初升高衔接课4-不等式的解法（含答案）

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初升高衔接课4-不等式的解法
一、含参一次不等式的解法
【例1】若不等式组 无解，则 的取值范围为（?? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【解析】【解答】解：不等式组整理得： ，
由不等式组无解，得到 .
故答案为：D.
【变式1】若关于 的不等式组 的整数解共有3个，则 的取值范围是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【解析】【解答】解：∵x-m<0,
∴x ∵7-2x≤1，
∴x≥3，
∴3≤x＜m,
∵不等式组的整数解有3个，
∴这三个整数为：3,4,5，
∴ ?,
故答案为：B.
【变式2】若关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是(?????? )
A.?- < a≤ - ???????????????B.?- ≤a < - ???????????????C.?- ≤a≤ - ???????????????D.?- ?< a < -
【解析】【解答】解：解不等式2x<3(x-3)+1可得x>8，
解不等式可得x<2-4a.
∵不等式组有解集，
∴8 ∵不等式组有4个整数解，
∴整数解为9、10、11、12.
∵x<2-4a，
∴12<2-4a≤13，
∴.
故答案为：B.
二、二次不等式的解法
【例2】解以下不等式： （1） （2） 2x2＋x－3<0；
答案：；
答案：；
【变式3】解以下不等式：
（1） （2） （3）；
答案：；
答案：；
答案：解为空集；
（4） ； （5） x2≥x； （6） ；
答案：；
答案：或；
答案：或；
【例3】不等式的解集是全体实数，则a的取值范围是( )
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
答案：C
【变式4】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
　　　　　　 即的解集为R
　　　　　　 当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
　　　　　　 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
　　　　　　 即，解得，
　　　　　　 综上，的取值范围为：.
三、分式不等式与高次不等式的解法
【例4】解不等式：（1）≥0 （2）
答案：x<1或x≥2；
答案：；
【变式5】（1） （2）
答案：；
答案：；
【例5】（1）； （2）
答案：；
答案：；
【变式6】不等式(x+3)2(x-1)<0的解为（ ）
（A）x<1 （B）x<1或x-3 （C）x<1且x-3 （D）x>1且x-3
答案：b
【变式7】若a>b，关于x的不等式的解集是( )
A、{x|xa} B、{x|xb} C、{x|b答案：b
四、绝对值不等式的解法
解绝对值不等式：
①分类讨论法：
讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；
②等价变形：
解绝对值不等式常用以下等价变形：
|x|0)；
|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：
|f(x)||f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)以上可以总结为口诀：大于取两边，小于取中间。
【例6】（1）解不等式 （2）解不等式.
答案：；
答案：；
【变式8】解以下不等式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
答案：-3≤x≤3；
答案：x<-10或x>10；
答案：x<-8或x>16；
答案：x<-10或x>6；
【变式9】 （1）｜4－2x｜≤4x （2）｜3－x｜≤-x
答案：-2答案：或；
五、不等式的性质
(1)a>b ? b(2)a>b，b>c ? a>c(传递性)；
(3)a>b ? a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0 ? ac>bc；a>b，c<0 ? ac(5)a>b，c>d ? a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0 ? ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2 ? an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2 ? >.
【例7】对于任意实数a、b、c、d，命题
①； ②
③； ④；
⑤．
其中真命题的个数是 （ ）Ａ．１　　　Ｂ．２　　　Ｃ．３　　　Ｄ．４
答案：A
【变式10】已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　 )
A．a>> B.>>a C.>a> D.>>a
答案　D；
解析　取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a.
【变式11】若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　 )
A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
答案　A；
解析　由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.
【变式12】设，则有（ ）
A． B． C． D．
答案：C；
六、比较大小
比较大小：一般用作差法，a－b>0?a>b； a－b＝0?a＝b； a－b<0?a如果都是正数，也可以用作商法：
a，b>0，?a>b； ?a＝b； ?a【例8】若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是______．
解析　∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
【变式13】若x∈R，则与的大小关系为________．
答案　≤；
解析　∵－＝＝≤0，
∴≤.
【变式14】设a>b>0，试比较与的大小
答案：解　方法一　作差法
－＝
＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二　作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
七、不等式的加减法
【例9】（1）若，，则a－b的取值范围是 ．
答案：；
（2）已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
答案：解　∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.
上面两式相加得：－<<.
∵－<≤，∴－≤－<，
∴－≤<.
又知α<β，∴α－β<0，
故－≤<0.
【变式15】若，，则的取值范围是 ．
答案：；
八、基本不等式
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.
(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.
【例10】（1）若，则的最小值为
答案：；
（2）求函数的最大值
答案：；
【变式16】已知则mn的最小值是
。提示：。
【变式17】已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为_______．
答案　3；
解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
【变式18】若实数a,b满足a+b=2, 则的最小值是 。
提示：∵≥， 此时a=b=1。
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