初升高预习课7-集合的概念与基本运算（含答案）

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初升高预习课1-集合的概念与基本运算
要点一：集合的基本概念
1．集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。
2．元素与集合的关系
（1）属于： 如果是集合A的元素，就说属于A，记作∈A。要注意“∈”的方向，不能把∈A颠倒过来写.
（2）不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作。
3．集合中元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；
（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。
（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。
4．集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
要点诠释：
把不含有任何元素的集合叫做空集，记作，空集归入有限集。
问题1：下面各组对象能构成集合的是(　　)．
A．个子很高的同学
B．π的近似值
C．很小的数
D．不超过30的非负数
【答案】D
问题2：用符号∈或?填空：0________N；－2________N；________Q；________R；
－3________Z.
【答案】∈　?　?　∈　∈
问题3：试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2＝1的所有根组成的集合；
(2)小于5的所有自然数组成的集合．
【解析】(1)列举法：{－1，1}，描述法：{x|x2－1＝0}；
(2)列举法：{0，1，2，3，4}，描述法：{x|x＜5且x∈N}．
问题4：军训前学校通知：9月2日上午8点，高一年级学生到操场集合进行军训，试找出“通知的对象”．
【解析】全体高一学生．
例1.已知由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)．
A．1　　B．－2　　C．6　　D．2
【方法指导】可将选项代入a2，2－a，利用元素的互异性来进行判断选择．
【答案】C
〖拓展问题1〗已知集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，若M、N表示同一集合，求x，y的值．
【解析】依题意，有或
当时，解得或x＝1，当x＝1时不符合集合中元素的互异性，舍去．
当时，解得不符合集合元素的互异性，舍去．
所以x＝－1，y＝0.
例2.分别用列举法和描述法表示方程组的解集M，并判断3与M的关系．
【解析】∵的解是
用描述法表示该集合M为{(x，y)|}．
用列举法表示该集合M为{(3，－7)}．显然3?M.
〖拓展问题2〗对于集合A＝{x|y＝x2－2x＋5}，B＝{y|y＝x2－2x＋5}，C＝{(x，y)|y＝x2－2x＋5}，它们各自的含义是什么？是不是相同的集合？
〖拓展问题3〗设集合B＝{x∈N|∈N}．
(1)试判断元素1和2与集合B的关系．
(2)用列举法表示集合B.
【解析】(1)当x＝1时，＝2∈N，
当x＝2时，＝?N，∴1∈B，2?B.
(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2，3，6，
∴x只能取0，1，4，∴B＝{0，1，4}．
例3.已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
当a＝0时，方程只有一个根－，则a＝0符合题意；
当a≠0时，关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
综上所得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．
〖拓展问题4〗已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A是单元素集，求a的值及集合A.
(2)求集合P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}．
要点二、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
任何一个集合是它本身的子集，记作
问题1：有下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若??A，则A≠?；
⑤集合A?B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．
其中正确的有(　　)．
A．0个　B．1个　C．2个　D．3个
【答案】B
问题2：设集合A＝{x|0≤x<2且x∈N}，则其子集的个数是________，真子集的个数是________．
【解析】因为A＝{0，1}，所以A的子集有?，{0}，{1}，{0，1}，故子集的个数为4，其中真子集有3个．
【答案】4　3
问题3：以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来．①0与{0}；②0与?；③?与{0}；④{0，1}与{(0，1)}；⑤{(b，a)}与{(a，b)}．
【解析】①0∈{0}；②0??；
③?与{0}都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系．
∴?{0}，也可??{0}．
④{0，1}是含两个元素0，1的集合；而{(0，1)}是以有序数对为元素的集合，它只含一个元素，∴{0，1}≠{(0，1)}．
⑤当a＝b时，{(a，b)}＝{(b，a)}；
当a≠b时，{(a，b)}≠{(b，a)}．
问题4：你认为所有白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间具有什么关系呢？
【解析】白马是马，只不过其前面限定了条件，即这匹马的颜色必须是白色的．白马组成的集合包含于马组成的集合，即{白马}?{马}．
例1.下列表示或说法正确的是________．
①{1，2}?{1，2}；②{0}∈{{0}，{1}}；③满足A?{a，b}的集合A有4个；④集合{x|y＝x2}＝{y|y＝x2}．
【答案】①②③
〖拓展问题1〗判断下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x2＋1＝0，x∈R}；
(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(4)M＝{x|x＝，n∈Z}，N＝{x|x＝＋n，n∈Z}．
【解析】(1)若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{x|x2＋1＝0，x∈R}＝?，所以BA.
(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAD.
(4)(法一)对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；
而对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数，由此可知NM.
(法二)用列举法表示集合如下：
M＝{0，±，±1，±，±2，±，…}，
N＝{±，±，±，…}，所以NM.
例2.已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且AM?B，写出满足上述条件的集合M.
【解析】满足条件的集合M有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
〖拓展问题2〗已知{x|x2－1＝0}A?{－1，0，1}，求集合A的子集个数．

例3.已知集合A＝{x|2a－2【解析】由A?B得?.
所以，a的取值范围是{a|0≤a<1}．
[问题]上述解法正确吗？集合A一定是非空集合吗？
[结论]不正确，集合A可能为空集．
正确解法：由已知A?B可得，
(1)当A＝?时，有2a－2≥a＋2?a≥4.
(2)当A≠?时，此时解题过程同上面解析．
综合(1)(2)，实数a的取值范围是{a|a≥4或0≤a<1}．
〖拓展问题3〗已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，集合Q＝{x|ax＋1＝0}，且Q?P，求实数a的取值构成的集合A.
〖拓展问题4〗设集合A＝{a，b}，集合B＝{1，a2}，若A＝B，求实数a，b的值．
【解析】∵A＝B，∴a＝1或b＝1，
当a＝1时，集合B不满足互异性，舍去．
当b＝1时，由a2＝a得a＝0或a＝1(舍去)，
此时A＝B＝{0，1}，满足条件．
综上可知：a＝0，b＝1.
要点三、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：;=
补集的Venn图表示：
问题1：已知M＝{x|x是平行四边形}，P＝{x|x是梯形}，则M∩P等于(　　)．
A．M　　　　　　　　　　B．P
C．{x|x是矩形} D．?
【解析】显然，平行四边形与梯形无公共元素，故交集为?.
【答案】D
问题2：设M＝{0，1，2，4，5，7}，N＝{1，4，6，8，9}，P＝{4，7，9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝
________．
【解析】M∩N＝{1，4}，M∩P＝{4，7}，
∴(M∩N)∪(M∩P)＝{1，4，7}．
【答案】{1，4，7}
问题3：已知集合A＝{x|3≤x＜8}，则RA＝________．
【解析】根据补集的定义可得RA＝{x|x＜3或x≥8}．
【答案】{x|x＜3或x≥8}
例1.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，A∪B，UA，UB.
【方法指导】将集合A、集合B在数轴上表示出来，利用集合运算的概念求出结果，但要注意全集不是实数集．
〖拓展问题1〗若设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，4，5}．
(1)计算集合UA，UB，A∪B，A∩B.
(2)计算(UA)∪(UB)与U(A∩B)，
(UA)∩(UB)与U(A∪B)，由此猜测一个一般性的结论，并利用Venn图表示．
【解析】(1)∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，4，5}，
∴UA＝{3，4}，UB＝{1，3}，
A∪B＝{1，2，4，5}，A∩B＝{2，5}．
(2)(UA)∪(UB)＝{1，3，4}，
(UA)∩(UB)＝{3}，
U(A∪B)＝{3}，U(A∩B)＝{1，3，4}，
由此可猜测：(UA)∪(UB)＝U(A∩B)；
(UA)∩(UB)＝U(A∪B)．
证明如下：
由Venn图表示(UA)∪(UB)＝U(A∩B)如下：
作(UA)∩UB＝U(A∪B)的图示如下：
例2.设集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
〖拓展问题2〗对于例2，若集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}呢？
【解析】①当A＝?时，即a＋3＜2a，即a＞3时恒成立．
②当A≠?时，解得－≤a≤2.
综上可知，a的取值范围为{a|－≤a≤2或a＞3}．
〖拓展问题3〗若将例2中“A∩B＝?”改为“A∪B＝R”或“A∪B＝B”，试分别求实数a的取值范围．
【解析】若A∪B＝R，则解得故满足条件的a不存在．
若A∪B＝B，则A?B，∴a＋3＜－1或a＞5，解得a＜－4或a＞5，故实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞5}．
例3.设全集为U，集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，若(UA)∩B＝{9}，求x的值．
【方法指导】由(UA)∩B＝{9}找到9与集合A、B的关系，从而确定x的值．
【解析】∵(UA)∩B＝{9}，∴9?A，9∈B，∴x2＝9，
∴x＝±3.
[问题]上述解法正确吗？
[结论]显然是错误的，没有检查x的值是否使得A中元素满足互异性．
正解解答如下：
由题意解得x＝±3，代入验证可知当x＝3时，A中元素不满足元素的互异性，故舍去；－3代入满足．∴x＝－3.
〖拓展问题4〗在例3的条件下，若满足(UB)∪B＝A，求UB.
当x＝1时，A中的元素x与1重复，B中的元素x2与1也重复，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，U＝A＝{1，3，0}，此时UB＝{3}．
综上所述：UB＝{3}或UB＝{}或UB＝{－}．
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