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）
A.
m＜a＜b＜n
B.
m＜a＜n＜b
C.
a＜m＜b＜n
D.
a＜m＜n＜b
【答案】D.
[]
【变式12】已知：如图是y=ax2+2x﹣1的图象，那么ax2+2x﹣1=0的根可能是下列哪幅图中抛物线与直线的交点横坐标（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】解：∵抛物线y=ax2+2x﹣1与x轴的交点位于y轴的两端，
∴A、D选项不符合题意；
B、图中交点的横坐标为方程ax2﹣2x﹣1=0的根（抛物线y=ax2﹣1与直线y=2x的交点），
∴B选项不符合题意；
C、图中交点的横坐标为方程ax2+2x﹣1=0的根（抛物线y=ax2与直线y=﹣2x+1的交点），
∴C选项符合题意．
故选：C．
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