初升高衔接课3-指数运算与对数运算（含答案）

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初升高衔接课3-指数运算和对数运算
一、数的乘方与指数运算规则
（1）(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（2） (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（3） (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（4）特殊的幂运算：= =1
（5）分数指数幂： 常见的=
【例1】根式化幂（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂。
=
==
=
=
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）。
二、指数运算相关思维
【例2】已知，求的值。
【答案】
【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。
，，
，
=
=
【变式2】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12， xy=9，且x【答案】；
【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
(2)
又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又 ∵ x【例3】已知，求的值
【答案】
【解析】先把化成，然后利用“整体代换”的方法去求值.
由，所以

=
【例4】已知a>0， b>0， 且ab=ba， b=9a，求a的值
【答案】a>0， b>0， 又∵ ab=ba， ∴
∴ .
【例5】若，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.2
【答案】因为，所以，即．同理，又因为，所以，故
【例6】、、这三个数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B ，，．，．
三、认识对数和指对互化
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
【例7】将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【变式3】计算：并比较．
【解析】

．
【变式4】（1）若，则x= 。
【答案】 -13
【解析】 由指数式与对数式互化，可得，解得。
（2）若，则 。答案：；
四、对数基本运算
已知
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
【例8】计算：；
答案：1
【变式5】；
答案：1
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

（4）对数恒等式：
【例9】的值为（ ）。 （A）2 （B）2 （C） （D）
答案：D；
【变式6】 = =
答案：2
答案：
（5）两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .
【例10】 （1）lg1421g； （2）；
答案：0
答案：2
五、对数运算换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.
(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有
即， 即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
【例11】换底公式计算：
； ； ；
答案：
答案：16
答案：8

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