初升高衔接课5-集合与函数基本概念（含答案）

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初升高衔接课5-集合与函数
一、集合的概念
要点一、集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.
类型一：集合的概念及元素的性质
例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？
(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.
答案：(4)、（5）
解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.
“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.
【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.
(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.
答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。
解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.
(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；
(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；
(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.
(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.
(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.
例2．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
答案：是
解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
【变式2】设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
答案：aS 是
解析：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S.
类型二：元素与集合的关系
例3.用符号“”或“”填空．
(1)
(2)
(3)
解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.
(1)
(2)令，则
令，则
(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，
∴
【变式3】 用符号“”或“”填空
（1）若,则 ；-2 .
（2）若则 ；-2 .
答案：（1）， （2），
类型三：集合中元素性质的应用
例4.定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
答案： D
解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.
【变式4】定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
答案：D
解析：，且，，
z的取值有：0，2，4
故，
集合的所有元素之和为：0+2+4=6.
例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.
答案：0，1
解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.已知集合，若，求实数的值及集合.
答案：，.
解析：（1）若则.
所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（2）若，则或，
当时，满足题意；
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.
综上，，集合.
【变式6】已知集合，，求实数的值
答案：
解析：当，即时，，与集合的概念矛盾，故舍去
当即时，不满足题意舍去，故.
类型四：集合的表示方法
例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
答案：（1）；（2）。
解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15因此，用描述法表示为；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此，用列举法表示为.
【变式7】用列举法表示集合：
(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN}
(3)C={y|x+y=3，xN， yN}
(4)
(5)
(6)P={x|x(x-a)=0， aR}
解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
(1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
【变式8】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程的解集；
（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合。
答案：（1）；（2）；（3）
解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为。
（2）方程可化为，
方程的解集为。
（3）用描述法表示为。
二、函数概念
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
类型一、函数的概念
例8.下列式子是否能确定是的函数？
（1） （2） （3）.
【答案】（1）不能 （2）能（3）不能
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
例9.下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合.
4.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
5.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
例10.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)； (2)；　　　　(3).
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
(1)的定义域为x2-3≠0，；
(2)；
(3).
例11.已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
例12.求值域：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．
【解析】
(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
例13.求函数的解析式
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)已知，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)用代入法，．
(2)法一：换元法
令，则，所以
即：.
法二：凑配法
=，所以．
(3) ①，用代替上式中的，得 ②
由①②联立，消去，得
故所求的函数为．
例14.作出下列函数的图象.
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．
（2），
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图（2）．
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示（3）．
三、函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式 方程的根 函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根 无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
例15.已知函数．
（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；
（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；
（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负．
【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2．
（2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2．
（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．
例16.已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
【答案】没有实数根
【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根．
，
且函数的图象是连续曲线，
在区间内有实数根
【变式9】三次方程在下列连续整数____________之间有根.
①-2与-1　②-1与0　③0与1　④1与2　⑤2与3
【答案】①②④
【解析】 令
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) -1 1 -1 -1 7 29
在内均有根.
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