初升高衔接课6-二次函数的思维模型（含答案）

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初升高衔接课6-二次函数的思维模型
一、二次函数的基本性质
要点一、二次函数的基本形式
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，
要点二、二次函数的判别式



的图象


的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点三、二次函数的对称轴与对称性
（1）对称轴：，用于分开二次函数的增减性
（2）对称性：当y值相同时，x1与x2关于对称轴对称
要点四、二次函数的取值范围
注意x的取值是否含顶点
注意寻找最值
定义y的范围称函数的值域，x的范围称函数的定义域
一，二次函数的值域问题
例1.已知函数，当时，值域是 ；当时，值域是 ；当时，值域是 ；
答案：，，；
【变式1】已知函数，当时，值域是 ；当时，值域是 ；当时，值域是 ；
答案：，，；
【变式2】已知函数，当时，值域是 ；当时，值域是 ；当时，值域是 ；.
答案：，，；
【变式3】函数的值域是
答案：；
二，二次函数的增减性（单调性）问题
设，则其闭区间上的单调性有如下的分布情况：

，函数在单增
，函数在单减

，函数在单减
，函数在单增

，函数在单增
，函数在单减
例2.（1）已知二次函数，求增减性
（2）函数在[-1,2]上是单调减函数，求实数m的取值范围。
答案：；
【变式4】函数在上是增函数，则的取值范围是______.
答案：；
【变式5】函数在上是减函数，则的取值范围是__ ___.
答案：；
【变式6】如果函数在区间上是增函数，求的取值范围.
答案：；
【变式7】已知函数.求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。
【答案】对称轴当或时，在上单调∴或。
三，二次函数的含参最值问题
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：
即








例3.求函数在区间上的最小值
答案：解：对称轴
（1）当即时，；
（2）当即时，；
（3）当即时，
例4.求函数的最小值？最大值？
答案：求最小值：
解：对称轴
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，
求最大值：解：（1）当时，；
（2）当时，。
【变式8】求函数在区间上的最大值。
答案：解：
【变式9】已知二次函数，当上有最小值，求的解析式。
答案：
【变式10】当时，求函数的最小值
解析：对称轴
当，即时，是的递增区间，；
当，即时，是的递减区间，；
当，即时，
例5.已知在区间内有一最大值，求的值
解析：对称轴，当即时，是的递减区间，
则，得或，而，即；
当即时，是的递增区间，则，
得或，而，即不存在；当即时，
则，即；∴或
【变式11】若a>0，当时，函数的最小值是-4，最大值是0，求a、b的值
答案：；解析：或
四，二次函数的零点分析问题
二次函数零点分析： 理解以及识记二次函数零点分析的几种类型和处理方法，其他情况最需要稍加变型即可。开口向下的情况如此雷同。
（1）两零点在两边；
令： （2）两零点在区间外；
令： （3）两零点在一边；
令：，
，； （4）一零点在中间；
令：
（5）两零点在区间内；
令：，；
，；
（6）两零点在两区间
令：
；；
，；
（7）没有零点或一个零点
没有零点，令： ；
一个零点，令： ；
没有零点或一个零点，令： ；
例6.已知（其中），当满足什么条件时会出现下面的图像：






【变式12】已知（其中），当满足什么条件时会出现下面的图像：






【变式13】设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：
(1)m为何值时，有一正根、一负根．
(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．
(3)m为何值时，有两正根．
(4)m为何值时，有两负根．
(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？
答案：(1)m＜-2．(2)；（3）(4)(5)
解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．
∴　 m＜-2．
反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．
(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．
依韦达定理有
(m+2)+2(m-1)+1＜0．
(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即
[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．
∴(7m+1)(9m+10)＜0．
【变式14】已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．
解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．
如图，0＜α＜1＜β的条件是
解得
【变式15】当m为何值时，方程 有两个负数根？
解：负数根首先是实数根，∴ ，
由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．
由以上分析，有
即
∴当 时，原方程有两个负数根．
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