（29份打包）2012年3月中考数学一轮复习精品讲义（含2011中考真题）全套

第十五章 整式的乘际与因式分解
本章小结
小结1 本章概述
本章主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解．这些内容建立在已经学过的有理数运算，列简单代数式、－元－次方程与不等式，整式的加减的基础上，是以后学习根式和分式的运算等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具，它在整个数学知识体系中起着承前启后的作用．在初中数学中占有重要地位，是中考必考内容．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 幂的运算法则，整式乘除法则，乘法公式以及因式分解的概念及方法．
【本章难点】 灵活运用公式进行乘法运算以及进行因式分解，添括号时括号中符号的处理．
小结3 学法指导
1．注意前后知识之间的联系，注意类比思想方法在本节学习中的应用．
2．重视运算性质和公式的发生和归纳过程．
3．适时利用转化思想，注意数学知识之间的内在联系．
4．充分发挥主观能动性，提高创新精神和自学意识．
知识网络结构图
专题总结及应用
专题1 幂的运算法则及其逆运用
【专题解读】同底数幂的乘法、除法、积的乘方、幂的乘方，它们都是整式运算的基础，作用非常大，在整个代数运算中起着奠基作用，幂的运算法则及其逆运用以及零指数幂都是中考必考内容．
　例1 计算2x3·(－3x)２＝　　　　　 ．
分析 本题是积的乘方与单项式乘法的综合运算，紧扣运算法则，即可求出．2x3·(－3x)2＝2x3·9x2＝18x5．故填18x5．
例2 计算[a4(a4－4a)－(－3a5)2÷(a2)3]÷(－2a2)2．
分析 本题综合考查幂的四种运算法则，以及单项式乘以多项式、多项式除以单项式的法则．
解：[a4(a4－4a)－(－3a5)2÷(a2)3]÷(－2a2)2
　　＝(a8－4a5－9a10÷a6)÷4a4
　　 ＝(a8－4a5－9a4)÷4a4
　　 ＝a4－a－．
　　专题2　整式的混合运算
【专题解读】幂的运算与整式的加减乘除混合运算是本章的核心内容，也是整个代数计算的重点．在进行混合运算时要注意：(1)确定运算顺序，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的或去括号；(2)计算要仔细认真，步步有依据，特别是要注意符号．
例3 计算[(a－2b)(2a－b)－(2a＋b)2＋(a＋b)(a－b)－(3a)2]÷(－2a)．
分析 本题考查整式的混合运算．
解：原式＝(2a2－ab－4ab＋2b2－4a2－4ab－b2＋a2－b2－9a2)÷(－2a)
　　＝(－10a2－9ab)÷(－2a)
　　＝5a＋b．
【解题策略】本题综合考查了多项式乘以多项式、乘法公式、积的乘方、多项式除以单项式以及合并同类项，在计算的过程中，要注意符号问题及运算法则的应用．
专题3 因式分解
【专题解读】因式分解是整式乘法的逆运算，有两种基本方法：提公因式法和公式法．一般步骤是先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底．
　例4　分解因式．
　(1)m3－m； (2)(x＋2)(x＋3)＋x2－4．
分析 (1)是二项式，提取公因式m后，可以用平方差公式继续分解．(2)中把x2－4先分解，然后再与(x＋2)(x＋3)一起提取公因式．
解：(1)m3－m＝m(m2－1)＝m(m＋1)(m－1)．
　　 (2)(x＋2)(x＋3)＋x2－4＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)[(x＋3)＋(x－2)］
＝(x＋2)(2x＋1)．
【解题策略】 因式分解是十分灵活的题目，选用什么方法要结合题目特点，灵活选用．
二、思想方法专题
专题4 转化思想
【专题解读】 转化思想是数学中的重要思想．利用这一思想，可以将复杂化为简单，将未知化为已知．整式的乘除法法则中多次用到转化思想．
例5 分解因式a2－2ab＋b2－c2．
分析 本题表面上无法直接用提取公因式法或公式法分解．如果添加括号，将代数式进行恒等变形，就可以转化为能用公式法分解的多项式．
解：a2－2ab＋b2－c2＝(a2－2ab＋b2)－c2
　　＝(a－b)2－c2
　　＝(a－b＋c)(a－b－c)．
专题5 整体思想
【专题解读】 整体思想是数学中常用的数学思想方法，利用此思想方法可以不求出每个字母的值而求出代数式的值，达到简化计算的目的，事半功倍．
例6 (1)已知x＋y＝7，xy＝12，求(x－y)2；
(2)已知a＋b＝8，a－b＝2，求ab的值．
分析 此题可充分利用公式的变形，并采取整体代入的方法求值．
解：(1)∵x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49．
　　∴x2＋y2＝49－2xy＝49－2×12＝25，
　　(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x2＋y2)－2xy＝25－2×12＝1．
　　(2)∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64．①
　　∵a－b＝2，∴a2－2ab＋b2＝4．②
　　 ①－②，得4ab＝60，∴ab＝15．
【解题策略】 (1)中把x2＋y2以及xy当成了整体．(2)中把ab看做是一个整体．用整体代入法的前提是将已知的代数式和所求的代数式进行恒等变形，将其中的某些代数式化成数字，达到化简、求值的目的．
2011中考真题精选
1. （2011江苏连云港，3，3分）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
考点：完全平方式。
分析：由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案．
解答：解：∵（x+2）2=x2+4x+4，∴“□”中的数为4．
故选D．
点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是熟记公式，注意解题要细心．
2. （2011 泰州，2，3分）计算2a2 a3的结果是（　　）
A、2a5 B、2a6 C、4a5 D、4a6
考点：单项式乘单项式。
专题：计算题。
分析：本题需根据单项式乘以单项式的法则进行计算，即可求出答案．
解答：解：2a2 a3=2a5
故选A．
点评：本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．
3. （2011内蒙古呼和浩特，2，3）计算2x2 （-3x3）的结果是（　　）
A、-6x5 B、6x5 C、-2x6 D、2x6
考点：同底数幂的乘法；单项式乘单项式．
分析：根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
解答：解：2x2 （-3x3）=2×（-3） （x2 x3）=-6x5．故选A．
点评：本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．
4. （2011山东日照，2，3分）下列等式一定成立的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．（a+b）2=a2+b2
C．（2ab2）3=6a3b6 D．（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab
考点：多项式乘多项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式。
专题：综合题。
分析：根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘以多项式的法则解答．
解答：解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
C、（2ab2）3=8a3b6，故本选项错误；
D、（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab，故本选项正确．
故选D．
点评：本题综合考查合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘以多项式的法则，是基础题型，需要熟练掌握．
5. （2011山西，3，2分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：正整数指数幂的运算
专题：整式的运算
分析：A正确．根据是；B不正确，合并同类项，只把它们的系数相加，字母和字母的指数不变，应为； C不正确．根据同底数幂相除，底数不变指数相减应为；D不正确． 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加应为．
解答：A
点评：理解并掌握正整数指数幂的运算法则．正整数幂的这几种运算极易混淆，对比其异同点是解决此类问题的极好方法．
6. ( cm )（2011四川广安，2，3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：代数式的运算与化简
专题：整式
分析：选项A考查的是去括号法则，，故A错误；选项B考查的是二次根式的减法运算，，故B错误；选项C考查的是绝对值的化简，由于，所以，故C正确；选项D考查的是完全平方公式，，故D错误．
解答：C
点评：此类问题需要逐一分析判断，用排除法解决．（1）去括号时，若括号前面是负号，把括号去掉后，括号内的各项都要改变符号；（2）二次根式的加减实际上是合并同类二次根式，不是同类二次根式的两个二次根式不能合并；（3）绝对值（）与的化简是中考的常考内容，在解答时要注意的符号，有（4）乘法公式在进行代数式的有关运算中经常用到，要记住常用的乘法公式：①（平方差公式）；②（完全平方公式）．
7. （2011 台湾22，4分）计算多项式2x3﹣6x2+3x+5除以（x﹣2）2后，得余式为何（　　）
A、1 B、3 C、x﹣1 D、3x﹣3
考点：整式的除法。
专题：计算题。
分析：此题只需令2x3﹣6x2+3x+5除以（x﹣2）2后，根据能否整除判断所得结果的商式和余式．
解答：解：由于（2x3﹣6x2+3x+5）÷（x﹣2）2=（2x+2）…（3x﹣3）；
因此得余式为3x﹣3．
则2x3﹣6x2+3x+5﹣（3x﹣3）=2（x+1）（x﹣2）2．
故选D．
点评：本题主要考查了多项式除以单项式的法则，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键．
8. （2011台湾，5，4分）计算x2（3x＋8）除以x3后，得商式和余式分别为何（　　）
A．商式为3，余式为8x2 B．商式为3，余式为8
C．商式为3x＋8，余式为8x2 D．商式为3x＋8，余式为0
考点：整式的除法。
专题：计算题。
分析：此题只需令x2（3x＋8）除以x3，根据能否整除判断所得结果的商式和余式．
解答：解：由于x2（3x＋8）除以x3，得结果为3x＋8，即能够整除；
因此得为3x＋8，余式为0；
故选D．
点评：本题主要考查了多项式除以单项式的法则，弄清被除式．除式．商．余式四者之间的关系是解题的关键．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011台湾，7，4分）化简 QUOTE EMBED Equation.3 ，可得下列哪一个结果（　　）
A．－16x－10 B．－16x－4
C．56x－40 D．14x－10
考点：整式的加减。
专题：计算题。
分析：先去括号，然后合并同类项即可得出答案．
解答：解：原式＝－x＋2－12＋15x＝14x－10．
故选D．
点评：本题考查整式的加减，属于基础题，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
10. （2011天津，10，3分）若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（　　）
A、x+y+z=0 B、x+y﹣2z=0 C、y+z﹣2x=0 D、z+x﹣2y=0
考点：完全平方公式。
专题：计算题。
分析：首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．
解答：解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，
∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，
∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，
∴（x+z﹣2y）2=0，
∴z+x﹣2y=0．
故选D．
点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=（x+z﹣2y）2．
11. （2011重庆市，2，4分）计算3a2a的结果是
A．6a B．6a2 C. 5a D. 5a
考点：单项式乘单项式 ( javascript:void(0) )．
分析：根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
答案：解：3a 2a=3×2a a=6a2．
故选B．
点评：本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12. （2011湖北咸宁，2，3分）计算（﹣4x3）÷2x的结果正确的是（　　）
A、﹣2x2 B、2x2　　　　C、﹣2x3 D、﹣8x4
考点：整式的除法。
专题：计算题。
分析：根据整式的除法法则计算即可．
解答：解：原式=﹣2x2．
故选A．
点评：本题考查了整式的除法法则，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
13. （2011湖北荆州，11，3分）已知A=2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得x2+ 12x，则B+A= 2x3+x2+2x．
考点：整式的混合运算 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据乘除法的互逆性首先求出B，然后再计算B+A．
解答：解：∵B÷A=x2+ 12x，
∴B=（x2+ 12x） 2x=2x3+x2．
∴B+A=2x3+x2+2x，
故答案为：2x3+x2+2x，
点评：此题主要考查了整式的乘法，以及整式的加法，题目比较基础，基本计算是考试的重点．
14. （2011，台湾省，13,5分）若多项式2x3﹣10x2+20x除以ax+b，得商式为x2+10，余式为100，则之值为何？（　　）
A、0 B、﹣5 C、﹣10 D、﹣15
考点：整式的除法。
专题：计算题。
分析：根据被除式=除式×商式+余式计算即可．
解答：解：由题意可知，可整除2x3﹣10x2+20x÷（ax+b）=x2+10+100，
整理得：2x3﹣10x2+20x=ax3+110ax+bx2+110b，
∴a=2，b=﹣10，∴==﹣5，
故选B．
点评：本题考查了整式的除法，用到的知识点：被除式=除式×商式+余式．
15. （2011 临沂，2，3分）下列运算中正确的是（　　）
A、（﹣ab）2=2a2b2 B、（a+b）2=a2+1 C、a6÷a2=a3 D、2a3+a3=3a3
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
分析：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式：两数和的平方等于它们的平方和加上它们积的2倍；同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；根据法则一个个筛选．
解答：解：A、（﹣ab）2=（﹣1）2a2b2=a2b2，故此选项错误；
B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故此选项错误；
D、2a3+a3=（2+1）a3=3a3，故此选项正确．
选D．
点评：此题主要考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项的计算，一定要记准法则才能做题．
16. （2011泰安，2，3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2＋4a2＝7a4 B．3a2－4a2＝－a2 C．3a×4a2＝12a2 D．
考点：整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式。
专题：计算题。
分析：根据单项式除单项式的法则．合并同类项以及整式的除法法则计算即可．
解答：解：A．3a2＋4a2＝7a2，故本选项错误；
B．3a2－4a2＝－a2，故本选项正确；
C．3a×4a2＝12a3，故本选项错误；
D．（3a2）2÷4a2＝ QUOTE EMBED Equation.3 a2，故本选项错误；
故选B．
点评：本题主要考查多项式除以单项式运算．合并同类项以及整式的除法法则，牢记法则是关键．
17.（2011四川眉山，2，3分）下列运箅正确的是（　　）
A．2a2﹣a=a B．（a+2）2=a2+4
C．（a2）3=a6 D．
考点：完全平方公式；算术平方根；合并同类项；幂的乘方与积的乘方。
专题：计算题。
分析：根据整式加减法则，完全平方公式，幂的乘方法则，二次根式的性质，逐一检验．
解答：解：A、2a2与﹣a表示同类项，不能合并，本选项错误；
B、∵（a+2）2=a2+4a+4，本选项错误；
C、（a2）3=a2×3=a6，本选项正确；
D、 QUOTE EMBED Equation.3 ，本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了整式加减法则，完全平方公式，幂的乘方法则，二次根式的性质的运用．关键是熟悉各种运算法则．
18. （2011 南充，1，3分）计算a+（﹣a）的结果是（　　）
A、2a B、0 C、﹣a2 D、﹣2a
考点：整式的加减。
分析：本题需先把括号去掉，再合并同类项，即可得出正确答案．
解答：解：a+（﹣a），
=a﹣a，
=0．
故选B．
点评：本题主要考查了整式的加减，在解题时要注意去括号，再合并同类项是解题的关键．
19. （2011 南充，11，3分）计算（π﹣3）0= ．
考点：零指数幂。
专题：计算题。
分析：根据零指数幂的性质即可得出答案．
解答：解：（π﹣3）0=1，
故答案为1．
点评：本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．
20. （2011四川攀枝花，3，3分）下列运算中，正确的是（　　）
A、+= B、a2 a=a3 C、（a3）3=a6 D、=－3
考点：二次根式的加减法；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
分析：此题涉及到二次根式的加减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，幂的乘方：底数不变，指数相乘；根式的化简，4个知识点，根据各知识点进行计算，可得到答案．
解答：解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误； B、a2 a=a2+1=a3，故此选项正确； C、（a3）3=a3×3=a9，故此选项错误； D、 QUOTE EMBED Equation.3 =3，故此选项错误．故选：B．
点评：此题主要考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，根式的化简，关键是同学们要正确把握各知识点的运用．
1.（2011泰安，5，3分）下列等式不成立的是（　　）
A．m2－16＝（m－4）（m＋4） B．m2＋4m＝m（m＋4）
C．m2－8m＋16＝（m－4）2 D．m2＋3m＋9＝（m＋3）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：因式分解。
分析：由平方差公式，提公因式以及完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．
解答：解：A．m2－16＝（m－4）（m＋4），故本选项正确；
B．m2＋4m＝m（m＋4），故本选项正确；
C．m2－8m＋16＝（m－4）2，故本选项正确；
D．m2＋3m＋9≠（m＋3）2，故本选项错误．
故选D．
点评：此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解，注意分解要彻底．
2. （2011 丹东，4，3分）将多项式x3﹣xy2分解因式，结果正确的是（　　）
A、x（x2﹣y2） B、x（x﹣y）2
C、x（x+y）2 D、x（x+y）（x﹣y）
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
解答：解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y），
故选：D．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
3. （2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=33﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（　　）
A.﹣4或﹣1 B.4或﹣1
C.4或﹣2 D.﹣4或2
考点：解一元二次方程-因式分解法.
分析：根据新定义a★b=a2﹣3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．
解答：解：依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，
分解因式，得（x+1）（x﹣4）=0，
解得x1=﹣1，x2=4．
故选B．
点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．
4. （2011天水，4，4）多项式2a2﹣4ab+2b2分解因式的结果正确的是（　　）
A、2（a2﹣2ab+b2） B、2a（a﹣2b）+2b2
C、2（a﹣b）2 D、（2a﹣2b）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解答：解：2a2﹣4ab+2b2=2（a2﹣2ab+b2）=2（a﹣b）2．
故选C．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
5. （2011江苏无锡，3，3分）分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是（　　）
A．2x（x﹣2） B．2（x2﹣2x+1） C．2（x﹣1）2 D．（2x﹣2）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：因式分解。
分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
解答：解：2x2﹣4x+2
=2（x2﹣2x+1）﹣﹣（提取公因式）
=2（x﹣1）2．﹣﹣（完全平方公式）
故选C．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
6. ( cm )（2011 台湾5，4分）下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（　　）
A、2x﹣1 B、2x﹣3 C、x﹣1 D、x﹣3
考点：因式分解的应用。
专题：计算题。
分析：利用十字相乘法将2x2+5x﹣3分解为（2x﹣1）（x+3），即可得出符合要求的答案．
解答：解：∵2x2+5x﹣3
=（2x﹣1）（x+3），
2x﹣1与x+3是多项式的因式，
故选：A．
点评：此题主要考查了因式分解的应用，正确的将多项式因式分解是解决问题的关键．
7. （2011台湾，24，4分）下列四个多项式，哪一个是33x＋7的倍式（　　）
A．33x2－49 B．332x2＋49
C．33x2＋7x D．33x2＋14x
考点：因式分解的应用。
专题：因式分解。
分析：A．利用提取公因式法或平方差公式判定即可；
B．C．D．利用提取公因式法判定即可；
解答：解：A．33x2－49不能利用提起过因式法或平方差公式分解因式，故选项错误；
B．332x2＋49不能利用提取公因式法分解因式，故选项错误；
C．33x2＋7x＝x（33x＋7），故选项正确；
D．33x2＋14x不能利用提取公因式法分解因式，故选项错误．
故选C．
点评：本题考查因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；然后考虑公式法或其他方法．
8. （2011台湾，28，4分）某直角柱的两底面为全等的梯形，其四个侧面的面积依序为20平方公分．36平方公分．20平方公分．60平方公分，且此直角柱的高为4公分．求此直角柱的体积为多少立方公分（　　）
A．136 B．192 C．240 D．544
考点：因式分解的应用。
专题：应用题。
分析：由题意可知直角柱的四个侧面都是矩形，再有条件四个侧面的面积依序为20平方公分．36平方公分．20平方公分．60平方公分，直角柱的高为4公分，可求出梯形的上底和下底，再求出梯形的高进而求出梯形的面积，再根据体积公式：V＝底面积×高，可得问题答案．
解答：解：∵四个侧面的面积依序为20平方公分．36平方公分．20平方公分．60平方公分，直角柱的高为4公分，
∴四个侧面的长分别是5公分；9公分；5公分；15公分，
∴底面梯形的面积＝＝48平方公分，
∴直角柱的体积＝48×4＝192立方公分．
故选B．
点评：本题考查了利用因式分解简化计算问题．解决本题的关键是将立体图形问题转化为平面几何问题．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011四川攀枝花，6，3分）一元二次方程x（x﹣3）=4的解是（　　）
A、x=1 B、x=4 C、x1=﹣1，x2=4 D、x1=1，x2=﹣4
考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：首先把方程化为右边为0的形式，然后把左边再分解因式，即可得到答案．
解答：解：∵x（x﹣3）=4，∴x2﹣3x﹣4=0，∴（x﹣4）（x+1）=0，∴x﹣4=0或x+1=0，∴x1=4，x2=﹣1．故选：C．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，关键是把方程化为：ax2+bx+c=0，然后再把左边分解因式．
10. （2011梧州，6，3分）因式分解x2y﹣4y的正确结果是（　　）
A、y（x+2）（x﹣2） B、y（x+4）（x﹣4）
C、y（x2﹣4） D、y（x﹣2）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式y，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解答：解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x﹣2）．
故选A．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
11. （2011河北，3，2分）下列分解因式正确的是（　　）
A．－a＋a3＝－a（1＋a2） B．2a－4b＋2＝2（a－2b）
C．a2－4＝（a－2）2 D．a2－2a＋1＝（a－1）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：因式分解。
分析：根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案．
解答：解：A．－a＋a3＝－a（1－a2）＝－a（1＋a）（1－a），故本选项错误；
B．2a－4b＋2＝2（a－2b＋1），故本选项错误；
C．a2－4＝（a－2）（a＋2），故本选项错误；
D．a2－2a＋1＝(a－1)2，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键．
12. （2011黑龙江大庆，9，3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（　　）
A、等腰三角形 B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形 　D、等腰直角三角形
考点：因式分解的应用。
专题：因式分解。
分析：把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
解答：解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，
（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，
a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．
故选C．
点评：本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．
13. （2011，台湾省，25,5分）若多项式33x2﹣17x﹣26可因式分解成（ax+b）（cx+d），其中a、b、c、d均为整数，则|a+b+c+d|之值为何？（　　）
A、3 B、10
C、25 D、29
考点：因式分解-十字相乘法等。
分析：首先利用因式分解，即可确定a，b，c，d的值，即可求解．
解答：解：33x2﹣17x﹣26
=（11x﹣13）（3x+2）
( http: / / www.m / )
∴|a+b+c+d|=|11+（﹣13）+3+2|=3
故选A．
点评：本题主要考查了利用十字交乘法做因式分解，解题技巧：能了解ac=33，bd=﹣26，ad+bc=﹣17．
14.（2011浙江金华，3，3分）下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）
A．x2 +1 B.x2+2x－1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
考点：因式分解-运用公式法。
专题：因式分解。
分析：完全平方公式是：a2±2ab+b2=（a±b）2由此可见选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，只有D选项可以．
解答：解：根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，
选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，
D、x2+4x+4=（x+2）2．
故选D
点评：本题主要考查完全平方公式的判断和应用：应用完全平方公式分解因式．
15.（2011浙江丽水，3，3分）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（　　）
A、x2+1 B、x2+2x﹣1
C、x2+x+1 D、x2+4x+4
考点：因式分解-运用公式法。
专题：因式分解。
分析：完全平方公式是：a2±2ab+b2=（a±b）2由此可见选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，只有D选项可以．
解答：解：根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，
选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，
D、x2+4x+4=（x+2）2．
故选D
点评：本题主要考查完全平方公式的判断和应用：应用完全平方公式分解因式．
二、填空题
1. （2011 泰州，10，3分）分解因式：2a2﹣4a= ．
考点：因式分解-提公因式法。
分析：观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．
解答：解：2a2﹣4a=2a（a﹣2）．
点评：本题考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．
2. （2011江苏镇江常州，10，3分）（1）计算：（x+1）2=　x2+2x+1　；
（2）分解因式：x2﹣9=　（x﹣3）（x+3）　．
考点：因式分解-提公因式法；完全平方公式．
分析：根据完全平方公式进行计算．
解答：解：①（x+1）2=x2+2x+1；
②x2﹣9=（x﹣3）（x+3）．
点评：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3. （2011南昌，14，3分）因式分解：x3﹣x=　x（x+1）（x﹣1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用.
分析：本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
解答：解：x3﹣x，=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
4. （2011 宁夏，9，3分）分解因式：a3﹣a=　a（a+1）（a﹣1）　．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
5. （2011陕西，13，3分）分解因式：ab2﹣4ab+4a= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：因式分解。
分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
解答：解：ab2﹣4ab+4a=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（b﹣2）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
6. ( cm )因式分解：x2-9y2= （x+3y）（x-3y）．
考点：因式分解-运用公式法 ( javascript:void(0) )．
分析：直接利用平方差公式分解即可．
解答：解：x2-9y2=（x+3y）（x-3y）．
点评：本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
7. （2011四川广安，11，3分）分解因式：＝ ___________________
考点：因式分解
专题：整式（因式分解）
分析：．
解答：
点评：因式分解时要按“一提、二看、三分组”的顺序进行，即先看有没有公因式可提，再考虑能否运用公式分解，最后考虑运用分组分解法，本题中所给的多项式是二项式，两项间没有公因式，且两项的符号相反，由此考虑用平方差公式进行分解．
8. （2011四川凉山，14，4分）分解因式： .
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( javascript:void(0) )．
分析：先提取公因式－a，再根据完全平方公式进行二次分解．
完全平方公式：a2－2ab＋b2＝（a－b）2．
解答：解：原式＝－a（a2－ab＋b2）＝－a（a－b）2．
故答案为：－a（a－b）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011湖北潜江，11，3分）因式分解：a2—6a＋9＝　 ．
考点：因式分解-运用公式法。
专题：计算题。
分析：本题是一个二次三项式，且 a2和9分别是a 和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．
解答：解： a2—6a＋9＝（a—3）2．
点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
10. 分解因式：8a2-2= 2（2a+1）（2a-1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( javascript:void(0) )．
分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解答：解：8a2-2，
=2（4a2-1），
=2（2a+1）（2a-1）．
故答案为：2（2a+1）（2a-1）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．计算(a3)2的结果是 ( )
　　A．a5 　　 B．a6 　　 C．a8 　　　 D．a9
2．下列运算正确的是 ( )
　　A．a2·a3＝a4 　　　　　 B．(－a)4＝a4
　　　C．a2＋a3＝a5 　　　　　 D．(a2)3＝a5
3．已知x－3y＝－3，则5－x＋3y的值是 ( )
　　　A．0 　　 B．2 　　 C．5　　　　 D．8
4．若m＋n＝3，则2m2＋4mn＋2n2－6的值为 ( )
　 A．12 　 B．6 　　 C．3　　 D．0
　　5．如图15－4所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( )
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
6．下列各式中，与(a－b)2一定相等的是 ( )
A．a2＋2ab＋b2 B．a2－b2
C．a2＋b2　　 D．a2－2ab＋b0
　　7．已知x＋y＝－5，xy＝6，则x2＋y2的值为 ( )
A．1 B．13 C．17 D．25
8．下列从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A．ma＋mb－c＝m(a＋b)－c
B．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3
C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)
D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)
9．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )
A．－a2＋b2 B．－a2－b2 C．a2＋b2 D．a3－b3
10．如果(x－2)(x－3)＝x2＋px＋q，那么p，q的值是 ( )
A．p＝－5，q＝6 B．p＝1，q＝－6
C．p＝1，q＝6 　　 　D．p＝5，q＝－6
二、填空题(每小题3分，共30分)
　　11．已知10m＝2，10n＝3，则103m＋2n＝ ．
12．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是　　　　 ．
　　13．若a－b＝1，ab＝－2，则(a＋1)(b－1)＝ 　　　 ．
　　14．分解因式：2m3－8m＝　　 　 ．
　　15．已知y＝x－1，那么x2－2xy＋3y2－2的值为 ．
16．计算：5752×12－4252×12＝　 　　 ．
　　17．若(9n)2＝38，那么n＝　　　　　 ．
　　18．如果x2＋2kx＋81是一个完全平方式，那么k的值为 ．
19．多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方式，．那么加上的单项式是 ．(填一个你认为正确的即可)
20．如图15－5所示，摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要　　 　　枚棋子，摆第3个需　 　　枚棋子，按这种方式摆下去，摆第n个这样的“小屋子”需要 枚棋子．
三、解答题(第21小题6分，第22～24小题各8分，第25～26小题各15分，共60分)
　　21．化简．
　 (1)－(m－2n)＋5(m＋4n)－2(－4m－2n)；
　　　　(2)3(2x＋1)(2x－1)－4(3x＋2)(3x－2)；
　 　　 (3)20002－1999×2001．
　　22．分解因式．
(1)m2n(m－n)2－4mn(n－m)；
(2)(x＋y)2＋64－16(x＋y)．
　　23．已知a，b是有理数，试说明a2＋b2－2a－4b＋8的值是正数．
　　24．先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab，其中a＝2，b＝1．
　　25．(1)计算．
①(a－1)(a＋1)； ②(a－1)(a2＋a＋1)；
③(a－1)(a3＋a2＋a＋1)； ④(a－1)(a4＋a3＋a2＋a＋1)．
(2)根据(1)中的计算，你发现了什么规律 用字母表示出来．
(3)根据(2)中的结论，直接写出下题的结果．
①(a－1)(a9＋a8＋a7＋a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a＋1)＝ ；
②若(a－1)·M＝a15－1，则M＝ ；
③(a－b)(a5＋a4b＋a3b2＋a2b3＋ab4＋b5)＝ ；
④(2x－1)(16x4＋8x3＋4x2＋2x＋1)＝　 　　；
　　26．如图15－6所示，有一个形如四边形的点阵，第l层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，以此类推．
(1)填写下表；
层数 1 2 3 4 5 6
各层对应的点数
所有层的总点数
　　(2)写出第n层对应的点数；
　　(3)写出n层的四边形点阵的总点数；
　　(4)如果某一层共有96个点，你知道是第几层吗
(5)有没有一层点数为100
参考答案
1．B　
2．B[提示：选项A：a2·a3＝a5；选项C：a2和a3不能合并；选项D：(a2)3＝a6．]
3．D[提示：5－x＋3y＝5－(x－3y)＝5－(－3)＝8．]　
4．A［提示：2m2＋4mn＋2n2－6＝2(m＋n)2－6＝2×32－6＝12．]
5．C
6．D
7．B[提示：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝(－5)2－2×6＝13．]
8．D[提示：因式分解右边一定是积的形式．]　
9．A[提示：－a2＋b2＝b2－a2＝(b＋a)(b－a)．]
10．A[提示：∵(x－2)(x－3)＝x2＋px＋q，∴x2－5x＋6＝x2＋px＋q，∴p＝－5，q＝6．]
11．72[提示：103m＋2n＝103m·102n＝(10m)3×(10m)2＝23×32＝8×9＝72．]
12．9[提示：(x＋y)(x－y)＋y2＝x2－y2＋y2＝x2＝32＝9．]
13．－4[提示：(a＋1)(b－1)＝ab－a＋b－1＝ab－(a－b)－1＝－2－1－1＝－4．]
14．2m(m＋2)(m－2)
15．1[提示：∵，∴3y＝x－3，即x－3y＝3，∴x2－2xy＋3y2－2＝ (x2－6xy＋9y2)－2＝(x－3y)2－2＝×32－2＝1．]
16．1800000[提示：原式＝12×(5752－4252)＝12×(575＋425)(575－425)＝12×1000×150＝1800000．]
17．2[提示：(9n)2＝38，即34n＝38，∴4n＝8，∴n＝2．]
18．±9
19．6x[提示：答案不唯一，可以填±6x，－9x2，－1等．]
20．11 17 6n－1[提示：摆第一个屋子需5枚棋子，摆第2个比第一个多用6枚，用(5＋6)枚，以此类推．]
21．解：(1)－(m－2n)＋5(m＋4n)－2(－4m－2n)＝－m＋2n＋5m＋20n＋8m＋4＝12m＋26n． (2)3(2x＋1)(2x－1)－4(3x＋2)(3x－2)＝3(4x2－1)－4(9x2－4)＝12x2－3－36x2＋16＝－24x2＋13．　(3)20002－1999×2001＝20002－(2000－1)×(2000＋1)＝20002－(20002－1)＝1．
22．解：(1)原式＝m2n(m－n)2＋4mn(m－n)＝mn(m－n)[m(m－n)＋4]＝mn(m－n)(m2－mn＋4)． (2)原式＝(x＋y－8)2．
23．解：a2＋b2－2a－4b＋8＝(a2－2a＋1)＋(b2－4b＋4)＋3＝(a－1)2＋(b－2)2＋3．∵(a－1)2≥0，(b－2)2≥0，∴(a－1)2＋(b－2)2＋3＞0，∴a2＋b2－2a－4b＋8的值为正数． 24．解：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab＝a2－b2＋b2－2ab＝a2－2ab．当a＝2，b＝1时，原式＝22－2×2×1＝4－4＝0．
25．解：(1)①原式＝a2－1． ②原式＝a3－1． ③原式＝a4－1．　④原式＝a5－1． (2)(a－1)(an＋an－1＋an－2＋…＋a3＋a2＋a＋1)＝an＋1－1．　(3)①a10－1 ②a14＋a13＋a12＋a11＋…＋a3＋a2＋a＋1 ③a6－b6 ④32x5－1
26．解：(1)各层对应的点数依次为：4，8．12，16，20，24；所有层的总点数依次为：4，12，24，40，60．84． (2)4n． (3)2n(n＋1)． (4)第24层． (5)有，第25层．
整式的乘法
整式的乘除与因式公解
幂的运算法则
同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)
幂的乘方法则：(am)n＝amn(m，n是正整数)
积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)
单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分
别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则
连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式
的每一项，再把所得的积相加
多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数且m＞n)
零指数幂的意义：a0＝1(a≠0)
单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商
的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同
它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把
所得的商相加
乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2
整式的除法
因式分解
概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这
个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
方法
公式法
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
完全平方公式
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2第九章 不等式与不等式组
本章小结
小结1 本章概述
本章知识是在学习了一元一次方程(组)的基础上研究简单的不等关系的.教材首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集及解不等式的概念，然后具体研究了一元一次不等式的解、解集、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用等.通过具体实例渗透一元一次不等式与一元一次方程的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集、一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组的简单应用等．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题.
【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题．
小结3 中考透视
本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 不等式（组）的实际应用
【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可.
在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验.
例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.
(1)共有几种符合题意的购票方案 写出解答过程.
(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.
解: (1)由题意知购买B种船票(15-x)张.
根据题意,得
解得
因为x为正整数,所以满足条件的x为5或6.
所以共有两种购票方案.
方案一:购买A种票5张,B种票10张.
方案二:购买A种票6张,B种票9张.
(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元);
方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元).
因为4500元<4680元,所以方案一更省钱.
【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.
二、规律方法专题
专题2 求一元一次不等式（组）的特殊值
【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值.
例2 求不等式的非负整数解.
分析 先解不等式,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出非负整数解,求非负整数解时注意不要漏解.
解:解不等式,得x≤5.
所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0.
【解题策略】此题不能忽略0的答案.
专题3 一元一次不等式(组)中求参数的技巧
【专题解读】由已知不等式(组)的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围,常用的方法是先用解不等式(组)的方法解出含待定系数的不等式(组)的解集,再代入已给出的条件中,即可求出待定系数的值.
例3 已知关于x的不等式组的整数解共有3个,则b的取值范围是______.
分析 化简不等式组,得如图9-59所示,将其表示在数轴上,其整数解有3个,即为x=5,6,7.由图可知7≤b<8.故填7≤b<8.
例4 已知关于x的不等式(2-a)x>3的解集为,则a的取值范围是( )
A.a>0
B.a>2
C.a<0
D.a<2
分析 分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质3,可知2-a<0,即a>2.故选B.
三、思想方法专题
专题4 数形结合思想
【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.
例5 关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图9-60所示，则a的取值是（ ）
A．0
B．-3
C．-2
D．-1
分析 由图9-60可以看出，不等式的解集为x≤-1，而由不等式2x-a≤-1，解得x≤,所以=-1，解这个方程，得a=-1.故选D.
专题5 分类讨论思想
【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.
例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.
分析 本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题.
解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆.
根据题意得解得5≤x≤6.
因为x为整数,所以x=5或x=6.
故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.
方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.
（2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）.
方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元).
因为15400元<15600元,所以方案一最省钱.
答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.
【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆.
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011江苏无锡，2，3分）若a＞b，则（　　）
A．a＞﹣b B．a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．﹣2a＜﹣2b
考点：不等式的性质。
专题：应用题。
分析：由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，若能直接利用不等式性质的就用不等式性质．
解答：解：由于a、b的 取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，
A、例如a=0，b=﹣1，a＜﹣b，故此选项错误，
B、例如a=1，b=0，a＞﹣b，故此选项错误，
C、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a＜﹣2b，故此选项错误，
D、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a＜﹣2b，故此选项正确，
故选D．
点评：本题主要考查了不等式的基本性质，比较简单．
2. （2011南昌，7，3分）不等式8﹣2x＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. ( http: / / www.m / ) B. ( http: / / www.m / )
C. ( http: / / www.m / ) D. ( http: / / www.m / )
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式.
专题：计算题.
分析：先根据不等式的基本性质求出此不等式的解集，在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可．
解答：解：移项得，﹣2x＞﹣8，系数化为1得，x＜4．在数轴上表示为：
( http: / / www.m / ) 故选C．
点评：本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别．
3. （2011山东日照，6，3分）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（　　）
A．1＜a≤7 B．a≤7 C．a＜1或a≥7 D．a=7
考点：解一元一次不等式组；不等式的性质。
专题：计算题。
分析：求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的x，得到当a﹣1＞0时， ≥2，求出即可．
解答：解：解不等式2x＜4得：x＜2，
∴当a﹣1＞0时，x< QUOTE EMBED Equation.3 ，
∴ QUOTE EMBED Equation.3 ≥2，
∴1＜a≤7．
故选A．
点评：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．
4. 如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A、a+c＞b+c B、c-a＞c-b C、ac＞bc D、
考点：不等式的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．
解答：解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；
B，∵a＞b，
∴-a＜-b，
∴-a+c＜-b+c，
故此选项错误；
C，∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故此选项错误；
D，，∵a＞b，c＜0，
∴ ＜ ，
故此选项错误；
故选：A．
点评：此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关
5. （2011四川凉山，2，4分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得－2a＞－2b
C．由，得 D．由，得
考点：不等式的性质 ( javascript:void(0) )．
分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．
解答：解：A．由a＞b，得ac＞bc，当c＜0，不等号的方向改变．故此选项错误；
B．由a＞b，得－2a＜－2b，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选
项正确；
C．由a＞b，得－a＞－b，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
故此选项错误；
D．由a＞b，得a－2＜b－2，不等式两边同时减去一个数，不等号方向不改变，故此
选项错误．
故选B．
点评：此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6. ( cm )（2011 台湾13，4分）解不等式﹣x﹣3＞2，得其解的范围为何（　　）
A、x＜﹣25 B、x＞﹣25
C、x＜5 D、x＞5
考点：解一元一次不等式。
专题：计算题。
分析：首先去掉不等式中的分母，然后移项，合并同类项即可求解．
解答：解：∵﹣x﹣3＞2，
∴﹣x+15＞10，
∴x＜﹣25．
故选A．
点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
7. （2011台湾，18，4分）解不等式1－2x，得其解的范围为何（　　）
A． QUOTE EMBED Equation.3 B． C． D．
考点：解一元一次不等式。
专题：计算题。
分析：利用不等式的基本性质，把不等号右边的x移到左边，合并同类项即可求得原不等式的解集．
解答：解：移项得，－2x＋ QUOTE EMBED Equation.3 x≤ QUOTE EMBED Equation.3 －1，
合并同类项得－ QUOTE EMBED Equation.3 x≤－ QUOTE EMBED Equation.3 ，
解得x≥ QUOTE EMBED Equation.3 ．
故选A．
点评：解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
8. （2011湖北潜江，4，3分）某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（　　）
( http: / / www.m / )
A． B． C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集。
专题：探究型。
分析：先根据数轴上表示的不等式组的解集写出来，在对四个选项进行分析即可．
解答：解：由数轴上不等式解集的表示法可知，此不等式组的解集为—2≤x＜3，
A．不等式组的解集为—2≤x≤3，故本选项错误；
B．不等式组的解集为—2≤x＜3，故本选项正确；
C．不等式组的解集为—2＜x＜3，故本选项错误；
D．不等式组的解集为—2＜x≤3，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此题时要注意实心圆点与空心圆点的区别．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 河池）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 B、
C、 D、
考点：在数轴上表示不等式的解集。
专题：计算题。
分析：由图可得，x＞﹣1且x≤2，从而得出不等式的解集．
解答：解：根据图可得出﹣1＜x≤2，
故选D．
点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注大于向右画，小于向左画，包括这点用实心圆点，不包括这点用空心圆圈
10. （2011泰安，18，3分）不等式组的最小整数解为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．－1
考点：一元一次不等式组的整数解。
专题：计算题。
分析：首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值即可．
解答：解：解第一个不等式得：x＜3；
解第二个不等式得：x＞－1
故不等式组的解集是：－1＜x＜3．
故最小整数解是：0
故选：A．
点评：本题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11. （2011年山东省威海市，11，3分）如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是（　　）
A、m=2 B、m＞2 C、m＜2 D、m≥2
考点：解一元一次不等式组 ( javascript:void(0) )；不等式的解集 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：先解第一个不等式，再根据不等式组的解集是x＜2，从而得出关于m的不等式，解不等式即可．
解答：解：解第一个不等式得，x＜2，
∵不等式组的解集是x＜2，
∴m≥2，
故选D．
点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12. （2011山东淄博5，3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A.a﹣3＜b﹣3 B.﹣2a＞﹣2b C. D.a＞b﹣1
考点：不等式的性质。
分析：根据不等式的性质分别进行判断即可．
解答：解：∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3；﹣2a＜﹣2b；；a＞b＞b﹣1，
所以A、B、C选项都错误，D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向．
13. （2011四川凉山2，3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得－2a＞－2b
C．由，得 D．由，得
考点：不等式的性质 ( javascript:void(0) )．
分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．
解答：解：A．由a＞b，得ac＞bc，当c＜0，不等号的方向改变．故此选项错误；
B．由a＞b，得－2a＜－2b，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选
项正确；
C．由a＞b，得－a＞－b，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
故此选项错误；
D．由a＞b，得a－2＜b－2，不等式两边同时减去一个数，不等号方向不改变，故此
选项错误．
故选B．
点评：此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
14. （2011福建莆田，3，4分）已知点P（a,a-1）在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
考点：在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．
专题：计算题．
分析：由点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，可得 ，分别解出其解集，然后，取其公共部分，找到正确选项；
解答：解：∵点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，
∴，
解得，a＞1；
故选A．
点评：本题考查了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
15. （2011福建福州，6，4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / )
C． ( http: / / www.m / ) D． ( http: / / www.m / )
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
分析：分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集．
解答：解：解x+1≥﹣1得，x≥﹣2；解x＜1得x＜2；∴﹣2≤x＜2．故选D．
点评：本题考查了利用数轴表示不等式解集得方法．也考查了解不等式组的方法．
16. 2011广州，6，3分）若aA. abc<0 B. abc=0 C. abc>0 D. 无法确定
【考点】不等式的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据不等式是性质：①不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解答此题．
【解答】解：∵a＜c＜0＜b，
∴ac＞0（不等式两边乘以同一个负数c，不等号的方向改变），
∴abc＞0 （不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）．
故选C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
17. （2011广东省茂名，1，3分）不等式组 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的解集在数轴上正确表示的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题：存在型。
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
解答：解： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
由①得，x＜2，
由②得，x≥﹣3，
在数轴上表示为：
故选D．
点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别．
1. （2011广东深圳，9，3分）已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（　　）
A、a+c＞b+c B、c-a＜c-b C、 D、a2＞ab＞b2
考点：不等式的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；根据不等式的性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；利用不等式的3个性质进行分析．
解答：解：A，根据不等式的性质一，不等式两边同时加上c，不等号的方向不变，故此选项正确；
B，∵a＞b，∴-a＜-b，∴-a+c＜-b+c，故此选项正确；C，∵c≠0，∴c2＞0，∵a＞b．∴ ，
故此选项正确；D，∵a＞b，a不知正数还是负数，∴a2，与ab，的大小不能确定，故此选项错误；
故选：D
点评：此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是做题的关键，此题比较基础．
18.（2011广西来宾，8，3分）不等式组的解集可表示为（ ）
A B
C D
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：首先解出不等式组x的取值范围，然后根据x的取值范围，找出正确答案；
解答：解：不等式组 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
解得，﹣1≤x＜2．
故选B．
点评：本题考查了不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19 （2011杭州，9，3分）若a+b=-2，且a≥2b，则（　　）
A、 ba有最小值 12　　 　B、 ba有最大值1
C、 ab有最大值2　　 　D、 ab有最小值 -89
考点：不等式的性质 ( http: / / www.m / math / ques / detail / a69be8d1-69de-413c-82ae-49b10062b26a )．
专题：计算题 ( http: / / www.m / math / ques / detail / a69be8d1-69de-413c-82ae-49b10062b26a )．
分析：由已知条件，根据不等式的性质求得b≤ ＜0和a≥；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和②当a＞0时，≤，有最大值是②当≤a＜0时，≥；据此作出选择即可．
解答：解：∵a+b=-2，
∴a=-b-2，b=-2-a，
又∵a≥2b，
∴-b-2≥2b，a≥-4-2a，
移项，得
-3b≥2，3a≥-4，
∴b≤ ＜0（不等式的两边同时除以-3，不等号的方向发生改变）；
a≥；
由a≥2b，得≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；
A．当a＞0时，≤，有最大值是，；故本选项错误；
B．当≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；
C．.∴有最大值2；故本选项正确；
D．∴无最小值；故本选项错误．
故选C．
点评：主要考查了不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
20. （2011浙江台州，6，4分）不等式组的解集是（　　）
A．x≥3 B．x≤6 C．3≤x≤6 D．x≥6
考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．
专题：计算题．
分析：根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出即可．
解答：解： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，由①得：x≤6，由②得：x≥3，
∴不等式组的解集是：3≤x≤6．故选C．
点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
21. （2011梧州，8，3分）不等式组的解集在数轴上表示为如图，则原不等式组的解集为（　　） ( http: / / www.m / )
A、x＜2 B、x＜3 C、x≤3 D、x≤2
考点：在数轴上表示不等式的解集。
专题：探究型。
分析：根据数轴上不等式解集的表示方法进行解答即可．
解答：解：∵由数轴上不等式解集的表示方法可知，不等式组中两不等式的解集分别为：x≤3，x＜2，
∴原不等式组的解集为：x＜2．
故选A．
点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
22. ( cm )（2011年湖南省湘潭市，3，3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A、 B、
C D、
考点：在数轴上表示不等式的解集 ( javascript:void(0) )；解一元一次不等式组 ( javascript:void(0) )．
专题：存在型 ( javascript:void(0) )．
分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可．
解答：解：不等式组在数轴上表示为：
故选A．
点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
23. ( cm )（2011巴彦淖尔，4，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：先解不等式组得到﹣2＜x≤2，然后观察在数轴上的表示即可得到答案．
解答：解：解x+2＞0得，x＞﹣2，
解x﹣2≤0得，x≤2，
∴﹣2＜x≤2．
故选B．
点评：本题考查了在数轴上表示不等式组解集的方法和数形结合的思想的运用．也考查了解一元一次不等式组．
二、填空题
1. （2011 柳州）不等式组的解集是　1＜x＜2　．
考点：解一元一次不等式组。
分析：首先分别解两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，写出公共解集即可．
解答：解：，
由①得：x＜2，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜2，
故答案为：1＜x＜2．
点评：此题主要考查了不等式组的解法，关键是正确解不等式，再根据口诀取出公共解集．
2. （2011 郴州）不等式组的解集是　1＜x＜3　．
考点：解一元一次不等式组。
分析：首先解不等式组中的每一个不等式，然后求出不等式组的解集即可．
解答：解：，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3，
点评：此题主要考查了不等式组的解法，关键是解集的确定：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着．
3. （2011四川眉山，18，3分）关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是　6≤a＜9　．
考点：一元一次不等式的整数解。
专题：计算题。
分析：解不等式得x≤ QUOTE EMBED Equation.3 ，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断 QUOTE EMBED Equation.3 的取值范围，求出a的职权范围．
解答：解：原不等式解得x≤ QUOTE EMBED Equation.3 ，
∵解集中只有两个正整数解，
可知是1，2，
∴2≤ QUOTE EMBED Equation.3 ＜3，
解得6≤a＜9．
故答案为：6≤a＜9．
点评：本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
三、解答题
1. （2011新疆建设兵团，16，6分）解不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs3\al(5x－9＜3(x－1),1－x≤x－1))，并将解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
专题：计算题．
分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解答：解： eq \b\lc\{(\a\vs3\al(5x－9＜3(x－1)①,1－x≤x－1②))，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集是1≤x＜3，
把不等式组的解集在数轴上表示为：．
点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
2. （2010重庆，18，6分）解不等式2x－3＜，并把解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
解答：解：3（2x﹣3）＜x+1
6x﹣9＜x+1
5x＜10
x＜2
∴原不等式的解集为x＜2，
在数轴上表示为：
点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错
3. （2011浙江衢州，18，6分）解不等式 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，并把解在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据不等式的性质得到得3（x﹣1）≤1+x，推出2x≤4，即可求出不等式的解集．
解答：解：去分母，得3（x﹣1）≤1+x，
整理，得2x≤4，
∴x≤2．
在数轴上表示为：．
点评：本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．在方程组中，若未知数x,y满足x+y>0，则m的取值范围在数轴上的表示是图9-61中的（ ）
2．已知关于x的不等式（1-a）x>2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a>0
B．a>1
C．a<0
D．a<1
3．如果不等式组的解集是x>-1，那么m的值是（ ）
A．1
B．3
C．-1
D．-3
4．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有（ ）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
5．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤-1
B．a≥2
C．-1D．a<-1，或a>2
6.函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x>-2
B．x≥-2
C．x≠-2
D．x≤-2
7.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．13cm
B．6cm
C．5cm
D．4cm
8.如果aA．ab>0
B．a+b<0
C．<0
D．a-b<0
9.不等式3-2x≤7的解集是（ ）
A．x≥-2
B．x≤-2
C．x≤-5
D．x≥-5
10．若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A．x>-1
B．a≥-1
C．a≤1
D．a<1
二、填空题
11．若a12.当a<5时,不等式的解集是________.
13.不等式组的解集是_________.
14．如果一元一次不等式组的解集为x>3，那么a的取值范围是______.
15.已知一元一次方程3x-m+1=2x-1的根是负数，那么m的取值范围是________.
16．若代数式的值不小于的值，则x的取值范围是________.
17．不等式组的所有整数解的和是________.
18．若关于x的不等式组的解集为x<2，则a的取值范围是_________.
三、解答题
19．解不等式5x-12≤2(4x-3).
20．解下列不等式（组）.
（1）;
（2）；
（3）
（4）.
21．已知方程组的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围.
22．已知正整数x满足，求代数式的值.
23．若干名学生合影留念，照相费为2.85元（含两张照片）.若想另外加洗一张照片,则又需收费0.48元,预定每人平均交钱不超过1元,并都能分到一张照片,则参加照相的至少有几名学生
24.星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，且20元钱刚好用完.
(1)有几种购买方式 每种方式可乐和奶茶各买多少杯
(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时,有几种购买方式
25.据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度.（本题计算结果精确到个位）
（1）预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人；
（2）为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.
26．迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.
(1)某校九年级(一)班课外活动小组承接了这个园林造型搭配方案的设计,则符合题意的搭配方案有几种 请你帮助设计出来;
(2)若搭配一个A种造型的成本是800元,搭配一个B种造型的成本是960元,试说明(1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元
参考答案
1.B
2.B[提示:根据题意,由不等式两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,得1-a<0,即a>1.]
3.D
4.D
5.B[提示:若不等式组中各不等式的解集无公共部分,则原不等式组的解集是空集.]
6.B
7.B.
8.C
9.A
10.A
11.空集
12.
13.x>2
14.a≤3
15.m<2
16.[提示:根据题意,得,解得.]
17.3
18.a≤-2
19.x≥-2
20.(1)x≤10. (2)x≤-11. (3)x>0. (4)
21.-222.提示:x=1,
23.解:设参加照相的有x名学生,根据题意,得2.85+(x-2)×0.48≤1×x,所以,即至少有4名学生参加照相.答:参加照相的至少有4名学生.
24.解:(1)设买可乐、奶茶分别为x杯、y杯，根据题意得2x+3y=20（且x,y均为自然数），∴，解得∴y=0,1,2,3,4,5,6.代入2x+3y=20,并检验，得所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为:（亦可直接用列举法求得）10，0；7，2；4，4；1，6.（2）根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时，即y≥2且x+y≥8，由（1）可知有两种购买方式.
25．解（1）（人）.（2）设平均每年耕地总面积增加x亩.则有.
26．（1）解：设搭配A种造型x个，则B种造型为(50-x)个，依题意，得解得∴31≤x≤33.∵x是整数，∴x可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.（2）解法1：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本，所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×800+17×960=42720（元）.解法2：方案①需成本31×800+19×960=43040（元），方案②需成本32×800+18×960=42880（元），方案③需成本33×800+17×960=42720（元），∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元.
-1
4
3
2
1
0
-2
-3
-4
18题图
-1
4
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-3
-4第十二章　轴对称
本章小结
小结1 本章概述
本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定．
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容．本章内容是上一章内容的继续．又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要．本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】
1．轴对称的概念和性质和判定．
2．等腰(或等边)三角形的性质和判定．
【本章难点】1．利用轴对称的性质进行图案设计．
2．书写推理证明过程．
小结3 学法指导
1．注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程．
2．注意知识间的联系．图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系．
3．注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用．
知识网络结构图
专题总结及应用
　　一、知识性专题
专题1　轴对称及轴对称图形
【专题解读】　此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质．
例1 如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为 ( )
分析　本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形．故选C．
规律·方法　判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合．
专题2　利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案
【专题解读】 利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．
例2　如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．
解：如图12－114②所示．
【解题策略】 先作出特殊点的对称点，然后连接即可．
专题3　等腰三角形的性质和判定
【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查．
例3　如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．
分析　本题综合考查等腰三角形的性质和判定．由于AB＝AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题．
证明：连接BC，
　　　∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等边对等角)．
　　　 又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．
　　　 ∴BF＝CF(等角对等边)．
【解题策略】 本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF＝CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦．
专题4 等边三角形的性质和判定
【专题解读】　等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．
例4　如图12－116所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，若将△ADC沿直线AD折叠，则C点落在点E的位置上，求BE的长．
分析　本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质．
解：由折叠得∠ADE＝∠ADC＝60°，CD＝DE．
　　 又∵BD＝DC，∴DE＝BD．
　　 ∵∠ADE＝∠ADC＝60°，
　　 ∴∠BDE＝180°－60°－60°＝60°．
　　 ∴△BDE为等边三角形．
　　 ∴BE＝BD＝BC＝2．
【解题策略】　本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法．
专题5 含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用
【专题解读】 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系．
例5　如图12－117所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D．求证BE＝3AD．
分析　本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．
　　　又∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
　　　∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°．
　　　 ∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝120°－90°＝30°．∴∠B＝∠BAD．
　　　 ∴BD＝AD(等角对等边)．
　　　在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD．
　　　∴BC＝BD＋CD＝AD＋2AD＝3AD．
　　二、规律方法专题
　　专题6　正确作辅助线解决问题
【专题解读】 本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论．
例6　如图12－118所示，∠B＝90°，AD＝AB＝BC，DE⊥AC．求证BF＝DC．
证明：连接AE．
　　　∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°．
　　　又∵∠B＝90°．
　　　 ∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE＝ED．
　 ∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C．
又∵∠B＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°．
∴∠C＝45°．
∵∠EDC＝90°，∴∠C＝∠DEC＝45°．
∴DE＝DC，∴BE＝DC．
例7　如图12－119所示，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于G．求证EG＝FG．
证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，
则∠EMB＝∠ACB，∠MEG＝∠F．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠EMB，∴EB＝EM．
又∵BE＝CF，∴EM＝FC．
在△MEG和△CFG中，
∴△MEG≌△CFG(AAS)．
∴EG＝FG．
　　三、思想方法专题
专题7　分类讨论思想
【专题解读】　本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．
例8　已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13 cm和15 cm两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．
分析 这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13 cm和15 cm两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可．
解：如图12－120所示，AB＝AC，D为AC的中点，
所以AD＝CD，
由题意知或
解得AB＝AC＝，BC＝或AB＝AC＝10，BC＝8．
即此等腰三角形的腰长与底边长分别为cm，cm或10 cm，8 cm．
规律·方法　本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形．也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整．
专题8　数形结合思想
【专题解读】　数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．
例9 (开放题) 如图12－121所示，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需添加的条件是 　　．
分析 从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外还可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．
例10 (探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个
分析　以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况．
解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况．当O作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形． (2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形．
所以这样的等腰三角形能画4个．如图12－123所示．
例11 (动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．
分析　在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形．
解：如图12－124②③④⑤所示均符合要求．
2011中考真题精选
1. （2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解，只要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，既是轴对称图形．
解答：解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形．
故选：D．
点评：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. （2011 南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析
解答：解：A项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，C项为中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确，
D项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误故答案选择C．
点评：本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义
3. （2011江苏无锡，6，3分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形。
专题：数形结合。
分析：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
解答：解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故不符合题意；
D、图象关于对角线所在的直线不对称；故符合题意；
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4. （2011山西，6，2分）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）
考点：轴对称
专题：操作题 图形变换
分析：由图案的对称性进行想象，或动手操作一下都可．
解答：A
点评：动手折一折，动脑想一想．不难得出答案．
5. （2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角 ②平行四边形 ③扇形 ④正方形，其中轴对称图形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
6. ( cm )（2011 台湾4，4分）下列有一面国旗是轴对称图形，根据选项中的图形，判断此国旗为何（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：轴对称图形。
专题：常规题型。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查轴对称图形，注意掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7. （2011 台湾26，4分）如图1，将某四边形纸片ABCD的AB向BC方向折过去（其中AB＜BC），使得A点落在BC上，展开后出现折线BD，如图2．将B点折向D，使得B、D两点重迭，如图3，展开后出现折线CE，如图4．根据图4，判断下列关系何者正确？（　　）
A、AD∥BC B、AB∥CD
C、∠ADB=∠BDC D、∠ADB＞∠BDC
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：操作型。
分析：由A点落在BC上，折线为BD，根据折叠的性质得到∠ABD=∠CBD，又B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，再根据折叠的性质得到CD=CB，然后转化为角相等，这样就有∠ABD=∠CDB，根据平行线的判定定理即可得到B正确．
解答：解：∵A点落在BC上，折线为BD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，即选项B正确．
故选B．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠后重叠的两部分图形全等．也考查了动手能力和空间想象能力．
8. （2011湖北荆州，2，3分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
考点：轴对称图形 ( javascript:void(0) )．
分析：根据轴对称图形的定义1得出，图形沿一条直线对着，分成的两部分完全重合及是轴对称图形，分别判断得出即可．
解答：解：根据图象，以及轴对称图形的定义可得，
第1，2，4个图形是轴对称图形，第3个是中心对称图形，
故选：C．
点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形形状是解决问题的关键．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 柳州）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（　　）
A、三角形 B、四边形
C、五边形 D、正六边形
考点：轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答：解：只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
10. （2011 郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
11. （2011山东青岛，4，3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．
点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
12. （2011泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（　　）
( http: / / www.m / )
A． QUOTE EMBED Equation.3 B． QUOTE EMBED Equation.3 C． QUOTE EMBED Equation.3 D．6
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC＝CD，BE＝DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3 QUOTE EMBED Equation.3 ，
在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3 QUOTE EMBED Equation.3 －x，
AE2＝AO2＋OE2，即（3－x）2＝（3）2＋32，解得x＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，
∴AE＝EC＝3－＝2．
故选A．
点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13. （2011山东省潍坊， 4，3分）如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑．得到新的图形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是( )
【考点】轴对称图形．
【分析】本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
【解答】解：A∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
C、∵绕某一点旋转180°以后，能够与原图形重合
∴它是轴对称图形
D、根据轴对称定义
它不是轴对称图形
故选D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键．
2011四川达州，2，3分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
解答：解：A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
点评：本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
14. （2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角 ②平行四边形 ③扇形 ④正方形，其中轴对称图形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
15. 2011四川泸州，11，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（　　）
A. B.－5 C.10－ D.5+
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，设所求的EC为x，则CD=0.5x，BD=BE= x，根据BC=5列式求值即可．
解答：解：作ED⊥BC于D，设所求的EC为x，则CD=x，BD=BE=x，
∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，∴BC=AC×cosC=5，
∵CD+BD=5，∴CE=－5，故选B．
点评：考查翻折变换问题；构造出含30°及含45°的直角三角形是解决本题的突破点．
16. 在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（　　）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】C
【考点】轴对称图形 ( javascript:void(0) )．
【专题】几何图形问题 ( javascript:void(0) )．
【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【解答】解：扇形是轴对称图形，符合题意；等腰梯形是轴对称图形，符合题意；
菱形是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，故不符合题意．
共3个轴对称图形．故选C．
【点评】考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
17. ( cm ) 窗体底端
12、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（　　）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】翻折变换（折叠问题） ( javascript:void(0) )；坐标与图形性质 ( javascript:void(0) )．
【专题】计算题 ( javascript:void(0) )；综合题 ( javascript:void(0) )．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x=，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3-，∴ ，即 ，
∴DF=，AF=，
∴OF= -1= ，
∴D的坐标为（- ， ）．故选A．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
综合验收评估测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图12－125所示的四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是( )
一 日 千 里
A B C D
图12 - 125
　　2．如图12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是 ( )
　　 A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝CE D．AD＝EC
　　3．如图12－127所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为 ( )
　　　 A．6 B．5 C．4 D．3
　　4．点P(3，－5)关于x轴对称的点的坐标为 ( )
A．(－3，－5) B．(5，3) C．(－3，5) D．(3，5)
　　5．如图12－128所示，△ABC与△A′B′C′关于直线，对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为 ( )
A．48° B．54° C．74° D．78°
　　6．如图12－129所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC的三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
7．如图12－130所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是图12－131中的( )
　　8．如图12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( )
　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
　　9．如图12－133所示，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为 ( )
　　 A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于 ( )
　 A．90° B．75°
C．70° D．60°
　二、填空题(每小题3分，共30分)
　　11．等腰三角形ABC的两边长为2和5．则第三边长为 　 　 ．
12．如图12－135所示，镜子中的号码实际是　　 ．
　　13．如图12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝ 　　 °．
　　14．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于　　　 ．
　　15．如图12－137所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为　 　 度．
　　16．若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°．则这个三角形的顶角为 　　　 ．
　　17．等边三角形是轴对称图形，它有 　　 条对称轴．
　　18．(1)若等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为　 　　　．
　 (2)若等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为 　　　 ．
19．如图12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝3，则点D到AB的距离为 　　　 ．
　　20．如图12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE＝a，则△BDE的周长是 ．
　　三、解答题(每小题10分．共60分)
21．如图12－140所示，有分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A，B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1，l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹)．
22．如图12－141所示，∠BAC＝∠ABD．
　 (1)要使OC＝OD，可以添加的条件为 或 ；(写出2个符合题意的条件即可)
(2)请选择(1)中你所添加的一个条件．证明OC＝OD．
23．如图12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，AE＝AF，AD是BC边上的高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
　　24．如图12－143所示，△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由．
25．如图12－144所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，航行到C处时，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．
26．如图12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF＝FC．为什么
参考答案
1．C　
2．B[提示：由折叠知∠BED＝∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，所以AD＝DE．]　
3．B[提示：由CD是AB的垂直平分线可知PB＝PA＝5．]　
4．D[提示：两点关于x轴对称，则两点坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标相反．]
5．B[提示：由△ABC和△A′B′C′关于l对称，可知∠C＝∠C′＝48°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°．]　
6．C[提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．]
7．D[提示：按要求动手操作即可．]　
8．A[提示：有△BCE，△DEC，△ABD，△BCD和△ABC．]
9．C[提示：以O为圆心，OA为半径画圆与x轴有两个交点，以A为圆心，OA为半径画圆与x轴又交于一个与O不重合的一个点，作线段OA的垂直平分线与x轴交于一点，这四点都能使△POA为等腰三角形．]
10．D[提示：∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝30°．∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠ECD＝45°．∵DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝45°，∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°．∵DE＝EF，∴∠DEF＝60°．]
11．5[提示：由于2＋2＜5，所以2只能作底边长，5作腰长．]
12．3265
13．50[提示：由DE是AC的垂直平分线，可知EA＝EC，所以∠ECA＝∠A＝∠30°，又因为∠ACB＝80°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝80°－30°＝50°．]　
14．72°或　
15．125[提示：由折叠可知∠BEF＝∠DEF，BE∥C′F，由∠BAD＝90°，∠ABE＝20°，可得∠AEB＝70°，所以∠BEF＝∠DEF＝(180°－∠AEB)×＝(180°－70°)×＝55°．由BE∥C′F得∠FEB＋∠EFC′＝180°，所以∠EFC′＝180°－∠BEF＝180°－55°＝125°．]
16．70°[提示：底角＝90°－35°＝55°，∴顶角为180°－55°×2＝70°．]
17．3
18．(1)25°，25° (2)55°，55°或70°，40°[提示：(1)130°为顶角，底角为＝25°．(2)①若70°为顶角，则其余两角为55°，55°；②若70°为底角，则其余两角为40°，70°．]
19．3[提示：过D作DE⊥AB于E，∵AD为∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3．]
20．12＋2a[提示：△BED为等腰三角形，BE＋ED＝2a，△ABC的边长为＝8，△ECD为等腰三角形，CD＝EC＝4．∴△BDE的周长为4＋8＋2a＝12＋2a．]　
21．解：点P是∠AOB的平分线和线段AB的垂直平分线的交点(如图12－146所示)．
22．(1)提示：答案不唯一．如∠C＝∠D或∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC或AC＝BD都可以． (2)提示：答案不唯一，以AC＝BD为例．证明如下：∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．又∵AC＝BD，∴AC－OA＝BD－OB，∴OC＝OD．
23．解：EF与BC的位置关系是：EF⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC．又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AFE＝∠BAC．∴∠BAD＝∠AFE．∴EF∥AD．又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC．
24．提示：图略．欲使△ENF的周长最小，即EN＋NF＋EF最小，而EN为定长，则必有NF＋EF最小，又点F在AB上，且E，N在AB的同侧．由轴对称的性质，可作点E关于直线AB的对称点E′，连接E′N，与AB的交点即为点F，此时，FE＋FN最小，即△EFN的周长最小．
25．解：∵∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∠BCD＝∠BAC＋∠CBA，∴60°＝30°＋∠CBA，∴∠CBA＝30°．∴∠BAC＝∠CBA．∴CA＝CB．又∵∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形．∴CD＝BC．∴AC＝CD＝BC．又∵BC＝20海里，∴AC＝CD＝20海里．∴20÷10＝2(时)，40÷10＝4(时)．∴轮船到达C处的时间是13：30，即下午1时30分．轮船到达D处的时间是15：30，即下午3时30分．
26．解：如图12－147所示．∵BD＝BE，∴∠E＝∠1．又∵∠ABC＝∠E＋∠1＝2∠1，且∠ABC＝2∠C，∴2∠1＝2∠C，∴∠1＝∠C．又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2．∴FD＝FC．又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠C．
∴∠3＝∠4．∴AF＝FD．∴AF＝FC．
轴对称
轴对称图形
(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴
①两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段
(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等
②对称轴垂直平分连接对应点的线段
(2)性质
(3)垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫
做这条线段的垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等
判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段
的垂直平分线上
作轴对称图形
用坐标表示轴对称
轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换
P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为P′(x，－y)
P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为P″(－x，y)
性质
等腰三角形
定义：有两条边相等的三角形．叫做等腰三角形
(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互
重合(三线合一)
（向上对折）图（1）
图（3）
（向右对折）图（2）
图（4）
（第6题）第二十七章 相似
本章小结
小结1 本章概述
本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．
【本章难点】 通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．
【学习本章应注意的问题】
通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．
小结3 中考透视
图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．
相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 比例线段
【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．
例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
(1)求证；
(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．
分析 利用△CDE∽△CAB，可证明．
证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，∴.
解：(2)∵AE＝8，OC＝12，
∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．
又∵，
∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．
连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12，
∴8＜BC＜16．
【解题策略】 将证转化为证明△CDE∽△CAB.
专题2 乘积式或比例式的证明
【专题解读】 证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证，可设法证，，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证．
分析 欲证，可将其分成三个比例式，，，再将三式相乘即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了．
证明：延长FG交AB于K，连接DK，
∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，∴EF＝CF．
∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，
∴Rt△FDC≌Rt△EKF，
∴KF＝DC，∠3＝∠4，
∴四边形KFCD是平行四边形，∴∠2＝∠5，
∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，
∴DK⊥AB，
∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，
∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴．①
∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴．②
在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．
又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴．③
由①×②×③，得．
例3 如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证.
分析 原式等价于＝1，也就是，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证即可．
证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x
作CE平分∠BCA，交AB于E，
在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x，
又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE，
又∵DE＝EC，∴AD＝CE．
在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x，
∴△ABC∽△ACE，∴，
即，
∴,∴=1
即.
二、规律方法专题
专题3：相似三角形的性质
【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．
例4 如图27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC，，DE＝4 cm，则BC的长为 ( )
A．8 cm B．12 cm
C．11 cm D．10 cm
分析 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，．因为，所以,所以．因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B.
例5 如图27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长．
分析 (1)由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝∠ABC，可求∠EDB．(2)由DE∥BC，得△ADE△ACB，则，再证出BE＝DE，可求DE．
解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠EDB＝40°．
(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，
∴.
∴，∴DE=6 cm
【解题策略】 将比例式中的AE转化为AB－DE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解．
例6 如图27－101所示，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证△ABC∽△FDE．
分析 由已知可证∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，从而可证△ABC∽△FDE．
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，
∴△ABC∽△FDE．
例7 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD．
分析 由矩形的性质可知∠BAD＝∠D＝90°，再由BF⊥AE可证∠AFB＝∠D和∠DAE＝∠FBA，从而证明△ABF∽△EAD．
证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°，
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°．
又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
∴△ABF∽△EAD，
三、思想方法专题
专题4 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．
例8 在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条．
分析 如图27－103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DF∥BC，或作∠CDH＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．
专题5 建模思想
【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．
例9 如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CD＝a，由此他知道A，B间的距离是( )
A．a B．2a C．a D．3a
分析 ∵D，C分别为OB，OA的中点，∴CD是△ABO的中位线，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2a．故选D．
【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决．
例10 如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1．6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长．
解：因为CD⊥FB，AB⊥FB，所以CD∥AB，
所以△CGE∽△AHE，所以，
即，
所以，解得AH＝11．9，
所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5(m)．
故旗杆AB的高度为13．5 m．
专题6 转化思想
【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．
例11 如图27－106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F．求证BO2＝OF·OE．
分析 要证BO2＝OF·OE，只需证，而OB，OE，OF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF∽△COB和△AOB∽△COE，即有，，从而得证．
证明：在ABCD中，AB∥CE，AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，△AOB∽△COE，
∴，，
∴，
∴OB2＝OF·OE．
例12 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为 ( )
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
分析 由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比为2，则，所以S△DEF＝＝3，△DEF的周长为＝8．故选A．
例13 已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
分析 利用相似三角形的性质求解．故填2：5．
例14 已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，则AB：A′B′＝ ．
分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，得AB：A′B′＝1：.故填1：.
2011中考真题精选
1. （2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（　　）
考点：相似图形
分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
解答：解：∵图中的箭头要缩小到原来的，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的；
选项B箭头大小不变；选项C箭头扩大；选项D的长缩小、而宽没变．故选A．
点评：本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2. （2011，台湾省，22,5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（　　）
舞蹈社 溜冰社 魔術社
上學期 3 4 5
下學期 4 3 2
A、舞蹈社不变，溜冰社减少 B、舞蹈社不变，溜冰社不变
C、舞蹈社增加，溜冰社减少 D、舞蹈社增加，溜冰社不变
考点：比例的性质。
专题：计算题。
分析：若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．
解答：解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：
舞蹈社 溜冰社 魔術社
上學期 = = =
下學期 = = =
∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选D．
点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积．
3. （2011，台湾省，33,5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（　　）
( http: / / www.m / )
A、1：2 B、2：3
C、2：5 D、4：9
考点：相似多边形的性质。
分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．
解答：解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3
∴AD：EF=EF：BC=2：3 AD：EF：BC=4：6：9
∴AD：BC=4：9．
故选D．
点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键．
4. （2011贵州毕节，7，3分）两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( )
A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm
考点：相似多边形的性质。
分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解答：解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．
点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60 ，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P。
①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心．
分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）①首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可 为定值2．
解答：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE= CD，OF= BC，AO= AD，
∴0E=OF=OA，
∴点O即为△AEF的外心．
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
② 为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△NDM，
∴ ，
∴ ，
∴x+y=2xy，
∴ + =2，
即 =2
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应
（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）.
分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；
解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，
设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，
∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），
∴△ABF的周长为14+10=24cm；
（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；
证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，∴=，∴AE2=AO AP，
∵四边形AECF是菱形，∴AO=AC，∴AE2=AC AP，∴2AE2=AC AP．
点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
（2011湖南益阳,21,12分）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由（2）的结论得==2，即CN= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AC，同理，得AM= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AC，可证AM=MN=NC；
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．
解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．　（1分）
∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，
∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）
（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
证明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比为：= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =2；（6分）
（3）由（2）得==2，
∴CN= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AN= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AC，（8分）
同理AM= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AC，
∴AM=MN=NC．（9分）
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 CD= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∴DF=== QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；　（11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 = QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，DF=，
∴BD=== QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．（12分）
点评：本题考查了相似三角形．全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用．关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题．
（2011 江西，25，10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在　 　个、　 　个、　 　个大小不同的内接正方形．
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．
( http: / / www.m / )
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。
分析：（1）分别画一下即可得出答案；
（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．
（3）先判断，再举一个例子：设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．
解答：解：（1）1，2，3．（3分）
（2）乙同学的结果不正确．（4分）
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．
如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．
设它的边长为a，则依题意可得：，∴，
如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．
设它的边长为b，则依题意可得：，∴．
∴a＞b．（7分）
（3）丙同学的结论正确．
设△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.
依题意可得：， ∴.同理 .
=
=
=
又∵， ∴，
∴，即.
∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. (10分)
( http: / / www.m / )
点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键．
（2011年江西省，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= 22.5度；
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= 2θ，θ2= 3θ，θ3= 4θ（用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
考点：相似三角形的判定与性质 ( javascript:void(0) )；一元一次不等式组的应用 ( javascript:void(0) )；平行线的判定与性质 ( javascript:void(0) )；勾股定理 ( javascript:void(0) )；等腰直角三角形 ( javascript:void(0) )．
专题：规律型 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）本题需先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）本题需先根据已知条件AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，得出A2A3和AA3的值，判断出A1A2∥A3A4、A3A4∥A5A6，即可求出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A，从而此时a2，a3的值和出an．
（3）本题需先根据A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值．
（4）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．
解答：解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
（2）①∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°
∴∠AA2A1+∠θ=45°
∵∠AA2A1=∠θ
∴∠θ=22.5°
②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3
∴A2A3= ，AA3=1+
又∵A2A3⊥A3A4
A1A2∥A3A4
同理；A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5
∴AA3A3A4，AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
a3═AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=
∴a3=A5A6=AA5=a2 +a2=
∴an=
（3）∵A1A2=AA1
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ
∴θ1=2θ
同理可得：θ2=3θ θ3=4
（4）由题意得：
∴15°＜θ≤18°。
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．要做甲、乙两个形状相同(相似)．的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有 ( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．如图27－107所示，在△ABC中，已知∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为 ( )
A. B．7 C． D.
3．如图27－108所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，若△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为 ( )
A．2 cm2 B．3 cm2 C．4 cm2 D．6 cm2
4．厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石，如图27—109所示，其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石与白色大理石的面积比为 ( )
A．1：4 B．4：1 C．1：3 D．3：4
5．如图27－110所示，D是△ABC的边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于E，若AD： DB＝2：3，则S△ADE：S四边形BCED等于 ( )
A．2：3 B．4：9 C．4；5 D．4：21
6．如图27－111所示，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于 ( )
A．1：1 B．2：1 C．1： D．3：2
7．△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为 ( )
A. B． C. D．
8．如图27－112所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE＝S四边形BDEC，则DE：BC等于( )
A．1:2 B．：2 C．1：4 D．2：3
9．如图27－113所示，在ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB等于 ( )
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
10．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样条件的直线最多有 ( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
二、填空题
11．如图27－114所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若AD＝3.2，DB＝2.4，AE＝2.8，则AC＝ ．
12．一根2米长的竹竿直立在操场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17．6米，则旗杆高 米．
13．若△ABC∽△A′B′C′，AC＝5，A′C′＝8，则 S△ABC：S△A′B′C′
= ．
14．已知两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和4 cm，如果它们的面积和为50 cm2，则较大多边形的面积为 cm2．
15．若一个多边形在图上的面积为4 cm2，比例尺为1：1000，则该多边形的实际面积为 m2．
16．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，△ABC的周长为54 cm，若△DEF的三边长之比为2：3：4，则△DEF的最短边长为 cm．
三、解答题
17．如图27－115所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，在AB上找一点E，使得△ADE与原三角形相似，这样的点E有几个 求出AE的长．
18．如图27－116所示，已知在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝20，点M分BC为BM：MC＝1：2，DE⊥AM于点E，求DE的长．
19．如图27－117所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E，求DE的长．
20．如图27－118所示，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，BC＝6，BD⊥AC于D，AE⊥BC于E，求CD的长．
21．如图27－119所示，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若AD＝10，BD＝5，求CD的长．
22．如图27－120所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四边形BCED＝1：3，求AD：DB．
23．在Rt△ABC中，CD为斜边上的高，试确定AC是哪两条线段的比例中项，用比例式或等积式写出你的结论，并加以证明．
24．如图27－121所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，EF⊥CE交AD于F．
(1)求证△AEF∽△BCE；
(2)求证.
25．如图27－122所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．
(1)当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；
(2)过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，试判断四边形AEDC是什么四边形．
26．如图27－123所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上，点Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形 若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C[提示：由题意知两个三角形相似，三角形乙中20 cm的边可以和三角形甲中的三边任何一边是对应边，所以符合条件的三角形共有3种．]
2．C[提示：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴BC＝.故选C．]
3．B[提示：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，∴．∴S△ADE＝3．故选B.]
4．C[提示：由题意得被分割成的4个小三角形的面积相等，所以黑色大理石与白色大理石的面积比为1：3．]
5．D[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴.故选D.]
6.B[提示：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△HFE∽△HBC，∴，∴.∵AE=EC，∴,∴AH：HE＝2：1．]
7．A[提示：∵＝，设第三边长为x，∵，∴x＝.故选A．]
8．B[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵S△ADE＝S四边形BDEC，∴，∴．]
9．B[提示：∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE．又∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE，∴BE＝BC＝4，∴AE＝2．∵AF＝3，∴EF＝1，又BF＝3，∴AE：EF：FB＝2：1：3．]
10．C[提示：过点P的直线可以分别与AC，BC平行，也可以与AC，BC不平行．]
11．4．9[提示：∵DE∥BC,△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AC=4．9．] 12．22[提示：在同一时刻物高与影长成正比，∴，x＝22．]
13．25：64[提示：相似三角形的面积比等于相似比的平方．]
14．32[提示：设较大多边形的面积为x cm2，则，∴x=32．]
15．400[提示： ，∴x=4000000 cm2，即400 m2．]
16．4[提示：△ABC的最短边长为54×＝12，∵相似比为3，∴△DEF的最短边长为4 cm．]
17．解：这样的点正有两个．若△AED∽△ABC，则，∴，∴AE =；△AED∽△ACB，则，∴，∴AE＝.
18．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠E＝∠ABM＝90°，∴△ABM∽△DEA，∴．∵BM=，AB=5，∴AM=，∴，∴DE＝12．
19．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△ABM∽△DEA，∴．在Rt△ABM中，AM==5，∴，∴DE=．
20．解：∵AE⊥BC，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠BDC＝90°．又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACE，∴，∴，∴CD＝．
21．解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠DCB＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，∴CD2=AD·BD=50，∴CD=5.
22．解：∵S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△ADE：S△ABC：1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：2，∴AD：DB＝1：1．
23．解：AC2＝AB·AD或．证明过程如下．∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2＝AB·AD．
24．证明：(1)∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠ECB＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，又∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE．
(2)∴△AEF∽△BCE，∴，又CD=BC，∴.
25．解：(1)若△ABC∽△CDB，则，∴BD＝，∴当BD＝时，△ABC∽△CDB． (2)∵△ABC∽△CDB，∴∠ACD＝90°．又∵∠D＝∠E＝90°，∴四边形AEDC为矩形．
26．解：(1)∵S△PQC＝ S四边形PABQ，∴S△PQC：S△ABC＝1：2．∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝1：2，∴PC2＝·AC2＝×42＝8，∴PC＝2
(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC+CQ＝PA+AB+QB＝△ABC的周长的一半＝6．又∵PQ∥AB，∴，即，∴CP＝．
(3)存在点M使△PQM为等腰直角三角形．①如图27－124所示，当∠MPQ＝90°，PM＝PQ时，∠C＝90°，△ABC中AB边上的高为，设PM＝PQ＝x．∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴，∴x＝，即PQ＝．当∠M′QP＝90°，QP＝QM′时，同理可得PQ＝．
②如图27－125所示，当∠PMQ＝90°，MP＝MQ时，可得点M到PQ的距离为PQ.设PQ＝x，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝，解得x=，即PQ=.
A．
B．
D．
C．
题3图
A
B
C
D
第25题 图1
O
F
E
第25题 图2
A
B
C
D
E
F
I
J
P
第25题 图3
B
A
C
D
E
F
M
N
P
A
B
C
D
E
F
O第二十一章 二次根式
本章小结
小结1 本章概述
在本章中，通过对二次根式的概念、性质、化简及运算等内容的学习，使我们掌握二次根式的化简与运算，明确二次根式中字母取值范围的确定方法，会对二次根式进行化简．本章内容是数学中的基础内容，在勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习过程中，都会用到本章的相关内容．熟练掌握前面我们学方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法等知识，有利于本章内容的学习与深化．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．
【本章难点】对(a≥0)是一个非负数的理解，对等式()2 ＝a(a≥0)和＝a(a≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．
小结3 学法指导
1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．
2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．
3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．
4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 二次根式的最值问题
【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.
例1 当x取何值时，的值最小？最小值是多少？
分析 由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.
解：∵
∴，
∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.
【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）.
专题2 二次根式的化简及混合运算
【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.
例2 下列计算正确的是 （ ）
分析 根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中，
B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A.
例3 计算的结果是 （ ）
分析 本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为
故选D.
例4 书知.
分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.
解：由二次根式的定义及分式性质，得
【解题策略】 本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.
例5 化简
【解题策略】 本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质
例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简
解：由a，b，c在数轴上的位置可知：
【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.
专题2 二次根式的化简及混合运算
规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
例8 已知
分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.
解：∵a+b=-3，ab=12，∴a＜0，b＜0.
【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入.
专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简
例9 估计×+的运算结果应在 （ ）
A. 6到7之间 B. 7到8之间
C. 8到9之间 D. 9到10之间
分析 本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即. 故选C.
例10 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值.
解：∵9＜13＜16，
∴＜＜，即3＜＜4
∴的整数部分为3，即m=3，
∴的小数部分为
∴
二、规律方法专题
专题4 配方法
【专题解读】 把被开方数配方，进而应用化简.
例11 化简
规律·方法 一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x＞y＞0)，使得xy=b，x+y=a，则，于是
，从而使得到化简.
例12 若a，b为实数，且b=，试求的值.
分析 本题中根据b=可以求出a，b，对
的被开方数进行配方、化简.
解：由二次根式的性质得
当
【解题策略】 对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意
专题5 换元法
【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.
例13 计算
解：令x=，两边同时平方得：
∴x2=（）（）+2×=10
专题6 代入法
【专题解读】 通过代入求代数式的值.
例14 已知
专题7 约分法
【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.
例15 化简
例16 化简
三、思想方法专题
专题8 类比思想
【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.
例17 计算.
解：（1）原式=（1+2）=3.
（2）原式=3-+2+2=2+4.
【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.
专题9 转化思想
【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.
例18 函数y=中，自变量x的取值范围是 .
分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中是二次根式，所以被开方数2x-4≥0,所以x≥2.故填x≥2.
例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为，则输出的数值为 .
图21-9
分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为，代入可知（）2-1=2.故填2.
专题10 分类讨论思想
【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公式进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.
例20 若化简的结果为，则x的取值范围是 （ ）
A. x为任意实数 B. 1≤x≤4
C. x≥1 D. x≤4
分析 由题意可知，由此可知，且，由绝对值的意义可知，且，所以的取值范围是.故选B.
【解题策略】 对和|a|形式的式子的化简都应分类讨论.
例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？
分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.
解：沿前、右两个面爬，路径长为(cm).
沿前、上两个面爬，路径长为(cm).
沿左、上两个面爬，路径长为(cm).
所以它要爬行的最短路径长为cm.
规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.
2011中考真题精选
一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：最简二次根式 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答：解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误
B、= ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误
C、 ，是最简二次根式；故此选项正确；
D. =5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故此选项错误
故选C．
点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. （2011 江苏徐州，5，2）若式子实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A、x≥1 B、x＞1 C、x＜1 D、x≤1
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式有意义的条件判断即可．
解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选A．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
3. （2011江苏镇江常州，5，2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2
C．x＞2 D．x＜2
考点：二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．
解答：解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2．
故选A．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．
4. （2011四川凉山，5，4分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：二次根式有意义的条件 ( javascript:void(0) )．
分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．
解答：解：要使有意义，则，
解得x＝，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．
故选A．
点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
5. （2011台湾，4，4分）计算之值为何（　　）
A．5 QUOTE EMBED Equation.3 B．33 QUOTE EMBED Equation.3 C．3 QUOTE EMBED Equation.3 D．9 QUOTE EMBED Equation.3
考点：同类二次根式；二次根式的加减法。
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案．
解答：解：原式＝7 QUOTE EMBED Equation.3 －5 QUOTE EMBED Equation.3 ＋3 QUOTE EMBED Equation.3 ＝5 QUOTE EMBED Equation.3 ．
故选A．
点评：本题考查同类二次根式及二次根式的加减运算，难度不大，注意只有同类二次根式才能合并．
6. ( cm )（2011 柳州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A、x＞2 B、x＞3
C、x≥2 D、x＜2
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据考查了二次根式（a≥0）有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
解答：解：根据题意得，x﹣2≥0，
∴x≥2．
故选C．
点评：本题考查了二次根式（a≥0）有意义的条件：a≥0．
7. （2011 广东汕头）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　x≥2　．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：探究型。
分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵使在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
8. （2011山东滨州，2，3分）若二次根式有意义,则x的取值范围为( )
A.x≥ B. x≤ C.x≥ D.x≤
【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式．
【专题】存在型．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴1+2x≥0，
解得x≥- ．
故选C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单．
9. （2011山东烟台，5，4分）如果，则（ ）
A．a＜ B. a≤ C. a＞ D. a≥
考点：二次根式的性质与化简.
分析：由已知得2a﹣1≤0，从而得出a的取值范围即可．
解答：解：∵，∴2a﹣1≤0，解得a≤．故选B．
点评：本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．
10. 5.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：二次根式有意义的条件 ( javascript:void(0) )．
分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．
解答：解：要使有意义，则，
解得x＝，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．
故选A．
点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
11. （2011四川泸州，8，2分）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 +|a+b|的结果是（　　）
A.-2a+b B.2a+b C.-b D.b
考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，以及a+b＞0，即可化简求值．
解答：解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0，∴+|a+b|=-a+a+b=b，
故选：D．
点评：此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴，根据数轴得出a，b的符号是解决问题的关键．
12.（2011四川攀枝花，3，3分）下列运算中，正确的是（　　）
A、+= B、a2 a=a3 C、（a3）3=a6 D、=－3
考点：二次根式的加减法；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
分析：此题涉及到二次根式的加减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，幂的乘方：底数不变，指数相乘；根式的化简，4个知识点，根据各知识点进行计算，可得到答案．
解答：解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误； B、a2 a=a2+1=a3，故此选项正确； C、（a3）3=a3×3=a9，故此选项错误； D、 QUOTE EMBED Equation.3 =3，故此选项错误．故选：B．
点评：此题主要考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，根式的化简，关键是同学们要正确把握各知识点的运用．
13 . （2011广州，9，3分）当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（ ）
A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9
【考点】函数值；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．
【解答】解：由题意得x-2≥0，
解得x≥2，
∴4x+1≥9，
即y≥9．
故选B．
【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．
14. （2010河南，3，3分）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C．2a2+4a2=6a4 D．（a2）3=a6
考点：二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂
分析：根据各选项进行分析得出计算正确的答案，注意利用幂的乘方的运算以及二次根式的加减，负整数指数幂等知识分别判断即可．
解答：解：A、（﹣1）0﹣（ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）﹣1=1﹣2=﹣1，故此选项错误；B、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 与 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 不是同类项无法计算，故此选项错误；C、2a2+4a2=6a2，故此选项错误；D、（a2）3=a6，故此选项正确．故选D．
点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及幂的乘方的运算和负整数指数幂等知识，此题难度不大注意计算要认真，保证计算的正确性．
15. （2011湖北随州，3，3）要使式子有意义，则a的取值范围为　a≥－2且a≠0　．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥－2且a≠0．
故答案为：a≥－2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
16. （2011梧州，14，3分）当a　≥﹣2　时， QUOTE eq \r(,a+2)在实数范围内一有意义．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出关于a的不等式，然后解不等式即可．
解答：解：根据题意，得
a+2≥0，
解得，a≥﹣2；
故答案是：≥﹣2．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数大于等于零．
17. （2011福建龙岩，12，3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　．
考点：二次根式有意义的条件.
分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答．
解答：解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案是x≥3．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．
18. （2011福建省三明市，11,4分）计算：﹣20110=　 　．
考点：实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的化简和零指数幂等知识点进行计算即可．
解答：解：原式=2﹣1
=1，
故答案为1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式等考点的运算．
19. （2011广东湛江,18,4分）函数中自变量x的取值范围是________，若x=4，则函数值y=_____
考点：函数自变量的取值范围 ( javascript:void(0) )；二次根式有意义的条件 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据二次根式有意义的条件求解即可．即被开方数是非负数．直接把x=4代入函数解析式即可求y的值．
解答：解：依题意，得x-3≥0，
解得x≥3；
若x=4，则y= = =1．
点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．
20. （2011广东肇庆，11，3分）化简： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =．
考点：二次根式的性质与化简。
分析：根据二次根式的性质计算．
解答：解：原式= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =．
点评：主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
21. （2010广东，7，4分）使 在实数范围内有意义的的取值范围是 ______ _____．
考点：二次根式有意义的条件
分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵使 QUOTE EMBED Equation.3 在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
22.（2011广西百色，15，3分）化简=　____　．
考点：二次根式的性质与化简．
分析：根据二次根式的性质解答．
解答：解： QUOTE EMBED Equation.3 ==2．
点评：主要考查了二次根式的化简．
注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
23.（2011广西崇左，3，2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
解答：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
x≥1．
故答案为x≥1．
点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
24. ( cm )（2011 随州）要使式子有意义，则a的取值范围为　a≥﹣2且a≠0　．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0．
故答案为：a≥﹣2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
二、填空题
1. （2000 江西）计算：＝ ▲ .
考点：二次根式的加减法。
分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
解答：解：原式=2=
点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
2. （2011山东日照，15，4分）已知x，y为实数，且满足=0，那么x2011﹣y2011=　﹣2　．
考点：非负数的性质：算术平方根；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答：解：∵ QUOTE EMBED Equation.3 =0，
∴=0，
∴x+1=0，y﹣1=0，
解得x=﹣1，y=1，
∴x2011﹣y2011=（﹣1）2011﹣12011，
=﹣1﹣1，
=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
3. （2011新疆建设兵团，9，5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥．
考点：二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
点评：本题考查二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4. （2011新疆乌鲁木齐，11，4）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：存在型。
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵ QUOTE EMBED Equation.3 在实数范围内有意义，∴x－1≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
5. （2011重庆綦江，12，4分）若有意义，则x的取值范围是　 ．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
解答：解：要是有意义，
则2x－1≥0，
解得x≥．
故答案为：x≥．
点评：本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
6. ( cm ) 要使式子 a+2a有意义，则a的取值范围为 a≥-2且a≠0．
考点：二次根式有意义的条件 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥-2且a≠0．
故答案为：a≥-2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
7. （2011 青海）若a，b是实数，式子和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）2011=　﹣1　．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。
分析：根据题意得+|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即可得出答案．
解答：解：依题意，得+|a﹣2|=0，
根据非负数的意义，得，
2b+6=0，
解得：b=﹣3，
a﹣2=0，
解得：a=2，
∴（a+b）2011=（﹣1）2011=﹣1．
故答案为为：﹣1．
点评：此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：a2≥0，|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质．
8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≤．
考点：二次根式有意义的条件。
分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．
解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣2x≥0，
解得：x≤．
故答案是：x≤．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011山东菏泽，9，3分）使有意义的x的取值范围是　 ．
考点：二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
解答：解：根据题意得：4x﹣1≥0，解得x≥．故答案为x≥．
点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10. 已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则 .
考点：二次根式的混合运算 ( javascript:void(0) )；估算无理数的大小 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用 －a表示．再分别代入amn＋bn2＝1进行计算．
解答：解：因为2＜＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b）＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
11. 若m= ，则m5-2m4-2011m3的值是 0．
【考点】二次根式的化简求值 ( javascript:void(0) )．
【分析】首先化简二次根式得出m= +1，再根据因式分解法将原式分解即可得出答案．
【解答】解：∵m= = +1，
∴m5-2m4-2011m3=m 3（m 2-2m-2011）=m 3[（m-1） 2-2012]=0，故答案为：0．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= +1，以及
m5-2m4-2011m3=m 3[（m-1） 2-2012]是解决问题的关键．
12. 要使式子 有意义，则a的取值范围为 a≥-2且a≠0．
考点：二次根式有意义的条件 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥-2且a≠0．
故答案为：a≥-2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
三、解答题
1. (每小题5分，共15分)
（1）（2011四川省宜宾市，17，5分）计算：3(–π)0– eq \f(–,) + (–1)2011
(2) （2011四川省宜宾市，17，5分）先化简，再求值： – ，其中x = –3
考点：二次根式的混合运算 ( javascript:void(0) )；分式的化简求值 ( javascript:void(0) )；零指数幂 ( javascript:void(0) )；平行四边形的判定与性质 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）按照实数的混合运算顺序直接进行计算；
（2）先通分把分式化简，再代入求值；
（3）先运用平行四边形的对角线互相平分，结合已知证明平行四边形EGHF是平行四边形，再运用平行四边形的对边互相平行得GF∥HE．
答案：（1）解：原式=31–（2–）+（–1）
=
(2 )解： – = –
= =
当x = 时，∴原式= eq \f(3, ) = eq \f(3,10)
点评：本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
2. （2011广东省茂名，16，7分）化简：
（1） QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
考点：二次根式的混合运算；整式的混合运算。
专题：计算题。
分析：（1）先化简二次根式，再进行计算即可；
解答：解：（1）原式=，（1分）
=4﹣2，（2分）
=2（3分）
点评：本题考查了二次根式的混合运算和整式的混合运算，是基础知识要熟练掌握．
综合验收评估测试题
（时间：1 20分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≤2 B. x=3 C. x＜2且x≠3 D. x≤2且x≠3
2.计算的结果是（ ）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 9
3.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4.若（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. （ ）
A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 算术平方根
6.下列各式计算正确的是（ ）
7.下列运算正确的是（ ）
8. 如果
9. 下列计算正确的是（ ）
10. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.计算 .
12.计算 .
13. 把化简的结果是 .
14. 下列各式：①；②；③；④其中正确的是 （填序号）.
15. 在中，是最简二次根式的有 个.
16. 若最简二次根式是同类二次根式，则x的值为 .
17.已知等边三角形的边长为3+，则三角形的周长为 .
18.已知实数a在数轴上的位置如图21-11所示，则化简的结果为 .
19.若，则的值为 .
20.估计的运算结果应在 之间.（填整数）
三、解答题（第2125小题各8分，第2627小题各10分，共60分）
21.（1）计算
（2）计算
（3）计算
22.化简
23. 计算.
（1）
（2）9
（3）
（4）
（5）
24. 已知
25. （实际应用题）小华家楼房前有一直角三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为m，斜边长为3m. 现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？（）
26.先化简，再求值
27.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们可以将其进一步化简.
；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：
；（四）
（1）请用不同的方法化简
①参照（三）式得.
②参照（四）式得= ；
（2）化简
参考答案
1. A[提示：2-x≥0，∴≤2，3不在x≤2的范围内.]
2. A[提示：]
3. C[提示：根号内有分母.]
4. C
5. A
6. D[提示：A错，m2·m3=m5；B错，]
7. D
8. B[提示：由可知. ]
9. C[提示：A中，；B中，无意义；D中，]
10. A[提示：A中，C中，a+b；D中，.故选A ]
11. 2【提示：原式=】
12. 2【提示：原式=（）2-12=2】
13.[提示：]
14. ③④[提示：①，；②无意义. ]
15. 3[提示：是最简二次根式. ]
16.-1[提示：根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1. ]
17. 9+3[提示：周长为（3+）×3=9+3. ]
18. 1[提示：由数轴知=1-a+a=1.]
19. 2[ 提示：由，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2.]
20. 3和4[提示：]
21. （1）解：原式=1+2+2-.
（2）原式=2
（3）原式
22. 解：原式
23. 解：（1）
=-24×=-180.
（2）9
（3）原式=
（4）
（5）
24. 解：
25. 解：由勾股定理知另一直角边的长为
，所以小华的爸爸至少要买41m篱笆.
26. 解：当时，原式
27. 解：（1）①
②
（2）
概念
二次根式:式子（a≥0）叫做二次根式
最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
性质
（1）（a≥0，b≥0）
（2）（a≥0，b≥0）
（3）()2=a（a≥0）
（4）=|a|=
二
次
根
式
图21-8
图21-10第十九章 四边形
本章小结
小结1 本章概述
本章通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题.同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.
【本章难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.
【学习本章应注意的问题】通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决.
小结3 中考透视
中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提．
知识网络结构图
专题总结及应用
1、 知识性专题
专题1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质
【专题解读】 围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题.
例1 下列说法错误的是 ( )
A.平行四边形的对角相等
B.等腰梯形的对角线相等
C.两条对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
分析 由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A，B，C都是正确的.D不正确，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形.
答案：D
【解题策略】对角线互相垂直的四边形不一定对角线互相平分.
例2 如图19-125所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，设△DEA的面积为，梯形ABCD的面积为，则与的关系为 .
分析 由E为BC的中点，延长DE与AB的延长线交于点F，由CD∥AB，得，又因为所以△CED≌△BEF，所以DE=EF，所以S菱形ABCD= S△DAF.由等底等高的三角形面积相等，得= S△AFE=，即或.
答案：（或）
【解题策略】根据三角形面积公式，当同底三角形的高相等式相同时，可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系.
例3如图19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一点，于点E，于点F.
（1）求证△ABF≌△DAE；
（2）求证.
分析 （1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等和，则问题可证.
证明：（1）在正方形ABCD中，
∴.
∵∴，∴.
又∵∴∴△ABF≌△DAE（AAS）.
（2）由（1）可知△ABF≌△DAE，∴
∴即.
专题2 平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系
【专题解读】 围绕平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质综合应用命题.
例4 如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD沿着GF折叠（F在BC边上，不与B，C重合），使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分，则的度数a满足 （ ）
A.90°＜a＜180°
B.a=90°
C.0°＜a＜90°
D.a随关折痕位置的变化而变化
分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由△GCF≌△GEF得，又有，所以所以.
答案：B
例5 如果菱形的一条对角线长是12㎝，面积是30，那么这个菱形的另一条对角线长为 ㎝.
分析 由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为（㎝）.
答案：5
例6 如图19-128所示，的周长为16㎝，AC，BD相交于点O，，交AD于点E，则的△DCE周长为 （ ）
A.4㎝ B.6㎝
C.8㎝ D.10㎝
分析 因为的周长为16㎝，所以（㎝），因为O为AC的中点，又因为于点O，所以，所以△DCE的周长为（㎝）.
答案：C
二、规律方法专题
专题3 构造中位线解决线段的倍分关系
【专题解读】 题目中涉及或2倍关系时，常常考虑构造中位线.
例7 四边形ABCD为平行四边形，∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.
（1）求证
（2）若求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.
证明：（1）如图19-129所示，延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形.
∴∴C为DM的中点.
∵BE∥AC，∴CF是△DME的中位线，∴.
解：（2）由（1）得CF是△DME的中位线，故.
又∵∴.
∵四边形ABMC是平行四边形，∴.
∴.
又∵，
∴在Rt△ADC中，利用勾股定理得.∴.
（3）可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME两部分.
在Rt△ADC中利用勾股定理得.
由CF为△DME的中位线得.
∴.
由四边形ABMC是平行四边形得.
∴梯形ABMD的面积为.
由和BE∥AC，得三角形DME是直角三角形，
其面积为，
∴四边形ABED的面积为.
专题4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题
【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.
例8 如图19-130所示，在中，是DC的中点，E是垂足，求证.
分析 添加辅助线MN，交BE于F.N为AB中点，由已知条件证得.由三角形中位数性质证得则，又由四边形BCMN是菱形，证得，从而结论得证.
证明：取AB的中点N，连接MN，MB.MN交EB于F.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以ABDC.
又M，N分别是DC，AB的中点，
所以DMAN，MCNB，
即四边形ANMD和四边形MNBC都是平行四边形.
所以.
因为N是AB中点，NF∥AE，
所以F是BE的中点.
又，所以，
因为MC=BC，所以是菱形，
所以，即.
【解题策略】证明角的和、差、倍、分关系时，应依据题目的背景经观察分析后适当添加辅助线，把较大角分割成若干较小角，最终归结到证明两个角相等的途径上以解决问题.本题添加辅助线MN，MB后，利用菱形对角线性质及等腰三角形三线合一的性质证明有关角相等，从而解决问题.
专题5 有关四边形的性质与判定的开方探索题
【专题解读】 这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型.
例9 如图19-131所示，在中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②③④S△AMB S△ABC.其中正确的结论是 . （只填序号）
分析 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∴又∵E，F分别是AD，BC的中点，∴DEBF，∴四边表BEDF是平行四边形，∴∵∴∴△ABM≌△CDN.∴①正确.由可得∴又∵AD∥BC，∴又∴△AME≌△CNF，∴.由FN∥BM，FC=BF，得CN=MN，∴∴②正确.∵∴S△AMB S△ABC.∴④不正确.FN为△BMC的中位线，△ABM≌△CDN，则∴.∴③正确.
答案：①②③
专题6 动手操作题
【专题解读】 这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.
例10 某市要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在的四条边上，请你设计两种方案.
方案（一）：如图19-132（1）所示，两个出入口E，F已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法.
方案（二）：如图19-132（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.
解：方案（一） 画法1：①过F作FH∥AB，交AD于点H.
②在DC上作取一点G，连接则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（1）所示.
画法2：①过F作FH∥AB，交AD于点H.
②过E作EG∥AD，交DC于点G，连接则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（2）所示.
画法3：①在AD上取一点H，使.
②在CD上任取一点G，连接EF,则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（3）所示.
方案（二） 画法：①过M点作MP∥AB，交AD于点P.
②在AB上取一点Q，连接PQ.
③过M作MN∥PQ，交DC于点N，连接QM，PN，则四边形QMNP就是所要画的梯形，如图19-133（4）所示.
3、 思想方法专题
专题7 转化思想
【专题解读】 本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.
例11 如图19-134所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为 .
分析 ∵BD是AB沿BE折叠得到的，∴∵，∴.过点D作垂足为F.∵DC∥AB，∴∵∴.
答案：30
【解题策略】在梯形中求线段的长，常作梯形的高为辅助线，使其转化为矩形和直角三角形，化整为零，化陌生为熟悉，这是处理梯形问题常见的转化方法.
专题8 方程思想
【专题解读】 本章主要体现在通过方程（组）、不等式（组）恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.
例12 已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少.
分析 先设某一个多边形的边数为x，由多边表的内角和公式列出关于x的一元一次方程，求解即可.
解：设其中边数较少的多边形边数是x，则另一个多边形边数是3x，
由题意得，解得.
答：它们的边数分别为3和9.
2011中考真题精选
1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CD、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE2=BE CE，求证四边形ABFC是矩形．
考点：等腰梯形的性质 ( javascript:void(0) )；全等三角形的判定与性质 ( javascript:void(0) )；平行四边形的判定与性质 ( javascript:void(0) )；矩形的性质 ( javascript:void(0) )；相似三角形的判定与性质 ( javascript:void(0) )．
专题：证明题 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．
解答：证明：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵DE2=BE CE
∴ ，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC
∴∠BDC=∠BFC=90°，
∴四边形ABFC是矩形．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．
2. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝BE．
考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系
专题：四边形
分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形，则AD＝CE＝BC，从而可知BC＝BE，要说明DE＝BE，只需说明DE＝BC即可．
思路二：连接BD，先证∠BDE＝90°，再证∠DBE＝30°，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）．
解答：∵ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB＝BC＝CD＝DA．
又∵∠ABC＝ 60°，
∴BC＝AC＝AD．
∵DE∥AC
∴ACED为平行四边形．
∴CE＝AD＝BC，DE＝AC．
∴DE＝CE＝BC，
∴DE＝BE．
点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件．
3. （2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．
考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理
分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；
（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．
解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 BC= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
答：EG的长是 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°，
∴∠ADB=∠HDB，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
4. （2011 泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
( http: / / www.m / )
考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。
专题：证明题；综合题。
分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；
（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．
解答：解：（1）∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AFO=∠CFO，
∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．
（2）∵直线l垂直平分线段AC，
∴AF=CF，
可证△AOF≌△AOE，
∴AE=CF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度．
5. （2010重庆，26，12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形
分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．
解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；
（2）当0≤t＜1时，S=2 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 t+4 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
当1≤t＜3时，S=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 t2+3 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 t+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
当3≤t＜4时，S=﹣4 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 t+20 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
当4≤t＜6时，S= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 t2﹣12 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 t+36 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB== QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，
1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AH= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
在Rt△AME中，cos∠MAE═，即cos30°=，
∴AE= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，即3﹣t= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 或t﹣3= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∴t=3﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 或t=3+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，
即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4；
3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，
∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0；
综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 或t=3+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 或t=2或t=2或t=0．
点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．
6. （2011湖北咸宁，22，10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3 QUOTE ，求AG，MN的长．
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考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
解答：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，，，
∴△ABE≌△AGE． ∴．
同理，．
∴．
（2）．
∵，，
∴． ∴．
又∵，，
∴△AMN≌△AHN． ∴．
∵，，
∴． ∴．
∴． ∴．
（3）由（1）知，，．
设，则，．
∵，
∴．
解这个方程，得，（舍去负根）．
∴．
∴．
在（2）中，，，
∴．
设，则．
∴．即．
点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．
7. ( cm )（2011 贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
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考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：（1）根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2，从而证得△BAE≌△DAE，这样就得出四边形ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；
（2）过点D作DF∥AE交BC于点F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，从而结合∠ABC=60°，AB∥DE可判断出结论．
解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE，
∴BE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3=∠1，
∴AB=BE，
∴AB=BE=DE=AD，
∴四边形ABED是菱形．
（2）解：△CDE是直角三角形．
如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，
则四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE，AD=EF=BE，
∵CE=2BE，
∴BE=EF=FC，
∴DE=EF，
又∵∠ABC=60°，AB∥DE，
∴∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF=EF=FC，
∴△CDE是直角三角形．
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点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．
8. （2011 安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
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考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。
分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．
9. （2011 湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
( http: / / www.m / )
考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。
专题：综合题。
分析：（1）根据AB的长结合三角函数的关系可得出AC的长度．
（2）根据矩形的对角线互相平分可得出△OBC为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB的度数．
（3）分别求出△OBC和△BCE的面积，从而可求出菱形OBEC的面积．
解答：解（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4．
（2）在矩形ABCD中，
∴AO=OA=2，
又∵AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
（3）由勾股定理，得BC=，
．
，
所以菱形OBEC的面积是2．
点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键．
10. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011年山东省东营市，19，8分）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若DC=12，求AD的长．
考点：等腰梯形的性质 ( javascript:void(0) )；含30度角的直角三角形 ( javascript:void(0) )；平行四边形的判定与性质 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )；证明题 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）可证明AB∥ED，AE∥BD，即可证明四边形ABDE是平行四边形；由∠ABC=120°，∠C=60°，得AB∥ED；∠E= ∠C=∠BDC=30°，得AE∥BD；
（2）可证得四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，易证△BDC是直角三角形，可得BC= DC=6．
解答：证明：（1）∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，即AB∥ED；
又∠C=60°，∠E= ∠C，∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC=30°，
∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；
解：（2）∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
∴BC=AD，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°，
又DC=12，
∴AD=BC= DC=6．
点评：本题考查了知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，只有牢记这些知识才能熟练运用．
11. （2011浙江宁波，23，？）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
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考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据已知条件证明∴△ADE≌△CBF，即∠3＝∠CBF，再根据角平分线的性质可知∴∠BDE＝∠FBD，根据内错角相等，即可证明DE∥BF，
（2）根据三角形内角和为180°，可以得出∠1＝∠2，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
( http: / / www.m / )
∴AE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，
∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF，
（2）∵∠G＝90°，∴四边形AGBD是矩形，∠ADB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四边形DEBF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比较综合，难度适中．10.
12. （2011浙江嘉兴，23，10分）以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
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考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；
（2）①∠HAE=90°+a，根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣a，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DC= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE=HG；
③由②同理可得：GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．
解答：（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．
（2）解：①∠HAE=90°+a，
在平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，
答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．
②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AB，DC= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDC，
∴HE=HG．
③答：四边形EFGH是正方形，
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
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点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
13. （2011梧州，22，8分）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
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考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据平行四边形的性质先证明△DEC≌△FEB，然后根据AB=CD，运用等量代换即可得出结论．
解答：解：由ABCD是平行四边形得AB∥CD，
∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF．
又∵E为BC的中点，
∴△DEC≌△FEB，
∴DC=FB．
又∵AB=CD，
∴AB=BF．
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质．
14. （2011 玉林，25，10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的长．
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考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而GAD≌△EAB，即EB=GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；
（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果．
解答：（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
又∵AG=AE，AB=AD，
∴△GAD≌△EAB，
∴EB=GD；
（2）EB⊥GD，理由如下：连接BD，
由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH中，
∠DHB=180°﹣（∠HDB+∠HBD）=180°﹣90°=90°，
∴EB⊥GD；
（3）设BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB=，
∴EB=GD=．
点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长．
15. （2011 安顺，25，9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。
分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=AB，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE= QUOTE EMBED Equation.3 AB ，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．
16. （2011海南，23，10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ．
（1）求证：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．
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考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。
分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD∥BC，又由∠A＝60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；
（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD∥BC，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝120°，
∴AD＝BD，∠CBD＝∠A＝60°，
∵AP＝BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；
（2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵△BDQ≌△ADP，
∴BQ＝AP＝2，
∵AD∥BC，
∴∠QBE＝60°，
∴QE＝QB sin60°＝2×＝，BE＝QB cos60°＝2×＝1，
∵AB＝AD＝3，
∴PB＝AB－AP＝3－2＝1，
∴PE＝PB＋BE＝2，
∴在Rt△PQE中，PQ＝＝，
∴cos∠BPQ＝＝＝．
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点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
17. （2011黑龙江省哈尔滨,23，6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DF=BE．
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考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据平行四边形的对边相等得出BC=AD，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可判断出△CEB≌△AFD，利用全等三角形的性质即可得出结论．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BC=AD，BC∥AD．
∴∠BCA=∠DAC
∵BE⊥AC，DE⊥AC．
∴∠CEB=∠AFD=90°．
∴△CEB≌△AFD
∴BE=DF．
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，属于基础题，关键是利用全等的知识证明线段的相等，这是经常用到的，同学们要注意掌握．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形 ( )
A．一定是矩形 B．一定是菱形
C．一定是正方形 D．形状不确定
2．如图19-135所示，设F为正方形ABCD上一点，交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为 （ ）
A．20 B．24
C．25 D．26
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不一定正确的是 （ ）
A．
B．
C．当时，它是菱形
D．当时，它是矩形
4．如图19-136所示，AB∥CD，交CD于点E，.则梯形ABCD的面积为 （ ）
A．130 B．140
C．150 D．160
5．下列命题错误的是 ( )
A．平行四边形的对角相等
B．等腰梯形的对角线相等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．在矩形ABCD中，是CD上一点，且则的度数是（ ）
A．30° B．22.5° C．15° D．以上都不对
7．菱形的周长为20㎝，两邻角的角度之比为1：2，则较长的对角线的长为 （ ）
A．4.5㎝ B．4㎝
C．㎝ D．㎝
8.顺次连接等腰梯形的四边中点，得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点，得到的图形是 （ ）
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．菱形 D．矩形
9．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，生产一批形状如图19-137所示的风筝.点分别是四边形ABCD各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）.若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料 （ ）
A．15匹 B．20匹
C．30匹 D．60匹
10．如图19-138所示，在中，已知㎝，㎝，DE平分，交BC边于点E，则BE等于 （ ）
A．2㎝ B．4㎝ C．6㎝ D．8㎝
二、填空题
11．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是 .
12．矩形的周长为48㎝，长比宽多2㎝，则矩形的面积为 .
13．如图19-139所示，在中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是 .
14．如图19-140所示，在中，于点E，于点F，，则= .
15．如图19-141所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， ，则梯形ABCD的周长是 .
16．如图19-142所示，在中，BD为对角线，E，F分别是AD，BD的中点，连接EF，若EF=3，则CD的长为 .
17．若矩形的一条短边的长为5㎝，两条对角线 的夹角为60°，则它的一条较长的边为 ㎝.
18．如图19-143所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，则AG= .
19．若菱形的两条对角线长分别为16㎝和12㎝，则它的边长为 ㎝，面积为
20．已知等边三角形ABE在正方形ABCD内，DE的延长线交CB于G，则 .
三、解答题
21．如图19-144所示，在中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F.求证.
22．如图19-145所示，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证.
23．如图19-146所示，的对角线AC，BD相交于点O，于点O，分别交AD，BC于点E，F，且.求证四边形ABCD为矩形.
24．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD=BC，AC为对角线，且AC平分.
（1）求梯形各内角的度数；
（2）当梯形的周长为30时，求各边的长；
（3）求梯形的面积.
25．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图19-147（1）所示）.
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/㎡，当△AMD地带种满花后（图形阴影部分），共花了160元.请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/㎡和10元/㎡.应选择哪能种花木种植，可以刚好用完所筹集的资金？
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图19-147（2）所示），请设计一种花坛图案，即在梯形内找一点P，使△APB≌△DPC得，且S△APD =S△PBC，并说出理由.
26．如图19-148所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形.
（1）AD与BC有何数量关系？请说明理由；
（2）当AB=DC时，求证四边形AEFD是矩形.
参考答案
1．D［提示：可以是正方形、菱形或等腰梯形.］
2．B[提示：易证△BCE≌△DCF，∴.∵∴，∴CE=10.在Rt△BEC中，BC=8，∴，∴S△BCE=×6×8=24.] 3．B[提示：平行四边形的对角线不一定相等.]
4．C[提示：过点A作AF∥BD交CD的延长线于点F，则四边形AFDB是平行四边形，∴易证S△ADF=S△ABC，即S△APC=S梯形ABCD.∵,
,∴
∴S△FAC=.]
5．D[提示：对角线互相垂直的四边形可以为任意四边形.]
6．C[提示：∵在Rt△ADE中，∴.∵AB∥CD，∴.∵，∴∴，
∴.]
7．C[提示：∵两邻角之比为1：2，∴两邻角的度数分别为60°，120°.∴较短对角线长为5，较长对角线长为（㎝）.]
8．D[提示：第一次连接得到的四边形是菱形，第二次连接得到的四边形是矩形.] 9．C[提示：S阴影= S剩余.]
10．A[提示：在中，AD∥BC，则.又∵，∴∴㎝.又∵㎝，∴=2㎝.]
11．菱形
12．143[提示：设两边长分别为，则，∴∴S矩形=13×11=143（）.]
13．2[提示：由题意知OE是△ABC的中位线，∴.]
14．75°[提示：∵=75°，∴105°.在四边形AECF中，=360°-90°-90°-105°=75°.]
15．17[提示：如图19-149所示，过点D作DE∥AB交BC于点E，则易证四边形ABED是平行四边形，△CDE是等边三角形，所以.所以梯形ABCD的周长为
，]
16．6[提示：因为EF为△ABD的中位线，所以.又因为四边形ABCD是平行四边形，所以.]
17．[提示：较长边长=（㎝）.]
18．[提示：，设，点A落在对角线BD上的对应点为，则，∴.在Rt△中，，解出方程即可.]
19．10 96[提示：边长（㎝）.]
20．45°[提示：75°，∴=180°-75°-60°=45°.]
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴
.又∵∴△AFE≌△DCE.∴.∴.
22．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴.∵∴，∴.又∵=
90°，∴.∵BF∥DE，∴.在△ABF与△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）.∴.∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF.
23．证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以
，所以△AOE≌△COF.所以又因为所以.因为，所以又，所以=30°.所以.因为所以30°，所以，所以，所以四边形ABCD为矩形.
24．解：（1）如图19-150所示，因为AC平分，所以∠1=∠2.又因为DC∥AB，所以∠2=∠3.所以∠1=∠3.设∠1=a，则∠2=a，.因为，所以.所以，即，所以a=30°，2a=60°.所以梯形ABCD各内角的度数分别为.
（2）因为∠1=∠3，所以.又因为∠2=30°，，所以.因为梯形ABCD的周长为，所以.所以等腰梯形各边长分别为. （3）过点C作于点E，则，所以.所以S梯形ABCD=.
25．提示：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD~△CMB，S△AMD：S△BMC =，故△BMC地带花费为160÷8×4×8=640（元）. （2）S梯形ABCD =180㎡，S△AMB+ S△DMC=180-20-80=80（㎡），∴160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600（元），∴种植茉莉花刚好用完所筹集的资金. （3）由△APB≌△DPC可知点P在AD，BC的中垂线上.设△APO的高为x，则S△APO=，S△BPC
，∴，解得，故当点P为AD，BC的中垂线上且与AD的距离为8m时，S△APD = S△BPC.
26．（1）解：.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴.又∵四边形AEFD是平行四边形，∴.∴.∴. （2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴.∵∴.又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形.
图5
A
B
E
G
C
D
F
24题图
A
B
E
G
C
D
F
24题答图
A
D
C
O
B
P
F
E
26题图
A
D
C
O
B
P
F
E
G
26题答图①
A
D
C
O
B
P
E
H
M
26题答图②
A
D
C
O
B
P
E
H
26题答图③
A
D
C
O(E)
B
P
H
26题答图④
A
B
C
F
D
E
G
（图①）
M
N第二十五章 概率初步
本章小结
小结1 本章概述
本章将学习各种事件的分类，即必然发生的事件、不可能发生的事件和随机事件，其中随机事件是本章的重点．会通过学习计算日常生活中的随机事件发生的可能性，理解概率的意义，并掌握概率的计算公式、取值范围和求法，能用列举法求单一事件和简单的双重事件的概率；理解用试验频率来估计事件概率的道理，并能设计这类试验．随机事件和一些较简单的随机事件发生的可能性(概率)的大小是中学数学很重要的一部分．在自然界中，事先已经知道发生与否的事件并不多，而随机事件却是大量存在的，概率正是对随机现象的一种数学描述，在近几年的中考中，由于随机现象贴近生活，所以其分数所占的比例越来越大．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义，并能准确对某一事件进行判断；理解概率的意义，会用列表法和树形图法求事件的概率，并能利用概率知识解决日常生活中的实际问题；会设计模拟试验估计事件发生的概率．
【本章难点】 理解概率的定义，会用列表法、树形图法及模拟试验的方法确定事件发生的概率，并能应用这一知识解决实际问题．
小结3 学法指导
1．在学习过程中，要积极参加试验，在活动中积极思考，主动与同伴进行合作交流，并能够从试验、探究、交流中获得数据、规律．
2．在学习过程中，注意对待问题要有一定的合理性、局限性．
3．在本章的学习过程中，要学会观察、归纳等数学方法，为今后的数学学习打下良好的基础．
4．在本章学习的过程中，要充分发挥实例的作用，根据实例掌握方法．
知识网络结构图
必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件
确定事件
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件
随机事件：在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件
概率初步 概率：表示随机事件发生的可能性的大小的数值叫做概率，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间
用列举法求概率：用列表或画树形图把所有可能的结果一一列举出来，然后再求事件的概率的方法
用频率估计概率：利用多次重复试验，通过统计试验结果去估计概率
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 事件的分类
【专题解读】 这部分内容主要考查事件分类的方法，应结合不同事件的定义判断某事件的类型．
例1 在一个只装有红球和白球的口袋中，摸出一个球为黑球是 ( )
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
分析 因为这个口袋中没有黑球，所以不可能摸出黑球．故选C.
专题2 概率的定义
【专题解读】 涉及概率求值问题可以运用概率的定义，也可以采用其他方法．
例2 在100张奖券中，有4张能中奖，小红从中任抽一张，她中奖的概率是 ( )
A． B． C． D．
分析 本题是直接利用概率的定义求概率，所求概率为＝.故选C．
二、规律方法专题
专题3 求随机事件的概率的常用方法
【专题解读】 求随机事件的概率的常用方法有以下四种：(1)画树形图法；(2)列表法；(3)公式法；(4)面积法．其中(1)(2)两种方法应用更为广泛．
例3 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时，甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树形图和列表的方法分别求一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率．(提示：为书写方便，解答时可以用表示“石头”，用表示“剪刀”，用月表示“布”)
分析 本题主要考查用列表法或画树形图法求概率．
解：画树形图如图25-63所示．
开始
甲 　
乙 　
图25-63
或列表如下：
乙甲
（，） （，） （，）
（，） （， ） （，）
（，） （，） （，）
所有可能的结果共9种，而且每种结果出现的可能性相同．
∴(出同种手势)＝＝，(甲获胜)＝＝．
【解题策略】 列举每次试验的所有可能结果时，无论是画树形图，还是列表，都要做到不重不漏.
例4 表示四个袋子，每个袋子中所装的白球和黑球如下：
：12个黑球和4个白球；
：20个黑球和20个白球；
：20个黑球和10个白球；
D：12个黑球和6个白球．
如果闭着眼睛从袋子中取出一个球，那么从哪个袋子中最有可能取到黑球
分析 从哪个袋子中取到黑球的概率大，从哪个袋子中就最有可能取到黑球．
解：从袋中取到黑球的概率为；
从袋中取到黑球的概率为；
从袋中取到黑球的概率为；
从袋中取到黑球的概率为，
∵＞＞
∴从袋中最有可能取到黑球．
例5 (1)假如有一只小狗在如图25-64所示的方砖上随意地来回走动，求它最终落在阴影方砖上的可能性；
(2)在一个口袋中装有形状、大小完全相同的12个白球和3个黑球，从袋中任意摸出一个球是黑球的可能性是多少？
(3)(1)和(2)中的可能性相同吗？
解：(1)阴影方砖占总方砖数的，
∴小狗最终落在阴影方砖上的可能性是．
(2)黑球数占总球数的，
∴从袋中任意摸出一个球是黑球的可能性是．
(3) ∵，∴(1)与(2)中的可能性不相同．
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011江苏连云港，6，3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
考点：概率的意义。
分析：根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
解答：解：A、连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误； B、连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确； C、大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确； D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选A．
点评：此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
2. （2011 江苏宿迁，6，3）如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（　　）
( http: / / www.m / )
A．1 B． C． D．
考点：几何概率。
分析：因为转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，针指在某个扇形区域内的机会是均等的，因此利用几何概率的计算方法解答即可．
解答：解：因为转盘等分成四个扇形区域，针指在某个扇形区域内的机会是均等的，
所以P（针指在甲区域内）=．
故选D．
点评：此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=．
3. （2011 江苏徐州，8，2）下列事件中属于随机事件的是（　　）
A、抛出的篮球会落下 B、从装有黑球，白球的袋里摸出红球
C、367人中有2人是同月同日出生 D、买1张彩票，中500万大奖
考点：随机事件。
专题：应用题。
分析：随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，根据定义即可判断．
解答：解：A、抛出的篮球会落下是必然事件，故本选项错误；
B、从装有黑球，白球的袋里摸出红球，是不可能事件，故本选项错误；
C、367人中有2人是同月同日出生，是必然事件，故本选项错误；
D、买一张彩票，中500万大奖是随机事件，故本选正确．
故选D．
点评：本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
4. （2011四川凉山，4，4分）下列说法正确的是（ ）
A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上.
B．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大.
C．某彩票中奖率为，说明买100张彩票，有36张中奖.
D．打开电视，中央一套正在播放新闻联播.
考点：概率的意义 ( javascript:void(0) )．
分析：根据概率的意义即可解答，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
解答：解：A、掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为，不一定就反面朝上，故此选项错误；
B、从1，2，3，4，5中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确；
C、某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖，不一定，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数并不能说买100张该种彩票就一定能中36张奖，故此选项错误；
D、打开电视，中央一套正在播放新闻联播，必然事件是一定会发生的事件，则对于选项D很明显不一定能发生，错误，不符合题意，故此选项错误．
故选B．
点评：此题主要考查了概率的意义，解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念．
5. （2011台湾，3，4分）下表表示某签筒中各种签的数量．已知每支签被抽中的机会均相等，若自此筒中抽出一支签，则抽中红签的机率为何（　　）
签 数量（支）
红签 深红 3
浅红 13
蓝签 深蓝 7
浅蓝 7
A． QUOTE EMBED Equation.3 B． QUOTE EMBED Equation.3 C． QUOTE EMBED Equation.3 D． QUOTE EMBED Equation.3
考点：概率公式。
专题：计算题。
分析：根据表格知道所有的签的数量为30，而红签的数量为16，然后利用概率公式即可求解．
解答：解：依题意得所有的签的数量为30，而红签的数量为16，
∴P（红签）＝ QUOTE EMBED Equation.3 ＝．
故选D．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ QUOTE EMBED Equation.3 ．
6. ( cm )（2011 广东汕头）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：概率公式。
专题：应用题。
分析：先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．
解答：解：∵共8球在袋中，其中5个红球，
∴其概率为，
故选C．
点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
7. （2011 贺州）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（　　）
A、必然事件 B、不可能事件
C、随机事件 D、确定事件
考点：随机事件。
专题：分类讨论。
分析：随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，根据定义即可判断．
解答：解：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，从中任意摸出2个球，有红黄、红白、黄白、白白4种可能，从中任意摸出2个球，它们的颜色相同可能发生，也可能不发生，所以这一事件是随机事件．
故选C．
点评：本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
8. （2011 柳州）袋子中装有2个红球和4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球，则这个球是红球的概率是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：概率公式。
分析：由袋子中装有2个红球和4个白球，随机从袋子中摸出1个球，这个球是红球的情况有2种，根据概率公式即可求得答案．
解答：解：∵袋子中装有2个红球和4个白球共6种等可能的结果，
∴这个球是红球的概率是=．
故选B．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 ) （2011黑龙江大庆，6，3分）某商场为促销开展抽奖活动，让顾客转动一次转盘，当转盘停止后，只有指针指向阴影区域时，顾客才能获得奖品，下列有四个大小相同的转盘可供选择，使顾客获得奖品可能性最大的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )　C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：几何概率。
专题：图表型。
分析：根据面积法：指针指向区域的概率就是所指区域的面积与总面积的比即可解答．
解答：解：由题意可知，A中阴影部分占整个圆的，B中阴影部分占整个圆的，C中阴影部分占整个圆的，D中阴影部分占整个圆的．
＞＞=，A中阴影所占比例最大，
故选A．
点评：此题考查几何概率的求法，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
10. （2011山东滨州，4，3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D. 1
【考点】概率公式；中心对称图形．
【专题】计算题．
【分析】先判断出圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中，中心对称图形有圆，矩形2个；
则P（中心对称图形）= =．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，要弄清概率公式适用的条件方可解题：
（1）试验中所有可能出现的基本事件有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
11. （2011 临沂，10，3分）如图，A、B是数轴上两点．在线段AB上任取一点C，则点C到表示﹣1的点的距离不大于2的概率是（） ( http: / / www.m / )
A、 B、 C、 D、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4
考点：概率公式；数轴。
专题：计算题。
分析：将数轴上A到表示﹣1的点之间的距离不大于2、表1的点到表示﹣1 的点间的距离不大于2，而AB间的距离分为5段，利用概率公式即可解答．
解答：解：如图，C1与C2到表示﹣1的点的距离均不大于2，根据概率公式P= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
故选D．
( http: / / www.m / )
点评：此题结合几何概率考查了概率公式，将AB间的距离分段，利用符合题意的长度比上AB的长度即可．
12. （2011年四川省绵阳市，3，3分）抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1-6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（　　）
A、出现的点数是7 B、出现的点数不会是0 C、出现的点数是2 D、出现的点数为奇数
考点：随机事件 ( javascript:void(0) )．
专题：分类讨论 ( javascript:void(0) )．
分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
解答：解：A、不可能发生，是不可能事件，故本选项错误，
B、是必然事件，故正确，
C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
13. （2011四川遂宁，4，4分）一幅扑克牌（不含大小王），任意抽取一张，抽中方块的概率是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：概率公式。
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解；扑克牌共54张，拿掉大、小王后还剩：54﹣2=52（张），方块张数：52÷4=13（张），概率： =．故选D．
点评：此题主要考查了概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. （2011四川雅安，13,3分）随意掷一枚正反方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在中阴影小方格中的概率为．
( http: / / www.m / )
考点：几何概率。
专题：计算题。
分析：根据面积法：求出骰子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答．
解答：解：∵共有9个方格，其中黑色方格占4个，
∴这粒豆子停在黑色方格中的概率是．
故答案为：．
点评：此题考查几何概率的求法：概率=相应的面积与总面积之比．
15. （2011福建省漳州市，5,3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A、打开电视机，它正在播广告 B、打开数学书，恰好翻到第50页
C、抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上 D、一天有24小时
考点：随机事件。
分析：根据必然事件的定义：一定发生的事件，即可判断．
解答：解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是随机事件，故选项错误；
C、是随机事件，故选项错误；
D、是必然事件，故选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了必然事件的定义，是一个基础题．
16. 从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件，“这个四边形是等腰梯形”．下列推断正确的是（　　）
A、事件是不可能事件 B、事件是必然事件
C、事件发生的概率为 D、事件发生的概率为
【答案】B
【考点】正多边形和圆 ( javascript:void(0) )；三角形内角和定理 ( javascript:void(0) )；等腰三角形的性质 ( javascript:void(0) )；多边形内角与外角 ( javascript:void(0) )；等腰梯形的判定 ( javascript:void(0) )；随机事件 ( javascript:void(0) )；概率公式 ( javascript:void(0) )．
【专题】证明题 ( javascript:void(0) )．
【分析】连接BE，根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°，根据等腰三角形的性质求出∠ABE=AEB=36°，求出∠CBE=72°，推出BE∥CD，得到四边形BCDE是等腰梯形，即可得出答案．
【解答】解：
连接BE，∵正五边形ABCDE，∴BC=DE=CD=AB=AE，
根据多边形的内角和定理得：∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED= =108°，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠A）=36°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°，
∴∠C+∠CBE=180°，∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是等腰梯形，即事件M是必然事件，故选B．
【点评】本题主要考查对正多边形与圆，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定，必然事件，概率，随机事件，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
17. （2011北京，1，4分）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（　　）
A． B． QUOTE EMBED Equation.3 C． D． QUOTE EMBED Equation.3
考点：概率公式。
专题：计算题。
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，摸到红球的概率为=，故选B．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
18. （2010福建泉州，3，3分）下列事件为必然事件的是（　　）
A．打开电视机，它正在播广告 B．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
C．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7 D．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
考点随机事件
分析根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可．
解答解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件，故本选项错误；
B、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项错误；
C、因为枚普通的正方体骰子只有1﹣6个点数，所以掷得的点数小于7是必然事件，故本选项正确；
D、某彩票的中奖机会是1%，买1张中奖或不中奖是随机事件，故本选项错误．故选C．
点评本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
19. （2011福建省三明市，6,4分）有5张形状、大小、质地均相同的卡片，背面完全相同，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种不同的图案．将这5张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：概率公式；轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据中心对称图形的定义得出等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种图案哪些是中心对称图形，即可得出答案．
解答：解：∵根据中心对称图形的性质，旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，
∴只有平行四边形、菱形、圆是中心对称图形，
∵共有5张不同卡片，
∴抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为： QUOTE QUOTE ，
故选：C．
点评：此题考查主要考查了概率求法以及中心对称图形的定义，此题比较简单，正确记忆中心对称图形的定义是解决问题的关键．
20. （2011福建厦门，2，3分）下列事件中，必然事件是（　　）
A、掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B、掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C、抛掷一枚普通的硬币，掷得的结果不是正面就是反面
D、从装有99个红球和1个白球的布袋中随机取出一个球，这个球是红球
考点：随机事件。
分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
解答：解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是随机事件，故选项错误；
C、是必然事件，故选项正确；
D、是随机事件，故选项错误．
故选C．
点评：本题考查了必然事件的定义，关键是理解必然事件的定义．
21. ( cm )（2011甘肃兰州，7，4分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m=3，n=5 B．m=n=4 C．m+n=4 D．m+n=8
考点：概率公式．
分析：由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
解答：解：根据概率公式，摸出白球的概率， ，摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有 =，整理得，m+n=8，故选D．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
22.（2011 湖南张家界，2，3）下列事件中，不是必然事件的是（　　）
A、对顶角相等 B、内错角相等
C、三角形内角和等于180° D、等腰梯形是轴对称图形
考点：随机事件。
专题：分类讨论。
分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．
解答：解：A、为必然事件，不符合题意；
B、为不确定事件，两直线平行时才成立，符合题意；
C、为必然事件，不符合题意；
D、为必然事件，不符合题意．
故选B．
点评：本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
23.下列事件是必然事件的是（　　）
A、抛掷一次硬币，正面朝上
B、任意购买一张电影票，座位号恰好是“7排8号”
C、某射击运动员射击一次，命中靶心
D、13名同学中，至少有两名同学出生的月份相同
考点：随机事件 ( javascript:void(0) )．
专题：分类讨论 ( javascript:void(0) )．
分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解得．
解答：解：A、抛掷一次硬币，正面朝上，是可能事件，故本选项错误；
B、任意购买一张电影票，座位号恰好是“7排8号”，是可能事件，故本选项错误；
C、某射击运动员射击一次，命中靶心，是可能事件，故本选项错误；
D、13名同学中，至少有两名同学出生的月份相同，正确．
故选D．
点评：本题主要考查理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
24.（2011 丹东，2，3分）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，其中5个红球，3个黑球，2个白球，从中任意摸出一球是红球的概率是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：概率公式。
专题：计算题。
分析：先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可．
解答：解：在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，其中5个红球，从中任意摸出一球是红球的概率是=．
故选B．
点评：本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
25. （2011湖北十堰，10，3分）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）
第10题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：可能性的大小。
专题：几何图形问题。
分析：根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
解答：解：根据图示可以得出：；①5个出口的出水量相同；根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；根据第二个出水口的出水量为：[（+）÷2+ QUOTE EMBED Equation.3 ]÷2+ QUOTE EMBED Equation.3 = QUOTE EMBED Equation.3 ，第4个出水口的出水量为：[（+）÷2+ QUOTE EMBED Equation.3 ]÷2+ QUOTE EMBED Equation.3 = QUOTE EMBED Equation.3 ，故此选项正确；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；根据第一个出水口的出水量为： QUOTE EMBED Equation.3 ，第二个出水口的出水量为：[（+）÷2+ QUOTE EMBED Equation.3 ]÷2+ QUOTE EMBED Equation.3 =，第三个出水口的出水量为：+=，∴1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；故此选项正确；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．∵1号与5号出水量为 QUOTE EMBED Equation.3 ，3号最快为： QUOTE EMBED Equation.3 ，故更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．故此选项错误；故正确的有2个，
故选：B．
点评：此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．
26. （2011湖北武汉，4，3分）下列事件中，为必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖 B．打开电视机，正在播放广告
C．抛一牧捌币，正面向上 D．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
考点：随机事件。
专题：分类讨论。
分析：必然事件就是一定会发生的事件，即发生概率是1的事件，依据定义即可作出判断．
解答：解：A．可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不一定会中奖，不符合题意；
B．可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
C．可能发生，也可能不发生，属于随机发生，不符合题意．
D．是必然事件，符合题意；
故选D．
点评：本题主要考查必然事件．不可能事件．随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
27. （2011湖南常德，13，3分）在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（ ）
A．李东夺冠的可能性较小 B. 李东和他的对手比赛10局时，他一定会赢8局
C．李东夺冠的可能性较大 D. 李东肯定会赢
考点：概率的意义。
专题：应用题。
分析：根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．
解答：解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，
A、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
B、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
C、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
D、李东可能会赢，故本选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查了概率的意义：反映的只是这一事件发生的可能性的大小，难度较小．
28. （2011湖南衡阳，7，3分）下列说法正确的是（　　）
A、在一次抽奖活动中，“中奖概率是”表示抽奖100次就一定会中奖
B、随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C、同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D、在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是
考点：概率的意义。
分析：概率是表征随机事件发生可能性大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性．了解了概率的定义，然后找到正确答案．
解答：解：A、概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以概率是，也不能够说明是抽100次就能抽到奖．故本选项错误．
B、随机抛一枚硬币，落地后正面怎么一定朝上呢，应该有两种可能，故本选项错误．
C、同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和有多种可能性，故本选项错误．
D、在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到6的概率是．
故选D．
点评：本题解决的关键是理解概率的意义，以及怎样算出概率．
29. 下列说法正确的是（　　）
A、要调查人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式
B、一组数据3，4，4，6，8，5的众数和中位数都是3
C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%
D、若甲组数据的方差S甲2=0.128，乙组数据的方差S乙2=0.036；则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【考点】概率的意义 ( javascript:void(0) )；全面调查与抽样调查 ( javascript:void(0) )；中位数 ( javascript:void(0) )；众数 ( javascript:void(0) )；方差 ( javascript:void(0) )．
【专题】应用题 ( javascript:void(0) )．
【分析】A、人口太多，难以普查；B、根据众数和中位数的定义解答即可；C、根据必然事件的概率为1，随机事件的概率介于0和1之间；D、方差越大越不稳定，方差越小越稳定．
【解答】解：A、由于涉及范围太广，故不宜采取普查方式，故本选项错误；
B、数据3，4，4，6，8，5的众数是4，和中位数都是3.5，故本选项错误；
C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%，故本选项错误；
D、方差反映了一组数据的波动情况，方差越小数据越稳定，故本选项正确．故选D．
【点评】此题考查了统计的相关知识，是常见的关于概率的杂烩题，要注意对相关概念的积累．
30. （2011贵州毕节，6，3分）为备战中考，同学们积极投入复习，李红书包里装有语文试卷3张、数学试卷2张、英语试卷1张、其它学科试卷3张，从中任意抽出一张试卷，恰好是数学试卷的概率是( )
A． B． C． D．
考点：概率公式。
分析：由李红书包里装有语文试卷3张、数学试卷2张、英语试卷1张、其它学科试卷3张，可得一共有9种等可能的结果，又由数学试卷2张，根据概率公式即可求得答案．
解答：解：∵李红书包里装有语文试卷3张、数学试卷2张、英语试卷1张、其它学科试卷3张，∴一共有3+2+1+3=9种等可能的结果，∵恰好是数学试卷的有2种情况，∴恰好是数学试卷的概率是．故选D．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．题目比较简单，解题需细心．
31. （2011 贵阳3,3分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：概率公式。
专题：应用题。
分析：根据概率公式知，骰子共有六个面，其中向上一面的数字小于3的面有1，2，故掷该骰子一次，则向上一面的数字是1的概率是，向上一面的数字是2的概率是，从而得出答案．
解答：解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，其中向上一面的数字小于3的面有1，2，
∴掷该骰子一次，向上一面的数字是1的概率是，向上一面的数字是，2的概率是，
∴向上一面的数字小于3的概率是，
故选C．
点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
32. （2011黑龙江省哈尔滨,7，3分）小刚掷一枚质地匀的正方体体骰子，骰子的，六个面分别刻有l刭6的点数，则这个骰子向上一面点数大于3的概率为（　　）
A. B. C. D.
考点：概率公式。
专题：计算题。
分析：让骰子中大于3的数个数除以数的总个数即为所求的概率．
解答：解：根据等可能条件下的概率的公式可得：小刚掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
则向上的一面的点数大于3的概率为．
故选A．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
33. （2011广东深圳，8，3分）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：列表法与树状图法 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字和为偶数的情况，然后根据概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∴一共有9种等可能的结果，
指针指向的数字和为偶数的有4种情况，
∴指针指向的数字和为偶数的概率是：．
故选C．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有的结果，然后根据概率公式求解即可．
34. （2010广东，4，3分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（　　）
A．　 B． 　 C． D．
考点：概率公式
分析：先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．
解答：解：∵共8球在袋中，其中5个红球，∴其概率为，故选C．
点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
35. （2011浙江绍兴，7，4分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 QUOTE EMBED Equation.3 ，则黄球的个数为（　　）
A．2 B．4 C．12 D．16
考点：概率公式。
分析：首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．
解答：解：设黄球的个数为x个，
根据题意得： ，
解得：x=4．
∴黄球的个数为4．
故选B．
点评：此题考查了概率公式的应用．解此题的关键是设黄球的个数为x个，利用方程思想求解．
36. （2011湖州，6，3分）下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．a是实数，|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
考点：随机事件.
专题：应用题.
分析：一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
解答：解：A是随机事件，故不符合题意，B是必然事件，符合题意，C是不可能事件，故不符合题意，D是随机事件，故不符合题意．故选B．
点评：本题主要考查了必然事件为一定会发生的事件，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养，难度适中．
37. （2011浙江舟山，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
考点：概率公式。
专题：计算题。
分析：看是3的倍数的情况数占总情况数的多少即可．
解答：解：共有9张牌，是3的倍数的有3，6，9共3张，
∴抽到序号是3的倍数的概率是 QUOTE EMBED Equation.3 ．
故答案为：．
点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到抽到序号是3的倍数的情况数是解决本题的关键．
38. (2011襄阳，7，3分)下列事件中，属于必然事件的是(　　)
A．抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上
B．打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻
C．到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
D．某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖
考点：随机事件。
分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
解答：解：A．不一定发生，是随机事件，故选项错误，
B．不一定发生，是随机事件，故选项错误，
C．是必然事件，故正确，
D．不一定发生，是随机事件，故选项错误，
故选C．
点评：本题考查了必然事件．不可能事件．随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
39．（2011 宜昌，10，3分）下列说法正确的是（　　）
A、若明天降水概率为50%，那么明天一定会降水 B、任意掷一枚均匀的1元硬币，一定是正面朝上
C、任意时刻打开电视，都正在播放动画片《喜洋洋》 D、本试卷共24小题
考点：概率的意义。
分析：利用概率的意义和必然事件的概念的概念进行分析．
解答：解：A，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以降水概率为50%，那么明天也不一定会降水，故此选项错误；
B，必然事件是一定会发生的事件，则对于选项B很明显不一定能发生，有可能反面朝上，故此选项错误；
C，必然事件是一定会发生的事件，则对于选项C很明显不一定能发生，故此选项错误；
D，此试卷确实共24小题，所以是必然事件，故此选项正确．
故选D．
点评：此题主要考查了概率的意义，解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念．
（2011广东省茂名，10，3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 B、
C、 D、
考点：几何概率；正多边形和圆。
分析：在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
解答：解：因为⊙O的直径为分米，则半径为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 分米，⊙O的面积为π（ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）2=平方分米；
正方形的边长为=1分米，面积为1平方分米；
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）=．
故选A．
点评：此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
二、填空题
1. （2011盐城，11，3分）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是　
事件（选填“随机”或“必然”）．
考点：随机事件.
分析：不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可解决．
解答：解：根据随机事件的概念直接得出答案；任意打开一本200页的数学书，正好是第35页，虽然几率很小，但也存在可能，故此事件是随机事件．故答案为：随机．
点评：此题主要考查了了随机事件的概念，解决本题需要正确理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. （2011内蒙古呼和浩特，14，3）在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为_______（注：π取3）
考点：几何概率 ( javascript:void(0) )．
分析：根据已知首先求出圆的面积以及正方形的边长，进而得出正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率．
解答：解：∵在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，
∴圆的面积为：π×2 2=4π≈12．∵正方形的边长为：AB 2+BO 2=AO 2，∴2AB 2=4，∴AB= ，
正方形边长为：2，
∴正方形面积为：8，
∴落在正方形内的概率为：8÷12=．
故答案为：．
点评：此题主要考查了几何概率、圆的
3. 有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是 ．
考点：概率公式 ( javascript:void(0) )．
专题：应用题 ( javascript:void(0) )．
分析：共有八只型号相同的杯子，每只杯子被抽到的机会是相同的，故可用概率公式解答．
解答：解：在8只型号相同的杯子中，
一等品有5只，
则从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是P= ．
故答案为 ．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
4. （2011四川广安，15，3分）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为，则放人的黄球总数＝_____________．
考点：利用概率确定物体的个数．
专题：概率
分析：，解得．
解答：5
点评：根据概率的意义可知口袋中黄球的个数与球的总个数的比即为摸出的球是黄球的概率，由此可建立方程，通过解方程获解．
5. （2011四川凉山，16，4分）如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 .
考点：几何概率 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率．
解答：解：∵有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，
∴阴影部分面积为：π（4 2－2 2）＝12π，大圆的面积为：36π，
∴那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：＝，
故答案为：．
点评：此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是2cm，4cm，6cm求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键．
6. ( cm )（2011重庆江津区，17，4分）在一个袋子里装有10个球，其中6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，不是红球的概率是．
考点：概率公式。
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：红球的概率：（3+1）÷10＝．
故答案为：．
点评：此题主要考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
7. （2011重庆綦江，15，4分）在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字，2，4，－，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标，且点P在反比例函数y＝图象上，则点P落在正比例函数y＝x图象上方的概率是 ．
考点：概率公式；正比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：首先由点P在反比例函数y＝ QUOTE EMBED Equation.3 图象上，即可求得点P的坐标，然后找到点P落在正比例函数y＝x图象上方的有几个，根据概率公式求解即可．
解答：解：∵点P在反比例函数y＝ QUOTE EMBED Equation.3 图象上，
∴点P的坐标可能为：（，2），（2，），（4，），（－，－3），
∵点P落在正比例函数y＝x图象上方的有：（，2），
∴点P落在正比例函数y＝x图象上方的概率是．
故答案为：．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数与点的关系，以及概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
8. （2010重庆，15，4分）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．
现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为 ．
考点：概率公式；解分式方程
分析：易得分式方程的解，看所给4个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．
解答：解：解分式方程得：x=，能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），∴使关于x的分式方程 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ＋2＝有正整数解的概率为．
故答案为： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011湖北潜江，14，3分）张凯家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为8ZK后，对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数，续在8ZK之后，则选中的车牌号为8ZK86的概率是．
( http: / / www.m / )
考点：概率公式。
专题：规律型。
分析：先得出四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字组成两位数的可能，再得出是86的可能，根据概率公式即可求解．
解答：解：如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数的可能有6种，
其中是86的可能有2种，
故选中的车牌号为8ZK86的概率是＝2÷6＝．
故答案为：．
点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10. （2011 湘西州）在一个不透明布袋中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球各一个，这些球除颜色外其它都相同，从袋中随机地摸出一个乒乓球，那么摸到的球是红球的概率是．
考点：概率公式。
专题：应用题。
分析：由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答．
解答：解：∵布袋里装有红、黄、白三种颜色的乒乓球各一个，
∴P（摸到红球）==．
故答案为：．
点评：本题考查了概率公式的计算，要明确：如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个，不构成事件A的事件有b个，则出现事件A的概率为：P（A）=，难度适中．
11. （2011 贺州）在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．
( http: / / www.m / )
考点：概率公式；中心对称图形。
专题：应用题。
分析：先判断图中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．
解答：解：∵在这一组图形中中心对称图形的是：①②④共3个，
∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是．
故答案为：．
点评：本题主要考查的是概率公式及中心对称图形，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12. （2011 郴州）写出一个不可能事件　明天是三十二号　．
考点：随机事件。
专题：开放型。
分析：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
解答：解：一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件．
点评：关键是理解不可能事件的概念．
13. （2011 郴州）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．
考点：概率公式。
专题：应用题。
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学2页，
∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为=．
故答案为．
点评：本题主要考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14. （2011山东菏泽，13，3分）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：概率公式；根的判别式．
分析：所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式△=b2﹣4ac的值大于0，将各个值代入，求出值后，再计算出概率即可．
解答：解：△=b2﹣4ac=1﹣4k，将﹣2，﹣1，0，1，2分别代入得9，5，1，﹣3，﹣7，大于0的情况有三种，故概率为．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. （2011福建福州，12，4分）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是　 　．
考点：几何概率．
分析：根据几何概率的求法：看陆地的面积占总面积的多少即为所求的概率．
解答：解：根据题意可得：地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7，即相当于将地球总面积分为10份，陆地占3份，所以落在陆地上的概率是．故答案为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．2. （2011山东烟台，15，4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .
考点：几何概率.
分析：两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
解答：解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，所以P（飞镖落在黑色区域）==．故答案为．
点评：此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=．
16. (2011四川雅安13，3分)随意掷一枚正方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在阴影小方格中的概率为 ；
考点：几何概率。
专题：计算题。
分析：根据面积法求出骰子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答．
解答：∵共有9个方格，其中黑色方格占4个，
∴这粒豆子停在黑色方格中的概率是．
故答案为．
点评：此题考查几何概率的求法概率=相应的面积与总面积之比．
17. （2011福建莆田，13，4分）在围棋盒中6颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一
颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是，则n=_ ▲ ．
考点：概率公式．
专题：计算题．
分析：根据围棋盒中有6颗黑色棋子和a颗白色棋子，故棋子的总个数为6+a，再根据黑色
棋子的概率公式列式解答即可．
解答：解：∵围棋盒中有6颗黑色棋子和a颗白色棋子，
∴棋子的总个数为6+a，
∵从中随机摸出一个棋子，
摸到黑色棋子的概率为 ，
∴ = ，
解得，a=4．
故答案为4．
点评：本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能
性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
18. （2011福建龙岩，14，3分）袋子中有3个红球和6个白球，这些球除颇色外均完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是．
考点：概率公式.
分析：让白球的个数除以球的总数即为所求的概率．
解答：解：因为个袋子中装有3个红球6个白球，共9个球，所以随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为=．故答案为．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
19. （2011福建省漳州市，13,4分）口袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一个红球的概率是．
考点：概率公式。
专题：应用题。
分析：口袋中共有5个球，随机摸出一个是红球的概率是．
解答：解：P（红球）=．
故答案为．
点评：本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
20. （2011湖州，13，4分）某校对初三（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如下表，
得 分 10分 9分 8分 7分 6分以下
人数（人） 20 12 5 2 1
根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是 QUOTE EMBED Equation.3 ．
考点：概率公式.
专题：计算题.
分析：先求出该班人数，再根据概率公式既可求出“立定跳远”得分恰好是10分的概率．
解答：解：由表可知，共有学生20+12+5+2+1=40人；“立定跳远”得分恰好是10分的概率是=．故答案为．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
21. ．（2011浙江嘉兴，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是．
考点：概率公式．
专题：计算题．
分析：看是3的倍数的情况数占总情况数的多少即可．
解答：解：共有9张牌，是3的倍数的有3，6，9共3张，∴抽到序号是3的倍数的概率是 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
故答案为： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到抽到序号是3的倍数的情况数是解决本题的关键．
22. （2011浙江台州，12，5分）袋子中装有2个黑球和3个白球，这些球的形状．大小．质地等完全相同．随机地从袋子中摸出一个白球的概率是．
考点：概率公式．
专题：计算题．
分析：袋中共有5个球，每个球被摸到的机会是均等的，利用概率公式即可解答．
解答：解：∵袋子中装有2个黑球和3个白球，
∴根据概率公式，P=．故答案为：．
点评：此题考查了概率公式：如果一个随机事件有以下特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等，则可用概率公式计算．
23. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，14，3分）张凯家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为8ZK后，对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右
组成两位数，续在8ZK之后，则选中的车牌号为8ZK86的概率是 .
考点：概率公式 ( javascript:void(0) )．
分析：先得出四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字组成两位数的可能，再得出是86的可能，根据概率公式即可求解．
答案：解：如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数的可能有6种，
其中是86的可能有2种，
故选中的车牌号为8ZK86的概率是=2÷6= ．
故答案为： ．
点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. （2011黑龙江省黑河， 5，3分）中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是士、象、帅的概率．
【考点】概率公式。
【专题】计算题。
【分析】计算出所有棋子数，再找出不是士、象、帅的棋子个数，根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵共有1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，
∴棋子总个数为16个，
又∵不是士、象、帅的棋子共有11个，
∴P=．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25. （2011湖北十堰，12，3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色，形状、大小质地等完全相同。小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色的频率稳定在某种程度5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是 个.
考点：利用频率估计概率。
专题：计算题。
分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．
解答：解：白色球的个数是：20×（1﹣5%﹣15%）=20×80%=16，
故答案为：16，
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
26. （2011湖南衡阳，12，3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是 ．
考点：概率公式。
分析：根据题意可得：在1分钟内，红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，故抬头看信号灯时，是黄灯的概率是．
解答：解：P（黄灯亮）=
故本题答案为：．
点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
27. （2011邵阳，14，3分）已知粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔和1支红色粉笔，每支粉笔除颜色外，其余均相同，先从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是．
考点：概率公式.
分析：根据概率即可直接计算从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率．
解答：解：∵粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔和1支红色粉笔，∴从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是．故答案为．
点评：此题考查了概率公式的应用．解题的关键是注意概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
28. （2011湖南长沙，15，3分）在某批次的l00件产品中，有3件是不合格产品，从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是___________．
考点：概率 用样本去估计总体
专题：概率
分析：由“在样本容量为100的样本中，有3件是不合格产品”可知，抽到不合格产品的频率是3%，因此，当抽样具有代表性，且在大量反复实验中，可以用稳定的频率值去代替该事件的概率，故从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是3%．
解答：3%
点评：统计的核心思想是：用样本去估计总体．在本题中，是考查用实验频率去估计某事件的概率，要注意其前提条件是：抽样要具有代表性，且实验是大量反复的实验，才能用样本的频率去估计总体中某事件的概率．
29.（2011年湖南省湘潭市，14，3分）端午节吃粽子是中华民族的习惯．今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘粽子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是．
考点：概率公式 ( javascript:void(0) )．
专题：应用题 ( javascript:void(0) )．
分析：先求出所有粽子的个数，再根据概率公式解答即可．
解答：解：∵共有10个粽子，其中肉馅粽子有3个，
∴拿到肉馅粽子的概率为，
故答案为．
点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，难度适中．
30.（2011湖南益阳,13,5分）在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线y＝，该双曲线位于第一．三象限的概率是 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：概率公式；反比例函数的性质．
专题：计算题．
分析：根据概率求法直接列举出所有符合要求点的坐标，再根据只有（1，2），（2，1）符合xy=k＞0，得出答案即可．
解答：解：∵在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，
∴符合要求的点有（﹣1，1），（﹣1，2），（1，2），（1，﹣1），（2，1），（2，﹣1），
∴该双曲线位于第一．三象限时，xy=k＞0，
只有（1，2），（2，1）符合xy=k＞0，
∴该双曲线位于第一．三象限的概率是：2÷6= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
故答案为： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：此题主要考查了概率公式的应用以及反比例函数的性质，根据概率公式得出符合要求的点的坐标是解决问题的关键．
31.（2011辽宁本溪10，3分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别有1至6的点数，则向上一面的点数是偶数的概率　 　．
考点：概率公式
专题：应用题
分析：根据概率公式知，6个数中有3个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是．
解答：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数偶数，
故其概率是：=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有N种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现M种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
32.（2011辽宁阜新,10,3分）掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1，2，3，4，4，6，随意掷出这个正方体，朝上的数字不小于“3”的概率为．
考点：概率公式。
专题：应用题。
分析：根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：∵投掷一次会出现1，2，3，4，5，6共六种情况，并且出现每种可能都是等可能的，
其中不小于3的情况有3，4，5，6四种，
∴朝上的数字不小于3的概率是．
故答案为．
点评：本题主要考查了概率的计算公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，难度适中．
三、解答题
1. （2011甘肃兰州，23，7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一。某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图。根据图示，解答下列问题：
（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？
（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；
（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？
（4）请根据以上结论谈谈你的看法。
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式.
分析：（1）根据扇形统计图得出，超过1小时的占90°，利用圆心角的度数比得出概率；
（2）利用“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是，得出未超过1小时的为=，即可得出总人数，再利用条形图求出；（3）利用样本估计总体即可得出答案；（4）根据锻炼身体的情况可以提出一些建议．
解答：解：（1）=，∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是；
（2）∵720×=540（人），540﹣120﹣20=400人，∴“没时间”锻炼的人数是400；
（3）2.4×（1﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）=1.8（万人），∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时约有1.8万人．
（4）根据同学们的锻炼身体时间情况可以发现，同学们需要加强锻炼．
说明：内容健康，能符合题意即可．
( http: / / www.m / )
点评：此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用，根据扇形图与条形图综合应用得出每天锻炼未超过1小时的概率是解决问题的关键．
2. （2010广东佛山，23，8分）现在初中课本里所学习的概率计算问题只有以下类型：
第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；
第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验；
解决概率计算问题，可以直接利用模型，也可以转化后再利用模型；
请解决以下问题
（1）如图，类似课本的一个寻宝游戏，若宝物随机藏在某一块砖下（图中每一块砖除颜色外完全相同），则宝物藏在阴影砖下的概率是多少？
（2）在1﹣9中随机选取3个整数，若以这3个整数为边长构成三角形的情况如下表：
第1组试验 第2组试验 第3组试验 第4组试验 第5组试验
构成锐角三角形次数 86 158 250 337 420
构成直角三角形次数 2 5 8 10 12
构成钝角三角形次数 73 155 191 258 331
不能构成三角形次数 139 282 451 595 737
小计 300 600 900 1200 1500
请你根据表中数据，估计构成钝角三角形的概率是多少？（精确到百分位）
考点利用频率估计概率；几何概率
分析（1）根据题意藏在阴影砖下的结果有4种，所有的可能有16种，从而可求出结果．
（2）求出每组里面钝角三角形的概率．其中的的众数即为所求．
解答解：（1）根据题意藏在阴影砖下的结果有4种，所有的可能有16种，P= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ==0.25．
（2）各组实验的钝角三角形的频率依次是0.24，0.26，0.21，0.22.0.22，
所以P=0.22．
所以钝角三角形的概率是0.22．
点评本题考查运用频率来估计概率以及几何概率的知识点，关键知道什么时候是频率和概率等同，什么时候取众数．
3. （2011广东肇庆，18， 分）如图是一个转盘．转盘分成8个相同的图形，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个图形的交线时，当作指向右边的图形）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向黄色或绿色．
考点：几何概率。
专题：计算题。
分析：（1）将所用可能结果和指针指向红色的结果列举出来，后者除以前者即可；
（2）将所用可能结果和指针指向红色或黄色的结果列举出来，后者除以前者即可；
解答：解：按颜色把8个扇形分为红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3，所有可能结果的总数为8，
（1）指针指向红色的结果有2个，
∴P（指针指向红色）= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）指针指向黄色或绿色的结果有3+3=6个，
∴P（指针指向黄色或绿色）= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 = QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：本题考查了几何概率的求法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.（2011湖北黄石，21,8分）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦．也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球．妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．
（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因．
（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利．说明理由．
考点：游戏公平性；一元一次不等式的应用；概率公式。
分析：（1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平；
（2）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，讨论x的取值，根据概率大的就有利，即可求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：妹妹去听讲座的概率为：；
小明去听讲座的概率为：，
∵，
∴这个办法不公平；
（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：；
小明去听讲座的概率为：，
∴当2x=3x﹣3，即x=3时，他们的机会均等；
当2x＞3x﹣3，即x＜3时，对妹妹有利；
当2x＜3x﹣3，即x＞3时，对小明有利．
点评：此题考查了概率公式的应用，考查了游戏公平性问题．注意判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列事件中，必然事件是 ( )
A．掷一枚硬币，着地时反面向上
B．星期天一定是晴天
C．在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾
D．打开电视机，正在播放动画片
2．下列事件是随机事件的是 ( )
A．在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾
B．购买一张福利彩票，中奖
C．有一名运动员奔跑的速度是30米/秒
D．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
3．下列事件中，属于不可能事件的是 ( )
A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身
C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0
4．从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，则 ( )
A． B．
C． D．
5．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现“一次正面，两次反面”的概率为 ( )
A． B． C． D．
6．如图25-65所示的是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，则抽到偶数的概率是 （ ）
A． B． C． D．
7．小明在白纸上任意画了一个锐角，他画的角在450到600之间的概率是 （ ）
A． B． C． D．
8．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是 ( )
A． B． C． D．
9．抛一枚硬币，背面朝上的概率为P1；掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7的概率为；口袋中有红、黄、白球(大小、质地均相同)各一个，从中一次摸出两个红球的概率是，则的大小关系是 ( )
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
10．设有12只型号、质地相同的杯子，其中一等品7只、二等品3只、三等品2只，则从中任取1只为二等品的概率是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．袋中装有除颜色外其他完全相同的4个小球，其中3个红色，1个白色，从袋中任意地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ．
12．在英语句子“Wish you success!”(祝你成功！)中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．
13．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.851 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 (精确到0.1)．
14．屏幕上有四张卡片，卡片上分别有大写的英文字母“A，Z，F，X”，现已将字母隐藏．只要用手指触摸其中一张，上面的字母就会显现出来．某同学任意触摸其中2张，上面显现的英文字母都是中心对称图形的概率是 ．
15．在一个袋中，装有五个除数字外其他完全相同的小球，球面上分别标有1，2，3，4，5这5个数字，从中摸一个球，球面数字是奇数的概率是 ．
16．小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是 ．
17．已知菱形中，对角线＝8cm，＝6 cm，在菱形内部(包括边界)任取一点，使的面积大于6cm2的概率为 ．
18．如图25-66所示的是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时(当指针恰好停在分割线上时，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止)，两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是 ．
19．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15％和45％，则口袋中白色球的个数很可能是 .
20.从1，2，3这三个数字中任取两个数字组成一个没有重复数字的两位数，能组成被3整除的两位数的概率是 .
三、解答题（每小题12分，共30分）
21．在完全相同的五张卡片上分别写上1，2，3，4，5个数字后，装入一个不透明的口袋内搅匀.
（1）从口袋内任取一张卡片，卡片上的数字是偶数的概率是 ；
（2）从口袋内任取一张卡片记下数字后放回，搅匀后再从中任取一张，求两张卡片上数字之和为5的概率.
22.一家公司招考员工，每位考生要在A,B,C,D,E这5道试题中
随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格，已知某位考生会答，两
题，试求这位考生合格的概率.
23.学校奖励给王伟和李丽上海世博园门票共两张，其中一张为指定日门票，另一张为普通日门票.班长让王伟和李丽分别转动如图25-67所示的甲、乙两个转盘（转盘甲被二等分、转盘乙被三等分）确定指定日门票的归属，在两个转盘都停止转动后，若指针所指的两个数字之和为偶数，则王伟获得指定日门票；若指针所指的两个数字之和为奇数，则李丽获得指定日门票；若指针指向分隔线，则重新转动，你认为这个方法公平吗，请画树形图或列表，并说明理由.
24.在“六·一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图25-68所示，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场.如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得15元的购物券.转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由.
25.某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10％设大奖，其余90％为小奖.厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖.
（1）厂家请教了一位数学教师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由．
(2)如图25-69所示的是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．(友情提醒：(1)在转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数．(2)结合转盘简述获奖方式，不需说明理由)
参考答案
1．C 2．B 3．A
4．B［提示：只有红球，没有白球，所以摸到白球的概率为0，摸到红球的概率为1．］
5．C 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C
11．［提示：画树形图可得结果。］
12．
13．0.8
14．
15．
16．2100
17．
18．
19．24
20．
21．解：(1) (2)画树形图如图25-70所示，所以可得两张卡片上数字之和为5的
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
图25-70
概率为．
22．解：画树形图如图25-7l所示．共有20种可能情况，符合要求的有14种，所以这位考
图25-71
生合格的概率为，即。
23．解：画树形图如图25-72所示，共有6种可能情况， 甲 开始
两数之和为偶数的有3种，两数之和为奇数的也有3种，
所以王伟、李丽获得指定日门票的概率相同，都为， 1 2
所以这个方法公平．
24．解：80×＋50×＋20×＝16.5(元)， 乙 3 4 5 3 4 5
∵16.5元＞15元，∴选择转转盘对顾客更合算。 和 4 5 6 5 6 7
25．解：(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求．分别用 图25-72
黄1 、黄2、白1、白2、白3表示这五个球，从中任意摸出2个球，画树形图如图25-73所示．共有20种可能结果，符合要求的有2种，所以(两个黄球)=,
黄1 黄2 白1 白2 白3
黄2白1 白2白3 黄2 白1 白2白3黄1黄2白2白3 黄1黄2白1白3 黄1黄2白1 白2
图25-73
即顾客获得大奖的概率为l0％，获得小奖的概率为90％． (2)本题答案不唯一．比如：如图25-74所示，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂成黄色，其他区域涂成白色，顾客每购买一台该型号的电视机；可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．
（第15题图）
超过1小时
未超过1小时
270°
O
不喜欢
没时间
其它
50
100
150
250
350
450
200
300
400
原因
人数
锻炼未超过1小时人数频数分布直方图
120
20第二十六章 二次函数
本章小结
小结1 本章概述
本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．
二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题．
【学习本章应注意的问题】
1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y＝ax2(a≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2一直到y＝ax2＋bx＋c，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．
2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．
3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验．
小结3 中考透视
近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.
知识网络结构图
二次函数的概念
二次函数的图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【专题解读】 对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．
例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0．其中正确的个数是 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
分析 ∵抛物线的开口向下，∴a＜0；∵抛物线与y轴交于正半铀，∴c＞0;∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．故②③正确．故选C．
【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y轴交点的位置以及与x轴交点的个数．
例2 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数关系式是 ( )
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A．y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
分析 由表格中的信息可知，当x＝1时，ax2＝1，所以a＝1．当x=－1时，ax2＋bx＋c＝8，当x＝0时，ax2＋bx＋c＝3，所以c＝3，所以1×(－1)2＋b×(－1)＋3＝8，所以b＝－4．故选A．
【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x＝1时，ax2＝1，x＝0时，ax2＋bx＋c＝3和x＝－1时，ax2＋bx＋c＝8．
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y＝ax＋b的图象不经过 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
分析 由图象可知a＜0，＜0，则b＜0，所以y＝ax＋b的图象不经过第一象限．故选A．
【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a的符号，b的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a＞0，b＞0，c＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．其中正确的个数为 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
分析 由a＞0，得抛物线开口向上，由＜0，得对称轴在y轴左侧，由c＜0可知抛物线与y轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.
【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．
例5 若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
分析 因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=与x＝－的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当＜＜时，y2＜y1＜y3．故选B．
【解题策略】 此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=的函数值转化为x＝－的函数值．
例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )
分析 直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．
专题2 抛物线的平移规律
【专题解读】 当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．
例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )
A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2
C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1
分析 原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．
【解题策略】 解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．
例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋5，则 ( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
分析 y＝x2－3x＋5变形为y＝＋5－，即y＝＋，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y＝＋＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．
【解题策略】 此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝x2＋bx＋c．
专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用
【专题解读】若抛物线经过原点，则c＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则和的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a，b，c以及与之有关的代数式的值．
例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y＝ax2＋3ax＋a2－1的图象，则a的值是 .
分析 因为图象经过原点，所以当x＝0时，y＝0，所以a2－1=0，a＝±1，因为抛物线开口向下，所以a＝－1.故填－1:
专题4 求二次函数的最值
【专题解读】 在自变量x的取值范围内，函数y＝ax2＋bx＋c在顶点处取得最值．当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，顶点最低，当x＝时，y有最小值为；当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，顶点最高，当x＝时，y有最大值为．
例10 已知实数x，y满足x2＋2x＋4y＝5，则x＋2y的最大值为 .
分析 x2＋2x＋4y＝5，4y＝5－x2－2x，2y＝(5－x2－2x)，x＋2y＝(5－x2－2x)＋x，整理得x＋2y＝－x2＋.当x＝0时，x＋2y取得最大值，为．故填．
专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．
例11 已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(2，0)，(－1，6)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y＞0时x的取值范围．
分析 (1)列出关于a，b的方程组，求a，b的值即可．(2)观察图象求出y＞0的解集．
解：(1)由题意可知，当x＝2时，y＝0，当x＝－1时，y＝6，
则解得
∴二次函数的解析式为y＝2x2－4x．
(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y＞0时，x＜0或x＞2．
【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．
二、规律方法专题
专题6 二次函数解析式的求法
【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．
(1)设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．
(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．
若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．
例12 根据下列条件求函数解析式．
(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；
(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；
(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；
(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．
分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c
将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，
得解得
∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．
(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，
∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，
将点(0，－5)代入 ，得－5＝a－3，∴a＝－2，
∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．
即y＝－2x2－4x－5．
(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，
将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y=－x2＋1
(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，
将点(0，7)代入，得7＝a·3·(－1)＋4，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，
即y＝－x2－2x＋7．
【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.
(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．
(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．
三、思想方法专题
专题7 数形结合思想
【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．
例13 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－90所示，则点A(a，b)在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
分析 由图象开口方向向下可知a＜0，由对称轴的位置可知x＝＞0，所以b＞0，故点A在第二象限．故选B．
【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置．
专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．
例14 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于B(1，0)，C(5，0)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E，F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
分析 (1)用待定系数法求a，b，c的值．(2)用分类讨论法求直线CD的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.
解：(1)根据题意，得c=3，所以解得
所以抛物线的解析式为y＝x2－x＋3．
(2)依题意可知，OA的三等分点分别为(0，1)，(0，2)，
设直线CD的解析式为y＝kx＋b，
当点D的坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为y＝－x＋1，
当点D的坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为y＝－x＋2．
(3)由题意可知M，如甲26－91所示，
点M关于x轴的对称点为M′，
点A关于抛物线对称轴x＝3的对称点为A′(6，3)，
连接A′M′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是点P运动的最短总路径的长．
所以A′M′与x轴的交点为所求的E点，与直线x＝3的交点为所求的F点．
可求得直线A′M，的解析式为y＝x－．
所以E点坐标为(2，0)，F点坐标为，
由勾股定理可求出A′M′＝．
所以点P运动的最短总路径(ME＋EF＋FA)的长为．
【解题策略】 (2)中点D的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E，F两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．
专题9 方程思想
【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y＝0或x＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．
例15 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴交点的个数是 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
分析 可设x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，可得抛物线y＝x2－2x＋1与x轴只有一个交点．故选B．
【解题策略】 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝o(a≠0)的根的个数来确定．
专题10 建模思想
【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题．
例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润 最大利润是多少
分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x－50)元，则平均每天少销售3(x－50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x－50)]箱，即y＝90－3(x－50).(2)每天的销售利润可用(x－40)[90－3(x－50)]来表示．(3)建立W和x之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值．
解：(1)y＝90－3(x－50)，即y＝－3x＋240．
(2)W＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600，
(3)∵a＝－3＜0，∴当x＝＝60时，W有最大值，
又∵当x＜60时，y随x的增大而增大，
∴当x＝55时，W取得最大值为1125元，
即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解．
例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a元．
(1)试求a的值；
(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．
①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；
②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费)
解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．
(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，
则，解得
∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．
②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)×10×250－10×200－x,
即S＝－25x2＋499x＋500，
整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．
∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．
例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)
(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是 元；
(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是 ；
(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．
分析 本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．
解：(1)18000
(2)y=x2＋10x＋18000
(3)当y＝17600时，
－x2＋10x＋400=0，
即x2－20x－800＝0．
解得x＝－20(舍去)或x＝40．
180＋40＝220，
所以这天每间客房的价格是220元．
例19 （09·泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝x＋m与x轴交于点E．
(1)求点E的坐标；
(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．
解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，
则OF=OAcos 60°=1，AF=OFtan 60°=，
∴点A(1，)．
代入直线解析式，得×1＋m＝，∴m＝，
∴y=x＋.
当y=0时，x＋=0，
解得x＝4，∴点E(4，0)．
(2)设过A，O，E三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∵抛物线过原点，∴c＝0，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x.
例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．
(1)求点B的坐标；
(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式．
解：(1)如图26－95所示，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF＝2，OF＝1．
∵OA⊥OB，
∴∠AOF＋∠BOE＝90°．
又∵∠BOE＋∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE．
∴Rt△AFO∽Rt△OEB．
∴＝2
∴BE＝2，OE＝4．
∴B(4，2)．
(2)设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
则解得
∴所求抛物线的表达式为y＝x2－x.
例21如图26－96所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．
解：(1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，
∴解得
∴所求抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2．
(2)∵A(1，0)，B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2，
可得旋转后C点的坐标为(3，1)．
当x＝3时，由y=x2－3x＋2得y＝2，
可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)．
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C
∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1．
例22 如图26－97所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4．
(2)如图26－98所示，点D(m，m＋1)在抛物线上，
∴m＋1＝－m2＋3m＋4，
即m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3．
∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．
由(1)得B点的坐标为(4，0)，
∴OC=OB，∴∠CBA＝45°．
设点D关于直线BC的对称点为点E．
∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，
∴∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．
∴OE＝1，∴E(0，1)．
即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011内蒙古呼和浩特，8，3）已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2
考点：二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解 ( javascript:void(0) )．
分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系．
解答：解：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=x2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，∴y1＜y2＜y3．故选A．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．
2. （2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（　　）
A、﹣2 　　　　 B、2　　　　　　　C、15 　　　　　 D、﹣15
考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。
分析：根据图象上点的性质，将（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案．
解答：解：∵y=ax2+bx﹣3过点（2，4），
∴4=4a+2b﹣3，
∴4a+2b=7，
∴8a+4b+1=2×7+1=15，
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4a+2b=7是解决问题的关键．
二、解答题
1. （2011 泰州，27，12分）已知二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系。
专题：计算题。
分析：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；
（2）①不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．
解答：（1）解：把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3得：5=4﹣2b﹣3，
∴b=﹣2，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=﹣4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0，
答：b的值是﹣2，当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0．
（2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]=（m﹣2）2，
∵m≥5，
∴（m﹣2）2＞0，
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．
一、选择题
1. （2011 江苏宿迁，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）
A、a＞0 B、当x＞1时，y随x的增大而增大 C、c＜0 D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根．
解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故B选项错误；
∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故C选项错误；
∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．
2. （2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（　　）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3
考点：二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．
解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D，
将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，错误，
代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，正确．
故选C．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除．
3. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0
考点：二次函数与不等式（组）。
专题：数形结合。
分析：根据图形双曲线y= QUOTE EMBED Equation.3 与抛物线y=x2+1的交点A的横坐标是1，即可得出关于x的不等式+x2+1＜0的解集．
解答：解：∵抛物线y=x2+1与双曲线y= QUOTE EMBED Equation.3 的交点A的横坐标是1，
∴关于x的不等式 QUOTE EMBED Equation.3 +x2+1＜0的解集是﹣1＜x＜0．
故选D．
点评：本题主要考查了二次函数与不等式．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解双曲线与二次函数的解析式．
4. （2011江苏镇江常州，8，2分）已知二次函数y＝－x2＋x－，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣1．m+1时对应的函数值为y1．y2，则y1．y2必须满足（　　）
A．y1＞0．y2＞0 B．y1＜0．y2＜0
C．y1＜0．y2＞0 D．y1＞0．y2＜0
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m﹣1．m+1的位置，进而确定函数值为y1．y2．
解答：解：令 QUOTE y＝－x2＋x－=0，
解得：x=，
∵当自变量x取m时对应的值大于0，
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ＜m＜ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∴m﹣1＜ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，m+1＞ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∴y1＜0．y2＜0．
故选B．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标．
5. （2011山西，12，2分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程的两根是
C． D． 当x > 0时，y随x的增大而减小
考点：二次函数的图象及性质
专题：二次函数
分析：由二次函数的图象知， ，所以．故A错．由，知C错．由二次函数的图象知当x > 1时，y随x的增大而减小，所以D错，故选B．
解答：B
点评：此题是针对学生的易错点设计的．掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
6. ( cm )（2011陕西，10，3分）若二次函数的图像过三点，则大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征。
专题：函数思想。
分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将分别代入二次函数的解析式y=x2﹣6x+c求得y1，y2，y3，然后比较它们的大小并作出选择．
解答：解：根据题意，得y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c； y2=4﹣12+c=﹣8+c，即y2=﹣8+c； y3=9+2+6﹣18﹣6+c=﹣7+c，即y3=﹣7+c；∵8＞﹣7＞﹣8，∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，即y1＞y3＞y2．
故选B．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）．解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立．
7. 抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（　　）
A、（2，-3） B、（-2，3） C、（2，3） D、（-2，-3）
考点：二次函数的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标．
解答：解：∵抛物线y=-（x+2）2-3为抛物线解析式的顶点式，
∴抛物线顶点坐标是（-2，-3）．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
8. （2011四川广安，10，3分）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．＝l B．>l C．≥l D．≤l
考点：二次函数的性质
专题：二次函数
分析：二次函数的开口向上，其对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，当时，随的增大而减小．因为当≤l时，随的增大而减小，所以直线应在对称轴直线的左侧或与对称轴重合，则．
解答：C
点评：解决该题的关键是掌握二次函数的图象与性质，利用性质判断图象的增减规律来进行判断，要注意直线与抛物线的对称轴之间的位置关系，这是解决问题的突破口．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 台湾19，4分）坐标平面上，二次函数y=x2﹣6x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（　　）
A、x=50 B、x=﹣50 C、y=50 D、y=﹣50
考点：二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：用配方法判断函数y的取值范围，再对x、y的取值范围进行判断．
解答：解：∵y=x2﹣6x+3=（x﹣3）2﹣6≥﹣6，
而函数式中，x可取全体实数，
∴二次函数图象与方程y=﹣50无交点．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是运用配方法求y的取值范围．
10. （2011 台湾28，4分）如图为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c的图形，且此图形通（﹣1，1）、（2，﹣1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确（　　）
A、y的最大值小于0 B、当x=0时，y的值大于1
C、当x=1时，y的值大于1 D、当x=3时，y的值小于0
考点：二次函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合。
分析：根据图象的对称轴的位置[在点（﹣1，1）的左边]、开口方向、直接回答．
解答：解：A、由图象知，点（﹣1，1）在图象的对称轴的右边，所以y的最大值大于0；故本选项错误；
B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y的交点在（﹣1，1）点的右边，故y＜1；故本选项错误；
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，∴该函数图象的对称轴x=﹣ QUOTE EMBED Equation.3 ＞0，∴a﹣b+c=1；而当x=1时，y=a+b+c≠1；故本选项错误．
D、当x=3时，函数图象上的点在点（2，﹣1）的右边，所以y的值小于0；故本选项正确；
故选D．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，须熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识点．
11. （2011台湾，6，4分）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为（　　）
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / ) C． ( http: / / www.m / ) D． ( http: / / www.m / )
考点：二次函数的图象。
专题：函数思想。
分析：根据二次函数的解析式y＝2x2－8x＋6求得函数图象与y轴的交点及对称轴，并作出选择．
解答：解：①当x＝0时，y＝6，及二次函数的图象经过点（0，6）；
②二次函数的图象的对称轴是：x＝＝2，即x＝2；
综合①②，符合条件的图象是A；
故选A．
点评：本题考查了二次函数的图象．解题时，主要从函数的解析式入手，求得函数图象与y轴的交点及对称轴，然后结合图象作出选择．
12. （2010重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0
考点：二次函数图象与系数的关系
分析：根据抛物线的开口方向判断a的正负；根据对称轴在y轴的右侧，得到a，b异号，可判断b的正负；根据抛物线与y轴的交点为（0，c），判断c的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+b+c的正负．
解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0；又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0；又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，又x=1，对应的函数值在x轴上方，即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0；所以A，B，C选项都错，D选项正确．故选D．
点评：本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中各系数的作用：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为x=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，a，b同号，对称轴在y轴的左侧；a，b异号，对称轴在y轴的右侧；抛物线与y轴的交点为（0，c），c＞0，与y轴正半轴相交；c＜0，与y轴负半轴相交；c=0，过原点．
13. 已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x-5)2-1(x＞3)，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　）
A、0 B、1 C、2 D、3
考点：二次函数的图象 ( javascript:void(0) )．
专题：数形结合 ( javascript:void(0) )．
分析：首先在坐标系中画出已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x-5)2-1(x＞3)的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．
解答：解：函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x-5)2-1(x＞3)的图象如图：
，
根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，
∴k=3．
故选D．
点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
14. （2011 河池）把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（　　）
A、y=（x+2）2+3 B、y=（x﹣2）2+3
C、y=（x+2）2﹣3 D、y=（x﹣2）2﹣3
考点：二次函数图象与几何变换。
专题：动点型。
分析：易得新抛物线的顶点，根据二次函数的平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新抛物线的解析式．
解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0），
∴新抛物线的顶点为（2，3），
∴新抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+3，
故选B．
点评：考查二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数．
15. （2011 青海）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（　　）
A、y=2x2+2 B、y=2（x+2）2
C、y=（x﹣2）2 D、y=2x2﹣2
考点：二次函数图象与几何变换。
分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解答：解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x2的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：
y=2（x+2）2．
故选：B．
点评：此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
16. ( cm )（2011，台湾省，8,5分）如图，坐标平面上二次函数y=x2+1的图形通过A、B两点，且坐标分别为（a，）、（b，），则AB的长度为何？（　　）
( http: / / www.m / )
A、5 B、 C、 D、
考点：二次函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：将纵坐标的值代入函数式求横坐标a、b的值，根据AB=|a﹣b|求解．
解答：解：把y=代入y=x2+1中，得=x2+1，
即x2=，解得x=±，∴a=，b=﹣，∴AB=﹣（﹣）=5．
故选A．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称．
17. （2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】探究型．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
18. （2011 德州6，3分）已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据图象可得出方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．
解答：解：根据图象可得a，b异号，
∵a＞b，∴a＞0，b＜0，
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，是重点内容要熟练掌握，
19. （2011山东菏泽，8，4分）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A．B．C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（　　）
( http: / / www.m / )
A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1 C．b＜2a D．ac＜0
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据OA=OC=1和图象得到C（0，1），A（﹣1，0），把C（0，1）代入求出c=1，把A（﹣1，0）代入即可求出答案．
解答：解：∵OA=OC=1，∴由图象知：C（0，1），A（﹣1，0），把C（0，1）代入得：c=1，把A（﹣1，0）代入得：a﹣b=﹣1，故选B．
点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出A．C的坐标是解此题的关键．
20. （2011 莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x的图象与反比例函数y=的图象在同一坐标系中大致是（　　）
考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象。
分析：由已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，再利用f（0）和f（1）的值即可确定c的取值，然后就可以确定反比例函数y=与正比例函数y=（b+c）x在同一坐标系内的大致图象．
解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，
∴a＜0，
对称轴在y轴的右边，
∴x=﹣＞0，
∴b＞0，
当x=0时，y=c＜0，
当x=1时，a+b+c=0，故知a+b＞0，
∴反比例函数 QUOTE y=的图象在第二四象限，
正比例函数y=（b+c）x的图象在第一三象限．
故选A．
点评：本题主要考查函数图象的知识点，此题从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b的值及f（0）和f（1）的值确定c的取值范围．
21. （2011年山东省威海市，7，3分）二次函数y=x2–2x–3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）
A、–1＜x＜3 B、x＜–1 C、x＞3 D、x＜–3或x＞3
考点：二次函数的图象 ( javascript:void(0) )．
专题：数形结合 ( javascript:void(0) )．
分析：先观察图象确定抛物线y=x2–2x–3的图象与x轴的交点，然后根据y＜0时，所对应的自变量x的变化范围．
解答：解：由图形可以看出：
y＜0时，自变量x的取值范围是–1＜x＜3；故选A．
点评：本题考查了二次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
22. ( cm )（2011山东省潍坊， 12，3分）巳知一元二次方程的两个实效根满足和，那么二次函救的图象有可能是( )
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1 x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．
【解答】解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1 x2=3，
∴x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，
解得：x1=1，x2=3
∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）
故选C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标．
23. （2011山东烟台，10，4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
考点：二次函数的性质.
分析：由图看出两抛物线的对称轴相同，故m=n，抛物线的顶点纵坐标k在h上方，故k＞h，故选项A正确，其他错误．
解答：解：A，由图看出两抛物线的对称轴相同，故m=n，抛物线的顶点纵坐标k在h上方，故k＞h，故该选项正确；B，由A选项分析相同，故本选项错误；C，由A选项分析相同，故本选项错误；D，由A选项分析相同，故本选项错误．故选A．
点评：本题考查了二次函数的性质，有图看出抛物线的顶点的位置关系同函数关系式中数值的关系．本题为非常基础的二次函数性质的应用题．
24. （2011 山西12，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（　　）
( http: / / www.m / )
A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3
C、2a﹣b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小
考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。
专题：计算题。
分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．
解答：解：A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故本选项正确；
C、∵抛物线对称轴为x=﹣=1，∴2a+b=0，故本选项错误；
D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．
25. .二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
考点：二次函数的图象 ( javascript:void(0) )；正比例函数的图象 ( javascript:void(0) )；反比例函数的图象 ( javascript:void(0) )．
专题：数形结合 ( javascript:void(0) )．
分析：由已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象．
解答：解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向下，∴a＜0，
对称轴在y轴的左边，∴x＝－＜0，∴b＜0，
∴反比例函数的图象在第二四象限，
正比例函数y＝bx的图象在第二四象限．
故选B．
点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b的值．
（2011广东肇庆，10，3分）二次函教y=x2+2x﹣5有（　　）
A、最大值﹣5 B、最小值﹣5 C、最大值﹣6 D、最小值﹣6
考点：二次函数的最值。
专题：探究型。
分析：先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由其顶点式求出其最值即可．
解答：解：∵二次函教y=x2+2x﹣5中a=1＞0，
∴此函数有最小值，
∴．
故选D．
点评：本题考查的是二次函数的最值问题，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，函数有最小值最低点，所以函数有最小值，当x= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 时， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
（2011辽宁本溪，24，11分）我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价-成本）
考点：二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式。
专题：销售问题。
分析：（1）将x=22，y=780，x=25，y=750代入y=kx+b即可求得y与x的函数关系式；
（2）先求得每天获得的利润W关于x的函数关系式，再求出当x=30时获得的利润最大．
解答：解：设y与x的函数关系式为，
把x=22，y=780，x=25，y=750代入得，
解得
∴函数的关系式为；
（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，
则；
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大．
即元；
答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元．
点评：本题主要考查二次函数的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
（2011广东佛山，24，10分）商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：[]
①销售成本（元/千克）与销售月份的关系如图所示：
②销售收入（元/千克）与销售月份满足；
③销售量（千克）与销售月份满足；
试解决以下问题：
（1）根据图形，求与之间的函数关系式；
（2）求该种商品每月的销售利润（元）与销售月份的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大？
考点二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式。
分析（1）根据图形，知p与x之间的关系符合一次函数，故可设为p=kx+b，然后将点（1，9）与（6，4）代入函数解析式，即可求得p与x之间的函数关系式；
（2）由y=（q﹣p）m，可得y=﹣50x2+400x+1000则可求得4个月的销售利润最大．
解答解：（1）根据图形，知p与x之间的关系符合一次函数，故可设为p=kx+b，
∴，
解得：，
∴p与x的函数关系式为p=﹣x+10；
（2）根据题意得：月销售利润y=（q﹣p）m=[（﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 x+15）﹣（﹣x+10）]（100x+200），
化简得：y=﹣50x2+400x+1000=﹣50（x﹣4）2+1800，
∴4月份的销售利润最大．
点评此题考查了函数的实际应用问题．解题的关键是能根据题意构建函数模型，然后根据函数的性质求解即可．
26.（2011辽宁沈阳，23，12分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7X倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5X倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加X倍（本题中0＜X≤11）．
（1）用含X的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为　 　元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为　 　元．
（2）求今年这种玩具的每件利润Y元与X之间的函数关系式．
（3）设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当X为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．
考点：二次函数的应用。
专题：应用题。
分析：（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10 0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12 0.5x）元/件；
（2）今年这种玩具的每件利润Y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；
（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量，得到W=﹣2（1+x）（x﹣2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案．
解答：解（1）10+7x；12+6x；
（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），
∴y=2﹣x （0＜x＜2）；
（3）∵W=2（1+x） y
=﹣2（1+x）（x﹣2）
=﹣2x2+2x+4，
∴W=﹣2（x﹣0.5）2+4.5
∵﹣2＜0，0＜x≤11，
∴W有最大值，
∴当x=0.5时，W最大=4.5（万元）．
答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．
点评：本题考查了二次函数的顶点式：y=a（x﹣k）2+h，（a≠0），当a＜0，抛物线的开口向下，函数有最大值，当x=k，函数的最大值为h．也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法．
（2011湖南长沙，25，10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数的零点．
己知函数 (m为常数)．
（1）当＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．
考点：二次函数 一元二次方程 轴对称 一次函数
专题：二次函数
分析：（1）当＝0时，该函数为y＝x2－6，令y＝0，则得相应的一元二次方程，解该方程即得此时该函数的零点．
（2）令y＝0，得一元二次方程x2－2mx－2(m＋3)＝0，对该方程的根的判别式的变形，可化为△＝，即得所证结论．
（3）如下图，在直线y＝x－10上找一点M，使MA＋MB的值最小，只有通过轴对称知识将在直线的同侧的两点转化在直线的两侧，故可作点B关于直线的对称点
B′，连结AB′，则AB′与直线的交点就是满足条件的M点．如何求出点B′的坐标是解决这个问题的关键：因△OCD是等腰直角三角形，故∠B′CD＝∠BCD＝45°
，从而∠BCB′＝90°，即B′（），最后利用待定系数法就容易求得直线AM的解析式了．
解答：（1）当＝0时，该函数为y＝x2－6，令y＝0，得x2－6＝0，解得x1＝，x2＝，故该函数的零点为和．
（2）令y＝0，得△＝
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由，得，解得．
∴函数的解析式为．
令y＝0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B关于直线的对称点B′，连结AB′，则AB′与直线的交点就是满足条件的M点．
易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，10）．
连结CB′，则∠BCD＝45°
∴BC＝CB′＝6，∠B′CD＝∠BCD＝45°
∴∠BCB′＝90°，即B′（）
设直线AB′的解析式为，则
，解得
∴直线AB′的解析式为，即AM的解析式为．
点评：本试卷是双题压轴，这个压轴题综合考查了二次函数、一元二次方程、轴对称、一次函数等诸多知识点，综合性很强，并且是阅读理解题．先通过新定义函数的零点概念，再由此设计由易到难的题组题，目的是考查学生阅读理解能力和解一元二次方程知识、一元二次方程根的判别式、配方法、轴对称、三角形、一次函数等知识．
最后一问绝对具有甄别功能，对基础中等的学生都会感到吃力，要想突破这个难点，只有先找使MA＋MB取最小值时的直线y＝x－10上的点M，求线段和的最小值就容易想到轴对称．最后利用等腰三角形性质就求出要求直线的另一点的坐标，从而利用待定系数法求得所求一次函数的解析式．
（2011湖北武汉，23，10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
考点：二次函数的应用。
分析：（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=30﹣2x与自变量x的取值范围为6≤x＜15；
（2）设矩形苗圃园的面积为S，由S=xy，即可求得S与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值；
（3）根据题意得﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥88，根据图象，即可求得x的取值范围．
解答：解：（1）设y=30﹣2x（6≤x＜15），
（2）设矩形苗圃园的面积为S，
则S=xy=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，
∴S=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由（1）知，6≤x＜15，
∴当x=7.5时，S最大值=112.5，
即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．
（3）∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，
即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥88，
∴4≤x≤11．
∴x的取值范围为4≤x≤11．
点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
（2011湖北随州，23， ）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝（万元）．当地政府拟在“十二 五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？
考点：二次函数的应用。
专题：销售问题。
分析：（1）由可获得利润P＝（万元），即可知当x＝60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；
（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100－x，即可得函数y＝P+Q＝[－（x－60）2+41]+[－x2+x+160]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；
（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值．
解答：解：（1）∵每投入x万元，可获得利润P＝（万元），
∴当x＝60时，所获利润最大，最大值为41万元，
∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5＝205（万元）；
（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2×[－ QUOTE EMBED Equation.3 （50－60）2+41]＝80（万元），
后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100－x，
∴y＝P+Q＝[－（x－60）2+41]+[－x2+x+160]
＝－x2+60x+165＝－（x－30）2+1065，
∴当x＝30时，y最大且为1065，
∴这三年的获利最大为1065×3＝3495（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495－50×2＝3475（万元）．
（3）该方案是具有极大的实施价值．
点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．
(2011 宜昌，24，11分）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，-）和（m﹣b，m2﹣mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且 a，m不为 0．
（1）求c的值；
（2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1 x2的值；
（3）当﹣1≤x≤1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值．
( http: / / www.m / )
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）把点（0，﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）代入抛物线可以求出c的值．
（2）把点（0，﹣）代入直线得n=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，然后把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，整理后可确定a的值，把a，c的值代入抛物线，当y=0时可以求出x1 x2的值．
（3）抛物线y=x2+bx﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的顶点（﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ﹣），当b＜0时，x=﹣1时y的值大；当b＞0时，x=1时y的值大．然后比较x=﹣1，x=1以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值，确定|y0|的最小值．
解答：解：（1）把点（0，﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）代入抛物线，得：c=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）把点（0，﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）代入直线得：n=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，得：
a（m﹣b）2+b（m﹣b）+c=m2﹣mb+n
∵c=n=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∴a（m﹣b）2+b（m﹣b）=m2﹣mb，
am2﹣2abm+ab2+bm﹣b2﹣m2+mb=0
（a﹣1）m2﹣（a﹣1） 2bm+（a﹣1）b2=0
（a﹣1）（m2﹣2bm+b2）=0
（a﹣1）（m﹣b）2=0
∴a=1，
当m﹣b=0时，抛物线与直线的两个交点就是一个点，所以m≠b．
把a=1，c=﹣代入抛物线有：
y=x2+bx﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
当y=0时，x2+bx﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =0，
∴x1 x2=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
（3）y=x2+bx﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，顶点（﹣ QUOTE QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）
当b≤0时，x=﹣1时，y= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ﹣b，
比较 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ﹣b与 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 +的大小，得到：
﹣4≤b≤0时，﹣b≥ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 +，
所以当b=0时，|y0|的最小值为．
b≤﹣4时，﹣b≤ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 +，
所以当b=﹣4时，|y0|的最小值为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
当b≥0时，x=1时，y=+b，
比较 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 +b与 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 + QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的大小，得到：
0≤b≤4时，+b≥+，
所以当b=0时，|y0|的最小值为．
b≥4时，+b≤+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
所以当b=4时，|y0|的最小值为．
故|y0|的最小值为或 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据抛物线上的点确定c的值．（2）结合一元二次方程的解确定x1 x2的值．（3）在x的取值范围内确定|y0|的最小值．
（2011湖北武汉，25，12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E．F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，代入解析式求出即可；
（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，利用函数平移①当抛物线经过点C时，②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，分别分析求出；
（3）由点E．F的坐标分别为（m，m2），（n，n2），得出m+n=km n=﹣3，利用作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m2），作直线FR交y轴于点P，
由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，求出即可．
解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得a=1，b=4，
∴抛物线解析式为y=x2+4x+3；
（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1
∴抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），
直线OD的解析式为y= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 x．于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x﹣h）2+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 h，
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），
∴h2+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 h=9，解得h=，
∴当 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ≤x＜ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，
得x2+（﹣2h+2）x+h2+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 h﹣9=0，
∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 h﹣9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x﹣4）2+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），符合题意，
综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，
顶点横坐标h的取值范围为h=4或 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ≤x＜ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），
点E．F的坐标分别为（m，m2），（n，n2），
由得x2﹣kx﹣3=0，
∴m+n=km n=﹣3，
作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m2），作直线FR交y轴于点P，
由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，
∴点P即为所求的点．
由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n﹣m）x+mn记y=（n﹣m）x﹣3，
当x=0时，y=﹣3，
∴p（0，﹣3），
∴y轴的负半轴上存在点P（0，﹣3）使△PEF的内心在y轴上．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形内心的特点，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
（2011湖北孝感，25，14分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．
（1）求点E．F的坐标（用含的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a（x﹣m﹣6）2+h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a．h．m的值．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；
（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可；
（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF=＝＝6，
∴CF=4，
设EF=x，则EC=8﹣x，
在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
∴CE=3，
∵B（m，0），
∴E（m+10，3），F（m+6，0）；
（2）分三种情况讨论：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=6，，
∴m=6，
若OF=FA，则m+6=10，
解得：m=4，
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，
∴（m+6）2=m2+64，
解得：m=，
∴m=6或4或；
（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．
∴，
得，
∴M（m+6，﹣1），
设对称轴交AD于G，
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=8﹣（﹣1）=9，
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG，
∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG，
∴=，
即：＝
∴m=12，
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
（2011湖南常德，26，10分）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式；
（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可；
（3）存在．由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．
解答：（1）设经过A（0，6），B（2，0），C（7，）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则：
解得
∴ 此抛物线的解析式为
（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.
∵抛物线的解析式可变形为
∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.
设直线AC的解析式为,
则有，解得.
∴ 直线AC的解析式为
当x=4时，
∴点E的坐标为（4，4），
∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）
设直线FC的解析式为,
则有，解得.
∴ 直线FC的解析式为
∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.
当y=6时，则有解得x=8.
∴AM=8,MN=AM—MN=4
∴AN=MN
∵FN⊥AM
∴∠ANF=∠MNF
又NF=NF
∴△ANF≌△MNF
∴∠CFE=∠AFE
（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）
∴
∵又A的坐标为（0，6），则，
又DF=6，
若△AFP∽△DEF
∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠DFC=∠AFE
∴∠PAF=∠DFC
若△AFP1∽△FCD
则,即,解得P1A=8.
∴O P1=8－6=2
∴P1的坐标为（0，－2）.
若△AFP2∽△FDC
则,即,解得P2A=.
∴O P2=－6=.
∴P2的坐标为（0，－）.
所以符合条件的点P的坐标有两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．抛物线y＝－3(x－2)2＋9的对称轴、开口方向和顶点坐标分别为 ( )
A．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(2，9)
B．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(2，9)
C．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(－2，9)
D．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(－2，－9)
2．将抛物线y＝－(x＋1)2－3向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0) C．(1，－6) D．(－1，－6)
3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝；③y＝3－2x；④y＝2x2＋x(x≥0)．其中在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大的函数有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知点A(1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在函数y＝2(x＋1)2－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2
C．y1＞y3＞y2 D.y2＞y1＞y3
5．如图26－99所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两个坐标轴的交点分别为A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列式子不成立的是 ( )
A．b＝0 B．S△ABE＝c2
C．ac＝－1 D．a＋c＝0
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－100所示，则下列判断正确的是( )
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0
C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
7．已知二次函数y＝x2－2x＋1，则它的图象大致为(如图26－101所示) ( )
8．有3个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y＝x2＋2x－1．下列叙述正确
的是 ( )
A．甲的图象经过适当的平移后，可以与乙的图象重合
B．甲的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合
C．乙的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合
D．甲、乙、丙3个图象经过适当的平移后，都可以重合
9．已知关于x的不等式组无解，则二次函数y=(a－2)x2－x＋的图象与x轴 ( )
A．没有交点 B．相交于两点
C．相交于一点 D．相交于一点或没有交点
10．如图26－102所示，二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是 ( )
二、填空题
11．请写出一个开口向上、与y轴交点的纵坐标为－1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式： ．
12．二次函数y＝x2－2x－3的最小值是 ．
13；如果函数y＝(k－1)＋kx－1是关于x的二次函数，则k＝ ．
14．抛物线y＝(x－2)2＋1的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．
15．用配方法将二次函数y＝4x2－24x＋26写成y＝a(x－h)2＋k的形式是 ．
16．将y＝3x2的图象向 平移2个单位，再向 平移3个单位，就得到y＝3(x＋2)2－3的图象．
17．二次函数y=x2＋bx＋c的图象如图26－103所示，当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ．
18．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点坐标为 ．
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－104所示，P＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P，Q的大小关系为 ．
20．初三数学课本上，用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的囱象时，列了如下表格：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … － －4 － －2 － …
根据表格中的信息，该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝ .
三、解答题
21．用周长为6 m的铝合金制成如图26－105所示的窗框，则宽和高各为多少时，窗户的透光面积最大 最大面积是多少
22．如图26－106所示，⊙O1，⊙O2外切于点P，点P在y轴上，⊙O1，⊙O2分别与x轴相切于A，B两点．
(1)求证PA⊥PB；
(2)若点A(－1，0)，B(4，0)，求过A，B，P三点的抛物线的解析式；
(3)(2)中所确定的抛物线的顶点是否在⊙O1与⊙O2的圆心的连线上
23．抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．
(1)求m的值，并在图26－107中画出这条抛物线；
(2)求抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标；
(3)当x取何值时，抛物线在x轴上方
(4)当x取何值时，y的值随x的增大而减小
24．某农用车生产企业上年度生产农用车的投入成本为0.5万元／辆，出厂价为0.6万元／辆，年销售量为10万辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当地增加投入成本，若每辆车投入成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的百分率为0.75x，同时预计年销售量增加的百分率为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与每辆车投入成本增加的百分率x之间的函数关系式；
(2)当每辆车投入成本增加的百分率为多少时，本年度的利润与上年度持平 (结果保留小数点后一位)
25．已知抛物线经过点A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，抛物线交y轴于点E，请在抛物线上另找一点P，先分别求出点A，C，E，P到点D的距离，再求这些点与直线y＝2的距离；
(3)你发现这条抛物线上的点具有何种规律
26．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)的图象经过(0，y1)，(1，y2)和(－1，y3)三点，且满足y12＝y22＝y32＝1．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，其中．x1＜x2，C为图象的顶点，连接AC，BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的最大值．
27．如图26－108所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－6与直线y＝x相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大 最大面积是多少
(3)如图26－109所示，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立．
参考答案
1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B
8．B[提示：丙函数y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，所以甲函数y＝x2－1的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，即可得到丙函数的图象．]
9．A[提示：解不等式组得a＞3，Δ＝3－a＜0．]
10．B[提示：把x＝0代入y＝ax2＋x＋a2－1，得y＝a2－l，因为a≠0，所以对称轴x＝≠0，所以C，D选项是不正确的，若选项A是正确的，则a＝±1，当a＝1时，＝，即对称轴应为直线x＝－，故选项A错误，若选项B是正确的，则a＝－1，对称轴为直线x＝＝，因此选项B是正确的．]
11．y＝4x2－1(答案不唯一)[提示：∵抛物线经过点(0，－1)，(1，3)，∴，∴a＋b＝4．∴符合a＋b＝4，a＞0即可．]
12．－4[提示：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4．∵a＝1＞0，∴函数的最小值为－4.]
13．0
14．x=2 （2，1）
15．y=4（x－3）2－10
16．左 下
17．－3＜x＜1
18．(1，－4)[提示：把x＝－1，y＝0和x＝3，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得解得则解析式为y=x2－2x－3，顶点坐标为（1，－4)．]
19．P＜Q[提示：由图象可知：当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，c＞0，由于＞1，且a＜0，所以2a－b＜0，2a＋b＞0，所以P＝b－a－c＋2a＋b＝a＋2b－c，Q=a+b+c+b-2a=-a+2b+c，P-Q=2a-2c<0,所以P20.-4[提示：设解析式为y＝ax2＋bx＋c，由表格可知x＝0时，y＝－2 ，x＝－1时，y＝－4，x＝1时，y＝－2，∴解得 ∴y=－x2＋x－2,当x=3时，y=－×9＋3－2＝－4．]
21．解：设宽为x m，则高为 m．∴S＝x·＝－x2＋3x，∴当x==1时，S最大值==（m2），此时高为＝(m)．
22．(1)证明：过点P作⊙O1，⊙O2的公切线PM交AB于M，则MA＝MP，MB＝MP，即MP＝AB，∴△APB为直角三角形，即PA⊥PB． (2)解：设P(0，a)，∵AP2＋BP2＝AB2，∵2a2＋17＝25，∵a＝±2，由图象可知a＝－2，∴P(0，－2)，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由抛物线过点A(－1，0)，B(4，0)，P(0，－2)，得∴∴y=x2－x－2．(3)解：设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，则∴∴O1(－1，)，O2（4，－5）．设连心线O1O2的解析式为y=kx＋b，∴∴∴y=－x－2.抛物线y=x2－x－2的顶点坐标为，当x=时，y=－×－2=－，∴抛物线的顶点在⊙O1，⊙O2的圆心的连线上．
23．解：(1)由抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)，得m＝3．图象如图26－110所示． (2)∵抛物线为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)． (3)由图象可知，当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方． (4)由图象可知，当x＞1时，y的值随x的增大而减小．
24．解：(1)本年度每辆车的成本为0.5(1＋x)万元，出厂价为0．6(1＋0.75x)万元，年销售量为100000(1＋0．6x)辆，所以本年度预计的年利润为y＝[0．6(1＋0.75x)－0.5(1＋x)]×100000×(1＋0.6x)＝－3000x2＋1000x＋10000，所以所求的函数关系式为y＝－3000x2＋1000x＋l0000(0＜x＜1)． (2)上年度利润为(0.6－0.5)×100000＝10000(万元)，∴－3000x2＋1000x＋10000＝10000，整理得3x2－x＝0，解得x1＝，x2＝0(舍去)，∴x≈33．3％，即当每辆车投入成本增加的百分率约为33．3％时，本年度的利润与上年度持平．
25．提示：(1)y＝－x2＋2x－3． (2)顶点坐标C(4，1)，点D(4，0)，点E(0，－3)．设点P(8，－3)，则点A，C，E，P到点D的距离分别为2，1，5，5，它们到直线y＝2的距离分别为2，1，5，5． (3)可以发现这条抛物线上的点到点D的距离等于到直线y＝2的距离．
26．解：(1)由已知，得(a＋b＋c)2＝(a－b＋c)2＝c2＝1，∴(a＋b＋c)2＝(a－b＋c)2，c=±1，∴4(a＋c)b＝0，∵b＞0，a＋c＝0，即a＝－c，又∵a＞0，∴a＝1，c＝－1，∴b=1，∴二次函数的关系式为y＝x2＋x－1． (2)二次函数y＝x2＋x－1的顶点C的坐标是，当动点P从A点出发沿折线ACB运动到顶点C时，△ABP的面积最大，∵AB＝|x2－x1|＝＝，∴△ABP面积的最大值是××＝. 27．(1)解法1：由已知得A(－4，－2)，B(6，3)，∴|AB|＝＝5．解法2：分别过A，B两点作AE⊥x轴，BF⊥y轴，垂足分别为E，F，∴AB＝OA＋OB＝＋＝5， (2)解：设扇形的半径为x，则弧长为5－2x，扇形的面积为y，则y＝x(5－2x)=－x2＋x=－＋．∵a=－1＜0，∴当x=时，函数有最大值，y最大值=. (3)∵CD垂直平分AB，点M为垂足，∴M点坐标为，∴OM=．直线AB的斜率k＝＝，∴设CD所在直线的解析式为y＝－2x＋b，将M点坐标代入，得＝－2＋b，∴b＝，∴y＝－2x＋．令y＝0，得x＝，∴C(,0)．同理可求得D(0，)，∴OC＝，OD＝．∴＋＝＋==，=，∴＋=．
一元二次方程的近似解
一元二次不等式的解集
二次函数的最大(小)值
在实际问题中的应用
二次函数的应用
二次函数
二次函数的性质
O
x
1 3
第12题
y
O
1
x
y
7题图
（第10题图）
第12题
O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C第二十九章 投影与视图
本章小结
小结1 本章概述
本章在平面知识的基础上加入空间概念的研究，教材从平行投影和中心投影入手，介绍了几何体的三视图，把立体图形转化为平面图形，然后再综合这两方面的知识把平面图形组合成立体图形——制作立体模型．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，会画简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．
【本章难点】 了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的联系，通过典型实例知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)．
【学习本章应注意的问题】
新课标提出“抽象概念的数学，要关注概念的实际背景与形成过程”．学习概念时，要注意联系实际，加深对概念的理解与应用，淡化过于形式化的叙述．画三视图时，应注意看不见部分的轮廓线要画成虚线，看得见部分的轮廓线要画成实线，要注意找准物体的位置，且要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即主视图、俯视图的长相等，左视图、主视图的高相等，左视图、俯视图的宽相等．
小结3 中考透视
本章内容与其他章内容有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图，制作模型等类型题，而很少涉及与度量或计算有关的问题，一般以选择题的形式出现，约占3~9分．
灯光和影子是新课程标准的添加内容，在以往的教材中没有这部分知识，故在近几年中考中没有对该部分内容的考查，在今后的中考试题中，估计会有部分考查点以填空题、选择题的形式出现，或以作图题的形式出现．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 画立体图形的三视图
【专题解读】 画一个几何体的三视图时，要有—定的想象能力，想象出它从正面、侧面和上面看分别是什么图形，然后把各个图形画出来即可．
例1 如图29－77所示，这个几何体的主视图是图29－78中的 ( )
分析 从正面看应选A
【解匙策略】 解此类题时要注意发挥空间想象能力．
例2 如图29－79所示的是一根钢管的直观图，则它的三视图为(如图29－80所示) ( )
分析 由直观图可确定D正确．故选D．
例3 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图29－81所示，那么它的左视图是如图29－82所示的 ( )
分析 从左边观察几何体所得的平面图形即为左视图，故选A．
例4 由两块大小不同的正方体搭成如图29－83(1)所示的几何体，它的主视图是如图29－83(2)所示的 ( )
分析 先细心观察原立体图形中两个正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．故选C．
专题2 由三视图到立体图形
【专题解读】 根据三视图描述立体图形的形状，也是本章的重点知识，它需要将三个平面图形结合起来进行整体分析，这样有利于形成整体意识、空间观念及综合分析问题的能力．
例5 如图29－84所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为l的正三角形，俯视图是一个圆及圆心，那么这个几何体的侧面积是 ．
分析 这个几何体为圆锥，底面圆的半径为，侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长1，扇形的弧长为2π×＝π，由扇形的面积公式S＝lR得这个几何体的侧面积为S＝×1×π＝.故填号 .
【解题策略】 本题主要考查由三视图到立体图形，以及立体图形的侧面展开图和扇形面积公式．
例6 某几何体的三种视图如图29－85所示，则该几何体可能是 ( )
A．圆锥体 B．球体 C．长方体 D．圆柱体
分析 根据三视图来描述立体图形的形状，需要将三个平面图形结合起来，整体分析，并进行空间想象，以利于形成整体意识．故选D．
例7 在如图29－86所示的四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析 圆柱的左视图为长方形，圆锥的左视图为三角形，球的左视图为圆，正方体的左视图为正方形．故选B．
例8 如图29－87所示的是某几何体的展开图．
(1)这个几何体的名称是 ；
(2)画出这个几何体的三视图；
(3)求这个几何体的体积．(π取3.14)
分析 (1)两底面为圆，侧面展开图为矩形，很显然是圆柱体；(2)主视图、左视图、俯视图分别为矩形、矩形、圆；(3)底面半径为5，高为20，由圆柱体的体积公式即可求解．
解：(1)圆柱
(2)如图29－88所示．
(3)V＝πR2·h＝π·52×20＝500π≈1570．
【解题策略】 本题综合考查了由侧面展开图到立体图形，以及立体图形到三视图和立体图形的体积计算．
例9 如图29－89所示的是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．
解：(1)圆锥．
(2)表面积S＝S扇形＋S圆＝πrl＋πr2
＝12π＋4π＝16π(平方厘米)．
(3)如图29－90所示，将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程．
由条件得∠BAB′＝120°，C为弧BB′的中点，所以BD＝3,
二、规律方法专题
专题3 投影在实际生活中的应用
【专题解读】 投影在现实生活中有很多应用，解决这类问题时，应把它转化为数学问题来解决．
例10 如图29－9l所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过圆锥底面圆的圆心，圆锥的高为2m，底面半径为2 m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE＝4 m．
(1)求∠ABC的度数；
(2)若∠ACP＝2∠ABC，求光源A距平面的高度．
解：(1)过点D作DF⊥BC于点F，
由题意得DF＝2m，EF＝2m，BE＝4m．
在Rt△DFB中，BF＝BE＋EF＝4＋2＝6(m)，
DB＝＝4(m)，
∴DF＝BD，∴∠ABC＝30°．
(2)过点A作AH⊥BP于点H．
∵∠ACP＝2∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，
∴AC＝BC＝8 m，∠CAH＝90°－∠ACP＝90°－60°＝30°．
在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝×8＝4(m)，
∴AH＝＝＝4(m)，
即光源A距平面的高度为4 m．
三、思想方法专题
专题4 分类讨论思想
【专题解读】 一个几何体只给出了部分视图，条件很宽松时，要注意分类讨论．
例11 用小方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图29－92所示，这样的几何体有几种
分析 根据第二层块数的不同进行分类讨论．
解：9种，第一层有5个小方块，第二层可以有2，3，4个小方块，当第二层有2个或3个小方块时，分别有4种情况；当第二层有4个小方块时，有1种情况，所以共有9种这样的几何体.
2011中考真题精选
1. （2011湖北荆州，4，3分）如图．位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投彩三角形的对应边长为（　　）
A、8cm B、20cm C、3.2cm D、10cm
考点：位似变换 ( javascript:void(0) )；中心投影 ( javascript:void(0) )．
专题：几何图形问题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据位似图形的性质得出相似比为2：5，对应变得比为2：5，即可得出投彩三角形的对应边长．
解答：解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，
∴投彩三角形的对应边长为：8÷ 25=20cm．
故选：B．
点评：此题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应变得比为2：5，再得出投彩三角形的对应边长是解决问题的关键．
2. （2011广西崇左，17，3分）一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是( )
考点：平行投影．
专题：应用题．
分析：根据看等边三角形木框的方向即可得出答案．
解答：解：竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，延与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．
故选B．
点评：本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论是解此题的关键．
1. （2011江苏淮安，4，3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：从正面看易得正方体位于长方体的上方，
故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2. （2011江苏连云港，8，3分）如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图都是2×2的正方形，若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：简单几何体的三视图。
分析：拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为2×2的正方形，所以最底下一层必须有四个小立方块，这样能保证俯视图仍为2×2的正方形，为保证正视图与左视图也为2×2的正方形，所以上面一层必须保留交错的两个立方块，即可知最多能拿掉小立方块的个数．
解答：解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为2×2的正方形，所以最多能拿掉小立方块的个数为2个．
故选B．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由立体图形得到三视图；学生由于空间想象能力不够，易造成错误．
3. （2011江苏南京，5，2分）如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：展开图折叠成几何体。
专题：几何图形问题。
分析：利用三棱柱及其表面展开图的特点解题．三棱柱上、下两底面都是三角形．
解答：解：A、折叠后有二个侧面重合，不能得到三棱柱；
B、折叠后可得到三棱柱；
C、折叠后有二个底面重合，不能得到三棱柱；
D、多了一个底面，不能得到三棱柱．
故选B．
点评：本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且都是三角形．
4. （2011 南通）下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的为（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：简单几何体的三视图。
分析：本题主要考查三视图的俯视图知识，仔细观察简单几何体，便可得出选项．
解答：解：A、圆柱的俯视图为圆，故本选项错误；B、长方体的的俯视图为矩形，故本选项正确；C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；D、圆锥的俯视图为圆且圆心处有一圆点，故本选项错误．故选B．
点评：本题主要考查三视图的俯视图知识，考查了学生的空间想象能力，需要仔细观察图形，属于基础题．
5. （2011 江苏宿迁，3，3）下列所给的几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：简单几何体的三视图。
专题：几何图形问题。
分析：找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可．
解答：解：A、主视图为长方形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项正确；
C、主视图为等腰梯形，故本选项错误；
D、主视图为正方形，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6. ( cm )（2011 泰州，4，3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
( http: / / www.m / )
A、圆锥 B、圆柱 C、长方体 D、球体
考点：由三视图判断几何体。
专题：数形结合。
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．
故选A．
点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
7. （2011盐城，3，3分）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（　 　）
A. ( http: / / www.m / ) B. ( http: / / www.m / ) C. ( http: / / www.m / ) D. ( http: / / www.m / )
考点：简单几何体的三视图.
分析：俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．
解答：解：A、圆柱的俯视图是圆；B、三棱锥的俯视图是三角形；C、球的俯视图是圆；
D、正方体的俯视图是四边形．故选D．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
8. （2011江苏扬州，5，3分）如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是 （ ）
考点：由三视图判断几何体。
分析：根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
解答：解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图有一层三个，另一层2个，即可得出答案．
故选：A．
点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011江苏镇江常州，3，2分）已知某几何体的一个视图（如图），则此几何体是（　　）
A．正三棱柱 B．三棱锥
C．圆锥 D．圆柱
考点：由三视图判断几何体．
专题：作图题．
分析：主视图．左视图．俯视图是分别从物体正面．左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆锥．
故选C．
点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
10. （2011南昌，，3，3分）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（ ）
( http: / / www.m / )
A. ( http: / / www.m / ) B. ( http: / / www.m / ) C. ( http: / / www.m / ) D. ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图．
分析：俯视图是从上面看，可以看到上面杯子的底，是圆形，可以看到两杯子的口，也是圆形．
解答：解：从上面看，看到两个圆形，故选C．
点评：此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
11. （2011山东日照，5，3分）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）
A． B． C． D．
考点：由三视图判断几何体。
专题：几何图形问题。
分析：从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为2，2，1，表示为平面图形即可，
解答：解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，
得主视图有3列，从左到右的列数分别是2，2，1．
故选C．
点评：本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力．
12. （2011山西，8，2分）如图是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是（ ）
A． B． C． D．
考点：三视图
专题：视图与投影
分析：图中所示的工件是由两个圆柱构成的组合体，小圆柱的直径为2cm，高为1 cm；大圆柱的直径为4cm，高为4 cm；小圆柱的体积为，大圆柱的体积为，所以这个工件的体积是．
解答：B
点评：．
13. （2011陕西，2，3分）下面四个几何体中，同一几何体的主视图和俯视图相同的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：简单几何体的三视图。
分析：主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
解答：解：圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同；圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同；球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同；正方体主视图、俯视图都是正方形，主视图与俯视图相同．共2个同一个几何体的主视图与俯视图相同．
故选B．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
14. （2011四川广安，9，3分）由个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则的最大值是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
考点：三视图，由三视图确定物体的个数
专题：视图与投影
分析：综合主视图和俯视图，可知该几何体由三层组成，最底层最多有7个小正方体，第二层最多有7个小正方体，第三层最多有4个小正方体，故最大为7＋7＋4＝18．
解答：A
点评：解决此类问题要具备空间想象能力，根据主视图与俯试图的形状来想象出几何体的组合方式，确定该物体的行数、列数和层数，确定出每层可能的最多小正方体的个数后即可判断．
15. （2011四川凉山，11，4分）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A．　　 B． 　　C．　　 D．
考点：几何体的表面积 ( javascript:void(0) )；勾股定理 ( javascript:void(0) )；简单几何体的三视图 ( javascript:void(0) )．
分析：根据三视图图形得出AC＝BC＝3，EC＝4，即可求出这个长方体的表面积．
解答：解：∵如图所示，∴AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴正方形ABCD面积为：3×3＝9，
侧面积为：4AC·CE＝3×4×4＝48，
∴这个长方体的表面积为：48＋9＋9＝66．
故选A．
点评：此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．
16. ( cm )（2011天津，7，3分）如图是一支架（一种小零件），支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，则它的三视图是（　　）
A、B、 C、D、
考点：简单组合体的三视图。
专题：作图题。
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：先细心观察原立体图形的位置，
从正面看去，是一个矩形，矩形左上角缺一个角，
从左面看，是一个正方形，
从上面看，也是一个正方形，
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
17. （2011新疆建设兵团，8，5分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，该几何体的全面积s等于（　　）
A、πa（a＋c） B、πa（a＋b） C、πa（a＋c） D、πa（a＋b）
考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体．
分析：由几何体的主视图和左视图，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥．
解答：解：依题意知弧长l＝c，底面半径r＝a，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π c a＝πac．
底面圆的面积为：πa2，
∴该几何体的全面积s等于：πa（a＋c）．
故选：C．
点评：此题主要考查了三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
18. （2011重庆綦江，3，4分）如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / ) C． ( http: / / www.m / ) D． ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图。
专题：几何图形题。
分析：俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形．
故答案为：C．
点评：此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．
19. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011重庆市，6，4分）如图，在四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图的形状不同的是
考点：简单几何体的三视图 ( javascript:void(0) )．
分析：找到从正面看所得到的图形比较即可．
答案：解：A、主视图为长方形；
B、主视图为长方形；
C、主视图为两个相邻的三角形；
D、主视图为长方形；
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
20. （2011湖北潜江，2，3分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / )
C． ( http: / / www.m / ) D． ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图。
专题：几何图形问题。
分析：根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
解答：解：从上面看，是中间一个正方形，两边两个矩形．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
21. 一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积为（　　）
A、2π B、 12π C、4π D、8π
考点：圆锥的计算 ( javascript:void(0) )；由三视图判断几何体 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥．
解答：解：依题意知母线长l=4，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π 1 4=4π．
故选C．
点评：本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
22. （2011湖北天门，2，3分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：简单组合体的三视图 ( javascript:void(0) )．
专题：几何图形问题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
解答：解：从上面看，是中间一个正方形，两边两个矩形．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
23. （2011 贵港）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体是（　　）
( http: / / www.m / )
A、三棱锥 B、三棱柱
C、正方体 D、长方体
考点：由三视图判断几何体。
专题：常规题型。
分析：如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
解答：解：如图，俯视图为三角形，故可排除C、D．
主视图以及左视图都是矩形，可排除A，
故选B．
点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答．
24. （2011 柳州）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）
A、正方体 B、圆锥体
C、圆柱体 D、球体
( http: / / www.m / )
考点：由三视图判断几何体。
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．
故选B．
点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
25. （2011 钦州）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（　　）
( http: / / www.m / )
A、3 B、4
C、5 D、6
考点：由三视图判断几何体。
专题：几何图形问题。
分析：易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．
解答：解：由俯视图易得最底层有2个立方体，第二层有1个立方体，
那么共有2+1=3个立方体组成．
故选A．
点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个立方体．
26. ( cm )（2011 安顺）如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。
分析：找到从正面看所得到的图形即可．
解答：解：从正面看可得到从左到右分别是1，2，1个正方形．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
27. （2011 湘西州）图中几何体的左视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：简单几何体的三视图。
分析：左视图是从几何体的左边看．
解答：解：圆锥的左视图是：三角形．
故选：C．
点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．
28. （2011 西宁）一节电池如图所示，则它的三视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图。
分析：从正面看是下面大矩形上面是小矩形；从左面看下面大矩形上面是小矩形；从上面看是一个圆环，找出符合要求的图形即可．
解答：解：根据三视图的观察方法，分别得出三视图的形状，从正面看是下面大矩形上面是小矩形；从左面看下面大矩形上面是小矩形；从上面看是一个圆环．
故选：D．
点评：此题主要考查了三视图的观察方法，利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到图形是解题关键．
29. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 青海）如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从正面看所得到的图形即可．
解答：解：它的左视图是下面一个圆，上面一个矩形，矩形的下面一边接到下面的圆柱了．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
30. （2011 德州，2，3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是（　　）
A、圆柱 B、圆锥 C、球体 D、长方体
考点：简单几何体的三视图。
专题：应用题。
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：A、圆柱的主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆形；故本选项错误；
B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；
C、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确；
D、长方体的主视图为长方形、左视图为长方形或正方形、俯视图为长方形或正方形；故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了简单几何体的三视图，锻炼了学生的空间想象能力．
31.（2011年山东省东营市，3，3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）
A、 B、 C、、 D、
考点：由三视图判断几何体 ( javascript:void(0) )．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：从这个几何体的三视图上看，这个几何体一定是带棱的，故从C，D中选，
D的主视图是三角形，俯视图是：，
只有C的三视图符合条件．
故选C．
点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
32. （2011山东济南，2，3分）如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图。
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：正方体的主视图是正方形，而圆柱的主视图是矩形，
故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
33. （2011 莱芜）如图所示是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
( http: / / www.m / )
A、3 B、4 C、5 D、6
考点：由三视图判断几何体。
分析：根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
解答：解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个．
故选：C．
点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
34. ( cm )（2011山东青岛，2，3分）如图，空心圆柱的主视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从正面，看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
解答：解：如图所示，空心圆柱体的主视图是圆环．
故选A．
点评：本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
35. （2011泰安，6，3分）下列几何体：
( http: / / www.m / )
其中，左视图是平行四边形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点：简单几何体的三视图。
分析：左视图是从几何体的左面看所得到的图形．
解答：解：圆柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；
圆锥的左视图是三角形；
棱柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；
长方体的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；
故左视图是平行四边形的有3个，
故选：B，
点评：此题主要考查了几何体的三视图，解决此类图的关键是由立体图形得到三视图，以及考查学生空间想象能力．
36. （2011年山东省威海市，10，3分）如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数不可能是（　　）
A、3 B、4 C、5 D、6
考点：由三视图判断几何体 ( javascript:void(0) )．
专题：几何图形问题 ( javascript:void(0) )．
分析：主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解答：解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方形可能有2（左边有）或3（左右都有）个，
∵1+2=3，1+3=4，2+2=4，2+3=5，
故不可能有6个．
故选D．
点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力．
37. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011山东烟台，2，4分） 从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（ ）
考点：简单组合体的三视图.
分析：俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形；找到从上面看所得到的图形即可．
解答：解：选项A的图形是从茶壶上面看得到的图形．故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，明确一个物体的三视图：俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形．
38. （2011 山西8，2分）如图是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是（　　）
( http: / / www.m / )
A、13πcm2 B、17πcm2
C、66πcm2 D、68πcm2
考点：圆柱的计算；由三视图判断几何体。
专题：计算题。
分析：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和．
解答：解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是2cm和4cm，
高分别是4cm和1cm，
∴体积为：4π×22+π=17πcm2．
故选B．
点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是正确的得到几何体的形状，这样才可以求体积．
39. （2011四川眉山，9，3分）如图所示的物体的左视图是（　　）
A． B．　C． D．
考点：简单组合体的三视图。
专题：应用题。
分析：根据左视图就是从左面看到的图形，即可得出结果．
解答：解：从左边看去，就是两个长方形叠在一起．
故选D．
点评：本题考查了三视图的知识，左视图就是从左面看到的图形，比较简单．
40. （2011年四川省绵阳市，8，3分）由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：由三视图判断几何体 ( javascript:void(0) )．
分析：从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
解答：解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故选：B．
点评：此题主要考查了有三视图判断几何体的组成，关键是熟练把握从各方面看可以得到的结论．
41. （2011成都，2，3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / ) C． ( http: / / www.m / ) D． ( http: / / www.m / )
考点：简单几何体的三视图。
专题：应用题。
分析：题干图片为圆柱，主视图．左视图．俯视图是分别从物体正面．左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：圆柱的主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆形．
故选D．
点评：本题考查了圆柱体的三视图，考查了学生的空间想象能了及解决问题的能力．
42. ( cm )（2011四川达州，3，3分）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、
C、 D、
考点：简单组合体的三视图。
分析：根据左视图是从左面看到的图判定则可．
解答：解：左面看去得到的正方形从左往右依次是2，1，故选B．
点评：本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．
43. （2011四川广安，9，3分）由个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则的最大值是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
考点：三视图，由三视图确定物体的个数
专题：视图与投影
分析：综合主视图和俯视图，可知该几何体由三层组成，最底层最多有7个小正方体，第二层最多有7个小正方体，第三层最多有4个小正方体，故最大为7＋7＋4＝18．
解答：A
点评：解决此类问题要具备空间想象能力，根据主视图与俯试图的形状来想象出几何体的组合方式，确定该物体的行数、列数和层数，确定出每层可能的最多小正方体的个数后即可判断．
44. （2011，四川乐山，4，3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、BB1、BC的中点，沿EG、EF、FG将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A. ( http: / / www.m / ) B. ( http: / / www.m / ) C. ( http: / / www.m / ) D. ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解：从上面看易得1个正方形，但上面少了一个角，在俯视图中，右下角有一条线段．
故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
45（2011四川泸州，10，2分）如图是一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（　　）
A.8 B.10 C.12 D.14
考点：由三视图判断几何体．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再根据主视图与俯视图得出答案。
解答：解：根据几何体的主视图和俯视图，可以得出从主视图看最少有6个，从俯视图看，最左边正方形前后可以有三列，分别有三个，故最多有3×3+3=12个，故选C．
点评：此题主要考查了三视图的概念．根据从俯视图看，最左边正方形前后可以有三列，分别有三个从而得出答案是解决问题的关键．
46. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（　　）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【考点】由三视图判断几何体 ( javascript:void(0) )；简单组合体的三视图 ( javascript:void(0) )．
【专题】几何图形问题 ( javascript:void(0) )．
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是1，2，3个正方形．
【解答】解：由俯视图中的数字可得：主视图右3列，从左到右分别是1，2，3个正方形．
故选B．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．
47. （2011.四川雅安，4,3分）由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（　　）
A ( http: / / www.m / ) B ( http: / / www.m / ) C ( http: / / www.m / ) D ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图。
分析：根据题意，先理解给出的几何体的三视图是怎样的，利用空间想象能力易解答．
解答：解：该几何体由四个小正方体组成，第一行有3个小正方体，故它的俯视图为B．故选B．
点评：首先分清楚几何体由几个正方体组成，然后分清楚它的三视图，继而求解．
48. （2011四川省宜宾市，6，3分）如图所示的几何体的正视图是（ ）
考点：简单组合体的三视图 ( javascript:void(0) )．
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中
答案：解：从正面看易得第一层有1个正方形，在右面，第二层有2个正方形，
故选：D．
点评：此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
49. (2011四川雅安4，3分)由4个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（ ）
考点：简单组合体的三视图。
分析：根据题意，先理解给出的几何体的三视图是怎样的，利用空间想象能力易解答．
解答：解：该几何体由四个小正方体组成，第一行有3个小正方体，故它的俯视图为B．故选B．
点评：首先分清楚几何体由几个正方体组成，然后分清楚它的三视图，继而求解．
50. （2011丽江市中考，11,3分）下面几何体的俯视图是（　　）
A、 B、C、 D、
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解：从物体的上面观察图形可知：该俯视图是一个矩形，由三个小正方形组成，且正方形的每一条棱都是实线．
故选D．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
51. （2011浙江宁波，6，3）如图所示的物体的俯视图是（　　）
( http: / / www.m / ) A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / ) C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：简单组合体的三视图。
专题：作图题。
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解答：解：从上面向下看，易得到横排有3个正方形．
故选D．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图．
52. （2011浙江绍兴，4，4分）由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解答：解：从左面看易得第一层有1个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选D．
点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
53. （2011杭州，7，3分）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a=（　　）
A． 23 B． 3 C．2 D．1
考点：由三视图判断几何体 ( javascript:void(0) )．
专题：数形结合 ( javascript:void(0) )．
分析：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2，求a的值可结合俯视图来解答，如下图；
解答：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2，求a的值可结合俯视图来解答，如下图；
做AD⊥BC，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴在直角△ABD中，∠ABD=30°，AD=1，
∴BD=．
故选B．
点评：本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．
54. ( cm )（2011浙江嘉兴，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A．两个外离的圆 B．两个外切的圆 C．两个相交的圆 D．两个内切的圆
考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图．
专题：计算题．
分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，所以，几何体的左视图为相内切的两圆，故选D．
点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．
55. （2011浙江金华，2，3分）如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点：简单组合体的三视图。
专题：计算题。
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解：从上面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形，共5个正方形，面积为5．故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
56. （2011浙江丽水，2，3分）如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（　　）
A、6 B、5
C、4 D、3
考点：简单组合体的三视图。
专题：计算题。
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解：从上面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形，
共5个正方形，面积为5．
故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
57. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011浙江衢州，4，3分）如图，下列几何体的俯视图是右面所示图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：简单几何体的三视图。
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．根据俯视图得出形状即可．
解答：解：∵几何体的俯视图是两圆组成，
∴只有圆台才符合要求．
故选A．
点评：此题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的两圆形得出实际物体形状是解决问题的关键
58. （2011浙江台州，2，4分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / ) C． ( http: / / www.m / ) D． ( http: / / www.m / )
考点：简单几何体的三视图．
分析：主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．
解答：解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．故选：B．
点评：此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．
59. 3、如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（　　）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】简单组合体的三视图 ( javascript:void(0) )．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：主视图是从正面看，圆柱从正面看是长方形，两个圆柱，看到两个长方形．
故选A．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
60. （2011浙江义乌，4，3分）水平放置的下列几何体，主视图不是长方形的是（　　）
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / ) C． ( http: / / www.m / ) D． ( http: / / www.m / )
考点：简单几何体的三视图。
专题：几何图形问题。
分析：找到从正面看所得到的图形比较即可．
解答：解：A、C、D选项的主视图都是长方体；
B选项的主视图是等腰三角形；
故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能是29－93中的（ ）
2．如图29－94所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于 ( )
A．4．5米 B．6米
C．7．2米 D．8米
3．如图29－95所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形是
( )
4．如图29－96所示，圆柱的俯视图是(如图29－97所示) ( )
5．如图29－98所示的几何体的主视图是(如图29－99所示) ( )
6．如图29－100所示，5个边长为1 cm的立方体摆在桌子上，则露出表面的部分的面积为 ( )
A.13 cm2 B．16 cm2 C．20 cm2 D．23 cm2
7．如图29－101所示的是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是 ( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．如图29－102所示的是由相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为(如图29－103所示) ( )
9．如果用“”表示一个立方体，用“”表示两个立方体叠加，用“”表示三个立方体叠加，那么如图29－104所示的由7个立方体叠成的几何体从正前方观察，可画出的平面图形是如图29－105所示的 ( )
10．如图29－106所示，白炽灯下有一个乒乓球，乒乓球越接近灯泡，则在地面上的影子 ( )
A．越大 B．越小
C．不变 D．不能确定
二、填空题
11．一个物体的俯视图是圆，则该物体可能的形状是 ．(至少填三种)
12．某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻，他测得自己的影长为0.8 m，同一时刻测量旗杆的影长为5 m，已知他的身高为1．6 m，则旗杆的高度为 m．
13．教室中的矩形窗框在太阳光的照射下，在地面上的影子是 ．
14．如图29－107所示，正方形ABCD的边长为2，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的周长是 .
15．直角坐标平面内，一点光源位于A(0，5)处，线段CD⊥x轴，D为垂足，C(3，1)，则CD在x轴上的影长为 ，点C的影子的坐标为 .
16．举出一个中心投影的例子： .
17．如图29－108所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长约为10 m，则大树的长约为 .（保留两个有效数字，≈1.41，≈1.73)
18．一个长方体的主视图和左视图如图29－109所示(单位：cm)，则其俯视图的面积是 cm2．
19．在阳光照射下，图29－110中的各个图形可以作为正方体的影子的有 个．
20．一个几何体的三视图如图29－111所示，则这个几何体是 . (写出名称)
三、解答题
21．如图29－112所示的是由若干个小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图．
(1)该几何体共有几层
(2)俯视图a，b，c的位置分别可以放几个小立方体
(3)最少需要多少个小立方体 最多需要多少个小立方体 共有几种摆法
22．如图29－113所示，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
(1)请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子；
(2)如果灯杆高PO＝12 m，小亮的身高AB＝1.6 m，小亮与灯杆的距离BO＝13 m，求小亮影子的长度．
23．如图29－114所示，某校墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上， AB＝5 m，BC＝3 m
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；
(2)若同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．
24．如图29－115所示，某居民小区A，B两楼之间的距离MN＝30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南，B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN＝2米，窗户高CD＝1.8米．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光 若影响，挡住该住户窗户多高；若不影响，请说明理由．(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)
25．如图29－116所示的A，B，C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A，B，C三个几何体的主视图分别为A1，B1，C1；左视图分别为A2，B2，C2；俯视图分别为A3，B3，C3．
树形图：
(1)请你分别写出A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3的图形名称；
(2)小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1，A2，A3的三张卡片放在甲口袋中，画有B1，B2，B3的三张卡片放在乙口袋中，画有C1，C2，C3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．
①通过补全上面的树形图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；
②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定如下：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗 为什么
参考答案
1．B[提示：A，C，D分别指的是三角形与地面垂直、平行、倾斜三种情况，故选B．]
2．B[提示：由题意知△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF．设AB＝x米，则有①，②．由①得＝，故BD＝x，所以BC＝x－1，所以BF＝BC＋CE＋EF＝x＋4，由②得＝(x＋4)×，所以2x＝x＋6，得x＝6．故选B.]
3．D[提示：同一时刻阳光下的影子方向一致，且影长与树高成正比例．]
4.C 5．C
6．B[提示：露出表面的部分为(17—1)个面，即16个边长为1的正方形的面积为16 cm2．故选B．]
7．D 8．A 9．B
10．A[提示：当物体越靠近发光点时，所得到的影子就越大．]
11．圆柱，倒置的圆锥，球(答案不唯一)
12．10
13．平行四边形
14．12[提示：圆柱的主视图为矩形，正方形旋转后得到的圆柱高为2，底面直径为4，故主视图的周长为4＋4＋2＋2＝12．]
15．0．75 (3．75，0)[提示：如图29－117所示．]
16．手电筒的光线所形成的投影(答案不唯一)
17．17 m[提示：如图29－118所示，由题意可知BC＝10 m，∠ACM＝∠1＋∠B，∴∠1＝30°，∴AC＝BC＝10m，在Rt△ACM中，∠CAM＝30°，∴CM＝AC＝×10＝5(m)．设AM＝x，则AB＝2x，由勾股定理得AB2＝AM2＋BM2，BM＝BC＋CM＝15，∴(2x)2＝x2＋152，即3x2＝152，x＝5，∴AB＝2x＝10≈10×1.73≈17(m)．]
18．6
19．1
20．圆柱
21．解：(1)2层． (2)a位置可放1个或2个，b位置可放1个或2个，c位置只能放1个． (3)最少需4个，最多需5个，共有3种摆法．
22．解：(1)如图29－119所示，线段BC就是小亮在照明灯P照射下的影子． (2)在△CAB和△CPO中，∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴BC＝2，∴小亮影子的长度为2 m．
23．解：(1)作直线AC，过D作AC的平行线交BC于F，EF即为DE在阳光下的投影(图略)． (2)由题意得EF＝6 m，又∵AC∥DF，∴△ABC∽△DEF，∴，∴，DE＝10 m．故DE长10 m．
24．解：如图29－120所示，设光线FE影响到B楼的E处，过E作EG⊥FM于G，由题知EG＝MN＝30，∠FEG＝30°，则FG＝30×tan 30°＝30×＝10≈17.32，则MG＝FM－GF≈20－17.32＝2.68，因为DN＝2，CD＝1.8，所以ED≈2.68－2＝0.68，即A楼的影子影响到B楼一楼采光，挡住该住户窗户约0.68米．
25．解：(1)A1，A2是矩形，A3是圆；B1，B2，B3都是矩形；C1是三角形，C2，C3是矩形． (2)①补全树形图如图29－121所示．图形名称相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是．②游戏对双方不公平．理由如下：由①可知，三张卡片中只有两张卡片的图形名称相同的概率是，即P小刚获胜＝．三张卡片的图形名称完全不同的概率是,即P小亮获胜＝.∵＞，∴这个游戏对双方不公平．
D
C
B
A
俯视图
4
主视图
左视图
2㎝
4cm
1cm
（第8题）
4㎝（俯视图）
（主视图）
（左视图）
(6题图)第十一章 全等三角形
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．
2．角平分线的性质及判定．
3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．
【本章难点】 1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．
2．角平分线的性质和判定的正确运用．
3．用综合法证明的格式．
小结3 学法指导
1．注意在探究中掌握结论．
2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．
3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．
4．注重联系实际．
5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用
【专题解读】 三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．
例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．
（1）求证AP＝AQ；
（2）求证AP⊥AQ．
分析 （1）欲证AP＝AQ，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP≌△QCA即可．（2）在（1）的基础上证明∠PAQ＝90°．
证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°．
在Rt△AEC和Rt△ADB中，
∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB，
∴∠ABP＝∠ACE．
在△ABP和△QCA中，
BP＝CA（已知），
∠ABP＝∠ACE（已证），
AB＝QC（已知），
∴△ABP≌△QCA（SAS）．
∴AP＝AQ（全等三角形的对应边相等）．
（2）∵△ABP≌△QCA，
∴∠P＝∠CAQ（全等三角形的对应角相等）．
又∵∠P＋∠PAD＝90°，
∴∠CAQ＋∠PAD＝90°，
即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ．
例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．
分析 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论．
已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．
判断∠B和∠B′的关系．
解：∠B＝∠B′．理由如下：
∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．
在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（ HL）．
∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）．
规律·方法 边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题．
例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论
分析 对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题．
解：①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF．
②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF．
③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA， ∠CEB＝∠FEB．
④∠AEB＝90°或EA⊥EB．
⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB.
【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．
专题2全等三角形的性质及判定的实际应用
【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大．
例4 如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗 说说你的理由．
分析 本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与B′C′相等，而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等．
解：影子一样长．理由如下：
因为AB⊥BC，A′B⊥B′C′，
所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°．
因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′．
在△ABC和△A′B′C′中，
∠ABC＝∠A′B′C′,
∠ACB＝∠A′C′B′,
AB＝A′B′,
所以△ABC≌△A′B′C′（AAS），
所以BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等）．
专题3 角平分线的性质及判定的应用
【专题解读】 此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系．
例5 如图11-117所示．P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥AO于 C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段 （只需写出一组即可）．
分析 本题主要运用角平分线的性质定理来解决，同时本题是一道开放性试题，答案不唯一．故填PD＝PC（或OD＝OC）．
【解题策略】 OC与OD相等可通过三角形全等来得到．
例6 如图11-118所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC．交BC于G，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC交AC的延长线于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE．BE的长．
分析 本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定，难度中等．
解：（1）连接BD，CD，
∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
又∵DG⊥BC且BG＝GC，
∴△DBG≌△DCG，∴DB＝DC．
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°．
在Rt△ADE和Rt△ADF中，Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
又∵BE＝CF，
∴a－BE＝6＋BE．
∴2BE＝a－b，即BE＝
∴AE＝AB－BE＝a－=．
专题4 利用尺规作图，作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平分线
【专题解读】 尺规作图是数学的重要知识之一，作一个角的平分线和作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图．很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．
例7 如图11-119所示，已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
分析 到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，其实只需作出两个角的平分线，即可确定P点的位置，作图痕迹指的是确定点P的过程．
解：如图11-120所示．
二、思想方法专题
专题5分类讨论思想
【专题解读】 对于三角形全等的有些性质及判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题．常用到分类讨论思想．
例8如图11- 121所示，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：
①AB＝AC ②AD＝AE； ③∠B＝∠C； ①BD＝CE．
请以其中三个论断作为条件．余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号的形式写出）： ．
分析 解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题，另一方面需熟练应用全等三角形的性质及判定方法．具体分析如下：
（1）以①为结论．②③④为条件：
在△ABD和△ACE中，△ABD≌△ACE AB＝AC．
∴不能以②③④为条件，①为结论．
（2）以②为结论，①③④为条件：
在△ABD和△ACE中， △ABD≌△ACE（SAS）AD＝AE．
∴能以①③④为条件，②为结论．
（3）以③为结论，①②④为条件：
在△ABD和△ACE中，△ABD≌△ACE（SSS）∠B＝∠C．
∴能以①②④为条件，③为结论．
（4）以④为结论，①②③为条件：
在△ABD和△ACE中， △ABD≌△ACEC BD＝CE．
∴不能以①②③为条件，④为结论．
∴正确的结果有两种：其一：①③④②；其二：①②④③．两者任选其一即可．
故填①③④②或①②④③．
专题6转化思想
【专题解读】 三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法．证线段（或角）相等往往转化为证线段（或角）所在的两个三角形全等．当需证的两个全等的三角形不明显时，还要添加辅助线，构造全等三角形．
例9　 如图11-122所示，已知AB＝CD，AD＝BC，求证∠B＝∠D，∠A＝∠C．
分析 本题是证明四边形的对角相等，需构造全等三角形，转化为证三角形全等．为此，需作辅助线AC，把四边形ABCD分成△ACD和△CBA．
证明：连接AC，在△ADC和△CBA中，
∴△ADC≌△CBA（SSS）．∴∠D＝∠B．
同理∠DAB＝∠DCB．
例10 如图11-123所示．△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥ AB于E，且DE＝2㎝，AB＝9㎝，BC＝6㎝，你能求出△ABC的面积吗
分析 要求△ABC的面积，只需分别求出△ABD和△BCD的面积即可．在△ABD中．底AB．高DE都知道在△BCD中，底BC知道，高没画出来，所以问题就转化为求△BCD的高，这里可以作辅助线DF⊥BC于F．
解：作DF⊥BC于F．
因为BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，所以DE＝DF．
由DE＝2 cm，可知DF＝2 cm．
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝ AB·DE＋ BC·DF
＝×9×2＋×6×2＝15（㎝2）．
专题7数学建模思想
【专题解读】 全等三角形在实际生活中有很多的应用．比如，测量工具内槽宽的工具—— 卡钳，测量不能直接测量的两点间的距离等．对于这些实际问题，往往是根据实际情况，建立数学模型，利用数学原理解决问题．
例11 如图11-124所示的是人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A，B两棵树之间的距离，但无法直接测量，请你运用所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案．
要求：（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量数据（长度用a，b，c，…表示，角度用 α,β,γ，…
表示）；
（3）根据你测量的数据，计算A,B两棵树之间的距离．
分析 依题意．结合图形解题，我们可以用SAS，ASA，AAS等方法构造出两个全等三角形，即可用卷尺测出与AB相等的边的长度，从而得到A，B间的距离．
解法1：如图11-125所示，在平面内选取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长至D，使AC＝CD，连接BC并延长至E，使BC＝CE．连接ED，用卷尺分别测出AC＝CD＝b，BC＝CE＝a，ED＝c，则A，B两点间的距离AB＝ED＝c．
解法2：作射线BM，如图11-126所示，在射线BM上取一点C，使点C能达到点A.在BM上取一点E，使BC＝CE＝a．过点E作∠BED ＝∠ABC＝a，连接AC并延长，与ED相交于D点，这样易知△ABC≌△DEC（ASA），所以AB＝DE，用卷尺可测出ED的长为b，则A，B间的距离为b．
【解题策略】 事实上，用测量的方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离，除了用三角形全等的方法外，在学习了相似三角形后，也可通过相似的方法获得测量方法和结果．
专题8类比思想
【专题解读】 对于几何图形的运动问题（如平移、旋转等）以及一些规律探究题，常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单，而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论．类比基本图形，可以解决复杂图形的问题，主要考查观察能力和推理、猜测能力．
例12 （规律探究题）如图11-127（1）所示，AB＝CD，AD＝BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于M，N，那∠1和∠2有什么关系 请证明；将过O点的直线旋转至图11-127（2）（3）的位置时，其他条件不变，那∠图（1）中的∠1和∠2的关系还成立吗 请证明．
分析 图（1）是基本的图形，在图（1）中证∠1＝∠2不难，在图（2）（3）中证∠1
＝∠2，可以类比在图（1）中证明时的方法．
解：∠1＝∠2．
证明：在△ABC和△CDA中，所以△ABC≌△CDA（SSS）．
所以∠BCA＝∠DAC．所以AD∥BC．所以∠1＝∠2．
当直线旋转到图（2）（3）的位置时，仍有∠1＝∠2，证明方法同上．
例13（动手操作题）正方形通过剪切可以拼成一个三角形，如图11－128所示．仿照图（1）所示的方法，解答下列问题，操作设计（在原图上画出即可）．
（1）如图11-128（2）所示，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的长方形；
（2）如图11-128（3）所示，对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形；
（3）如图11-128（4）所示．对于任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形．
分析 本题考查观察能力、动手操作能力．剪下来的图形和拼上去的图形实际上是一个图形．拼图的关键在于使剪切下的图形和拼接的图形的全等．普通三角形可以类比直角三角形，四边形可以类比普通三角形．
解：（1）如图11-129所示．
（2）如图11-130所示．
（3）如图11-131所示．
【解题策略】 （1）第（2）题中任意三角形的剪切、拼接，可以先把它转化为两个直角形，再按照（1）中直角三角形的拼接方法完成．对于任意四边形，则是通过连接对角线，把四边形转化为两个三角形．本题体现了数学中的类比、转化思想．
（2）针对图形而言，本题中实质上是构造全等三角形：利用线段中点把线段分成两条相等的线段的条件，再添加一些合适的条件，就可以构造出全等三角形，从而达到转化线段、角以及三角形位置的目的．
2011中考真题精选
1. （2011 江苏宿迁，7，3）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A、AB=AC B、BD=CD C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA
考点：全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解答：证明：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故本选项正确，不合题意．
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故本选项错误，符合题意．
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故本选项正确，不合题意．
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故本选项正确，不合题意．
故选B．
点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
2. （2011南昌，10，3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）
( http: / / www.m / )
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
考点：全等三角形的判定.
专题：证明题.
分析：两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：解：∵AD=AD，A.当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；B.当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；C.当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；D.当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．故选D．
点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．
3. （2011年山东省威海市，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（　　）
A、EF∥AB B、BF=CF C、∠A=∠DFE D、∠B=∠DEF
考点：全等三角形的判定 ( javascript:void(0) )；平行线的判定与性质 ( javascript:void(0) )；三角形中位线定理 ( javascript:void(0) )．
专题：证明题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据平行线的性质得到∠BDF=∠EFD，根据D E分别是AB AC的中点，推出DE∥BC，DE= BC，得到∠EDF=∠BFD，根据全等三角形的判定即可判断A；由DE= BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF即可得到△BFD≌△EDF；由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF；由∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，得到△BFD≌△EDF．
解答：解：A、∵EF∥AB，
∴∠BDF=∠EFD，
∵D E分别是AB AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴∠EDF=∠BFD，
∵DF=DF，
∴△BFD≌△EDF，故本选项错误；
B、∵DE= BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项错误；
C、由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF，故本选项正确；
D、∵∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能求出证全等的3个条件是证此题的关键．
4. （2011年江西省，7，3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
考点：全等三角形的判定 ( javascript:void(0) )．
专题：证明题 ( javascript:void(0) )．
分析：两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：解：∵AD=AD，
A.当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B.当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C.当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D.当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．
5. （2011安徽省芜湖市，6,4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（　　）
A、 B、4
C、 D、
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．
解答：解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△CDA中：，
∴△BDF≌△CDA，
∴DF=CD=4．
故选：B．
点评：此题主要考查了全等三角行的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
6. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A.600m B.500m C.400m D.300m
考点：勾股定理的应用；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．
解答：解：如右图所示，
∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠ACB，
又∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
又∵AB=DE=400，
∴△ABC≌△DEA，
∴EA=BC=300，
在Rt△ABC中，AC==500，
∴CE=AC﹣AE=200，
从B到E有两种走法：①BA+AE=700；②BC+CE=500，
∴最近的路程是500m．
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．
7. （2011梧州，12，3分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　）
( http: / / www.m / )
A、△ACE≌△BCD B、△BGC≌△AFC
C、△DCG≌△ECF D、△ADB≌△CEA
考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质。
分析：首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．
解答：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
点评：此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．
8.（2011广西百色，8，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC．∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（　　）
( http: / / www.m / )
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④
考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系．运用三角形全等的判定方法AAS或ASA判定全等的三角形．
解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
∴①△BCD≌△CBE （ASA）；
③△BDA≌△CEA （ASA）；
④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．
故选D．
点评：此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，难度不大．
9. （2011 恩施州9,3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）
A、11 B、5.5
C、7 D、3.5
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
解答：解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG=×11=5.5
故选B．
点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确的作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
10. （2011湖北十堰，6，3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C作射线OC。由做法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）
A．AAS B.SAS C.ASA D.SSS
第6题图
考点：全等三角形的判定；作图—基本作图.
专题：证明题.
分析：利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA、SSS对△MOC和△NOC进行分析，即可作出正确选择．
解答：证明：∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，∴△MOC≌△NOC（SSS）．
故选D．
点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
综合验收评估测试题
（时间：1 20分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图11-132所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A
＝80°∠ACB＝60°，那么∠BDC等于 （ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．如图11-133所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△CAN≌△BAM．其中
正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知如图11-134所示的两个三角形全等，则∠a的度数是 （ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
4．如图11-135所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC，BD交于点O，则图中全等三角形共有 （ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图11-136所示，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝
DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝
DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有 （ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图11-137所示，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法 判定△ABC≌△ADC的是 （ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
7．如图11-138所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD＝3，则点D到BC的距离是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图11-139所示，尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下：以O 为 圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．连接CP，DP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是 （ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．如图11-140所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF如果∠AED＝62°，那么∠DBF等于 （ ）
A．62° B．38° C．28° D．26°
10．如图11-141所示，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△APB
≌△CPD（不能添加辅助线），增加的条件不能是 （ ）
A．BP＝DP B．AB＝CD C．AB∥CD D．∠A＝∠D
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如图11-142所示，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，
则∠C1＝ 　　 ．
12．如图11-143所示，点D，E在△ABC的BC边上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CAE，
要推理得出△ABE≌△ACD，可以补充的一个条件是 　　　 （不添加辅助线，
写出一个即可）．
13．如图11-144所示，点B在∠DAC的平分线AE上，请添加一
个适当的条件： 　　　 ，使△ABD≌△ABC（只填一个即可）．
14．如图11-145所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC ＝2．按以下步骤作图．
①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；
②分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连接AP交BC于点F．
那么：
（1）AB的长等于　　　　　　（直接填写答案）；
（2）∠C AF＝　　　　　　　（直接填写答案）．
15．如图11-146所示，已知CD＝AB，若运用“SAS”判定△ADC≌△CBA，从图中可以得到的条件是 　　　　 ，需要补充的直接条件是 　　　　 ．
16．如图11-147所示，已知BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为F，E，且BF＝DE，又
AE＝CF，则AB与CD的位置关系是 ．
17．如图11-148所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且AB＝6，则CD＝ ．
18．如图11-149所示，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；
②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．
以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的
“求证”栏中，使其组成一个正确的命题．
已知： ．
求证： ．
19．如图11-150所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于
O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是 ．
20．如图11-151所示，已知AE平分∠BAC，BF⊥ AE于E，ED∥AC，∠BAE＝
36°，那么∠BED＝ ．
三、解答题（每小题10分，共60分）
21. 如图11-152所示，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
（1）求证△ABC≌△DEF；
（2）求证BE＝CF．
22.如图11-153所示，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE．求证AC＝ DF．
23.如图11-154所示，点A．B，C．D在同一条直线上，EA⊥AD，
FD⊥AD，AE＝DF．AB＝DC．求证∠ACE＝∠DBF．
24．如图11-155所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC．CE ⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且 AD平分∠FAC．请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．
25.如图11-156所示．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为
AC上一点，连接EB，ED．
（1）求证△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD 于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
26.（1）如图11-157所示，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若 ∠AMN＝90°，求证AM＝MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB．下面请你完成余下的证明过程．（在同一三角形中，等边对等角）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图11-158所 示），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立 请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD… X”，请你作出猜想：当∠AMN＝ 时，结论AM＝MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
参考答案
1．D[提示：由CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，得∠ACD＝30°，又因为∠A＝80°，所以∠BDC＝∠ACD＋∠A＝30°＋80°＝110°．]
2．C[提示：由∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF可得出△ACF≌△ABE，从而得出∠EAB＝∠FAC，然后推出△AEM≌△AFN，所以EM＝FN，①成立；由条件可证△CAN≌△BAM，④成立；同时易推出∠FAN＝∠EAM，③成立；只有CD＝DN不一定成立．]
3．D[提示：全等三角形中相等边所对的角是对应角，∠a是边b所对的角．]
4．B[提示：△ABO≌△DCO，△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA．]
5．C[提示：条件①满足SSS，条件②满足SAS，条件③满足ASA，都能判定△ABC≌△DEF．只有条件④满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF．]
6．C[提示：添加选项A满足SSS，添加选项B满足SAS，添加选项D满足HL，都能判定△ABC≌△ADC，添加选项C满足SSA，不能判定△ABC≌△ADC．]
7．A[提示：由角平分线的性质可知D到BC的距离等于D到AB的距离．]
8．D
9．C[提示：由AB＝AC，∠BAC＝90°，可得△ABC是等腰直角三角形，∠C＝45°，由AD⊥BC，可得△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD＝45°．从而推出△ABF≌△CAE，∴∠ABF＝∠CAE．由∠AED＝62°可知∠CAE＝17°，∴∠ABF＝17°.∴∠DBF＝45°－17°＝28°．]
10．D[提示：添加BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD均可．]
11．30°[提示：由∠A＝110°，∠B＝40°，可得∠C＝30°，由△ABC≌△A1B1C1，可得∠C1＝∠C＝30°．]
12．∠B＝∠C（答案不唯一）
13．AC＝AD[提示：答案不唯一 ，填∠C＝∠D，∠ABC＝∠ABD也可．]
14．（1）4 （2）30°[提示：由∠BAC＝60°，可得∠B＝30°，所以AC＝AB，AB ＝4．]
15．CA＝AC ∠DCA＝∠BAC[提示：根据SAS所需要的条件及题设和图形，不难得到结论．]
16．平行[提示：由AE＝CF知AF＝CE，又BF＝DE，∠BFA＝∠DEC＝90°，从而知△ABF≌△CDE，从而∠A＝∠C．故AB∥CD．]
17．6[提示：由条件易知△ADC≌△CBA，故CD＝AB＝6．]
18．②③④（或①②④或①③④） ①（或③或②）[提示：用分类讨论思想来研究．如果以②③④为题设，①为结论，那么命题正确．∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠D＝∠E＝90°．在Rt△ADM和Rt△AEN中， ∴Rt△ADM≌Rt△AEN（HL）．∴∠DAM＝∠EAN（全等三角形的对应角相等）．∴∠DAM＋∠BAC＝∠EAN＋∠BAC，即∠DAC＝∠EAB．在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB（ASA）∴AC＝AB．如果以①③④为题设，②为结论，那么命题正确．如果以①②④为题设，③为结论，那么命题正确．如果以①②③为题设，④为结论，那么命题不正确．]
19．90°[提示：利用三角形全等来求解．∵DA⊥AB，EA⊥AC．∴∠DAB＝∠EAC＝ 90°. ∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC ＋∠BAC，即∠DAC＝ ∠EAB． 在△DAC 和△BAE 中，∴△DAC≌△BAE（SAS）．∴∠D＝∠ABE（全等三角形的对应角相等）．又∵∠DPA＝∠BPO（对顶角相等）．∴∠BOD＝∠DAP＝90°∴∠DOE＝ 90°．]
20．126°[提示：如图11-159所示，延长BE交AC于F，∵AE是∠BAF的平分线，且∠BAE＝36°∴∠EAF＝∠BAE＝36°．又∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°．在△AEB和△AEF中，∴△ABE≌△AFE（ASA）．∴∠ABE＝∠AFE．又∵∠AEF＝90°，∠FAE ＝36°，∴∠AFE＝54°∴∠EFC＝126°．又∵ED∥AC（已知）∴∠BED＝∠EFC＝126°（两直线平行，同位角相等）．]
21．证明：（1）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．又∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）． （2）由△ABC≌△DEF，得BC＝EF，∴BC—CE＝EF－CE，即BE＝CF．
22．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E．∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵BF＝CE．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC＝DF．
23．证明：∵AB＝CD，∴AC＝BD．∵AE⊥AD，FD⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°．
在△ACE和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS）．
∴∠ACE＝∠DBF．
24．解：△ADC≌△ADF，△ADC≌△CEB，△ADF≌△CEB（写出其中两对即可）．对△ADC≌△ADF的证明如下：∵AD平分∠FAC．∴∠CAD＝∠FAD．∵AD⊥CF，∴∠ADC＝∠ADF＝90°．
又∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADF（ASA）．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°．又 ∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED．∵∠BED＝120°
∴∠BEC＝60°＝∠AEF∴∠EFD＝∠AEF＋∠CAD＝60°＋45°＝105°．
26．（1）证明：∵AB＝BC，AE＝CM，∴BE＝BM．又∠B＝90°∴△BME是等腰直角三角形，∠BEM＝45°∴∠AEM＝135°．∵CN是∠DCP的平分线°∴∠NCP＝45°∴∠MCN＝135°∴∠AEM＝∠MCN．在△AEM和△MCN中，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM＝MN．（2）解：成立．如图11－160所示．在AB上截取AE＝MC，连接
ME.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC．
又∵AF＝MC.∴BM＝BE．∴∠BEM＝＝60°，
∴∠AEM＝120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝=　60°，∴∠MCN＝120°∴∠AEM＝∠MCN．
∵∠EAM＋∠AMB＝120°，∠CMN＋∠AMB＝180°－∠AMN＝180°－60°＝120°，
∴∠EAM＝∠CMN．在△AEM和△MCN中，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．∴AM＝MN． （3）第三章 一元一次方程
本章小结
小结1 本章内容概览
本章的主要内容包括：一元一次方程及其相关的概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题．其课标要求是：了解一元一次方程及其相关的概念和性质，掌握一元一次方程的解法和一般步骤，初步认识方程与现实生活的联系，建立列方程解决实际问题的数学模型，感受方程的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
小结2 本章重点、难点：
本章重点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题．难点是根据具体问题中的数量关系列一元一次方程．
小结3 本章学法点津
1．学好本章的关键在于正确理解方程及方程的解的概念和等式的两个性质，了解算术和代数的主导思想的区别及找准问题中的等量关系．
2．在学习本章时，要深刻理解方程的思想，即未知量可以和已知量一起表示数量关系，找到数量之间的等量关系就可列方程，即建立数学模型．“建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”是本章渗透的主要数学思想．另外，要加强练习，巩固好基础知识和基本技能．因为一元一次方程是最基本的代数方程，学好它对于后续学习(其他的方程以及不等式、函数等)具有重要的作用．
知识网络结构图
重点题型总结及应用
题型一 灵活解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算．
例1 解方程：．
分析：此题中括号外的系数是分数，小括号外的系数也是分数，这种类型的方程解法比较灵活，可以先去括号，再去分母；也可以先去分母，再去括号．
解法1：去中括号，得．
去小括号，得．
去分母，得2x－ x ＋1=4 x－2．移项，得2 x－ x －4 x＝－2－1．
合并同类项，得－3 x＝－3．系数化为1，得x＝1．
解法2：方程两边同乘6，得．
去中括号，得2x－(x－1)=4(x－)．去小括号，得2x－ x＋1=4 x－2．
移项，得2 x－ x－4 x=－2－1．合并同类项，得－3 x ＝－3．系数化为1，得x＝1．
点拨
若方程中合有多层括号，则应按照分配律先由内向外(或由外向内)去括号，再去分母，但也有时先去分母，再去括号会更简便，这取决于所给方程的特点，因此解方程时，应灵活地选取方法，尽量使过程简单，而又不产生错误.
例2 解方程：．
分析：本题按照常规的解方程的步骤，应先去分母，但考虑本题特点，可把拆成，把拆成来解．
解：原方程可写成=1.
约分，移项，得
合并同类项，得－x＝.系数化为1，得x＝－.
评注
本题采用的是“拆项法”，此方法比常规方法简便，但这种方法不是对所有的一元一次方程都适用，需要根据方程的特点灵活应用．
题型二 方程的解的应用
例3 关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是( )
A．10 B．－8 C．－10 D．8
解析：解方程2x－4=3m，得x=．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由两方程解相同，得＝m－2，解得m＝－8．
答案：B
例4 已知y＝3是6＋(m－y)＝2y的解，那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少
分析：把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值．
解：y＝3代入方程6＋(m－y)＝2y，得6＋(m－3)＝6．解得m＝3．
将m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)，得
2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝.
方法
先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力．
题型三 一元一次方程的应用
例5 一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．
分析：如果设规定时间为x小时，当每小时走60千米时，则路程为60千米；当每小时走50千米时，则路程为50千米．这时可用路程相等列出方程．
解：设规定时间为x小时，根据题意，得60=50．
解得．所以路程为6=60×＝95千米．
答：路程为95千米．
例6 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，
(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样
分析：(1)问分别用含x的式子表示y甲、y乙. (2)问是当y甲=y乙时求x.
解：(1)因为全票价为240元，所以半票价为120元，
这样甲旅行社收费为y甲＝120x＋240．
又因为全票价为240元，所以全票价的60％为240×=144(元)，
这样乙旅行社收费为y乙＝144x＋144．
(2)因为甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，
所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x＋240＝144x＋144．
解这个方程，得x＝4．
答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样．
例7 某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元
分析：假设每台彩电原价是x元，则提高40％后为(1＋40％) x元，八折为(1＋ 40％) x·80％元，也就是现售价为(1＋40％) x·80％元．
解：设每台彩电原价是x元，根据售价与原价之差等于270，列方程得
x (1＋40％)·80％－x＝270，解得x＝2 250．
答：每台彩电原价是2 250元．
例8 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场 15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是 5千米／时(上、下车时间忽略不计)．
(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；
(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．
分析：本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论．
解：(1)×3=(时)=45(分)．
因为45＞42，所以不能在限定时间内到达考场．
(2)方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．
先将4人用车送到考场所需时间为＝(时)＝15(分)．
时另外4人步行了1．25千米，
此时他们与考场的距离为15－1．25＝13．75(千米)．
设汽车返回t(时)后与步行的4人相遇，则有5t＋60t=13．75，解得t=．
汽车由相遇点再去考场所需时间也是小时．
所以用这一方案送这8人到考场共需15＋2×× 60≈40．4(分)＜42(分)．
所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到．
题型四 图表类应用题
例9 (1)七年级(1)班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少 若设有人挑土，填写下表：
挑土 抬土
人数／人
扁担／根
即可知两个等量关系：
挑土人数＋抬土人数＝43人，挑土用扁担数＋抬土用扁担数＝30根．
根据等量关系，列方程 ，解得x＝ ，因此挑土人数为 ，抬土人数为 ．
你能用其他方法计算这道题吗
(2)如果参加劳动的人数不变，扁担数为20根可以吗 为什么
分析：有x人挑土，则用扁担x根，剩余的(43－x)人抬土，需用扁担数为(43－x)根，可列方程为x＋(43－x)＝30，解得x＝17，即有挑土人数为17，抬土人数为43－17=26．还可以利用“挑土人数＋抬土人数＝43人”列方程．
解：(1)列表如下：
挑土 抬土
人数／人 x 43－x
扁担／根 x (43－x)
x＋(43－x)=30；17；17；26．
能．设挑土用x根扁担，则抬土用(30－x)根扁担，挑土用x人，抬土用2(30－ x)人．
根据题意，得x ＋2(30－ x)＝43．解得x =17．
因此，挑土人数为17，抬土人数为2(30－17)＝26．
(2)不可以，因为若20根扁担用于挑土，则需20人＜43人；若20根扁担用于抬土，则需40人＜43人，因此，人员有剩余．所以参加劳动的人数不变，扁担数为20根不可以．
点拨
此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程．由生活常识可知，挑土 1人用l根扁担，抬土2人用l根扁担．
例10 下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价．
甲商场商品进货单
电脑 供货单位 乙单位
品名 P4200
商品代码 DN—63DT
商品所属 电脑专柜
标价 5 850元
折扣 八折
利润 210元
分析：本题应先读懂图表所提供的信息，明确题目的条件和所求，此题等量关系为：售价－进价=利润．
解：设这台电脑的进价为x元．
根据题意，得5 850×0．8－x＝210．解得x＝4 470．
答：这台电脑的进价为4 470元．
注意
商品打八折后的售价等于标价×0．8．
思想方法归纳
方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值．主要解题思想方法如下：
1．转化思想
本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等．
例1 已知方程3x2－9x＋m＝0的一个解是1，则m的值为 ．
分析：根据方程解的定义，把方程的解x＝1代入方程成立，然后解关于m的方程即可．
解：把x=1代入原方程，得3×12－9×1＋m＝0，解得m=6． 答案：6
方法
解题依据是方程的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程．
例2 如果4x2＋3x－5＝kx2－20 x ＋20 k是关于x的一元一次方程，那么k= ，方程的解是 ．
解析：要判断一个方程是不是一元一次方程，首先应先化为最简形式，原方程化为一般形式得(4－ k) x2＋23 x－5－20 k＝0．由一元一次方程的定义知4－ x＝0，解得k＝4．把k＝4代入方程得23 x－85＝0，解得x＝． 答案： 4；x＝
技巧
判断一个方程是不是一元一次方程，应先化为最简形式，再根据一元一次方程的定义来判断．
2．方程思想
本部分内容方程思想的体现主要是列方程解决实际问题．
解决问题的关键是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案．
例3 某中学甲、乙两班学生在开学时共有90人，如果从甲班转入乙班4人，结果甲班的学生人数是乙班的80％，问开学时两班各有学生多少人
解：设开学时甲班有x人，则乙班有(90－x)人，根据题意，得
x－4=(90－x ＋4)×80％，5x－20＝360－4x＋16，即x＝44，90－x＝46．
答：开学时甲班有44人，乙班有46人．
点拨
调配问题是：一方增多，另一方要减少，注意变化前后的关系是列方程的关键．
例4 如图3－5－1所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，则甲的容积为( )
A．1 280 cm3 B．2 560 cm3
C．3 200 cm3 D．4 000 cm3
解析：设甲容器的高度为x cm，则乙容器中水的高度为(x－8)cm．根据两容器中水的体积不变可得80x=100(x－8)．解得x＝40．所以甲容器的容积为80×40＝3 200(cm3)．故选C．
答案：C
点拨
在等积问题中，物体的形状改变了，但体积不变，根据体积相等列方程求解．
中考热点聚焦
考点1 一元一次方程的解
考点突破：在中考中对一元一次方程的解的考查，一般以填空题的形式出现．已知一元一次方程的解，求未知字母的值．解决此类问题的思路是：将解代入一元一次方程，转化成关于未知字母的方程，从而求解．
例1 (2010·江苏宿迁中考)已知5是关于x的方程3x－2a＝7的解，则a的值为 ．
解析：因为5是关于x的方程3x－2a＝7的解，所以3× 5－2a＝7．所以a＝4．
答案：4
例2 (20l0·湖南怀化中考)已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是 ．
解析：把x＝m代入3x－2m＝4，得3m－2m＝4，所以m＝4． 答案：4
考点2 解一元一次方程
考点突破：一元一次方程是初中数学方程与方程组的基础，是中考命题的重点，解一元一次方程一般难度不大，只要牢记解一元一次方程的步骤，就能求出正确的解．
例3 (2010·福建泉州中考)方程2x＋8＝0的解是 ．
解析：由2x＋8＝0，2x＝－8，得x＝－4． 答案：x＝－4
考点3 一元一次方程的应用
考点突破：一元一次方程在生活中应用广泛，一元一次方程的应用在中考中时常出现，解一元一次方程的应用题，要明确已知量与未知量，找出题目中的相等关系，就能列出元一次方程，进而求解．
一、选择题
1. （2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（　　）
A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏
考点：一元一次方程的应用。
专题：优选方案问题。
分析：可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可．
解答：解：设需更换的新型节能灯有x盏，则
70（x+1）=36×（106+1）
70x=3782，
x≈55
则需更换的新型节能灯有55盏．
故选B．
点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意根据实际问题采取进1的近似数．
2. （2011山西，10，2分）“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：一元一次方程
专题：一元一次方程
分析：成本价提高30%后标价为，打8折后的售价为．根据题意，列方程得，故选A．
解答：A
点评：找出题中的等量关系，是列一元一次方程的关键．
3. （2011 柳州）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（　　）
A、17人 B、21人
C、25人 D、37人
考点：一元一次方程的应用。
分析：设这两种实验都做对的有x人，根据九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人可列方程求解．
解答：解：设这两种实验都做对的有x人，
（40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50，
x=21．
故都做对的有21人．
故选B．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是以人数做为等量关系列方程求解．
4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选答A．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答题案错看成B．
5. （2011 山西10，2分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A、x（1+30%）×80%=2080 B、x 30% 80%=2080
C、2080×30%×80%=x D、x 30%=2080×80%
考点：由实际问题抽象出一元一次方程。
分析：设该电器的成本价为x元，根据按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元可列出方程．
解答：解：设该电器的成本价为x元，
x（1+30%）×80%=2080．
故选A．
点评：本题考查理解题意的能力，以售价作为等量关系列方程求解．
6. ( cm )（2011 铜仁地区4,3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：由实际问题抽象出一元一次方程。
专题：探究型。
分析：先设他家到学校的路程是xkm，再把10分钟、5分钟化为小时的形式，根据题意列出方程，选出符合条件的正确选项即可．
解答：解：设他家到学校的路程是xkm，
∵10分钟=小时5分钟=小时，
∴．
故选A．
点评：本题考查的是由实际问题抽象出一元一次方程，解答此题的关键是把10分钟、5分钟化为小时的形式，这是此题的易错点．
7. （2011广东深圳，6，3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（　　）
A、100元 B、105元 C、108元 D、118元
考点：一元一次方程的应用．
专题：方程思想．
分析：根据题意，找出相等关系为，进价的（1+20%）等于标价200元的60%，设未知数列方程求解．
解答：解：设这件服装的进价为x元，依题意得：
（1+20%）x=200×60%，解得：x=100，
故选：A．
点评：此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找出相等关系，进价的（1+20%）等于标价200元的60%．
二、填空题
1. （2011年湖南省湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为8x+38=50．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程 ( javascript:void(0) )．
专题：应用题 ( javascript:void(0) )．
分析：等量关系为：买8个莲蓬的钱数+38=50，依此列方程求解即可．
解答：解：设每个莲蓬的价格为x元，根据题意得
8x+38=50．
故答案为：8x+38=50．
点评：考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据单价，数量，总价之间的关系列出方程是解题的关键．
2. （2011江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为　24　．
考点：一元一次方程的应用；截一个几何体．
专题：分类讨论；方程思想．
分析：从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体．
解答：解：棱长为4的正方体的体积为64，
如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；
如果有一个3×3×3的立方体（体积27），就只能有1×1×1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；
所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体．
则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，
解方程：x+8×（29﹣x）=64，
解得：x=24．
所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个．
故答案为：24．
点评：本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解．
3. （2011陕西，14，3分）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售．若这款羊毛衫每件按原销售价的8折（即按原销售价的80％）销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为 元．
考点：一元一次方程的应用。
专题：销售问题；方程思想。
分析：此题的相等关系为，原价的80%等于销售价，依次列方程求解．
解答：解：设这款羊毛衫的原销售价为x元，依题意得：
80%x=120，
解得：x=150，
故答案为：150元．
点评：此题考查的是一元一次方程的应用，关键是确定相等关系列方程求解．
4. （2011重庆市，15，4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度,超过部分电量
的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交
电费56元,则a = 度.
考点：一元一次方程的应用 ( javascript:void(0) )．
分析：根据题中所给的关系，找到等量关系，由于共交电费56元，可列出方程求出a．
答案：解：由题意，得
0.5a+（100-a）×0.5×120%=56，
解得a=40．
故答案为：40．
点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．此题的关键是要知道每月用电量超过a度时，电费的计算方法为0.5×（1+20%）．
5. （2011黑龙江大庆，15，3分）随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原价降低m元后，又降低20%，此时售价为n元，则该手机原价为n+m　元．
考点：一元一次方程的应用。
专题：方程思想。
分析：第一次降价后的价格为原价﹣m，第二次降价后的价格为第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分数），把相关数值代入即可．
解答：解：∵第一次降价后的价格为x﹣m，
∴第二次降价后的价格为（x﹣m）（1﹣20%），
∴根据第二次降价后的价格为n元可列方程为（x﹣m）（1﹣20%）=n，
∴x=n+m．故答案为：n+m．
点评：考查列一元一次方程；得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键．
6. ( cm )（2011黑龙江牡丹江，5，3分）某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20%，这种商品每件标价是　240　元．
考点：一元一次方程的应用。
分析：设这种商品的标价是x元，根据某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20%可列方程求解．
解答：解：设这种商品的标价是x元，
90%x﹣180=180×20%
x=240
这种商品的标价是240元．
故答案为：240．
点评：本题考查理解题意的能力，关键知道利润=售价﹣进价，根据此可列方程求解．
三、解答题
1. （2011四川眉山，24，9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？
（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？
（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：
A地 B地 C地
运往D地（元/立方米） 22 20 20
运往E地（元/立方米） 20 22 21
在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？
考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。
专题：优选方案问题。
分析：（1）设运往E地x立方米，由题意可列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）由题意列出关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围，再根据a是整数可得出a的值，进而可求出答案；
（3）根据（1）中的两种方案求出其费用即可．
解答：解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10=140，
解得：x=50，
∴2x﹣10=90，
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；
（2）由题意可得，
，
解得：20＜a≤22，
∵a是整数，
∴a=21或22，
∴有如下两种方案：
第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；
第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；
（3）第一种方案共需费用：
22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），
第二种方案共需费用：
22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元），
所以，第一种方案的总费用最少．
点评：本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次不等式组及一元一次方程是解答此题的关键．
2. （2011四川省宜宾市，20，7分）某县为鼓励失地农民自主创业，在2010年对60位自主创业的失地农民自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？
考点：二元一次方程组的应用 ( javascript:void(0) )；一元一次方程的应用 ( javascript:void(0) )．
分析：设失地农民自主创业连续经营一年以上的有x人，根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励，可列方程组求解．
答案：20．解：方法一
设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程
1000x+(60–x)(1000+2000)=100000
解得：x = 40
∴60 – x =60 – 40 = 20
答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.
方法二
设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组：
解之得：
答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.
点评：本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数做为等量关系，根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．
3. （2011黑龙江省哈尔滨,26，8分）义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．
（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？
考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。
分析：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x﹣20）元，根据，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元可列方程求解．
（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60﹣m）块，根据需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，可列不等式组求解．
解答：解：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，
5x+4（x﹣20）=820，
x=100，
x﹣20=80，
购买A型100元，B型80元；
（2）设购买A型小黑板m块，，
m为整数，所以m为21或22．
当m=21时，60﹣m=39；
当m=22时，60﹣m=38．
所以有两种购买方案：方案一购买A21块，B 39块、
方案二 购买A22块，B38块．
点评：本题考查理解题意的能力，关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板的钱数，然后要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，列出不等式组求解．
综合验收评估测试题
一、选择题
1. 下列方程是一元一次方程的是( )
A．＝1 B．3x＋2y＝0 C．x 2－l＝0 D．x＝3
2. 方程去分母，得( )
A．2－2(2x－4)＝－( x－7) B．12－2(2 x－4)＝－x－7
C．12－2(2 x－4)＝－( x－7) D．12－(2 x－4)＝－( x－7)
3. 已知x＝－2是关于x的方程2 x＋m－4＝0的解，则m的值是( )
A．8 B．－8 C．0 D．2
4. 如果7a－5与3－5a互为相反数，则a的值为( )
A．0 B．1 C．－l D．2
5. 甲、乙两超市为了促销一定价相同的商品，甲超市连续两次降价10％，乙超市一次性降价20％，在( )超市购买这种商品合算．
A．甲 B．乙 C同样 D．与商品价格有关
二、填空题
6. 关于x的方程xn＋2－n－3＝0是一元一次方程，则此方程的解是 ．
7. 关于x的方程(k＋2) x－1＝0的解为x＝1，则k的值是 ．
8. 三个连续偶数的和为60，那么其中最大的一个是 .
9. 若9人14天完成了一项工作的，而剩下的工作要在4天内完成，则需要增加的人数是 ．
10. 足球比赛的得分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一支青年足球队参加了14场比赛，其中负5场，共得19分，那么这支足球队胜了 场．
三、解答题
11. 解方程：．
12. 李老师这个月要参加3天培训，这3天恰好在日历的一竖排上且3个数字相连，并且这3个日子的数字之和是36，你知道李老师要在哪几天参加培训吗
答案
1. D
2. C 解析：方程两边的各项都要乘最小公分母6，且要注意分数线起到括号的作用．
3. A 解析：将x＝－2代入原方程得到关于m的一元一次方程，解此方程即可求得m的值．
4. B 解析：根据互为相反数的两数之和为零列出方程，解方程即可得到a的值．
5. B 解析：可设相同商品的原定价为a元，甲连续两次降阶10％后的价格为a (1－10％) (1－10％)＝0．8la(元)，而乙一次性降价20％后的价格为a (1－20％)＝0．8a (元)．故在乙超市购买这种商品合算．
6. x=2 解析：由原方程为一元一次方程可得n＋2＝1，∴＝－1．将n＝－1代入原方程解得x＝2．
7. －1
8. 22 解析：注意连续偶数之间的差为2．
9. 12 解析：可把总工作量看作整体1，则每人每天的工作效率为÷9÷14．设增加人数为x，根据题意，得．解得x＝12．
10. 5 解析：本题的相等关系是：胜场积分＋平场积分＝19分．
设这支球队共胜了x场，则平了(14－5－x)场．
根据题意，得3x＋(14－5－x)＝19，解得x＝5．
11. 解：去分母，得9x－3(2－18x)＝x ＋18．去括号，得9 x－6＋54 x＝x ＋18．
移项，得9 x＋54 x－ x＝18＋6．合并同类项，得62 x=24．
系数化为1，得x＝．
12. 解：设这3天的日期分别为x－7，x，x＋7．
(x－7)＋ x＋(x＋7)＝36，x=12．∴x－7=5，x＋7＝19．
答：李老师培训的日子是5号，12号，19号．本章小结
小结1 本章概述
在本章中，我们将学习生活中的旋转现象．掌握旋转的有关概念，理解旋转的性质、特点，并会进行简单的旋转作图；掌握中心对称及中心对称图形的概念、作图方法及直角坐标系中对称点的作法；利用旋转、中心对称进行简单的图案设计和认识图形是如何变换而来的．旋转和中心对称是现实生活中广泛存在的现象，它们既是探索图形某些性质的必要手段，也是解决现实生活中的具体问题及进行数学活动、变换的重要工具．有关旋转的性质、作图是后面学习几何图形(如圆)的性质、位置的确定等知识的重要依据之一，也是近年中考的易考查点．
本章涉及的主要概念有：旋转、旋转中心、旋转角、中心对称和中心对称图形，主要规律有：旋转中心、旋转角的找法，对称中心及对称点的找法以及找关于原点对称的点的坐标的规律．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】理解旋转的性质、中心对称的概念及其性质，掌握平行四边形是中心对称图形，并掌握常见的中心对称图形．
【本章难点】灵活运用旋转、中心对称图形的性质，掌握关于原点对称的点的坐标的特征，能够利用旋转、平移、轴对称等知识进行图案设计．
小结3 学法指导
l．注重联系实际．通过实例加深对旋转变换和中心对称图形的认识．
2．注重探索结论，许多图形可以由基本图形旋转而成．为了更好地认识图形，要善于探索、发现图形之间的变换关系．探索、发现图形之间的变换关系有助于运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．
3．注重与已学图形变换的联系．平移变换、轴对称变换是前面已学过的全等变换，学习旋转变换时可类比平移变换和轴对称变换．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 旋转与平移的简单应用
【专题解读】 有关旋转、平移的知识是近几年中考的一个热点，旋转和平移这两种交换方式不仅贴近生活，而且使人们享受了图形变化的美，命题新颖，内涵丰富，既有选择题、填空题，也有操作设计、解答方面的命题.
例1 以如图23-88(1)所示的图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°，再按顺时针方向旋转180°得到的图形是如图23-88(2)所示的( )
【分析】动手做一做，很快就可以作出正确的判断，故选A
【解题策略】关于旋转、平移概念的问题的解题关键是正确并灵活运用相关知识
例2 如图23—89所示，直线y=与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是( )
A．(3，4) B．(4．5)
C．(7，4) D．(7，3)
分析 由y=与x轴、y轴分别交于A，B两点，可知A(3，0)，B(0，4)，所以OA=3，OB=4，由旋转知O′A=OA=3，O′B′=OB=4.因为△AOB绕点A旋转90°，所以∠OAO′=90°，所以O′B′∥OA，所以B′的纵坐标等于O′的纵坐标3，由OA=3，O′B′=4，可知B′的横坐标为7，所以B′的坐标为(7，3)．故选D．
【解题策略】本题的解题关键是找出0′B′∥OA这一条件，这是找出B′点坐标的基础．
例3如图23-90所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形(顶点都是格点)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
(1)在正方形网格中，作出△AB1C1；(不要求写作法)
(2)设网格小正方形的边长为1 cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的
图形，然后求出它的面积．(结果保留π)
分析；本题考查旋转作图的方法，作出旋转后的图形，首先要确定旋转后关键点的位置，然后把关键点连起来即可．
解：(1)如图23—90所示的△AB1C1即为所求．
(2)线段BC所扫过的图形如图23—91所示的阴影部分．
根据网格图知AB=4，BC=3，所以AC=5．
线段BC所扫过的图形的面积S=π(AC2—AB2)=(cm2)．
例4 某产品的标志图案如图23-92(1)所示，现要在所给的图23-92(2)中把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，使之变成与图23-92(1)一样的图案.
(1)请你在图23-92(2)中作出变换后的图案(最终图案用实线表示)；
(2)你所用的变换方法是 (在以下变换方法中选择一种正确的填到横线上).
①将菱形B向上平移；②将菱形B绕点O旋转120°；③将菱形B绕点O旋转180°.
分析 本题是一道有关平移和旋转的作图题，首选要确定作法，再动手作图，问题(2)是一道开放性题目.
解：(1)如图23—92(3)所示.
(2)①或③
专题2旋转变换在几何中的应用
【专题解读】 旋转变换在几何中的应用问题一般综合性较强，常与三角形、四边形、平面直角坐标系、函数等知识综合考查.
例5 如图23-93所示，在□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC，BD交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
（1）求证当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
分析 本题综合考查平行四边形的性质与旋转的相关性质.
证明：(1)当∠AOF=90°时，AB∥EF.
∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形.
解：(2)∵四边形ABCD为平行四边形，
∵AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠EOC，
∴△AOF≌△COE,∴AF=EC.
(3)四边形BEDF可能是菱形，理由如下:
由(2)知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分.
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中，AC=，
∴OA=1=AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形.
专题3 中心对称在几何中的应用
【专题解读】 中心对称在几何中主要应用于图案设计问题或与平行四边形有关的证明或计算题．
例6 有一个圆O和一个平行四边形ABCD，请你画一条直线，同时把这两个图形分别分成面积相等的两部分．
分析 平行四边形和圆都是中心对称图形．因为过中心对称图形中心的任意一条直线都可以把这个中心对称图形的面积平分，所以所要画的直线只需同时过两个图形的对称中心即可．
解：如图23—94所示，平行四边形的两条对角线交于M点，则M点就是平行四边形的中心，画直线OM，则直线OM同时把两个图形分别分成了面积相等的两部分．
【解题策略】 本题应用了过中心对称图形中心的直线平分图形的面积这一性质．
例7 如图23—95所示，过口ABCD对角线的交点0作两条互相垂直的直线EF，GH，分别与口ABCD的四条边交于E，F和G，H，求证四边形EGFH为菱形．
分析 因为四边形EGFH的对角线互相垂直，所以欲证它是菱形，只需证它是平行四边形．因为E，F与G，H分别是以O为对称中心的对称点，所以由中心对称的性质可得OE=OF， OG=OH，于是问题得以证明．
证明：∵O是□ABCD的对称中心，GH经过O点与BC交于G，与AD交于H，
∴G，H是以O为对称中心的对称点．
根据中心对称图形的对称点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分这
一性质可得OG=OH．
同理可以得到OE=OF．
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，∴□EGFH为菱形.
【解题策略】本题利用中心对称的性质得出了四边形EGFH的对角线互相平分，大大简化了证明过程.
二、规律方法专题
专题4 综合运用旋转、平移、轴对称知识探索“辅助线”的作法
【专题解读】 在几何中，经常需要作辅助线，如何作辅助线是急需掌握的，仔细研究题目中的已知、求解及图形的特征，对辅助线的发现大有帮助．运用旋转、平移、轴对称等知识，可以使复杂的问题变得简单，达到事半功倍的效果．
例8 如图23-96所示，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证EF分析 要证明EF，BF，CE三条线段的不等关系，需运用三角形三边关系，但它们不在同一个三角形中，由于BM=MC，故可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，把三条线段转化到同一个三角形中，可证EN证明：∵BM=MC，
∴将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，连接EN，
∴△BFM≌△CNM，∴BF=CN，FM=MN．
又∵ME⊥MF，∴EN=EF．
在△ENC中，EN例9 如图23—97所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．
分析 由AB=5，AC=13，联想到勾股数5，12，13，故将△ADC绕点D旋转180°，得到△EDB，则△ADC≌△EDB，所以BE=AC=13，AE=12，AB=5，由勾股定理的逆定理可得△BAE为直角三角形，再利用勾股定理求出BD的长，从而可求得BC的长．
解：将△ADC绕点D旋转l80°，得到△EDB，则△ADC≌△EDB，
∴AC=BE，BD=DC，AD=DE=AE=6，∴AE=12．
在△ABE中，AB2+AE2=52+122=169，BE2=AC2=132=169，
∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=52+62=61，
∴BD=，∴BC=2BD=2．
【解题策略】 这里利用中点构造了全等三角形，即把△ADC旋转180°得到的，通过全等三角形进行边的等量代换，进而把已知的三边转化到同一个三角形中去，这是几何证明题常用的方法．
专题5 利用旋转设计方案
例10 李大伯有一块正三角形的菜地，如图23—98所示，现将其分给三个儿子耕种．点O处是三家合用的工具、肥料库，所以点O必须是三家地界的交汇处，要求每人分得的菜地相等．能否用旋转的方法将△ABC分成形状相同且面积相等的三部分 如果能，请设计出分割方案，并画出示意图．
分析 欲分成形状相同且面积相等的三部分，可考虑将正三角形划分成旋转三次(相同的方式)都与自己重合的图形．
解：能将△ABC分成形状相同且面积相等的三部分，方案有无数个．
①设O是旋转中心，连接OA，OB，OC，即可得到方案1．如图23—99①所示．
②在边AC上任取一点D，连接OD，将点D绕点O逆时针旋转120°，240°，
得到D′，D″，连接OD′，OD″，得方案2，如图23—99②所示．
③方法同方案2，在AC上任取一点D，在O和D之间任意画曲线，将曲线OD，绕点O逆时针依次旋转120°，240°，得OD′，OD″，如图23—99③所示．
【解题策略】 本题用了旋转对称图形的性质，旋转对称图形是指一图形绕一点旋转一个角度后能与自身重合，将图形三等分，则每次旋转.
三、思想方法专题
专题6 从特殊到一般的思想
【专题解读】 对于图形的变换，常常由几种特殊情况总结一般的规律，进而解决问题．
例11 如图23-100所示，△ABC和△CDE均为等边三角形．
(1)如图23-100(1)所示，AD=BE成立吗
(2)如果将△CDE绕点C按顺时针方向旋转至图23-100(2)～(7)的位置时， AD=BE成立吗 为什么
分析 本题主要考查旋转变换过程中不同位置时相对应的图形，由于是两个等边三角形组成的图形，所以在旋转过程中确立了很多相等关系．
解：(1)∵△ABC和△DEC均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，
∴AC-DC=BC-EC，即AD=BE．
(2)将△CDE绕C点旋转到图(2)～(7)时，AD=BE仍成立．
理由：在图(2)(3)(4)(6)(7)中，依题可知△BCE绕点C顺时针旋转60°，可得△ACD，
故AD=BE成立．
在图(5)中，由于A，C，D和B，C，E分别共线，且AC=BC，CD=CE，故AC
+CD=BC+CE，即AD=BE仍成立．
专题7 转化思想
【专题解读】 运用转化思想可将旋转问题转化为已知几何图形问题加以解决，降低问题的难度．
例12 如图23—101所示，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=a，以C为中心将△ABC旋转θ角到△A′B′C′的位置，点B恰好落在A′B′上，求旋转角θ的大小(用a表示)．
分析 本题主要考查旋转的特征、三角形内角和定理及等腰三角形中等边对等角的综合应用．由旋转知识得BC=B′C′，故∠B′=，而∠A′=∠A=a，∠A′CB′=∠ACB=90°，利用三角形的内角和很容易求出θ与a之间的关系，进而可用a表示θ．
解：∵△ABC绕点C旋转得到△A′B′C′，
∴∠A′CB′=∠ACB=90°，
在△BB′C中，∠BCB′=θ，又BC=B′C，
∠B=，
在△A′B′C中，∠A′+∠B′+∠A′CB′一180°
a++90°=180．∴θ=2a．
专题8 数形结合思想
【专题解读】 解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，最好的办法是运用数形结合思想结合几何图形进行解题．
例13 如图23—102所示，在平面直角坐标系xOy中， A点的坐标为(3，4)，将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是 ( )
A．(-4，3) B．(-3，4)
C．(3，-4) D．(4，-3)
分析 本题主要考查旋转知识与平面直角坐标系知识的综合应用．由题可知OA绕原点O顺时针旋转90°，得到0A′，则点A′应在第四象限，故排除A，B选项，连接AA′，由于∠AOA′=90°，故△AOA′为等腰直角三角形，因此可求出A′点的坐标为(4，-3)．故选D．
【解题策略】 旋转知识与平面直角坐标系相关知识的综合应用，应注意点所在的象限及长度相等的对应线段．
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011 南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析
解答：解：A项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，C项为中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确，
D项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误故答案选择C．
点评：本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义
2. （2011江苏扬州，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠A=30 ，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A. 30，2 B.60，2 C. 60， D. 60，
考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形。
专题：创新题型；探究型。
分析：先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，
∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCB=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，
∵BD= QUOTE EMBED Equation.3 AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF= QUOTE EMBED Equation.3 BC= QUOTE EMBED Equation.3 ×2=1，CF= QUOTE EMBED Equation.3 AC= QUOTE EMBED Equation.3 ×2 QUOTE EMBED Equation.3 = QUOTE EMBED Equation.3 ，∴S阴影= QUOTE EMBED Equation.3 DF×CF= QUOTE EMBED Equation.3 × QUOTE EMBED Equation.3 =．
故选C．
点评：本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
3. （2011 宁夏，8，3分）如图，△ABO的顶点坐标分别为A（1，4）、B（2，1）、O（0，0），如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′O′，那么点A′、B′的对应点的坐标是（　　）
( http: / / www.m / )
A、A′（﹣4，2），B′（﹣1，1） B、A′（﹣4，1），B′（﹣1，2）
C、A′（﹣4，1），B′（﹣1，1） D、A′（﹣4，2），B′（﹣1，2）
考点：坐标与图形变化-旋转。
专题：探究型。
分析：根据图形旋转的性质对四个答案用排除法进行解答即可．
解答：解：∵图形旋转后大小不变，
∴OA=OA′==，
∴A、D显然错误；
同理OB=OB′== QUOTE EMBED Equation.3 ．
∴C错误．
故选D．
点评：本题考查的是图形旋转的性质，即图形旋转后其大小和形状不会发生变化．
4. （2011 台湾34，4分）如图1，有两全等的正三角形ABC，DEF，且D，A分别为△ABC，△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图2所示．求图1与图2中，两个三角形重迭区域的面积比为何（　　）
A、2：1 B、3：2 C、4：3 D、5：4
考点：旋转的性质；等边三角形的性质。
分析：设三角形的边长是x，则（1）中阴影部分是一个内角是60°的菱形，图（2）是个角是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解．
解答：解：设三角形的边长是x，则高长是．
图（1）中，阴影部分是一个内角是60°的菱形，AD=×=．
另一条对角线长是：2××sin30°=x．
则阴影部分的面积是：×x x=x2；
图（2）中，AD=×=．
是一个角是30°的直角三角形．
则阴影部分的面积=AD sin30° AD cos30°=×x ××x =x2．
两个三角形重迭区域的面积比为：x2： QUOTE EMBED Equation.3 QUOTE x2=4：3．
故选C．
点评：本题主要考查了三角形的重心的性质，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．
5. （2011天津，2，3分）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：中心对称图形。
分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
解答：解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
故选：A．
点评：此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
6. ( cm )（2010重庆，3，4分）下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
考点：中心对称图形
分析：根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解答：解：A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；
B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；
C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；
D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形．
故选B．
点评：本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
7. （2011湖北咸宁，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A在轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将□OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　）
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A、y=x+1 B、 QUOTE EMBED Equation.3 　　　　C、y=3x﹣3 D、y=x﹣1
考点：待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；中心对称。
分析：首先根据条件l经过点D（1，0），且将 OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．
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解答：解：设D（1，0），
∵线l经过点D（1，0），且将 OABC分割成面积相等的两部分，
∴OD=OE=1，
∵顶点B的坐标为（6，4）．
∴E（5，4）
设直线l的函数解析式是y=kx+b，
∵图象过D（1，0），E（5，4），
∴ QUOTE EMBED Equation.3 ，
解得： QUOTE EMBED Equation.3 ，
∴直线l的函数解析式是y=x﹣1．
故选D．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出E点坐标．
8. （2011 贺州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（　　）
A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C、把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，再右平移7格 D、把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，再右平移7格
( http: / / www.m / )
考点：几何变换的类型。
专题：常规题型。
分析：观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到．
解答：解：根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移7格就可以与△DEF重合．
故选D．
点评：本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
10. （2011 莱芜）以下多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A、正五边形 B、矩形 C、等边三角形 D、平行四边形
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形．
D、是中心对称图形，也是轴对称图形；
故选B．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
11. （2011 莱芜）观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（　　）
A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似
考点：几何变换的类型。
专题：常规题型。
分析：观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
解答：解：A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
点评：考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．
对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
12. （2011山东青岛，4，3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．
点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
13. （2011泰安，3，3分）下列图形：
( http: / / www.m / )
其中是中心对称图形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：中心对称图形。
专题：图表型。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：一图是轴对称图形，二图是中心对称图形，三图是轴对称图形，四图即是中心对称图形，也是周对称图形；
所以，中心对称图形的个数为2．
故选B．
点评：本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
14. （2011泰安，12，3分）若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A．（3，－6） B．（－3，6） C．（－3，－6） D．（3，6）
考点：坐标与图形变化-旋转。
专题：作图题。
分析：正确作出A旋转以后的A′点，即可确定坐标．
解答：解：由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，－6）．
故选A．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查了图形的旋转，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．
15. （2011，四川乐山，,7,3分）如图，直角三角板ABC的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A'B'C'平移的距离为（　　）
( http: / / www.m / )
A.6cm B.4cm C.（6﹣）cm D.（）cm
考点：相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；平移的性质；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，则三角板A'B'C'平移的距离为B′D的长，根据AB′=AC﹣B′C，∠A=30°，在Rt△AB′D中，解直角三角形求B′D即可．
解答：解：如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，
∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，
∴BC= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AB=6，AC=AB sin30°=6，
由旋转的性质可知B′C=BC=6，
∴AB′=AC﹣B′C=6 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ﹣6，
在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，
∴B′D=AB′ tan30°=（6﹣6）×=（6﹣2）cm．
故选C．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查了旋转的性质，30°直角三角形的性质，平移的问题．关键是找出表示平移长度的线段，把问题集中在小直角三角形中求解．
16. （2011四川泸州，2，2分）如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A.72° B.108° C.144° D.216°
考点：旋转对称图形．
分析：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
解答：解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．
点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
17. （2011四川攀枝花，2，3分）下列图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形性质即可判断出．
解答：解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．
点评：此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
18. （2011北京，3，4分）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．矩形
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D选项既为中心对称图形又是轴对称图形
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B．是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
19. （2011福建莆田，4，4分）在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等边三角形 C．菱形 D．等腰梯形
考点：中心对称图形；轴对称图形．
专题：应用题．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别对平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形进行分析即可得出结果．
解答：解：等边三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选C．
点评：本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，比
较简单．
20. （2011福建龙岩，3，4分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
考点：中心对称图形。
分析：根据中心对称图形的定义进行解答，找到图形的对称中心．
解答：解：A，不是中心对称图形，故本选项错误；B，为轴对称图形，而不是中心对称图形，故本选项错误；C，为轴对称图形，而不是中心对称图形，故本选项错误；D，为中心对称图形，故本选项正确．故选D．
点评：本题主要考查对中心对称图形的定义的掌握，解题的关键是看那个图形能够找到对称中心，是否符合中心对称图形的定义．
21. （2011福建省三明市，6,4分）有5张形状、大小、质地均相同的卡片，背面完全相同，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种不同的图案．将这5张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：概率公式；轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据中心对称图形的定义得出等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种图案哪些是中心对称图形，即可得出答案．
解答：解：∵根据中心对称图形的性质，旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，
∴只有平行四边形、菱形、圆是中心对称图形，
∵共有5张不同卡片，
∴抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为： QUOTE QUOTE ，
故选：C．
点评：此题考查主要考查了概率求法以及中心对称图形的定义，此题比较简单，正确记忆中心对称图形的定义是解决问题的关键．
22. （2011福建厦门，5，3分）如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（　　）
A、顺时针旋转90° B、逆时针旋转90°
C、顺时针旋转45° D、逆时针旋转45°
考点：旋转的性质。
分析：此题根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案．
解答：解：根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE．
故选B．
点评：本题主要考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．
23. ( cm )（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质．
分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= ，
∴tanB′=tanB= ．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
24. （2010广东佛山，7，3分）一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（ ）
①对应线段平行； ②对应线段相等；
③对应角相等； ④图形的形状和大小都没有发生变化
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
考点旋转的性质；平移的性质
分析掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．
解答解：平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．
旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．
故选D．
点评此题考查了图形变换的性质及其区别，属基础题．
25.（2011辽宁沈阳5，3）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / ) C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：中心对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据中心对称图形的定义，结合各图特点解答．
解答：解：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的只有D，而A、B、C都不是．
故选D．
点评：考查了中心对称图形的概念：绕着一点旋转180°后，与原图形重合的图形是中心对称图形．
26. （2010河南，6，3分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，1）
考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移
分析：根据图示可知A点坐标为（﹣3，﹣1），它绕原点O旋转180°后得到的坐标为（3，1），根据平移“上加下减”原则，向下平移2个单位得到的坐标为（3，﹣1）．
解答：解：根据图示可知A点坐标为（﹣3，﹣1），根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数∴旋转后得到的坐标为（3，1），根据平移“上加下减”原则，∴向下平移2个单位得到的坐标为（3，﹣1），故选C．
点评：本题主要考查了根据图示判断坐标、图形旋转180°特点以及平移的特点，比较综合，难度适中．
27. （2011 宜昌，13，3分）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（　　）
A、（2，1） B、（﹣2，1） C、（﹣2，﹣1） D、（2，﹣l）
考点：坐标与图形变化-旋转。
分析：将矩形0ABC绕点O顺时针旋转180°，就是把矩形0ABC上的每一个点绕点O顺时针旋转180°，求点B1的坐标即是点B关于点O的对称点B1点的坐标得出答案即可．
解答：解：∵点B的坐标是（2，1），
∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是（﹣2，﹣1）．
故选C．
点评：此题主要考查了旋转变换，本题实际就是一个关于原点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，充分利用网格的辅助解题．
28. （2011湖南衡阳，4，3分）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / ) C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：中心对称图形；生活中的旋转现象。
分析：根据中心对称图形的定义解答．
解答：解：根据中心对称图形的概念，知：A、B、C都是中心对称图形；D不是中心对称图形．
故选D．
点评：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
29. （2011 玉林，4，3分）下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　） ( http: / / www.m / )
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解答：解：第①个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
第②个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
第③个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
第④个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有③④两个．
故选C．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
30. （2006 浙江，8，3分）在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）
A、 B、
C、π D、
考点：弧长的计算；旋转的性质。
分析：因为斜边AB=4，∠B=60°，所以BC=2，点C运动的路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧CC′，那么弧CC′的长=．
解答：解：弧CC′的长= QUOTE EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ．
故选B．
点评：解答本题的关键在于正确理解点C的运动路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧．
31. （2011贵州毕节，2，3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是( )
考点：中心对称图形。
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中性对称图形，即可判断出．
解答：解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；C．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；D．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；故选D．
点评：此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
32 .（2011黑龙江省哈尔滨,3，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. ( http: / / www.m / ) B. ( http: / / www.m / ) C. ( http: / / www.m / ) D. ( http: / / www.m / )
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义解答
解答：解：A项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，
B项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误，
C项既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本项错误，
D项是中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确．
故答案选择﹣﹣D
点评：本题主要考察中心对称图形和轴对称图形的定义，解题的关键是结合定义看一下图形是否符合中心对称图形和轴对称图形的定义．
33. （2011黑龙江省哈尔滨,8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（　　）
( http: / / www.m / )
A.45° B.30° C.25° D.15°
考点：旋转的性质。
专题：计算题。
分析：旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′的特性解题．
解答：解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
所以，∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选D．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角是旋转角．
34. ( cm )（2011黑龙江省黑河， 13，3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A、 B、 C、 D、
【考点】中心对称图形；轴对称图形。
【专题】常规题型。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
35. （2011黑龙江鸡西，2，3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
考点：中心对称图形；轴对称图形.
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解答：解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B，是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；C，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
36. （2011黑龙江牡丹江，12，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）个．
( http: / / www.m / )
A、1 　　 B、2　　　　　　C、3 　　　 D、4
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
解答：解：第一个和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第二个图形和第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选B．
点评：本题考查正多边形对称性．关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，奇数边的正多边形只是轴对称图形．
37. （2011广东湛江,6,3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A、 B、 C、 D、
直角三角形 正五边形 正方形 等腰梯形
考点：中心对称图形 ( javascript:void(0) )；轴对称图形 ( javascript:void(0) )．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中性对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答：解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
38.（2011年广西桂林，4，3分）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（ ）．
考点：中心对称图形 ( javascript:void(0) )．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中性对称图形，即可判断出．
答案：解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
D：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
39. （2011湖州，8，3分）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（　 　）
A．150° B．120° C．90° D．60°
( http: / / www.m / )
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形.
分析：∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．
解答：解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．故选A．
点评：本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键．
40. （2011浙江嘉兴，3，3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　）
( http: / / www.m / )
A．30° B．45° C．90° D．135°
考点：旋转的性质．
专题：网格型；数形结合．
分析：△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答；
解答：解：如图，设小方格的边长为1，得，OC=＝，AO=＝，AC=4，
∵OC2+AO2= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 + QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =16，AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC=90°．故选C．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．
41. （2011浙江义乌，6，3分）下列图形中，中心对称图形有（　　）
( http: / / www.m / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点：中心对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解．
解答：解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2和第3个是中心对称图形．
中心对称图形有3个．
故选B．
点评：本题考查中心对称图形的概念：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
42. （2011浙江舟山，3，3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　）
( http: / / www.m / )
A．30° B．45° C．90° D．135°
考点：旋转的性质。
专题：网格型；数形结合。
分析：△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答；
解答：解：如图，设小方格的边长为1，得，
OC＝＝2，AO＝＝2，AC＝4，
∵OC2＋AO2＝（2）2＋（2）2＝16，
AC2＝42＝16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．
二、填空题
1. （2011江苏淮安，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=，则△ABC的周长等于 .
考点：旋转的性质；解直角三角形。
分析：根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠B1AD=45°，可以求出AB1=，而AB与AB1是相等的，故可求AB，那么BC和AC可求，则△ABC的周长可求．
解答：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
则∠BAC=60°，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，∠B1AD=45°，
而∠AB1D=90°，故△AB1D是等腰直角三角形，
如果AD=2 QUOTE EMBED Equation.3 ，则根据勾股定理得，
AB1= QUOTE EMBED Equation.3 那么AB=AB1= QUOTE EMBED Equation.3 ，
AC=2AB=2 QUOTE EMBED Equation.3 ，
BC=，
△ABC的周长为：AB+BC+AC= QUOTE EMBED Equation.3 +2 QUOTE EMBED Equation.3 + QUOTE EMBED Equation.3 =3 QUOTE EMBED Equation.3 + QUOTE EMBED Equation.3 ．
故本题答案为：3 QUOTE EMBED Equation.3 + QUOTE EMBED Equation.3 ．
点评：本题主要考查旋转和直角三角形的性质，既要弄清等腰梯形、直角梯形的判定，又要掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．
2. （2011江苏南京，14，2分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（ 0°＜α＜180°），则∠α=　90°　．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。
分析：首先作出旋转中心，根据多边形的性质即可求解．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠AOB=90°，
故α=90°．
故答案是：90°．
点评：本题主要考查了旋转的性质，以及正多边形的性质，正确理解正多边形的性质以及旋转角是解题的关键．
3. （2011 泰州，16，3分）如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB扫过的图形面积是　 平方单位（结果保留π）．
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考点：旋转的性质；扇形面积的计算。
专题：网格型。
分析：在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，观察图形可知，线段AB扫过的图形为扇形，旋
转角为90°，根据扇形面积公式求解．
解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=，
由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，
∴线段AB扫过的图形面积==．
故答案为：．
点评：本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用．关键是理解题意，明确线段AB扫过的图形是90°的扇形．
4. （2011盐城，17，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为　　 　．
( http: / / www.m / )
考点：弧长的计算；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质.
专题：计算题.
分析：先利用勾股定理求出AE的长，然后根据旋转的性质得到旋转角为∠DAB=90°，最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长．
解答：解：∵AD=12，DE=5，∴AE==13，又∵将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，而AD=AB，∴旋转角为∠DAB=90°，∴点E所经过的路径长=
（cm）．故答案为．
点评：本题考查了弧长公式：l=；也考查了正方形的性质以及旋转的性质．
5. （2011山西，17，3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC． 把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2， 则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____________（结果保留）
考点：扇形面积及三角形面积的组合．旋转．
专题：旋转．扇形面积及三角形面积的组合．
分析：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠ABC＝∠BAC＝45°． 因为AB＝2，则AC ＝ ＝ BC．由旋转变换知AC ＝AC’ ＝ ．∠BAC＝∠B’AC’＝45°．
，．．
解答：
点评：根据题意找到关系式:，在本题中找到这样的关系后，直接求出两个扇形的面积后直接相减即可．
6. ( cm ) Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=
80°或120°
．
考点：旋转的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．
解答：解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，
∴旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，
在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为：80°或120°．
7. （2011 贺州）在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．
( http: / / www.m / )
考点：概率公式；中心对称图形。
专题：应用题。
分析：先判断图中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．
解答：解：∵在这一组图形中中心对称图形的是：①②④共3个，
∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是．
故答案为：．
点评：本题主要考查的是概率公式及中心对称图形，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8. （2011 西宁）如图，在6×6的方格中（共有36个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，将线段OA绕点O逆时针旋转得到线段OB（顶点均在格点上），则阴影部分面积等于π　．
( http: / / www.m / )
考点：扇形面积的计算；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理求得OA，再由旋转的性质得出∠AOB=90°，根据扇形面积公式S扇形=得出答案即可．
解答：解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴OA=2，
∴S扇形===π．
故答案为π．
点评：本题考查了扇形面积的计算，解此题的关键是熟练掌握扇形面积公式．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 莱芜）如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为　（36，0）　．
考点：旋转的性质；坐标与图形性质；勾股定理。
专题：规律型。
分析：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨、⑩10的直角顶点为（36，0）．
解答：解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴图③、④的直角顶点坐标为（12，0），
∵每旋转3次为一循环，
∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），
∴图⑨、⑩的直角顶点为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
点评：本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．
10. （2011成都，14，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是 QUOTE EMBED Equation.3 ．
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考点：扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理得到AB＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD
解答：解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∴S扇形ABD＝
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD＝ QUOTE EMBED Equation.3 ．
故答案为： QUOTE EMBED Equation.3 ．
点评：本题考查了扇形的面积公式：．也考查了勾股定理以及旋转的性质．
11. （2011四川省宜宾市，16，3分）如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转
α度，得到△A1BC1，A1B 交AC于点E，A1C1分别交AC、BC
于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，
③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE.
其中正确的是 (写出正确结论的序号).
考点：旋转的性质 ( javascript:void(0) )．
分析：①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；
②先证明△A1BD≌△CBD，再可证明△ADE≌△CDF，可得结论A1E=CF；
③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以可证DF与FC不一定相等；
④先证明AD=CD，而CD＜CE，可得AD＜CE；
⑤用角角边证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．
答案：解：①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α
故结论①正确；
②如图，连接BD，
AB=BC，则∠A=∠C
所以∠A1=∠C，而AB=BC=A1B，BD=BD
∴△A1BD≌△CBD
那么A1D=CD，而∠A1=∠C，∠ADE=∠CDF（对顶角相等）
则△ADE≌△CDF（角角边）
所以A1E=CF，
故结论②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④由△ADE≌△CDF可得，
AD=CD，而从图可知CD＜CE，
则AD＜CE
故结论④不正确；
⑤BC=A1B，∠A1=∠C，∠A1BF=∠CBE
∴△A1BF≌△CBE
那么A1F=CE．
故结论⑤正确．
故答案为：①②⑤．
点评：本题考查旋转的性质，其中涉及三角形全等的定理和性质：角角边、边边角证明三角形全等，全等三角形对应边相等．
12. （2010福建泉州，17，4分）如图，如果边长为1的正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合，那么点B的对应点是点　G　，点E在整个旋转过程中，所经过的路径长为（结果保留π）．
( http: / / www.m / )
考点旋转的性质；正多边形和圆；弧长的计算
分析根据图形旋转的性质接可求出点B的对应点，再连接AE，过F点向AE作垂线，利用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质可求出AE的长，再利用弧长公式接可求出E在整个旋转过程中，所经过的路径长．
解答解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴此六边形的各内角是120°，
∵正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合，
∴B点只能与G点重合，连接AE，过F点向AE作垂线，垂足为H，
∵EF=AF=1，HF⊥AE，∴AE=2EH，∵∠AFE=120°，∴∠EFH=60°，∴EH=EF sin60°=1×=，
∴AE=2×=，∴E点所经过的路线是以A为圆心，以AE为半径，圆心角为60度的一段弧，∴E在整个旋转过程中，所经过的路径长==π．故答案为：G、=π．
点评本题考查的是图形旋转的性质、正多边形和圆及弧长的计算、等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形；②正三角形是中心对
称图形，结果是 ( )
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
2．在如图23-103所示的艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的
5个字母中，是中心对称图形的有 ( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．如图23-104所示，D是等腰直角三角形ABC内一点，
BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针旋转到△
ACD′的位置，则∠ADD′的度数是 ( )
A．25° B．30°
C．35° D．45°
4．如图23-105(1)所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到如图
23-105(2)所示的四张牌，则旋转的牌是如图23-106所示的 ( )
5．如图23-107所示的△ABC是等边三角形，D是BC的中点，以D为旋转中心，把
△ABC顺时针旋转60°后所得到的图形应是如图23-108所示的 ()
6．如图23-109所示，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积为 ( )
A． B． C． D．
7．若点P(1+2a，4—2a)关于原点的对称点在第三象限内，则a的整数解有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图23-110所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD， AC交BD于点O，点E，F分别为AO，BO的中点，则下列关于点O成中心对称的一组三角形是( )
A．△ABO与△CDO B．△AOD与△BOC
C．△COD与△EOF D．△ACD与△BDC
9．如图23-111所示，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看做是由△AOB绕点O顺时针旋转a角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角a的大小可以是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图23-112所示，点A，B，C的坐标分别为(0，-1)，(0，2)，(3， 0)．从下面四个点M(3，3)，N(3，-3)，P(-3，0)，Q(-3，1)中选择一个点，以A， B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是 ( )
A．M B．N C．P D．Q
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如图23-113所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个
五角星是可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过 次
旋转而得到，每一次旋转 度．
12．如图23-114．所示，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B
恰好落在边A′B′上，已知AB=4 cm，BB′=1 cm，则A′B的长是 cm
13．如图23-115所示，平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线
段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ．
14．如图23-116所示，在△ABC中，∠ABC=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转到
△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D处，则∠BDE= ．
15．如图23-117所示，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到
的．如果用有序数对(2，1)表示方格纸上A点的位置，用(1，2)表示B点的位置，
那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是 .
l6．如图23-118所示，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A′B′C，
已知斜边AB=10 cm，直角边BC=6 cm，设A′B′的中点是M，则MA= cm.
三、解答题(每小题9分，共72分)
17．如图23-119所示，将长方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转90°，连续旋转
3次，画出图形并回答下列问题．
(1)这个图形是旋转对称图形吗 如果是，指出旋转中心和旋转角度(指出一个旋转
角度即可)；
(2)它是中心对称图形吗
l8．如图23-120所示，点O，B的坐标分别为(0，0)，(3，0)，将△OAB绕点O按逆时
针方向旋转90°，得到△OA′B′．
(1)画出△OA′B′；
(2)求点A′的坐标；
(3)求BB′的长．
19．如图23—121所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，
使得点A与CB的延长线上的点E重合．
(1)三角尺旋转了多少度
(2)连接CD，试判断△CBD的形状；
(3)求∠BDC的度数．
20．如图23-122所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，
DG．
(1)猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形 若存在，请说出旋转过
程；若不存在，请说明理由．
21．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，如图23-123所示的来自现实
生活的图形中都有圆．
(1)以上三个图形中，是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 ；
(分别用上面三个图的代号a，b，c填空)
(2)请你在下面的两个圆(如图23-124所示)中按要求分别画出与上面图案不重复
的图案．(用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些、美观些)
甲：是轴对称图形，但不是中心对称图形；
乙：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
22．如图23-125所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到△OA1B1．
(1)线段OA1的长是 ， ∠AOB1的度数是 ；
(2)连接AA1，求证四边形OAA1B1是平行四边形；
(3)求四边形OAA1B1的面积．
23．如图23-126所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-6，0)，C(-1，0)．
(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，
直接写出点B的对应点的坐标；
(3)请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
24．如图23-127所示，在平面内直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中
较小直角边的长为6 cm，较小锐角的度数为30°.
(1)将△ECD沿着直线AC翻折到如图23—128(1)所示的位置，ED′与AB相交
于点F，求证AF=FD′；
(2)将△ECD沿直线l向左平移到如图23—128(2)所示的位置，使E点落在AB
上，记为E′，求出平移的距离；
(3)将△ECD绕点C逆时针方向旋转到如图23—128(3)所示的位置，使得点E落
在AB上，记为点E′，求出旋转角的度数．
参考答案
1．C
2．B[提示：H，I，N是中心对称图形，E，A是轴对称图形．]
3．D[提示：△ADD′是等腰直角三角形．]
4．A[提示：方块旋转180°后，能与自身重合．]
5．C [提示：旋转中心在旋转前后是固定不变的．]
6．D[提示：设CD和B′C′相交于点M，连接AM，∵AB′=AD=1，AM是公共边，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M，∴∠MAD=∠MAB′=∴DM=AM，设DM为x，则AM为2x．∴(2x)2-x2=12．∴x=∴△ADM的面积=×1×．∴它们的公共部分的面积为．故选D．]
7．B[提示：P(1+2a，4-2a)关于原点的对称点为P′(一1—2a，2a一4)，依题意得一1—2a<0，2a一4<0，故一8．C[提示：△COD≌△EOF．]
9．C[提示：△OAA′是等边三角形，旋转角∠AOA′=60°．]
10．C[提示：画图可知．]
11．4 72
12．3[提示：由旋转性质知A′B′=AB=4cm．]
13．(4，一1) 14．80°[提示：由旋转的基本性质可知△ABC≌△ADE，所以AB=AD，∠B=∠ADE=40°；所以∠B=∠ADB=40°，所以∠BDE=∠ADB+∠ADE=40°+40°=80°．]
15．(5，2)[提示：首先根据B(1，2)画出平面直角坐标系，然后用尺规作图作出AE，CG的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心．]
16． [提示：过M作MN⊥AC，利用勾股定理及旋转的特征解题．]
l7．解：如图23—129所示．(1)该图形是旋转对称图形，旋转中心为A，旋转角度为90°． (2)该图形是中心对称图形．
18．(1)图略． (2)A′(-2，4)． (3)BB′=3．
19．(1)150°． (2)等腰三角形． (3)l5°．
20．解：(1)BE=DG．证明如下：∵四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形，∴BC=DC，EC=GC，∠BCE=∠DCG=90°，∴Rt△BCE≌△RtDCG，∴BE=DG． (2)由(1)的证明过程知满足条件的三角形存在，是Rt△BCE和Rt△DCG，将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG完全重合(或将Rt△DCG绕点C逆时针旋转90°，可与Rt△BCE完全重合)．
21．提示：(1)a，b，c a，c (2)符合题意即可，答案不唯一．图略．
22．(1)解：O1A=0A=6，∠AOB1=135°． (2)证明：∵∠OA1B1=90°，∠AOA1=90°，∴A1Bl∥OA．∵A1B1=AB=OA'．∴四边形OAAlB1为平行四边形． (3)解：四边形OAA1B1的面积为OA×OA1一6×6—3 6．
23．提示：做此题时，要动手亲自画图，同时注意D点有三个，不要丢了．解：(1)A关于y轴对称的点的坐标为(2，3)． (2)画图(略)，点B的对应点的坐标为(0，一6)． (3)D为3个位置．D1(3，3)，D2(一5，一3)，D3(一7，3)．
24．(1)证明：由轴对称的性质可知D′C=DC，∠ED′C=∠EDC，又EC=BC．∴AE—BD′．在△AFE与△D′FB中，
∠A=∠ED′C，
∠AFE=∠D′FB，∴△AFE≌△D′FB′.∴AF=FD′．
AE=BD′，
(2)解：根据平移的性质可知CC′的长等于平移的距离，在Rt△E′BC′中，易知BC′=,∴CC′=6-. (3)解：根据旋转的性质可知E′C=BC，又∠ABC=90°一30°=60°. ∴△BCE′为等边三角形, ∴∠E′CB=60°, ∴旋转角∠ECE′=∠ACB一∠E′CB=30°
定义：一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转
①对应点到旋转中心的距离相等
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
③旋转前、后的图形全等
旋转
性质
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称
中心对称
①关于中心对称的两个图形，对称点所连线
段都经过对称中心，而且被对称中心所平分
②关于中心对称的两个图形是全等图形
性质
旋转
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，常见的中心对称图形：线段、平行四边形、圆等
中心对
称图形
关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符
号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y)
利用平移、轴对称和旋转可进行图案设计
A
B
C
C’
B’
A B C D
（第17题）
(16题图)第十三章 实 数
本章小结
小结1 本章概述
本章主要学习算术平方根、平方根、立方根的概念，无理数和实数的概念及实数的运算．教材从典型的实际问题入手，首先介绍算术平方根，给出算术平方根的概念和符号表示．在学习算术平方根的基础上学习平方根，利用乘方与开方互为逆运算的特点探讨数的平方根的特征．类比平方根学习立方根，探讨立方根的特征．最后学习无理数及实数的运算．在有理数范围内成立的一些概念和运算律，在实数范围内仍适用．
本章知识是有理数到实数的扩展，同时也是以后学习二次根式、一元二次方程、函数的基础，在初中数学中占着很重要的地位，应认真学习，准确掌握．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解平方根、立方根及算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，会求某些非负数的平方根及某些数的立方根；掌握无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，并能进行实数的运算．
【本章难点】掌握平方根、立方根等概念；掌握实数的含义及其运算．
小结3 学法指导
1．学习本章的关键是正确理解与运用平方根、立方根、实数的概念及性质，在学习过程中要抓住新旧知识的联系，灵活运用乘方、开方、实数的知识，实现知识的迁移，并使新旧知识融会贯通．
2．在本章的学习中，要深刻理解并掌握类比的方法，清楚新旧知识的区别与联系，同时，要动手、动脑、积极思考、参加实践，明确数学来源于生活，又服务于生活．
知识网络结构图
　　专题总结及应用
　　一、知识性专题
　　专题1 无理数与有理数的有关问题
【专题解读】　此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，题型逐渐走向开放．区分有理数和无理数的关键有两点：一是正确理解无限循环小数与无限不循环小数的意义；二是能写成分数形式的都是有理数，但，等不是分数．
例1 在－2，0，，1，，－0.4中，正数有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个　 　D．5个
分析 正数包括正有理数和正无理数，本题中，1，三个数为正数．故选B．
【解题策略】　0既不是正数，也不是负数．无理数也有正、负之分．
例2　请写出两个你喜欢的无理数，使它们的和为有理数，你写的两个无理数是　　　．
分析 只有根号部分互为相反数的两个无理数的和才是有理数．故填2＋和2－ (答案不唯一)．
【解题策略】 若两个无理数的和为有理数，这样的两个无理数的形式是a1＋和a2－，其中a1，a2，m都是有理数，b＞0．
　　专题2　平方根、立方根的概念
【专题解读】 解答此类问题主要注意以下几点：一是开平方和开立方的区别；二是熟悉计算器的使用；三是看题目要求，弄清被开方数．
例3 要到玻璃店配一块面积为1．21 m2的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 　　m．
分析　正方形的边长是其面积的算术平方根，故该玻璃的边长为＝1.1(m)．故填1.1．
【解题策略】 解题的关键是要弄清正方形的面积和边长的关系．
例4　计算．
分析　．
　 解：原式＝．
　 例5 已知b＝a3＋2c，其中b的算术平方根为19，c的平方根是±3，求a的值．
　分析　因为b的算术平方根是19，所以b＝192＝361．又因为c的平方根是±3，所以c＝(±3)2＝9．代入已知条件即可求出a的值．
解：因为b的算术平方根是19，所以b＝192＝361．
　　又c的平方根是±3．所以c＝(±3)2＝9．
所以a3＝b－2c＝361－18＝343，即a＝7．
　　专题3 实数的有关概念及计算
【专题解读】本知识点是中考的热点，也是必考内容，主要考查实数的分类，实数的相反数、绝对值、倒数等性质，与数轴的对应关系及简单的计算，多以选择题、填空题的形式出现．
例6　把下列各数分别填入相应的集合里：，，－3.14159，，，，，0，－0.，1.414，，1.2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1)．
(1)正有理数集合：{ …}；
(2)有理数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}；
(4)实数集合：{ …}．
分析 准确理解实数的概念，按要求分类，注意不要遗漏．
解：(1)正有理数集合：{，，1.414，…}．
(2)有理数集合：{，－3.14159，，，0，－0.，1.414，…}．
　　 (3)无理数集合：{，，，1.21121112l 1112…，，…}．
　　 (4)全体数均属实数．
【解题策略】 (1)带根号的数不一定是无理数：(2)分数是有理数，但这种形式的数是无理数；(3)只有无限不循环小数才是无理故．
例7 如图13－13所示，在数轴上点A和B之间的整数点有　　 __个．
分析　解决本题的关键是确定－与之间有哪些整数，由于－2＜－＜－1，2＜＜3，所以－与之间的整数有－1，0，1，2，所以A，B两点之间的整数点有4个．故填4．
规律·方法　数轴上的点表示的数并非都是有理数，数轴上的点与实数是一一对应的．
例8 已知a，b为数轴上的点，如图13－14所示，求的值．
分析　解决此题的关键在于去掉分子的绝对值符号，也就是要确定a＋b的正负．由图可知a＞0，b＜0，且＞，所以a＋b＜0，因此＝－(a＋b)．
　　解：由题意可知a＞0，b＜0，且＞，所以a＋b＜0，即＝－(a＋b)．
　　　　所以．
专题4 非负数的性质及其应用
【专题解读】 解决有关非负数的问题的关键是灵活运用非负数的性质，如：若几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零；若两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零等等．另外，还要熟悉一些常见的非负数的形式，如偶次方、绝对值、算术平方根等．
例9　若与互为相反数，则的值为 　　　 ．
分析　依题意知，根据非负数的性质可知＝0，＝0，即，b－1＝0，所以，b＝1，所以原式＝．故填．
【解题策略】 有限个非负数之和为零，则必有每个非负数同时为零，即若x1≥0，x2≥0，…，xn≥0，且x1＋x2＋…＋xn＝0，则x1＝x2＝…＝xn＝0．
例10　已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋＝0，且ax２＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋1的值．
分析 先根据非负数的性质求出a，b，c的值，再整体代入求值．
解：依题意知(2－a)2≥0，≥0，≥0，
　　所以解得
　　 所以ax2＋bc＋c＝0即为2x2＋4x－8＝0，可化为x2＋2x＝4，
　　故3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．
【解题策略】　本题在求代数式的值时充分采用了整体代入的方法．
例11 已知实数x，y满足，求的平方根．
分析　要求的平方根，关键是知道x，y的值，由非负数的性质知，有限个非负数之和等于零，则每个非负数都等于零，从而得到一个关于x，y的二元一次方程组．解出x，y的值．
解：因为．
　　又≥0，≥0，
　　所以解得所以．
　　所以．
　例12　若a，b为实数，且，求的值．
　分析　因为与均成立．所以a2－1≥0，且1－a2≥0，可得出a2－1＝0．即a＝±1．又a＋1≠0．所以a＝1．进而代入求值．
解：因为a，b为实数，且a2－1≥0，1－a2≥0，所以a2－1＝1－a2＝0．
　　所以a＝±1．又因为a＋1≠0，所以a＝1．代入原式，得b＝．
　　所以＝－3．
　　二、规律方法专题
专题5　实数比较大小的方法
1．平方法
当a＞0，b＞0时，a＞b．
例13 比较和的大小．
解：因为＝12，＝18，
　　 12＜18，所以＜．
　 2．移动因数法
　 利用a＝ (a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
　例14 比较和的大小．
分析 本题应先将根号外的4和5分别移到根号内，然后比较被开方数的大小即可；另外，本题也可用平方法来解．
解：因为，，＜，所以＜．
3．作差法
当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
例15　比较与的大小．
分析　本题用作差法比较．将4和3移到根号内．
解：因为－＝＜0．所以＜．
4．作商法
若，则A＝B；若＞1．则A＞B；若＜1．则A＜B．(A，B＞0且B≠0)
例16 比较和的大小．
分析　本题考查应用作商法比较大小．
解：因为＜1，所以＜．
　　三、思想方法专题
专题6　分类讨论思想
【专题解读】　当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，应按所有可能的情况分别讨论．实数的分类是这一思想的具体体现．要学会运用分类讨论思想对可能存在的情况进行分类讨论．要不重不漏．本章在研究平方根、立方根及算术平方根的性质以及化简绝对值时均用到了分类讨论思想．
例17　已知数轴上有A，B两点，且这两点之间的距离为，若点A在数轴上表示的数为，则点B在数轴上表示的数为　　　　　 ．
分析 本题要分为两种情况进行分析：①当B点在A点的左边时；②当B点在A点的右边时．当B点在A点的左边时，则，故B点表示的数是；②当B点在A点的右边时，则，故B点表示的数是．综上，点B在数轴上表示的数为或．故填或．
【解题策略】 本题也可运用数轴上两点间的距离公式来解决，设表示B点的数为x，则，故或，则x＝或x＝．
专题7　数形结合思想
【专题解读】 实数与数轴上的点是一一对应的，实数在数轴上的表示是数形结合思想的具体表现，通过把实数在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地感受实数的客观存在．为理解实数的概念及其相关性质提供了有力的帮助．
例18　a，b在数轴上的位置如图13－15所示，那么化简的结果是 ( )
　　A．2a－b 　　　　　　　　 B．b
　　C．－b 　　　　　　　　　 D．－2a＋b
分析　先由数轴判断实数a，b的正负，再判断a－b的正负，最后化简、合并．由数轴知a＞0，b＜0，a＞b，所以a－b＞0，所以＝a－b－a＝－b．故选C．
专题8　类比思想
【专题解读】 本章在学习实数的有关概念及性质、运算时，可以类比已学过的有理数加以理解和运用．
例19　已知四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身．那么这个数是正数．其中真命题有 ( )
　　A．1个 　　 B．2个 　　 C．3个 　　 D．4个
分析　倒数等于它本身的数为±1，故②错；绝对值等于它本身的数除了正数还有0．故④错．①③是正确的．故选B．
例20　设a为实数，则的值 ( )
　 A．可以是负数 B．不可能是负数
C．必是正数 D．正数、负数均可
分析　若a＜0，则，所以＝－2a＞0；若a≥0，则，所以＝0．因此不可能为负数．故选B．
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011 江苏宿迁，1，3）下列各数中，比0小的数是（　　）
A．－1 B．1 C． D．π
考点：实数大小比较。
专题：应用题。
分析：根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
解答：解：∵π＞＞1＞0＞﹣1，
∴比0小的数是﹣1．
故选A．
点评：此题主要考查了实数的大小的比较，要牢记：正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
2. （2011 江苏徐州，3，2）估计值（　　）
A、在2到3之间 B、在3到4之间 C、在4到5之间 D、在5到6之间
考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：先确定的平方的范围，进而估算的值的范围．
解答：解：9＜＜16，故3＜＜4；
故选B．
点评：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．
3. （2011江苏镇江常州，1，2分）在下列实数中，无理数是（　　）
A．2 B．0
C． D．
考点：无理数．
专题：存在型．
分析：根据无理数的定义进行解答即可．
解答：解：∵无理数是无限不循环小数，
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是无理数，2，0， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是有理数．
故选C．
点评：本题考查的是无理数的定义，即初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4. （2011南昌，1，3分）下列各数中，最小的是（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.
考点：实数大小比较.
专题：计算题.
分析：根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
解答：解：∵四个答案中只有C、D为负数，∴应从C、D中选；∵|﹣1|＜||，
∴＜﹣1.故选D．
点评：本题考查实数的概念和实数大小的比较，很多学生对数没有一个整体的概念，对实数的范围模糊不清，以至出现0是最小实数这样的错误答案．
5. （2011南昌，5，3分）下列各数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
考点：无理数
专题：存在型,
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解答：解：A，∵=20，∴是有理数，故本选项错误；B，∵=2，∴是有理数，故本选项错误；C、∵=，∴是无理数，故本选项正确；D，∵=0.2，∴是有理数，故本选项错误.故选C．
点评：本题考查的是无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6. ( cm )（2011 台湾11，4分）如图数在线有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数在线的位置会落在下列哪一线段上（　　）
A、OA B、AB C、BC D、CD
考点：估算无理数的大小；实数与数轴。
分析：由于，，所以应落在BC上．
解答：解：∵，，
∴3.6，3.6＜＜4.7
所以 QUOTE EMBED Equation.3 应落在BC上．
故选C．
点评：本题主要考查了无理数的估算，此题主要考查了估算无理数的大小，可以直接估算所以无理数的值，也可以利用“夹逼法”来估算．
7. （2011天津，4，3分）估计的值在（　　）
A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间
考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，从而求出即可．
解答：解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
故选：C．
点评：此题主要考查了估计无理数的大小，根据已知得出最接近的完全平方数是解决问题的关键．
8. （2011新疆建设兵团，6，5分）将(－)0，(－)3，(－cos30°)，这三个实数从小到大的顺序排列，正确的顺序是（　　）
A、(－)3＜(－)0＜(－cos30°) B、(－cos30°)＜(－)0＜(－)3
C、(－)0＜(－)3＜(－cos30°) D、(－cos30°)＜(－)3＜(－)0
考点：实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：分别根据0指数幂、数的乘方、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算计算出各数，再根据实数比较大小的法则比较出各数的大小即可．
解答：解：∵(－)0＝1，(－)3＝－3，(－cos30°)＝(－ eq \f(,2))＝，
∵－3＜0，＞1，
∴－3＜1＜，即(－)3＜(－)0＜(－cos30°)．
故选A．
点评：本题考查的是实数的大小比较，熟知0指数幂、数的乘方、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算是解答此题的关键．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011新疆乌鲁木齐，1，4）下列实数中，是无理数的为（　　）
A、0 B、 C、3.14 D、
考点：无理数。
专题：存在型。
分析：根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、0是整数，故是有理数，故本选项错误；
B、 QUOTE EMBED Equation.3 是分数，故是有理数，故本选项错误；
C、3.14是小数，故是有理数，故本选项错误；
D、 QUOTE EMBED Equation.3 是开方开不尽的数，故是无理数，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查的是无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
10. （2011 柳州）在0，﹣2，3，四个数中，最小的数是（　　）
A、0 B、﹣2
C、3 D、
考点：实数大小比较。
专题：探究型。
分析：根据实数比较大小的法则进行比较即可．
解答：解：∵在这四个数中3＞0，＞0，﹣2＜0，
∴﹣2最小．
故选B．
点评：本题考查的是实数的大小比较，即正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
11. （2011 湘西州）下列各数中，是无理数的是（　　）
A、0 B、﹣2
C、 D、
考点：无理数。
专题：存在型。
分析：根据无理数的定义进行解答即可．
解答：解：0、2是整数，是分数，故A、B、D均是有理数；
是开方开不尽的数，故是无理数．
故选C．
点评：本题考查的是无理数的定义，即无限不循环小数叫无理数．
12. （2011 青海）在3.14，，π和这四个实数中，无理数是（　　）
A、3.14和 B、π和
C、和 D、π和
考点：无理数。
分析：根据无理数是无限不循环小数进行分析判断．
解答：解：其中和π是无限不循环小数，即为无理数．
故选D．
点评：此题考查了无理数的概念，注意其中的=3．
13. （2011山东滨州，1，3分）在实数π、、、sin30°,无理数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】无理数；特殊角的三角函数值．
【专题】探究型．
【分析】先把sin30°化为的形式，再根据无理数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵sin30°=，
∴这一组数中的无理数有：π，．
故选B．
【点评】本题考查的是无理数的定义，即其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
14. 下列四个实数中，比-1小的数是（　　）
A、-2 B、0 C、1 D、2
【答案】A
【考点】实数大小比较 ( javascript:void(0) )．
【专题】探究型
【分析】根据实数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解：∵-1＜0，1＞0，2＞0，∴可排除B、C、D，
∵-2＜0，|-2|＞|-1|，∴-2＜-1．故选A．
【点评】本题考查的是实数比较大小的法则，即任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
15. （2011 南充，5，3分）下列计算不正确的是（　　）
A、﹣+=﹣2 B、（﹣）2= C、︳﹣3︳=3 D、=2
考点：实数的运算。
分析：本题需先对每一项分别进行解答，得出正确的结果，最后选出本题的答案即可．
解答：解：A、∵﹣+=﹣1，故本答案错误；
B、（﹣）2=，故本答案正确；
C、|﹣3|=3，故本答案正确；
D、=2，故本答案正确．
故选A．
点评：本题主要考查了实数的运算，在解题时要注意运算顺序和符号是解题的关键．
16. （2011河北，13，3分） QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，π，－4，0这四个数中，最大的数是　 　．
考点：实数大小比较。
专题：计算题。
分析：先把各式进行化简，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
解答：解：∵1＜ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ＜2，π＝3.14，－4，0这四个数中，正数大于一切负数，
∴这四个数的大小顺序是
故答案为：π
点评：此题主要考查了实数的大小的比较．注意两个无理数的比较方法：根据开方的性质，把根号内的移到根号外，只需比较实数的大小．
17. 设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　）
A、1和2 B、2和3 C、3和4 D、4和5
【答案】C
【考点】估算无理数的大小 ( javascript:void(0) )．
【专题】计算题 ( javascript:void(0) )．
【分析】先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后计算介于哪两个相邻的整数之间．
【解答】解：∵16＜19＜25，∴4＜＜5，∴3＜-1＜4，
∴3＜a＜4，∴a在两个相邻整数3和4之间；故选C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
18. （2011福建省漳州市，1,3分）在﹣1、3、0、四个实数中，最大的实数是（　　）
A、﹣1 B、3
C、0 D、
考点：实数大小比较。
专题：计算题。
分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
解答：解：∵﹣1＜0＜＜3，
∴四个实数中，最大的实数是3．
故答案为B．
点评：本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
19. （2011广州，1，3分）四个数-5，-0.1，，中为无理数的是（ ）
A. -5 B. -0.1 C. D.
【考点】无理数．
【专题】概念
【分析】本题只需先把四个数-5，-0.1，， 判断出谁是有理数，谁是无理数即可求出结果．
【解答】解：∵-5、-0.1、 是有理数，
∵无限不循环的小数是无理数
∴ 是无理数．
故选D．
【点评】本题主要考查了什么是无理数，在判断的时候知道什么是无理数，什么是有理数这是解题的关键．
20. 2010广东佛山，3，3分）下列说法正确的是（ ）
A．一定是正数 B．是有理数
C．是有理数 D．平方等于自身的数只有1
考点实数
分析由于实数的定义：有理数和无理数统称为实数，逐个判断，由此即可判定选择项．
解答解：A、a可以代表任何数，故A不一定是正数，故A错误；
B、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 属于分数，分数是有理数，故B正确；
C、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是无理数，故 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 也是无理数，故C错误；
D、0的平方也等于自身，故D错误．故选B．
点评本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法，属于基础题．
21. （2011浙江宁波，1，3）下列各数中是正整数的是（　　）
A、－1 B、2 C、0.5 D、
考点：实数。
分析：根据实数的分类：，
可逐一分析、排除选选项，解答本题；
解答：解：A、－1是负整数；故本选项错误；
B、2是正整数，故本选项正确；
C、0.5是小数，故本选项错误；
D、 QUOTE EMBED Equation.3 是无理数，故本选项错误；
故选B．
点评：本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．
22. (2011襄阳，6，3分)下列说法正确的是(　　)
A．是无理数 B． QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是有理数 C． QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是无理数 D． QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是有理数
考点：实数。
专题：应用题。
分析：先对各选项进行化简，然后根据有理数和无理数的定义即可判断．
解答：解：A．( QUOTE EMBED Equation.3 )0＝1是有理数，故本选项错误，
B． QUOTE EMBED Equation.3 是无理数，故本选项错误，
C． QUOTE EMBED Equation.3 ＝2是有理数，故本选项错误，
D． QUOTE EMBED Equation.3 ＝－2是有理数，故本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了有理数和无理数的定义，比较简单．
23. （2011 宜昌，5，3分）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（　　）
( http: / / www.m / )
A、a＜b B、a=b C、a＞b D、ab＞0
考点：实数大小比较；实数与数轴。
专题：存在型。
分析：根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号，再比较出其大小即可．
解答：解：∵b在原点左侧，a在原点右侧，
∴b＜0，a＞0，
∴a＞b，故A、B错误，C正确；
∵a、b异号，
∴ab＜0，故D错误．
故选C．
点评：本题考查的是实数大小比较及数轴的特点，熟知数轴上各数的特点是解答此题的关键．
24.（2011年江西省，1，3分）下列各数中，最小的是（　　）
A.O B.1 C.-1 D.
考点：实数大小比较 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
解答：解：∵四个答案中只有C，D为负数，
∴应从C，D中选；
∵|-1|＜|-，
∴-＜-1．故选：D．
点评：本题考查实数的概念和实数大小的比较，很多学生对数没有一个整体的概念，对实数的范围模糊不清，以至出现0是最小实数这样的错误答案．
25.（2011辽宁沈阳，1，3）下列各选项中，既不是正数也不是负数的是（　　）
A、－1 B、0 C、 D、π
考点：实数。
专题：分类讨论。
分析：根据实数中正负数的定义即可解答．
解答：解：由正负数的定义可知，A是负数，C、D是正数，B既不是正数也不是负数．
故选B．
点评：本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．
26.（2011辽宁本溪，3，3分）下列整数中与最接近的数是（ ）
A．2 B．4 C．15 D．16
考点：估算无理数的大小
专题：计算题
分析：由题意可知15与16最接近，即与最接近，从而得出答案
解答 解：由已知得：与最接近
=4，
故选：B．
点评：此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=4最接近．
27.实数 的整数部分是（　　）
A、2 B、3 C、4 D、5
考点：估算无理数的大小 ( javascript:void(0) )．
专题：探究型 ( javascript:void(0) )．
分析：先估算出 的值，再进行解答即可．
解答：解：∵≈3.16，
∴的整数部分是3．
故选B．
点评：本题考查的是估算无理数的大小，≈3.16是需要识记的内容．
28.（2011辽宁沈阳，1，3分）下列各选项中，既不是正数也不是负数的是（ ）
A．－1 B．0 C． D． ∏
考点：实数。
专题：分类讨论。
分析：根据实数中正负数的定义即可解答．
解答：解：由正负数的定义可知，A是负数，C、D是正数，B既不是正数也不是负数．
故选B．
点评：本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．
29.（2011广西百色，5，4分）计算（π﹣）0﹣sin30°=（　　）
A． B．π﹣1 C． QUOTE EMBED Equation.3 D．1﹣
考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：根据零指数幂．特殊角的三角函数值进行计算即可．
解答：解：原式=1﹣ QUOTE EMBED Equation.3 = QUOTE EMBED Equation.3 ．
故选A．
点评：本题考查了实数的运算，以及零指数幂．特殊角的三角函数值等知识点，是基础知识要熟练掌握．
二、填空题
1. （2011 江苏宿迁，9，3）实数的倒数是　 　．
考点：倒数。
分析：根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，×2=1．
解答：解：根据相反数和倒数的定义得：×2=1，因此倒数是2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2. （2011江苏无锡，14，2分）写出一个大于1且小于2的无理数 QUOTE EMBED Equation.3 ．
考点：估算无理数的大小。
专题：开放型。
分析：由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
解答：解：大于1且小于2的无理数是 QUOTE EMBED Equation.3 ，答案不唯一．
点评：此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
3. （2011 宁夏，10，3分）数轴上A、B两点对应的实数分别是和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为　4﹣．
考点：实数与数轴。
专题：探究型。
分析：设点A关于点B的对称点为点C为x，再根据A、C两点到B点的距离相等即可求解．
解答：解：设点A关于点B的对称点为点C为x，
则=2，
解得x=4﹣．
故答案为：4﹣．
点评：本题考查的是实数与数轴，即任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．
4. （2011山西，13，3分）计算：
考点：实数的运算．
专题：实数的运算．
分析：＝＝
解答：
点评：先分别计算，，，再计算即可．负指数公式运用，学生掌握的不好，因此易错．
5. （2011陕西，11，3分）计算： = ．（结果保留根号）
考点：实数的性质。
专题：计算题。
分析：本题需先判断出－2的符号，再求出的结果即可．
解答：解：∵ QUOTE EMBED Equation.3 ﹣2＜0
∴=2﹣ QUOTE EMBED Equation.3
故答案为：2﹣ QUOTE EMBED Equation.3
点评：本题主要考查了实数的性质，在解题时要能根据绝对值得求法得出结果是本题的关键．
6. ( cm )．（2011重庆市，11，4分）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a、b，则a、b的大小关系为 .
考点：实数大小比较 ( javascript:void(0) )；实数与数轴 ( javascript:void(0) )．
分析：先根据数轴上各点的位置判断出a，b的符号及|a|与|b|的大小，再进行计算即可判定选择项．
答案：解：∵A在原点的左侧，B在原点的右侧，
∴A是负数，B是正数；
∴a＜b．
故答案为：a＜b．
点评：此题主要考查了实数的大小的比较，要求学生能正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，．
7. （2011湖北咸宁，9，3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a|　＞　|b|（填“＞”“＜”或“=”）．
( http: / / www.m / )
考点：实数与数轴。
专题：探究型。
分析：先根据a、b在数轴上的位置确定出其符号，再根据两点与原点的距离即可进行解答．
解答：解：由数轴上a、b两点的位置可知，a＜0，b＞0，
∵a到原点的距离大于b到原点的距离，
∴|a|＞|b|．
故答案为：＞．
点评：本题考查的是实数与数轴，熟知数轴的特点是解答此题的关键．
8. （2011，台湾省，9,5分）下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：估算无理数的大小。
分析：首先对各个选项进行化简，值介于0.2与0.3之间，即大于0.2且小于0.3，据此即可判断．
解答：解：A、===2.2＞0.3故选项错误；
B、===0.22×＞0.3，故选项错误；
C、===0.22，0.2＜0.22＜0.3，故选项正确；
D、===0.022×＜0.2，故选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查了：二次根式的运算，正确对根式进行化简是解题的关键．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 河池）计算：=　1　．
考点：实数的运算。
专题：计算题。
分析：根据立方根、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=3﹣
=3﹣2
=1．
故答案为1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握立方根、二次根式化简等考点的运算．
10. （2011 贺州）在﹣2，2，这三个实数中，最小的是　﹣2　．
考点：实数大小比较。
专题：探究型。
分析：先估算出的值，再根据实数比较大小的法则进行比较即可．
解答：解：∵≈1.414，∴2＞＞0，
∵﹣2＜0，∴﹣2＜＜2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，熟知实数比较大小的法则是解答此题的关键．
11. （2011山东淄博13，4分）写出一个大于3且小于4的无理数　 　．
考点：无理数。
专题：开放型。
分析：根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
解答：解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
点评：本题考查的是无理数的定义，此题属开放性题目，答案不唯一，只要写出的答案符合题意即可．
12. （2011 山西13，3分）计算：．
考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：根据负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=3+0.5﹣6×
=，
故答案为．
点评：本题是基础题，考查了实数的有关运算，还涉及了零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值等考点．
13.（2011贵州毕节，18，5分）对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算如下，
，如：， 那么＝ 。
【答案】1
【思路分析】
考点：实数的运算。专题：新定义。
分析：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．
解答：解：∵，。故答案为：1．
点评：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
14. 2011安徽省芜湖市，14,5分）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=　 　．
考点：估算无理数的大小。
分析：根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．
解答：解：∵，a、b为两个连续的整数，
∴，
∴a=5，b=6，
∴a+b=11．
故答案为：11．
点评：此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．
15.（2011辽宁沈阳，9，4）计算＝　4　．
考点：实数的运算。
专题：计算题。
分析：本题涉及平方、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式＝5－1＝4，
故答案为4．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、二次根式等考点的运算．
16.（2011辽宁沈阳，9，4分）计算=　
考点：实数的运算。
专题：计算题。
分析：本题涉及平方、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=5﹣1=4，
故答案为4．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、二次根式等考点的运算．
17. （2010福建泉州，8，4分）比较大小：2　＞　（用“＞”或“＜”号填空）．
考点实数大小比较
分析先估算出的值，再根据两正数比较大小的法则进行比较即可．
解答解：∵≈1.732，2＞1.732，∴2＞．故答案为：＞．
点评本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，能估算出的值是解答此题的关键．
18. （2011杭州，11，4分）写出一个比-4大的负无理数 ．
考点：无理数 ( javascript:void(0) )．
专题：开放型 ( javascript:void(0) )．
分析：本题需先根据已知条件，写出一个负数并且是无理数即可求出答案．
解答：解：∵写一个比-4大的负无理数，
首先写出一个数是无理数，再写出它是负数
∴如- 3等．
故答案为：- 3等．
点评：本题主要考查了无理数的概念，在解题时要根据无理数的定义写出结果是解题的关键
19. （2011湖北孝感，17，3分）对实数a．b，定义运算☆如下：a☆b=，例如2☆3= QUOTE ＝算[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]=　　　　
考点：实数的运算；负整数指数幂。
专题：新定义。
分析：先判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算，再进行乘法运算．
解答：解：[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]，
=24×（﹣4）2，
=×16，
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂．正指数幂．新定义等考点的运算．
20. 计算：-2× = -6．
【考点】实数的运算 ( javascript:void(0) )．
【分析】首先将二次根式化简，再进行相乘运算得出答案．
【解答】解：-2×=-2×3=-6，故答案为：-6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，将二次根式化简正确是解决问题的关键．
三、解答题
1. （2011 南通）（1）计算：计算：22＋(－1)4＋(－2)0－；
（2）先化简，再求值：（4ab3－8a2b2）÷4ab＋(2a＋b) (2a－b)，其中a＝2，b＝1.
考点：整式的混合运算—化简求值；实数的运算；零指数幂。
分析：（1）本题需根据实数的运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可求出结果．（2）本题需先根据乘法公式和乘法法则对要求的式子进行化简，再把a的值代入即可求出结果．
解答：解：原式．
（2）原式=原式= b2－2ab＋4a2－b2 =4a2－2ab．把a=2，b=1代入上式，得
原式=4×22－2×2×1=12．
点评：本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和法则的综合应用是本题的关键．
2. （2011江苏苏州，19，5分）计算：．
考点：实数的运算 ( javascript:void(0) )．
分析：此题涉及到乘方，绝对值，开方运算，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=4+1-3=2．
点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、绝对值，开方等考点的运算．
3. （2011 江苏宿迁，19，8）计算：|﹣2|+（﹣2）0+2sin30°．
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂。
专题：计算题。
分析：根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
解答：解：原式=2＋1＋2×，
=3+1，
=4．
点评：本题主要考查了绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质，难度适中．
4. （2011 泰州，19，8分）计算或化简：
（1）| 2-|+2
考点：特殊角的三角函数值；分式的混合运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：（1）本题涉及零指数幂、乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式加减四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：（1）原式=1+2﹣+2×=1+2﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 + QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =3．
点评：（1）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
5. （2011盐城，19，8分）（1）计算：（）0－（）－2+tan45°；
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程.
分析：（1）本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：（1）原式＝1－4+1＝－2；
点评：此题主要考查了实数的综合运算和解分式方程的能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．
6. ( cm )（2011江苏无锡，19，8分）计算：
（1）；
考点：实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：（1）先分别求出每一项的值，再把所得结果相加即可求出答案．
解答：解：（1） QUOTE EMBED Equation.3 =1﹣4+1=﹣2
点评：本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的应用．
7. （2011江苏镇江常州，18，8分）①计算：sin45°－＋；
考点：分式的加减法；立方根；实数的运算；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：①先计算45度的正弦值，再将分式化简，计算出立方根，合并同类项可得答案；
解答：解：①原式= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 －＋ QUOTE EMBED Equation.DSMT4
= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 －+2
=2
点评：这两题题考查了分式的加减运算，也涉及特殊的正弦值和立方根的求法，题目比较容易
8. （2011 宁夏，17，6分）计算：20110﹣3tan30°+（﹣）﹣2﹣|﹣2|
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：首先计算乘方，绝对值，然后进行加减运算，合并同类二次根式即可．
解答：解：原式=1﹣3×+9﹣（2﹣），
=1﹣+9﹣2+ QUOTE EMBED Equation.3 ，
=8．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011四川广安，21，7分）计算：
考点：负指数幂，零指数幂，特殊角的锐角三角函数值，绝对值、实数的相关计算
专题：实数的相关计算
分析：∵＝(a≠0)，∴．∵a0＝1(a≠0)，∴＝1．．∵－＜0，＝．
∴原式＝＝．
解答：原式＝＝．
点评：熟练掌握负指数幂、零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、绝对值的化简等相关知识，分别求出各项的值，然后按顺序计算出结果．
10. （2011四川凉山，18，6分）计算：
考点：特殊角的三角函数值 ( javascript:void(0) )；零指数幂 ( javascript:void(0) )；二次根式的混合运算 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据特殊角的三角函数值、二次方、零指数幂、绝对值、三次方的次方的性质先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
解答：解：原式＝
=
=
点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次方、零指数幂、绝对值、三次方的次方的性质及实数运算法则，难度适中．
11. （2011重庆江津区，21，分）计箅：
（1）
考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值。
分析：（1）分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
解答：解：（1）原式＝3﹣2+2×+1＝3；
点评：本题考查的是负整数幂、0指数幂及特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，熟知运算的性质是解答此题的关键．
12. （2011重庆綦江，17，6分）计算：|－3|－（—π）0＋＋（－1）3．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。
专题：计算题。
分析：根据绝对值、零指数幂、负指数幂、立方四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式＝3－1＋4－1＝5
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负指数幂、零指数幂、立方、绝对值等考点的运算．
13. （2011重庆市，17，6分）计算： +|－2|＋+(－1)2011.
考点：实数的运算 ( javascript:void(0) )；负整数指数幂 ( javascript:void(0) )．
分析：根据负整数指数幂、乘方、二次根式化简、绝对值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
答案：原式=3+2+3－1= 7 .
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、乘方、二次根式、绝对值等考点的运算．
14. （2010重庆，17，6分）计算：|－3|＋(－1)2011×(π－3)0－＋
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
分析：先算出﹣3的绝对值是3，﹣1的奇数次方仍然是﹣1，任何数（0除外）的0次方都等于1，然后按照常规运算计算本题．
解答：解：原式=3+（﹣1）×1﹣3+4=3
点评：本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算．
15. （2011湖北潜江，16，6分）计算：（－1）2011－|－5|＋．
考点：实数的运算。
专题：计算题。
分析：本题涉及绝对值、正整数指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式＝—1—5＋4
＝—2．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握正整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16. ( cm )（2011 广东汕头）计算：．
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂。
分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简，乘方四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=1+3×﹣4，
=1+3﹣4，
=0．
点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的化简等考点的运算．
17. （2011 贵港）（1）计算：（﹣1）2011+﹣2sin60°+|﹣1|．
考点：实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值。
分析：（1）此题涉及到乘方，二次根式的运算，特殊角的三角函数值，绝对值，首先根据各知识点计算，最后在计算加减法即可；
解答：解：（1）原式×=﹣1+2﹣2×+1
=﹣1+2﹣+1
=；
18. （2011 河池）计算：20110+（）﹣1+4sin45°﹣|﹣|
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：20110+（）﹣1+4sin45°﹣|﹣|
=1+2+4×﹣2
=3．
故答案为：3．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
19. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 贺州）（1）计算：|﹣10|﹣3÷4﹣1+．
考点：实数的运算；负整数指数幂。
分析：（1）根据绝对值的性质、负指数幂的性质、有理数的除法法则以及立方根的性质进行计算；
点评：此题考查了有理数的混合运算和整式的化简求值题，能够熟练运用平方差公式以及因式分解的方法．
20. （2011 安顺）计算：．
考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：分别根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、数的开方及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=2+2﹣﹣2+2﹣
=2．
点评：本题考查的是实数混合运算的法则，熟知二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、数的开方及绝对值的性质是解答此题的关键．
21. （2011 郴州）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：分别根据数的乘方、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=﹣1﹣4×+1+4
=2．
点评：本题考查的是实数混合运算的法则，熟知数的乘方、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键．
22. （2011 湘西州）计算：22﹣（﹣2）0﹣tan45°．
考点：实数的运算；有理数的乘方；零指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：本题涉及零指数幂、有理数的乘方、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：22﹣（﹣2）0﹣tan45°
=4﹣1﹣1
=2．
点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、有理数的乘方、特殊角的三角函数值等考点的运算．任何非0数的0次幂等于1，由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减
23. （2011 西宁）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。
专题：计算题。
分析：第一项利用负指数的运算法则计算，第二项根据零指数的运算法则计算，第三项先根据乘方的运算法则计算后再根据绝对值的代数意义化简，并把所得的结果相加即可求出值．
解答：解：
=+1﹣|﹣8|
=27+1﹣8
=20．
点评：此题考查了实数的运算，实数运算是中考的基本运算，其中主要涉及了负指数，零指数的运算以及绝对值的代数意义，即a﹣p=（a≠0），a0=1（a≠0），绝对值的代数意义为：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0，熟练掌握法则及意义是解本题的关键．
24. （2011 青海）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：本题涉及0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：
=2﹣4×+1+3
=2﹣2+1+3
=4．
点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．
25. （2011山东滨州，19，6分）计算：
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值、二次根式化简5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=2-1-+2+1-
=2+．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算
26. （2011年山东省东营市，18，7分）（1）计算：
考点：分式的化简求值 ( javascript:void(0) )；实数的运算 ( javascript:void(0) )；零指数幂 ( javascript:void(0) )；负整数指数幂 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）根据负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂的知识解答；
（2）先把括号内的通分，然后再算除法，化为最简后再代入x的值计算．
解答：解：（1）原式=-1-7+3+5=0；
点评：本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂的知识以及分式的化简求值，注意在化简时一定要化为最简后再代入求值．
27. （2011山东菏泽，15，10分）（1）计算： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+|﹣2|；
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；
专题：计算题；
分析：（1）本题涉及零指数幂．特殊角的三角函数值．二次根式化简，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：（1）解：原式=；
点评：本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题的综合运用，比较简单，关键还是基本知识的掌握．
28. 已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则 .
考点：二次根式的混合运算 ( javascript:void(0) )；估算无理数的大小 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用 －a表示．再分别代入amn＋bn2＝1进行计算．
解答：解：因为2＜＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b）＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
29. （2011四川眉山，19，6分）
计箅：．
考点：实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：根据0指数幂，二次根式的化简，去绝对值法则分别计算，再合并同类项．
解答：解：原式=1+（﹣1）+2 QUOTE EMBED Equation.3 ﹣ QUOTE EMBED Equation.3 ，
= QUOTE EMBED Equation.3 ．
点评：本题考查了实数的运算，0指数幂．关键是熟悉各项的运算法则，先分别计算，再合并同类项．
30. （2011四川广安，21，7分）计算：
考点：负指数幂，零指数幂，特殊角的锐角三角函数值，绝对值、实数的相关计算
专题：实数的相关计算
分析：∵＝(a≠0)，∴．∵a0＝1(a≠0)，∴＝1．．∵－＜0，＝．
∴原式＝＝．
解答：原式＝＝．
点评：熟练掌握负指数幂、零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、绝对值的化简等相关知识，分别求出各项的值，然后按顺序计算出结果．
31. （2011四川泸州，19，5分）计算：(π-3.14)0－+(sin30°)－1+|-2|．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、立方根化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解： (π-3.14)0－+(sin30°)－1+|-2|=1-2+2+2=3．
点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
32. （2011四川攀枝花，17）计算：sin30°+（）－2+（1﹣π）°+．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：此题涉及到零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简，特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=+4+1+=6．
点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等考点的运算．
33. ( cm )（2011四川遂宁，18，8分）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂。
分析：根据取绝对值运算法则和零指数幂：a0=1（a≠0）；以及二次根式的性质运算即可．
解答：解：原式=
=2+1－1+
=2+
点评：本题考查了实数的运算，对于其运算要注意（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方；（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
34. （2011四川雅安，18,6分）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=2+﹣1+=1+．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．
35. （2011 安顺，19，9分）计算：
考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：分别根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、数的开方及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=2+2﹣ QUOTE EMBED Equation.3 ﹣2+2﹣ QUOTE EMBED Equation.3 =2．
点评：本题考查的是实数混合运算的法则，熟知二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、数的开方及绝对值的性质是解答此题的关键．
36. （2011贵州遵义，19，6分）计算：
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题须根据实数运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
【解答】解： ，
=1+3+1-1，
=4．
【点评】本题主要考查了实数的运算，在解题时要注意运算顺序和公式的综合应用以及结果的符号是本题的关键．
37. （1）（2011海南，19（1），4分）（）2－4×＋（—2）3
分析：（1）本题需先根据实数的运算法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解答：解（1）（）2－4×＋（—2）3，
＝3－2－8，
＝－7；
1.（2011广东珠海，11，6分）计算＋（）－1－（π－5）0－．
考点：实数的运算
专题：实数的运算
分析：任何数的绝对值都是非负数；一个数的－p幂等于这个数的p次幂的倒数，即a－p＝（a≠0)；任何数的0次幂都等于1，即a0＝1（a≠0)．
解答：原式＝2＋3－1－4＝0．
点评：实数的综合运算题，按先乘方再乘除，最后加减的顺序计算，有括号先算括号，同级运算由左向右计算．
38.（2011广西防城港 19，6分）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
专题：实数
分析：分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：原式＝2－1－3＋2＝0．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简是解答此题的关键．
39.（2011 株洲17，）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及零指数幂、乘方、绝对值的化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=2﹣1﹣1，
=0．
点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算．
40.（2011湖南益阳,14,6分）计算：－＋︱－2︱．
考点：实数的运算；零指数幂．
专题：计算题．
分析：涉及零指数幂．绝对值．二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=2﹣1+2
=3．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂．零指数幂．二次根式．绝对值等考点的运算．
41.（2011辽宁本溪，17，6分）计算：
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
分析：根据负指数幂，绝对值的性质，零指数幂以及根式性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．
解答：解：原式=
=1．
点评：本题主要考查了负指数幂，绝对值的性质，零指数幂以及根式性质，比较简单．
42.计算： ．
考点：二次根式的混合运算 ( javascript:void(0) )；负整数指数幂 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：本题需先根据二次根式的混合运算顺序和乘法公式分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解答：解：
=2+3-2 +1-6
=-2
点评：本题主要考查了二次根式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的应用是本题的关键．
43.（2011 丹东，17，8分）计算：|2﹣2|+4sin45°﹣+（﹣）0．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：根据零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=+4×﹣2+1
=1 QUOTE EMBED Equation.3 ．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．
44. ( cm )（2011辽宁阜新,17,10分）计算：﹣12011++（）﹣1﹣2cos60°．
考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：分别根据数的乘方、二次根式的化简、负整数指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=﹣1+2+2﹣2×
=﹣1+2+2﹣1
=2．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方、二次根式的化简、负整数指数幂的运算法则，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
45.（2011巴彦淖尔，17，9分）（1）计算：+ －+tan60°；
考点：解分式方程；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：实数的运算和分式方程。
分析：（1）根据绝对值、零指数幂、负指数幂和特殊角的三角函数进行计算即可；
解答：解：（1）原式=2+1﹣3+
=；
点评：本题考查了实数的混合运算以及分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
46. （2011湖北十堰，17，6分）计算：－2-1+︱－1︱
考点：实数的运算；有理数的乘方；立方根。
专题：计算题。
分析：根据立方根开方的性质以及绝对值的性质，首先整理得出然后再进行计算．
解答：解：∵－2-1+︱－1︱，
=2﹣2+ QUOTE EMBED Equation.3 ﹣1，
= QUOTE EMBED Equation.3 ﹣1．
点评：此题主要考查了实数的运算以及立方根与绝对值的性质，根据性质正确的化简是解决问题的关键．
47. （2011邵阳，17，8分）计算：20110﹣+|﹣3|．
考点：实数的运算；零指数幂.
分析：根据零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：20110﹣+|﹣3|=1﹣2+3=2．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
48. （2011湖南长沙，19，6分）已知a＝，b＝20110，c＝－(－2)，求a－b＋c的值．
考点：实数的运算
专题：实数的运算
分析：因为a＝＝3，b＝20110＝1，c＝－(－2)＝2，所以原式＝3－1＋2＝4．
解答：当a＝＝3，b＝20110＝1，c＝－(－2)＝2时，原式＝3－1＋2＝4．
点评：对于实数的简单运算题，应熟练地掌握二次根式的化简、绝对值的定义、负整数指数幂及零指数幂的意义、特殊角的三角函数值等知识，因是这类试题是中考的高频考题，也大都是送分题，在中考试卷中属于低档题即容易题．
49． （2011梧州，19，6分）计算：|-|-+(3-π)0．
考点：实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=﹣2+1=﹣ QUOTE +1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
50. （2011 玉林，19，6分）计算：（）﹣1﹣（5﹣π）0﹣|﹣3|+．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。
专题：计算题。
分析：分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=2﹣1﹣3+2，
=0．
故答案为：0．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简是解答此题的关键．
51. （2011贵州毕节，21，8分）
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：本题需先根据实数运算的顺序和法则，分别进行计算，再把所得的结果合并即可求出答案．
解答：解：原式=
=
=3
点评：本题主要考查了实数的运算，在解题时要注意运算顺序和公式的应用是本题的关键．
52. （2011 黔南，19，5分））（1）﹣（﹣1）2011+|﹣6|
解：（1）原式=﹣1+×﹣（﹣1）+6，
= QUOTE EMBED Equation.3 ﹣1+ QUOTE EMBED Equation.3 +1+6，
= QUOTE EMBED Equation.3 + QUOTE EMBED Equation.3 +6，
=8；
53. （2011安徽省芜湖市，17,6分）（1）计算 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
（2011安徽省芜湖市，17,6分）
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；一元一次不等式组的整数解。
专题：计算题。
分析：（1）分别根据有理数的乘方、负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
解答：解：（1）原式=﹣1﹣8+1+|3﹣8×|
=﹣8+；
点评：本题考查的是实数混合运算的法则及一元一元一次不等式组的整数解，解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算及求不等式组解集的方法．
54. 计算：|-3|+20110-×+6×2-1．
考点实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
分析本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答解：原式=3+1﹣+6×=4﹣4+3=3．
点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
55. 2011福建厦门，18）（1）计算：﹣1+3×（﹣2）2﹣；
考点：分式的混合运算；实数的运算；解一元一次不等式组。
分析：（1）实数的基本运算．搞清楚运算的先后顺序及各种运算的法则；
解答：解：（1）原式=﹣1+3×4﹣4
=﹣5+12
=7；
56. （2011福建省漳州市，17,8分）|﹣3|+（﹣1）0﹣（）﹣1．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。
专题：计算题。
分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂等考点进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=3+1﹣2
=2．
故答案为2．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值等考点的运算．
57. （2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=.
计算的值.
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂.
分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．
解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．
点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．
58. （2011浙江嘉兴，17，5分）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂．
专题：计算题．
分析：本题涉及零指数幂．乘方．二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=4﹣3+1+2=4．故答案为4．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂．零指数幂．二次根式．绝对值等考点的运算．
59. （2011浙江台州，17，8分）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂．
分析：本题涉及零指数幂．正指数幂．绝对值化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=1+1+9=11．故答案为：11．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握正整数指数幂．零指数幂．绝对值等考点的运算．
60. （1）计算： ;
【考点】实数的运算 ( javascript:void(0) )；整式的混合运算 ( javascript:void(0) )；零指数幂 ( javascript:void(0) )．
【分析】（1）本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（1）=
【点评】本题考查实数的综合运算能力，整式的混合运算及零指数幂，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、零指数幂、二次根式等考点的运算．
61. （2011浙江舟山，17，6分）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式＝4－3＋1＋2
＝4．
故答案为4．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
62. （2011广东深圳，17，5分）计算：．
考点：特殊角的三角函数值 ( javascript:void(0) )；绝对值 ( javascript:void(0) )；零指数幂 ( javascript:void(0) )；负整数指数幂 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及0指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行解答即可．
解答：解:原式．
故答案为：6．
点评：本题考查的是实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
63. （2011广东湛江,21,7分）计算：．
考点：实数的运算 ( javascript:void(0) )；零指数幂 ( javascript:void(0) )．
分析： 开根号为3，π-2011的0次幂为1，-2的绝对值为2．
解答：解：原式=3-1+2=4．
点评：本题考查了实数的运算，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
64. （2011广东肇庆，16， 分）计算： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
分析：此题涉及到了负整数指数幂，开方，特殊角的三角函数值，首先根据各知识点进行计算，然后再算乘法，后算加减即可．
解答：解：原式= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 +3﹣2× QUOTE EMBED Equation.DSMT4 = QUOTE EMBED Equation.DSMT4 +3﹣1= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：此题主要考查了实数的计算，注意计算顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
65.（2011年广西桂林，19，6分）计算：
考点：实数的运算 ( javascript:void(0) )；零指数幂 ( javascript:void(0) )；负整数指数幂 ( javascript:void(0) )；特殊角的三角函数值 ( javascript:void(0) )．
分析：本题需先根据实数运算的步骤和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
答案：原式= （求出一个值给1分）
=
点评：本题主要考查了实数的运算，在解题时要注意运算顺序和公式的综合应用以及结果的符号是本题的关键．
66.（2011广西来宾，19，6分）计算：I-3I-
考点：实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：根据零指数幂、二次根式化简、绝对值、乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=3﹣3﹣1+9
=8．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌零指数幂、二次根式、绝对值、乘方等考点的运算
67. ( cm )（2011湖北黄石，17,7分）计算．
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂。
分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：
．
点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
68. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，16，6分）计算：.
考点：实数的运算 ( javascript:void(0) )．
分析：本题涉及绝对值、正整数指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
答案：解：原式=-1-5+4=-2．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握正整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
　　1． 的平方根是 ( )
　　 A．81 　　 B．±3 　　 C．3 　　 D．－3
　　2．计算的结果是 ( )
　　A．9 　　 B．－9 C．3　　 D．－3
　　3．与最接近的两个整数是 ( )
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
　　4．如图13－16所示，数轴上的点P表示的数可能是 ( )
A． B．－
C．－3.8　 D．－
　　5．下列实数中，是无理数的为 ( )
A．3.14 B． C． 　　D．
　　6．的平方的立方根的相反数为 ( )
A．4 B． C． D．
7．的算术平方根是 ( )
A．8 B．±8 C． D．
8．如图13－17所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为( )
A．－2－ B．－1－
　 C．－2＋ 　　D．1＋
　　9．已知a，b为实数，则下列命题中，正确的是 ( )
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞，则a2＞b2
C．若＜b，则a2＞b2 D．若＞3，则a2＜b2
10．下列说法中，正确的是 ( )
　　A．两个无理数的和是无理数
　　 B．一个有理数与一个无理数的和是无理数
　　 C．两个无理数的积还是无理数
　　D．一个有理数与一个无理数的积是无理数
　　二、填空题(每小题3分，共30分)
　　11．已知a为实数，那么等于 ．
12．已知一个正数的两个平方根分别是3x－2和5x＋6，则这个数是　 　　 ．
　　13．若x3＝64，则x的平方根为　 　　　．
　　14．若5是a的平方根，则a＝ 　 ，a的另一个平方根是 　　　 ．
　　15．的相反数为 　　　．
　　16．若，则x＝　　 ．
17．若m＜0．则化简＝　　　 ．
　　18．若，则x＝　 ．
　　19．设a，b为有理数，且，则ab的值为 　　　 ．
20．若对应数轴上的点A，－对应数轴上的点B，那么A，B之间的距离为 　 ．
　　三、解答题(每小题10分，共60分)
21．已知x，y满足y＜，化简．
　　22．已知9x2－16＝0，且x是负数，求的值．
23．设2＋的小数部分是a，求a(a＋2)的值．
　　24．计算．
　　25．用48米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．选用哪一种方案围成的场地的面积较大 并说明理由．
26．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足，试求c的取值范围．
参考答案
1．B[提示：＝9，9的平方根是±3．]
2．C
3．C[提示：∵9＜10＜16，∴3＜＜4．]
4．B[提示：因为≈2.236，所以－≈－2.236．]　
5．C　
6．C　
7．D[提示：将化简．即＝8．]
8．A[提示：因为A表示－1，B表示，所以AB的长是，点C表示的数是－1－(＋1)＝－1－－1＝－2－．]　
9．B
10．B
11．0[提示：因为有意义，所以－a2≥0．又因为a2≥0，所以a2＝0，所以a＝0，所以＝0．]
12．　[提示：由已知得3x－2与5x＋6互为相反数，所以3x－2＋5x＋6＝0，所以8x＋4＝0，所以x＝．3x－2＝3×()－2＝，5x＋6＝5×()＋6＝，所以这个数是．]
13．±2[提示：由x3＝64可知x＝4，故本题要求4的平方根．]
14．25 －5[提示：一个数的平方根的平方即为这个数，正数有两个平方根，它们互为相反数．]
15．
16．或
17．－3m　
18．　　
19．［提示：应先求出a，b的值，再求ab的值．由a＋＝3－，得a＝3，b＝－2，所以ab＝3－2＝．]
20．[提示：画数轴分析即可．]　减号改为加号
21解．由题意可知 所以即x＝1，所以y＜即为y＜，所以＝ 不等于号都不规范＝－1．
22．解：由9x2－16＝0得9x2＝16，即x＝±．又因为x为负数，所以x＝－．将x＝－代入，可得＝6．
23．解：因为的整数部分为2，所以2＋的整数部分为4，所以2＋的小数部分为(2＋)－4，即a＝－2，所以a(a＋2)＝(－2)×(－2＋2)＝(－2)×＝7－．
24．解：原式＝4－1＋1＋1＝5．
25．解：选用围成圆形场地的方案围成的面积大．设S1，S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则S1＝＝144＝ (平方米)，S2＝π·＝ (平方米)．∵π＜4，∴＞，∴＞，∴＞144，∴S1＞S2，即围成的圆形场地的面积大．
26．解：因为＝0，而≥0，(b－2)2≥0，所以＝0，(b－2)2＝0，所以a＝1，b＝2．由三角形的三边关系知1＜c＜3．
意义
算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根
平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根
表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为
平方根
实 数
意义
只有非负数才有平方根，0的平方根和算术平方根都是0
立方根
定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根
表示：a的立方根表示为
无理数：无限不循环小数
有理数
分数
整数
有限小数
无限循环小数
实数2012年中考数学一轮复习精品讲义
第二章 整式的加减
本章小结
小结1 本章内容概览
本章的主要内容是整式和整式的加减．学习本章知识，要了解单项式、多项式和整式的概念，会确定单项式的系数和次数，会确定多项式的项数和次数．理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法以及去括号时符号的变化规律．能够熟练地进行整式的加减运算，正确地进行分析实际问题中的数量关系，并会列出整式表示，从而体会用字母表示数，由算术到代数的进步．
小结2 本章重点、难点：
本章的重点是同类项、整式的加减，难点是去括号与求值运算．
小结3 本章学法点津
1.学习本章知识时，要注意把数字和字母联系起来，从具体情境中探索数量关系和变化规律，注意知识的内在联系．
2.要注意对整式加减运算法则探索过程的理解，体会“数式的通性”．
3.要注意归纳、类比、转化等数学思想方法的运用，通过观察、实验、探究、发现，进而归纳总结规律，提高利用规律解决实际问题的能力，培养创新精神和自学意识．
知识网络结构图
重点题型总结及应用
题型一 整式的加减运算
例1 已知与是同类项，则ab的值为 .
解析：由同类项的定义可得a－3＝3，5－b＝3，所以a＝6，b＝2．因而ab＝62＝36．
答案：36
点拨 所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，这是两个单项式成为同类项必须具备的条件，即
例2 计算：（7x2＋5x－3）－（5x2－3x＋2）．
解：原式＝7x2＋5x－3－5x2＋3x－2＝2x2＋8x－5．
方法 本题考查整式的加减及去括号法则．合并同类项时注意字母和字母的指数不变，只把系数相加减．
题型二 整式的求值
例3 已知（a＋2）2＋|b＋5|＝0，求3a2b一[2a2b－（2ab－a2b）－4a2]－ab的值．
分析：由平方与绝对值的非负性，得a＝－2，b＝－5．先化简，再代入求值．
解：因为（a＋2）2≥0，|b＋5|≥0，且（a＋2）2＋|b＋5|＝0，
所以a＋2＝0，且b＋5＝0．
所以a＝－2，b＝－5．
3a2b－[2a2b－（2ab－a2b）－4a2]－ab
＝3a2b－2a2b＋2ab－a2b＋4a2－ab
＝4a2＋ab.
把a＝－2，b＝－5代入4a2＋ab，得
原式＝4×（－2）2＋（－2）×（－5）＝16＋10＝26．
例4 已知2a2－3ab＝23，4ab＋b2＝9，求整式8a2＋3b2的值．
解：因为2a2－3ab＝23，所以8a2－12ab＝92，所以12ab＝8a2－92．
因为4ab＋b2＝9，所以12ab＋3b2＝27，所以12ab＝27－3b2．
由此得8a2－92＝27－3b2，即8a2＋3b2＝119．
题型三 整式的应用
例5 图2－3－1是一个长方形试管架，在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2 cm，则x等于（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
解析：由题意得5x＋2×4＝a，所以x＝（cm）． 答案：D
点拨 本题要注重结合图形来分析问题，以提高综合解决问题的能力．
例6 用正三角形和正六边形按如图2－3－2所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为 （用含”的代数式表示）．
解析：第一个图案中正三角形的个数为： 4＝2×1＋2；
第二个图案中正三角形的个数为：6＝2×2＋2；
第三个图案中正三角形的个数为：8＝2×3＋2；
．．，；
第n个图案中正三角形的个数为：2n＋2．
答案：2n＋2
思想方法归纳
1. 整体思想
整体思想就是在考虑问题时，将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特点，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题的解答简捷、明快，往往能化繁为简，由难变易，获得解决问题的捷径，从而促进问题的解决．
例1 计算当a＝1，b＝－2时，代数式的值．
分析：因为a＝1，b＝－2，所以a＋b＝－1，a－b＝3．
解：原式＝
．
当a＝l，b＝－2时，原式.
点拨 把（a－b），（a＋b）分别看做一个整体，直接合并同类项，而不是去括号再合并同类项．
例2 若a2＋ab＝20，ab－b2＝－13，求a2＋b2及a2＋2ab－b2的值．
分析：把a2＋ab，ab－ b2分别看做一个整体．
解：∵a2＋ab－（ab－ b2）＝a2＋b2，∴a2＋b2＝20－（－13）=33．
又∵（a2＋ab）＋（ab－ b2）＝a2＋2ab－b2，∴a2＋2ab－ b2＝20－13＝7．
点拨 通过对已知条件相减或相加，得出待求的多项式，从而求出多项式的值．考查了学生的洞察能力．
2 数形结合思想
例3 如图2－3－3所示，已知四边形ABCD是长方形，分别用整式表示出图中Sl，S2，S3，S4的面积，并表示出长方形ABCD的面积．
解：S1＝m（2m－n）＝2m2－mn，S2＝n（2m－n）＝2mn－ n2，S3＝ n2，S4＝mn．
S长方形ABCD＝S1＋S2＋S3＋S4＝（2m2－mn）＋（2mn－ n2）＋n2＋mn＝2m2－mn＋2mn－ n2＋n2＋mn＝2 m2＋2mn．
中考热点聚焦
考点1 单项式
考点突破：单项式是整式中的基础知识，在中考中的考查一般难度不大，多以选择题或填空题的形式出现．解决此类问题要理解单项式的定义及单项式次数的含义．
例1 （2011 柳州）单项式3x2y3的系数是　3　．
考点：单项式。
专题：计算题。
分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．
解答：解：3x2y3=3 x2y3，其中数字因式为3，
则单项式的系数为3．
故答案为：3．
点评：确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．
写出含有字母x，y的五次单项式 （只要求写出一个）.
解析：写出的单项式应满足x的指数与y的指数和为5．答案不唯一，例如x3 y2， x4 y等. 答案：x3 y2， x4 y等.
例2 若单项式3x2 yn与－2xmy3是同类项，则m＋n＝ ．
解析：由同类项的定义可知，x，y的指数分别相同，即m＝2，n＝3．所以m＋n＝5．
答案：5
考点2 列整式表示数量关系
考点突破：一些问题中的数量关系，可列整式表示，列式时要明确要表示的量与已知量之间的关系．中考中对此知识点的考查常以填空题为主．
例3 （2011 湘西州）若一个正方形的边长为a，则这个正方形的周长是　4a　．
考点：列代数式。
分析：正方形的边长a，正方形的周长为：4×正方形的边长．
解答：解：正方形的边长：4a．
故答案为：4a．
点评：本题考查列代数式，根据正方形的周长公式可求解．
三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的和为 .
解析：若n为最小的一个整数，则另两个整数可表示为n＋1，n＋2，所以这三个数的和为n＋（n＋1）＋（n＋2）＝3n＋3． 答案：3n＋3
例4 （2011浙江金华，11，4分）“x与y的差”用代数式可以表示为 .
考点：列代数式。
专题：和差倍关系问题。
分析：用减号连接x与y即可．
解答：解：由题意得x为被减数，y为减数，
∴可得代数式x﹣y．
故答案为：x﹣y．
点评：考查列代数式；根据关键词得到运算关系是解决本题的关键．
用代数式表示“a，b两数的平方和”，结果为 .
答案：a2＋b2
考点3 找图形的变化规律
考点突破：此类问题是近几年中考的热点，做题时要根据前几个图形的个数找出
规律，并用整式表示出第n个图形的结果．重在考查思维的灵活性和概括能力．
例5 观察下列图形（图2－3－4）及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n（n是正整数）的结果为（ ）
A．（2n＋1）2 B．（2n－1）2 C．（n＋2）2 D．n2
解析：∵1＋8＝9＝32，1＋8＋16＝25＝52，1＋8＋16＋24＝49＝72，…，∴1＋8＋16＋24＋…＋8n＝（2n＋1）2． 答案：A
综合验收评估测试题
一、选择题
l. 在代数式－2x2，3xy，，，0，mx－ny中，整式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D. 5
2. 二下列语句正确的是（ ）
A．x的次数是0 B．x的系数是0 C. －1是一次单项式 D．－1是单项式
3. 下列不属于同类项的是（ ）
A．－1和2 B．x2y和4×105x2y C. 和 D．3x2y和－3x2y
4. 下列去括号正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 现规定一种运算：a*b＝ab＋a－b，其中a，b为有理数，则3*5的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6. 若式子的值为8，则式子的值为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．4
7. 三个连续奇数，中间的一个是2n＋1（n是整数），则这三个连续奇数的和为（ ）
A．2n－1 B．2n＋3 C．6n＋3 D．6n－3
8. 如果2－（m＋1）a＋an－3是关于a的二次三项式，那么m，n应满足的条件是（ ）
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
C．m≠－1，n为大于3的整数 D．m≠－1，n＝5
二、填空题
9. －mxny是关于x，y的一个单项式，且系数是3，次数是4，则m＝ ，n＝ ．
10. 多项式ab3－3a2b2－a3b－3按字母a的降幂排列是 ．按字母b的升幂排列是 ．
11. 当b＝ 时，式子2a＋ab－5的值与a无关．
12. 若－7xyn＋1 3xmy4是同类项，则m＋n ．
13．多项式2ab－5a2＋7b2加上 等于a2－5ab．
三、解答题
14．先化简，再求值：
，其中m＝－l，n＝.
15．如图2－3－5所示的是某居民小区的一块长为b米，宽为2a米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空 地的四个顶点各修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余空地种草．如果建筑花台及种花每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元
答案
1．D 解析：不是整式，故选D．
2．D 解析：x的次数是1，系数是1；－1是单项式．故选D．
3．C 解析：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．故选C：
4．D 解析：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．故选D．
5．C 解析：按规定的运算得3*5＝3×5＋3—5＝13．故选C．
6．B 解析：由3x2－2x＋6＝8变形得3x2－2x＝2，所以x2－x＋4＝(3x2－2x)＋4＝×2＋4＝5．故选B．
7．C 解析：已知三个连续奇数中的中间一个为2n＋1（n为整数），那么，较小一个为2n－1，较大一个为2n＋3，所以这三个奇数的和为（2n－1）＋（2n＋1）＋（2n＋3）＝6n＋3．故选C．
8．D 解析：由题意得n－3＝2，且m＋1≠0，所以n＝5且，m≠－1．故选D．
9．－3，3 解析：由系数是3，得－m＝3，所以m＝－3．由次数是4，得n＋1＝4，所以n＝3．
10．－a3b－3a2b2＋ab3－3，－3－a3b－3a2b2＋ab3 解析：在排列时，一定要明确针对哪个字母排列，排列时只看这个字母的指数和该项符号，利用加法交换律交换位置即可．
11．－2 解析：2a＋ab－5＝（2＋b）a－5．因为式子的值与a无关，故2＋b＝0，所以b＝－2．
12．4 解析：由同类项的定义可得m＝l，n＋1＝4，即n＝3，所以m＋n＝1＋3；4．
13．6a2－7ab－7b2 解析：加数等于和减另一个加数，即（a2－5ab）－（2ab－5a2＋7b2）＝6a2－7ab－7b2．
14． 解：原式＝2m2n＋mn2－5m2n＋2mn2－3mn2＋6m2n＝3m2n．当m＝－1，n＝时，原式＝3×（－1）2×＝1．
点拨：运用去括号和合并同类项法则进行化简，考查对法则灵活运用的能力．
15．解：根据题意，得
50πa2＋100ab．
答：美化这块空地共需资金（50πa2＋100ab）元．
点拨：根据题意，可以先求出建造花台及种花所需费用，再求出种草的费用，两者相加即为美化这块空地共需的资金．第二十四章 圆
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．
我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．
【本章难点】 垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．
小结3 学法指导
1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．
2．学习本章应注意以下几点：
(1)在实际问题中认识圆的有关概念：圆心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角、圆周角．
(2)通过对实际生活的观察和亲自体验，掌握圆的对称性，并能利用圆的对称性探索圆的一些基本性质，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等．
(3)通过对点、直线和圆与圆的相对运动的探索、实验、推理、计算等归纳出点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，掌握通过点与圆心的距离、直线与圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同圆的半径的大小比较，来判定它们之间的位置关系的方法.
(4)在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，并能利用实验探索切线与过切点的半径之间的关系，同时能判断一条直线是否为圆的切线．
(5)在动手操作与观察实验的同时，探索出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧长的计算公式，并掌握圆柱及圆锥的侧面积与全面积公式．
(6)在学习本章的过程中，要及时准确地画出示意图形，以帮助解题，化抽象为直观．
知识网络结构图
圆的概念：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所形成的图形，叫做圆
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论：平分（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
圆的性质 （3）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也相等
（4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
点在圆外
点在圆上
（1）点和圆的位置关系 点在圆内
及相关性质 不在同一直线上的三点确定一个圆
相交
相切
相离
切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
（2）直线和圆的位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过
及相关性质和定理 切点的半径
圆 切线长定理：从圆外一点引圆的两条
点、直线和圆 切线，它们的切线长相等，这一点和
的位置关系 圆心的连线平分两条切线的夹角
及相关性质 外离
和定理 相离
内含
（3）圆与圆的位置关系 外切
相切
内切
相交
（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形
叫做圆的内接正多边形
正多边形与圆 （2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边
形叫做圆的外切正多边形
（1）弧长公式：
有关圆的计算 （2）扇形面积公式：
（3）圆锥的侧面积公式：
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 圆的认识及圆的对称性
【专题解读】 对于圆的基本元素、圆的对称性及根据对称性探索出的弧、弦、圆
心角之间的关系、垂直于弦的直径等知识，单独考查时多以填空题、选择题形式出现，在综合题及应用题中常作为被考查的一个方面出现．
例1 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”用数学语言可表示为：如图24—191所示，为的直径，弦于，寸，寸，则直径的长为( )
A．12.5寸 B．13寸
C．25寸 D．26寸
分析 因为直径垂直于弦，所以可通过连接 (或)求出半径．根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，可知寸，在
中，即，解得＝13，进而求得＝26寸．故选D．
【解题策略】 在解答有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题目的目的.
专题2 有关圆周角计算
【专题解读】 在有关圆周角的题目中，单独考查时多以选择题、填空题形式出现，在解答时，应从圆周角与其所对的弧、圆心角、弦等方面考虑．
例2 如图24—192所示，△内接于，点是延长线上一点，若，则等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 本题可求出的度数，所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为，所以＝＝120，因此＝180一120＝60．故选且B.
例3 如图24—193所示，的内接四边形中，
，则图中和相等的角有 .
分析 由弦，可知，因为同弧或等弧所
对的圆周角相等，所以．故填．
专题3与圆有关的位置关系
【专题解读】 在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般以选择题、填空题形式出现，在解答题、探究题中作为主要查目标也常出现，这部分分内容不仅考查基础知识的形式出现，而且还以考查综合运用能力的形式出现.
例4 已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6 cm，那么直线和这个圆的公共点有
个.
分析 直线与圆的位置关系包括：相离、相切、相交．判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径．实际上这两种方法是等价的，由题意可知圆的半径为6.5 cm，而圆心到直线的距离为6 cm，6 cm<6.5 cm，所以直线与圆相交，有2个公共点．故填2．
例5 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 ．
分析 两圆的位置关系有：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含)．两圆内切时，圆心距||，题中一个圆的半径为5，而2，所以有||=2，解得=7或＝3，即另一个圆的半径为7或3．故填3或7．
例6 在平面直角坐标系中，两个圆的圆心坐标分别是
(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线
有 ( )
A．1条 且2条 C．3条 D．4条
分析 本题借助图形来解答比较直观，如图24—194所示，要判断两圆公切线的条数，必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在中，，所以，而两圆半径分别为和，且，即两圆的圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，共有3条公切线．故选C.
例7 如图24—195所示，在边长为3 cm的正方形中，
与相外切，且分别与边相切，分
别与边相切，则圆心距= cm．
分析 本题是一个综合性较强的题目，既有两圆相切，又有直线
和圆相切．求的长就要以为一边构造直角三角形．过作的平行线，过作的平行线，两线相交于是和的半径之和，设为，则
在中解得由题意知不合题意，舍去．故填.
规律·方法 解两圆相切的问题，往往是连圆心，得到直角三角形，利用勾股定理解题．
专题4 切线的识别与特征及切线长
【专题解读】 涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别、切线的特征及切线的应用，所以应认真理解有关切线的内容，并能应用到实际问题中去．
例8?如图24-196所示，切于点，则????度.
??分析?因为与相切，所以，由，得，所以故填147.
例9 如图24-197所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果那么的度数是 .
分析 由，知从而在中，与互补，所以故填99.
专题5 有关圆的计算
【专题解读】 圆中的计算问题有圆的面积与周长、弧长、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积，考查时选择题、填空题、解答题都有，考查的重点是对有关公式的灵活运用.
例10 沈阳某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆，如图24-198所示，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A.36cm2 B.72cm2 C.36cm2 D.72cm2
分析 经认真观察可知阴影部分的面积由两个小半圆
面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，
由已知得直角边长为（cm），小半圆半径
为cm，因此阴影部分面积为（cm2）.故选C.
例7 如图24-199所示，在正方形铁皮上剪下一个圆形
和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径
为，扇形半径为，则圆的半径与扇形半径之间的关系为
（ ）
A. B.
C. D.
分析 由扇形与圆恰好围成圆锥的条件是圆的周长与扇形的弧长相等，所以
化简可得.故选D.
专题6 综合与其他知识解决问题
【专题解读】 有关圆与其他知识综合题多以解答题和探究题的形式出现.
例12 如图24-200所示，是的直径，过圆上一点作的切线，与过点的直线垂直相交于，弦的延长线与直线交于点.
（1）试说明点为的中点；
（2）设直线与的另一交点为，试说明
（3）若的半径为，求线段和所围成阴影部分的面积.
解：（1）连接是的切线，
为的中点，是的中点.
（2）连接为的直径，
为的中点，为的中点，
即
（3）
连接，则为等边三角形，，
在中，
例13 如图24-201所示，已知为的直径，为弦，cm.
（1）说明
（2）求的长.
解：（1）是的直径，
（2）是的中点，
是的中点，
例14 如图24-202所示的是某学校田径体育场一部分的示意图，第一跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为相等的平行线段，弯道为
同心的半圆形，弯道与直道相连接，已知直道的长
为86.96米，跑道的宽为1米.
（取3.14，精确到0.01米）
（1）求第一跑道的弯道部分的半径；
（2）求一圈中第二跑道与第一跑道相差多少米；
（3）若进行200米比赛，求第六跑道起点与圆心的连线与的夹角的度数.
解：（1）（米），
第一跑道弯道部分的半径为113.04÷（米）.
（2）第二跑道与第一跑道的直跑道长相等.
第二跑道与第一跑道的弯道部分的半径的差为1米.
第一跑道与第二跑道的弯道长的差即为两圆周长之差，
即2（米）.
（3）半圆的半径增加1米时，
半圆的弧长增加（米），
第六跑道半圆弧长比第一跑道半圆弧长长5（米），
第六跑道半圆的半径为41米，.
二、规律方法专题
专题7 在解决圆的证明题或计算题的过程中辅助线的引入方法与规律
【专题解读】 对圆的有关计算内容在计算或证明时，经常需要添加辅助线，常见的有：有切点连半径；有关弦的计算，常作表示弦心距的线段，利用垂径定理；有直径，作直径所对的圆周角等；两圆相切时连圆心；圆中有45的圆周角时，转化为同一弧所对的90的圆心角等.
例11 如图24-103所示，是直径为的半圆
上一点，为的中点，过作的垂线，垂足
为，求证是半径圆的切线.
分析 证明圆的切线，给了直线和圆的交点，连接过交点的
半径，证垂直，给了弧的中点，可连接，也可连接，
下面用两种证法来证明.
证法1：如图24-203所示，连接
是直径，
又
与相切.
证法2：如图24-204所示，连接
是的切线.
规律·方法 若给直径，构造直径所对的圆周角，若给弧的中点，连接过中点的半径，想到垂径定理
三、思想方法专题
专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论思想主要是针对数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，防止漏解，要做到成功分类必须注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简单的原则，本章对于圆的有关概念、圆周角的有关求值及圆与圆位置关系的讨论等问题均应用了这一思想.
例16 为不在圆上的任意一点，若到的最小距离为3，最大距离为9，则的直径长为 （ ）
A.6 B.12 C.6或12 D.3或6
分析 点与圆有三种位置关系，即点在圆上、点在圆内、点在圆外，故点有两点种情况.当点在圆外时，直径长为9-3＝6；当点在圆内时，直径长为9+3＝12.故选C.
【解题策略】 注意题中求的是直径，不是半径.
例17 为的弦，为的内接三角形，求的度数.
分析 依题意知为的外心，由外心的位置可知应分两种情况进行解答.
解：应分两种情况，当在内部时，
当在外部时，由＝130，得劣弧的度数为130，则的度数为360－130＝230,故.
综合，或
【专题解读】 转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决.
例18 如图24-205所示，在中，以为圆心，长为半径的圆交于，求弧的度数.
分析 的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出
的度数.
解：连接
的度数为50.
【解题策略】 把求弧的度数转化为求它所对的圆心角的度数，使问题迎刃而解，可见数学中“转化”的重要.
专题10 数学建模思想
【专题解读】 圆在实际生活中有很多的应用，解决问题的方法是将实际问题转化为与圆有关的数学问题，建立数学模型，从而达到解题的目的．
例19 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图24—206(1)所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图24—206(1)所示(单位：cm)．将形状规则的铁球放人槽内时，若同时具有图(1)所示的三个接触点，该球的大小就符合要求．
如图24—206(2)所示的是过球心及三点的截面示意图．已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点，请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径．
分析 这是一道实际应用题，其检测依据是三点确定一个圆，利用垂径定理可以求出铁球的直径．
解：如图24—206(2)所示，＝16 cm，
设和相切于点，连接，交于，
又8(cm)．
连接，在中，cm，8 cm，cm．
解得＝10．
答：这种铁球的直径是20cm．
2011中考真题精选
1. （2011 南通）如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（　　）
A、8 B、4 C、10 D、5
考点：垂径定理；勾股定理。
分析：连接OA，即可证得△OMD是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．
解答：解：连接OA，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，且AM=4，在直角△OAM中，由勾股定理可求得OA=5，故选D．
点评：本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．
2. （2011四川凉山，9，4分）如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A．　　 B．或 　　C．　　 D． 或
考点：圆周角定理 ( javascript:void(0) )；圆内接四边形的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．
解答：解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，本题还渗透了分类讨论思想，这往往是学生的易错点．1. 3.（2011江苏连云港，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22 ，则∠EFG=_____.
考点：圆周角定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：连接OE，利用三角形的外角性质得出∠ODC的度数，再求出∠DOC，从而求出∠EOG的度数，再利用圆周角定理求出∠EFG的度数．
解答：解：连接EO，
∵AD=DO，
∴∠BAC=∠DOA=22°，
∴∠EDO=44°，
∵DO=EO，
∴∠OED=∠ODE=44°，
∴∠DOE=180°﹣44°﹣44°=92°，
∴∠EOG=180°﹣92°﹣22°=66°，
∴∠EFG=∠EOG=33°，
故答案为：33°．
点评：此题主要考查了圆周角定理，三角形外交的性质的综合运用，做题的关键是理清角之间的关系．
4. （2011 江苏宿迁，17，3）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A=26°，则∠ACB的度数为　 　．
考点：切线的性质；圆周角定理。
专题：计算题。
分析：连接OB，根据切线的性质，得∠OBA=90°，又∠A=26°，所以∠AOB=64°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．
解答：解：如图：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=26°，
∴∠AOB=90°﹣26°=64°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，
∴∠C=32°．
故答案是：32°．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合三角形内角和求出角的度数．
5. ( cm )（2011重庆市，3，4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为
A．15° B. 30° C. 45° D. 60°
考点：圆周角定理 ( javascript:void(0) )．
分析：根据直径所对的圆周角为90°，可得∠C的度数，再利用三角形内角和定理进行计算．
答案：解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°．
故选D．
点评：此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，题目比较简单．
6. （2010重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
考点：圆周角定理
分析：在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
解答：解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A= ∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选B．
点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
7. （2011湖北荆州，12，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是50°．
考点：圆周角定理 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可．
解答：解：连接AD，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=40°，
∴∠D=40°，
∴∠ACD=50°，
故答案为50°．
点评：此题主要考查的是圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是90°；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
8. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 河池）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（　　）
( http: / / www.m / )
A、35° B、55°
C、65° D、70°
考点：圆周角定理。
分析：在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOC=2∠D=70°，而△AOC中，AO=CO，所以∠OAC=∠OCA，而180°﹣∠AOC=110°，所以∠OAC=55°．
解答：解：∵∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=110°÷2=55°．
故选B．
点评：本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．
9. （2011，台湾省，27,5分）如图，圆O为△ABC的外接圆，其中D点在上，且OD⊥AC．已知∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为何？（　　） ( http: / / www.m / )
A、132 B、144
C、156 D、168
考点：圆周角定理。
专题：计算题。
分析：连接CO，由圆周角定理可求∠BOC，由等腰三角形的性质求∠BCO，可得∠OCA，利用互余关系求∠COD，则∠OBD=∠BOC+∠COD．
解答：解：连接CO，∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
在△BOC中，∵BO=CO，
∴∠BCO=（180°﹣72°）÷2=54°，
∴∠OCA=∠BCA﹣54°=60°﹣54°=6°，
又OD⊥AC，
∴∠COD=90°﹣∠OCA=90°﹣6°=84°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+84°=156°．
故选C．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查了圆周角定理．关键是将圆周角的度数转化为圆心角的度数，利用互余关系，角的和差关系求解．
10. （2011山东济南，12，3分）如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（　　）
A． B． C． D．
考点：圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：连接AB，利用圆周角定理得∠C=∠ABO，将问题转化到Rt△ABO中，利用锐角三角函数定义求解．
解答：解：如图，连接AB，
由圆周角定理，得∠C=∠ABO，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，
∴．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理及锐角三角函数的定义．关键是运用圆周角定理将所求角转化到直角三角形中解题．
11. （2011 临沂，6，3分）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（　　）
( http: / / www.m / )
A、2cm B、3cm C、4cm D、2cm
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．
解答：解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴AB=2AM，
∵CD=5cm，
∴OD=OA=CD=×5= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 cm，
∵OM：OD=3：5，
∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM===2，
∴AB=2AM=2×2=4cm．
故选C．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12. （2011泰安，10，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，则⊙O的半径为（　　） ( http: / / www.m / )
A． QUOTE EMBED Equation.3 B． QUOTE EMBED Equation.3 C． QUOTE EMBED Equation.3 D． QUOTE EMBED Equation.3
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB＝ QUOTE EMBED Equation.3 则AD＝ QUOTE EMBED Equation.3 ＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，OD＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，再利用勾股定理即可得出结论．
解答：解：连接OA，设⊙O的半径为r，
∵AB垂直平分半径OC，AB＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，
∴AD＝ QUOTE EMBED Equation.3 ＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，OD＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，
在Rt△AOD中，
OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（ QUOTE EMBED Equation.3 ）2＋（ QUOTE EMBED Equation.3 ）2，
解得r＝ QUOTE EMBED Equation.3 ．
故选A．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13. 如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A．　　 B．或 　　C．　　 D． 或
考点：圆周角定理 ( javascript:void(0) )；圆内接四边形的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．
解答：解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，本题还渗透了分类讨论思想，这往往是学生的易错点．
14. （2011成都，7，3分）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝（　　）
( http: / / www.m / )
A．116° B．32° C．58° D．64°
考点：圆周角定理。
专题：几何图形问题。
分析：根据圆周角定理求得．：∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知
∠BOD＝180°－∠AOD，∴∠BCD＝32°．
解答：解：连接OD．
∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BOD＝180°－∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∴∠BCD＝32°；
故选B．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查了圆周角定理．解答此题时，通过作辅助线OD，将隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来．
15. （2011四川达州，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（　　）
A、5 B、4
C、3 D、2
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：计算题。
分析：连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．
解答：解：连接OC
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 CD，
∵CD=8，∴CE=4，
∵AB=10，
∴由勾股定理得，OE==3．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的做法，是重点知识，要熟练掌握．
16. （2011，四川乐山，6，3分）如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=（　　）
( http: / / www.m / )
A.40° B.60° C.70° D.80°
考点：垂径定理；圆周角定理。
专题：计算题。
分析：∠BOC与∠BDC为所对的圆心角与圆周角，根据圆周角定理可求∠BDC，由垂径定理可知AB⊥CD，在Rt△BDM中，由互余关系可求∠ABD．
解答：解：∵∠BOC与∠BDC为所对的圆心角与圆周角，
∴∠BDC=∠BOC=20°，
∵CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，
∴AB⊥CD，
∴在Rt△BDM中，∠ABD=90°﹣∠BDC=70°．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理的运用．关键是由圆周角定理得出∠BOC与∠BDC的关系．
1（2011四川眉山，11，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BOC的度数为（　　）
A．50° B．25° C．40° D．60°
考点：切线的性质。
专题：计算题。
分析：由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
而∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°﹣130°=50°．
故选A．
点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为360°．.
2. （2011成都，10，3分）已知⊙O的面积为9πcm2，若点0到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
考点：直线与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．
解答：解：设圆O的半径是r，
则πr2＝9π，
∴r＝3，
∵点0到直线l的距离为π，
∵3＜π，
即：r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选C．
点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当 r＝d时相切；当 r＞d时相交．
3. （2011台湾，16，4分）如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A．C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　）
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A．97° B．104° C．116° D．142°
考点：弦切角定理；圆周角定理。
分析：先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数．
解答：解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°－∠BAF－∠ABD＝180°－45°－19°＝116°．
故选C．
点评：此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题．
4. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（　　）
A、30° B、45° C、60° D、67.5°
考点：切线的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：常规题型 ( javascript:void(0) )．
分析：根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
解答：解：如图：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
连接AC，∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．
5. （2011黑龙江大庆，10，3分）已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为（　　）
A、1 　B、 QUOTE EMBED Equation.3 　　　　 C、 　　　 D、2
考点：切线的性质。
专题：计算题。
分析：先连接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB．
解答：解：如右图所示，OA⊥l，AB是切线，连接OB，
∵OA⊥l，
∴OA=2，
又∵AB是切线，
∴OB⊥AB，
在Rt△AOB中，AB===．
故选C．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查了切线的性质、勾股定理．解题的关键是连接OB，构造直角三角形．
6. （2011，台湾省，5,5分）如图为平面上圆O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若圆O的半径为20公分，且O点到其中一直线的距离为14公分，则此直线为何？（　　）
( http: / / www.m / )
A、L1 B、L2
C、L3 D、L4
考点：直线与圆的位置关系。
分析：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当d＜r，则直线和圆相交；当d＞r，则直线和圆相离，进行分析判断．
解答：解：因为所求直线到圆心O点的距离为14公分＜半径20公分，
所以此直线为圆O的割线，即为直线L2．
故选B．
点评：此题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，能够结合图形进行分析判断．
7. ( cm )（2011山东烟台，7，4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）
A2m B.3m
C.6m D.9m
考点：三角形的内切圆与内心；勾股定理.
分析：根据：△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解．
解答：解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．
则AB===10．
∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．
△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
即：AC BC=AB r+BC r+AC r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r==2．
故O到三条支路的管道总长是2×3=6m．
故选C．
点评：本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．
8. （2011贵州遵义，9，3分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A. DE＝DO B. AB＝AC
C. CD＝DB D. AC∥OD
【考点】切线的判定 ( javascript:void(0) )；圆周角定理 ( javascript:void(0) )．
【专题】证明题 ( javascript:void(0) )．
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
【解答】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
故选A．
【点评】本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．
9.（2011 包头，11，3分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（　　）
A、30° B、60°
C、45° D、50°
考点：切线的性质；圆周角定理。
分析：连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．
解答：解：连接OC，
∵OC=OA，，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°．
故选C．
点评：本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．
10. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（　　）
A、30° B、45° C、60° D、67.5°
考点：切线的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：常规题型 ( javascript:void(0) )．
分析：根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
解答：解：如图：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
连接AC，∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．
1. （2011盐城，5，3分）若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　 　）
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
考点：圆与圆的位置关系.
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜P＜R+r；（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，又∵6﹣4=2，6+4=10，
∴6﹣4＜8＜6+4，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是解此题的关键．
2. （2011江苏扬州，4，3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是（ ）
A.2 B. 3 C. 6 D. 11
考点：圆与圆的位置关系。
分析：根据两圆半径；再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径），得出符合要求的答案即可．
解答：解：根据题意，得R=7，r=4，
∴R+r=11，R﹣r=3，
∴相交两圆的圆心距为： R﹣r＜d＜R+r，即3＜d＜11，
∴它们的圆心距可能是6．
故选C．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是中考热点，需重点掌握．
3. （2011 宁夏，6，3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（　　）
A、2或4 B、6或8
C、2或8 D、4或6
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆相切，可知两圆内切或外切，又由⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．，则根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆心距O1O2的值．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．
∴若两圆内切，则圆心距O1O2的值是：5﹣3=2，
若两圆外切，则圆心距O1O2的值是：3+5=8．
∴圆心距O1O2的值是：2或8．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
4. （2011陕西，7，3分）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d．当时，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜d＜R+r（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，∴两圆的位置关系是相交．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是抓住两圆位置关系与数量关系间的联系：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
5. （2011 台湾25，4分）若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（　　）
A、25公分，40公分 B、20公分，30公分
C、1公分，10公分 D、5公分，7公分
考点：圆与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：首先根据题意知，两圆相交，可知两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，结合选项得出正确答案．
解答：解：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，
∵两圆相交与两点，
∴R﹣r＜d＜R+r，
∵d=13，
∴根据选项知，半径为20公分和30公分的两圆符合条件，
故选B．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单．
6. ( cm )（2011台湾，25，4分）如图，圆A．圆B的半径分别为4．2，且AB＝12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直在线，且圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，则下列何者可能是圆C的半径长（　　）
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A．3 B．4 C．5 D．6
考点：圆与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：首先找到一个圆和圆A和圆B都外切，求出该圆的半径，然后再找到圆C和圆A外切和圆B相内切时，圆C半径的取值．
解答：解：当圆C和两圆都外切时，
根据题意我们可知圆C的半径r＝3，
当圆C和圆A外切和圆B相内切时，
圆C的半径r＝5，
故圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，
圆C的半径取值范围为3＜r＜5，
故选B．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单．
7. （2011天津，6，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=7cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A、相交 B、相离 C、内切 D、外切
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，得出R+r=7，再根据O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系．
解答：解：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，
得出R+r=7，
∵O1O2=7cm，
∴得出⊙O1与⊙O2的位置关系是：外切．
故选：D．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据R+r=O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系是解决问题的关键．
8. （2011重庆市，7，4分）已知⊙O与⊙O外切，⊙O的半径R=5cm, ⊙O的半径r =1cm，则⊙O与⊙O的圆心距是
A．1cm B ．4cm C．5cm D．6cm
考点：圆与圆的位置关系 ( javascript:void(0) )．
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
答案：解：∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1的半径R=5cm，⊙O2的半径r=1cm，
∴⊙O1与⊙O2的圆心距是：5+1=6（cm）．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 河池）如图，A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，将⊙A沿x轴向右平移3个单位，则此时该圆与⊙B的位置关系是（　　）
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A、外切 B、相交
C、内含 D、外离
考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：先得出将⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距，再根据判断两圆位置关系的方法求解．
解答：解：∵A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，
∴⊙A、⊙B的圆心距为6，
∴⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距为3，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是外切．
故选A．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系和坐标与图形性质．两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
10. （2011 贺州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外离，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：圆与圆的位置关系；在数轴上表示不等式的解集。
分析：设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r，从而得到圆心距O1O2的取值范围，再结合数轴选择正确的答案即可．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，且两圆的位置关系为外离，
∴圆心距O1O2的取值范围为d＞2+5，即d＞7．
故选C．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系和在数轴上表示不等式的解集等知识．注意由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系是解题的关键．
11. （2011 郴州）已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是（　　）
A、R=4，r=2 B、R=3，r=2
C、R=4，r=3 D、R=3，r=1
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得R+r=5，继而求得答案．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，
∴R+r=5，
∵2+4=6，故A错误；
∵3+2=5，故B正确；
∵4+3=7，故C错误；
∵3+1=4，故D错误．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
12. （2010 长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=2、r2=4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（　　）
A、2 B、4
C、6 D、8
考点：圆与圆的位置关系。
分析：本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：两圆半径差为2，半径和为6，
两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，
所以，2＜O1O2＜6．符合条件的数只有B．故选B．
点评：本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法．
13. （2011山东青岛，3，3分）已知⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，O1O2=5cm，则两圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，，即可求得⊙O1与⊙O2的半径，又由O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，
∴⊙O1与⊙O2的半径分别是2cm和3cm，
∵O1O2=5cm，2+3=5，
∴两圆的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
14. （2011山东省潍坊， 9，3分）如图．半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切．则小圆扫过的阴影部分的面积为( )．
A．I7π
B．32π
C．49π
D．80π
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】几何图形问题．
【分析】由半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，即可求得空白处的圆的半径，即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，
∴OB=9，AB=2，
∴OA=7，
∴小圆扫过的阴影部分的面积为：81π-49π=32π．
故选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意求得空白处的圆的半径是解此题的关键．
15. （2011山东淄博11，4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（　　）
( http: / / www.m / )
A.4 B. C. D.5
考点：圆锥的计算；相切两圆的性质。
分析：首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．
解答：解：∵AB=4，∠B=90°，
∴，
∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，
∴⊙O的周长为2π，
∴⊙O的半径为，
∴AD=BC=BE+EC=4+=，
故选B．
点评：本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式
16. （2011四川达州，7，3分）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（　　）
A、内切、相交 B、外离、相交
C、外切、外离 D、外离、内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：根据圆与圆关系的定义，两个圆与圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时叫做这两个圆外离；两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交．所以在这个图案中反映出的两圆位置关系有外离和相交．
解答：解：在这个图案中反映出的两圆位置关系有两种外离和相交．故选B．
点评：本题可直接由图案得出圆与圆的位置关系，比较容易．
17.（2011 湖南张家界，7，3）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是（　　）
A、16厘米 B、10厘米 C、6厘米 D、4厘米
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径．
解答：解：∵两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，
∴10﹣6=4（厘米），
∴另一圆的半径是4厘米．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
18.（2011 包头，5，3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是（　　）
A、相交 B、外切 C、外离 D、内含
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆的直径分别是2厘米与4厘米，求得两圆的半径分别是1厘米与2厘米，然后由圆心距是3厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，
∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米，
∵圆心距是3厘米，1+2=3，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
19. (2011襄阳，9，3分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．若⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是(　　)
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：由∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，根据勾股定理，即可求得AB的长，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系．
( http: / / www.m / )
解答：解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5cm，
∵⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，
又∵1＋4＝5，
∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．
故选A．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与勾股定理逆定理的应用．注意外离，则P＞R＋r；外切，则P＝R＋r；相交，则R－r＜P＜R＋r；内切，则P＝R－r；内含，则P＜R－r．(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径)．
20. （2010福建泉州，5，3分）若⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为1，且O1O2=4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
考点圆与圆的位置关系
分析根据数量关系来判断两圆的位置关系：（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
解答解：根据题意，得R+r=4，即R+r=P=4，∴两圆外切．故选D．
点评本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r，难度适中．
21. （2011福建厦门，6，3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1与⊙O2的位置关系为（　　）
A、外离 B、外切
C、相交 D、内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，
又∵5﹣2=3，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系为内切．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题那比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
22. （2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：命题与定理；菱形的性质；矩形的判定；圆与圆的位置关系；位似变换．
分析：根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果．解答：解：①无公共点的两圆有可能外离，也有可能内含，故本选项错误；②位似三角形是相似三角形，正确；③菱形的面积等于两条对角线的积的一半，故本选项错误；④对角线相等的四边形是矩形，等腰梯形也可以，故本选项错误，∴真命题的个数是1．故选A．
点评：本题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质，比较综合，难度适中．
23. （2011天水，3，4）如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系是外切，则可求得答案．
解答：解：∵两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，
又∵2+1=3，
∴这两圆位置关系外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
24. （2011广东省茂名，7，3分）如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是（　　）
A、4 B、8
C、16 D、8或16
考点：圆与圆的位置关系；平移的性质。
分析：由题意可知点O2可能向右移，此时移动的距离为⊙O2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离为⊙O1的直径长．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，
如果向右移：则点O2移动的长度是4×2=8，
如果向左移：则点O2移动的长度是8×2=16．
∴点O2移动的长度8或16．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意此题需要分类讨论，小心不要漏解．
25. （2011 铜仁地区6,3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，当两圆相切时，其圆心距d的值为（　　）
A、0cm B、5cm C、17cm D、5cm或17cm
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，分别从两圆外切与两圆内切去分析求解即可求得答案，注意别漏解．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，
当两圆外切时，圆心距d=6+11=17（cm）；
当两圆内切时，圆心距d=11﹣6=5（cm）．
∴圆心距d的值为5cm或17cm．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
26.2011广西来宾，4，3分）已知⊙和⊙的半径分别是4和5，且=8，则这两个圆的位置关系是（ ）
A外离 .B.外切 C.相交 D.内含
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，
又∵5﹣4=1，4+5=9，1＜8＜9，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
27. （2011丽江市中考，15,3分）如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（　　）
A、2 B、7 C、2或5 D、2或8
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。
专题：分类讨论。
分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．
解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，
∴BC=3，AB=5，
∵⊙A与⊙B相切，
∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2，
当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8．
故选D．
点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉．
28. （2011浙江嘉兴，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A．两个外离的圆 B．两个外切的圆 C．两个相交的圆 D．两个内切的圆
考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图．
专题：计算题．
分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，所以，几何体的左视图为相内切的两圆，故选D．
点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．
29. （2011浙江台州，8，4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A．B．C．D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（　　）
( http: / / www.m / )
A．26πrh B．24rh+πrh C．12rh+2πrh D．24rh+2πrh
考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算．
专题：计算题．
分析：截面的周长等于12个圆的直径和班级为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．
解答：解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，∴其周长为4×6r=24r，∴截面的周长为：24r+2πr，
∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故选D．
点评：本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面周长的算法．
30. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系（　　）
A、内含 B、相交 C、外切 D、外离
【答案】D
【考点】圆与圆的位置关系 ( javascript:void(0) )．
【专题】几何题 ( javascript:void(0) )．
【分析】针对两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
【解答】解：依题意，线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，∴R+r=3+2=5，d=7，所以两圆外离．故选D．
【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．
31. （2011浙江舟山，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）
( http: / / www.m / )
A．两个外离的圆 B．两个外切的圆
C．两个相交的圆 D．两个内切的圆
考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图。
专题：计算题。
分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，
所以，几何体的左视图为相内切的两圆，
故选D．
点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．一条直线上有一点，到点的距离是4cm，若的半径为4cm，则直线与 ( )
A．相切 B．相交
C．相离或相切 D．相切或相交
2．在圆中有两条弦，且＜，这两条弦到圆心的距离分别是
那么 ( )
A．＞ B．≥ C．＜ D．≤
3.如图24-207所示，则等于 （ ）
A．50 B．80 C．100 D．130
4.如图24-208所示，在中，，是的内切圆，与分别相切于点，若则等于 （ ）
A．20 B．80 C．40 D．70
5.如图24-209所示，的直径垂直于弦，垂足为，若则的长是 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6.如图24-101所示，为等腰直角三角形，与相切于，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．4- B．2- C．4- D．2-
7.在中，那么这个三角形的外接圆半径为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
8.如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
9. 的半径是2cm，的半径是5cm，圆心距是4cm，则两圆的位置关系是 （ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内切
10.将一块直径为60cm，的圆形铁皮做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 （ ）
A．10cm B．30cm C．40cm D．60cm
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.如图24-211所示，在中，半径为5，则弦长＝ .
12.如图24-212所示，内接于，是的直径，点是上一点，则 .
13.如图24-213所示，是正三角形的外接圆，点在劣弧上，，则的度数为 .
14.如图24-214所示，为的直径,为上一点，且点在上（不与重合），则的度数是 .
15.在中，将其绕直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为 cm2.
16.正三角形的内切圆与外接圆的直径之比为 .
17.如图24-215所法，四边形的项点都在上，若则＝
.
18.如图24-216所示，扇形的圆心角是直角，正方形内接于扇形，点分别在上，过点作交的延长线于，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为 .
19.半径为1的中有两条弦，其长分别为则的度数为 .
20.如图21-217所示的曲边三角形可按下述方法作出：分别
以正三角形的一个顶点为圆心，以边长为半径画弧，使其经
过正三角形的另两个顶点，然后擦去正三角形，三段弧所围
成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长
是2，那么它的面积是 .
三、解答题（第21-26，小题各8分，第27小题12分，共60分）
21.如图24-218所示，内切于，切点分别为
（1）若求的度数；
（2）若求的长.
22.如图24-219所示，是的直径，点在的延长线上，弦垂足为，连接
（1）试说明是的切线；
（2）若半径为4，求的长.
23.如图24-220所示，是的直径，从上一动点作，交另一半圆于点是的平分线，交于点，当点在半圆上运动时，点的位置是否发生变化？为什么？
24.如图24-221所示，是半圆的3等分点，是直径延长线上的一点，若＝6cm，求阴影部分的面积.
25.如图24-222所示，已知中，是上的点，以为圆心，为半径作.当时，交于点，求的长.
26.如图24-223所示，的直径的长为2，在的延长线上，且
（1）求的度数；
（2）求证是的切线.
27.如图24-224（1）所示，已知点在外，是的切线，切点是，直线与相交于点.
（1）试探求与的数量关系；
（2）若则与有什么关系？
（3）若则过点的切线与有怎样的位置关系？（图24-224（2）可供解题使用）
（4）若＝则过点的切线与直线的交点的位置将在哪儿？（图24-224（3）可供解题使用）
参考答案
1. D［提示：如图24-225所示，相切；如图24-226所示，相交.］
2.A［提示：］
3.C［提示：］
4.D
5.C［提示：连接
为直径，］
6.A［提示：连接
］
7.B［提示：直角三角形外接圆的圆心是斜边中点，］
8.C［提示：根据相切的定义.］
9.A［提示：5-2＜4＜5+2，两圆相交.］
10A.
11.5
12.40
13. 38［提示：由知，］
14.50或130［提示：由知，由于在上，所以或者］
15.60
16.1：2［提示：如图24-227所示，在中，
］
17.80［提示：圆内接四边形的对角互补，
］
18.
19.30［提示：为直径，为直角三角形，
］
20.［提示：
］
21.解：（1）连接，则所以（2）因为是的切线，所以
所以
所以
22.解：（1）连接，因为是的直径，所以因为而所以所以从而即所以是的切线.
（2）因为且所以所以所以,所以
23.解：点的位置不发生变化，理由如下：连接，因为，所以又因为所以所以因为所以，因为是直径，所以点是半圆的中点.
24.解：连接因为是半圆的三等分点，所以因为所以所以 所以，所以（cm2）.
25.解：连接，则因为所以
根据直角三角形面积公式有所以在中，
26.（1）解：设由弧长公式，得（2）证明：连接是等边三角形.
是切线.
27（1）解：连接，因为是切线，所以所以而
所以即 （2）提示：若则所以所以 （3）提示：若则过点的切线与平行. （4）提示：若
则过点的切线与直线的交点的延长线上.
A
B
O
A
B
C
O
6题图
A
B
O
O
（第7题图）
A
B
C
D
P
·
O
E第十章 数据的收集、整理与描述
本章小结
小结1 本章概述
数据是对现实生活中被调查对象具体情况的反映，它是统计学中最基础的内容，对我们的实际行动有着重大的决策作用.本章知识来源于生活，又直接指导生活，教材通过调查学生对电视节目的喜爱情况，经历了全面调查的过程，探索了抽样调查的方法，在理解条形图、扇形图、折线图的基础上，掌握用直方图描述数据的步骤，最后探究了从数据谈节水的课题，感受到数据的作用，增强了节水意识．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解简单的收集、整理、描述和分析数据的全过程，通过实例理解频数的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图.
【本章难点】根据实际问题设计简单的调查表．
小结3 中考透视
本章内容实际应用性特别强，中考试题中越来越多地考查了本章的题目，且分值也有上升的趋势.题目难度不是很大，一般以填空、选择形式为主，以解答题形式出现的情况也在逐步增多.主要考查点有：（1）会收集、整理数据，会选取合适的统计图表示不同的问题；
（2）能通过具体实际问题辨认总体、个体、样本三个基本概念；（3）会用样本估计总体；（4）能对数据给出简单的分析.分值占6～8分．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 普查与抽样调查的识别
【专题解读】 普查是对总体中每个个体进行的调查，范围广、数据详细，而抽样调查范围有局限性，数据不全面．
例1 下列调查中，哪些适合做普查 哪些适合做抽样调查
(1)了解一批灯泡的使用寿命；
(2)了解2011年全国婴儿的出生率；
(3)新华书店为了做好开学课本的发行工作，需了解某市的学生数；
(4)某市公安局为了抓捕一名逃犯，对辖区内的旅馆进行住宿情况调查．
分析 本题主要考查普查与抽样调查的识别．
解：(1)适合抽样调查．
(2)适合抽样调查．
(3)适合普查．
(4)适合普查．
【解题策略】 不宜做普查的原因一般体现在：(1)总体中个体数目太大，工作量大；
(2)调查具有破坏性．
二、规律方法专题
专题2抽样调查适合何种情况
【专题解读】 当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，应进行抽样调查，例如，为了了解某城市一天的汽车进入量，我们无法准确把握住城市的每个出入口，无法进行普查，这时，只能采用抽样调查的方式进行调查．当调查具有破坏性、不允许普查时，可进行抽样调查，例如，灯泡使用寿命的调查，对一万件产品进行调查因为此调查具有破坏性，只能采取抽样调查，若采用普查，会损坏一万只灯泡，是不实际的．
例2 下列抽样调查选取样本的方法是否合适
(1)为调查江苏省的环境污染情况，调查了长江以南的南京市、常州市、苏州市、镇江市、无锡市的环境污染情况；
(2)从100名学生中，随机抽取2名学生，测量他们的身高来估算这100名学生的平均身高；
(3)从一批灯泡中随机抽取50个进行试验，估算这批灯泡的使用寿命；
(4)为了了解中央电视台第一套节目的收视率，对所有上网的家庭进行在线调查.
分析 本题主要考查样本的合理选取.
解：(1)不合适．
(2)不合适．
(3)合适．
(4)不合适．
【解题策略】 简单随机抽样调查是否合适，主要看是否满足：(1)样本具有代表性；
(2)样本容量足够大；(3)对每个个体都公平．
三、思想方法专题
专题3 用样本估计总体思想
【专题解读】 会根据数据反映的集中程度、离散程度的不同需要，选择合适的统计量；会根据统计结果作出合理的判断和预测．
例3 某地区为筹备召开中学生运动会，指定要从某校八年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求队员的身高一致，现随机抽取10名八年级某班女生体检表 (各班女生人数均超过20人)，身高如下(单位：厘米)：
165 162 158 157 162 162 154 160 167 155
(1)求这10名学生的平均身高；
(2)该校能否按要求组成花束队 并说明理由．
分析 本题主要考查用样本估计总体的思想．
解：(1)这10名学生的平均身高为=160．2(厘米)．
(2)能．理由如下：由于样本中的162厘米出现的次数最多，从而可估计一个班级至少有6名女生的身高为162厘米．从而可估计全校身高为162厘米的女生人数为6×9＝54>48，所以该校能按要求组成花束队．
专题4 数形结合思想
【专题解读】 涉及有关统计图表的问题，需要从统计图表中准确提取信息，恰当地分析统计图表中数据的含义．
例4 2012年1月7日，第十届厦门国际马拉松赛将在鹭岛鸣枪开跑，如图l0-35所示的是本次全程马拉松、半程马拉松、10公里赛程、5公里赛程的各项参赛人数占全体参赛人数比例的扇形统计图．
(1)求参加全程马拉松赛的人数占全体参赛人数的百分比；
(2)已知参加10公里赛程的人数为7200人，求参加全程马拉松赛的人数．
分析 本题综合考查从扇形统计图中获取信息的能力，可结合扇形统计图提供的信息及题意解答此题．
解：(1)参加全程马拉松赛的人数所占的百分比为l-34．4％-12．9％-35．5％＝17．2％．
(2)全体参赛人数为7200÷34．4％≈20930(人)．
参加全程马拉松赛的为20930×17．2％≈3600(人)．
【解题策略】 掌握扇形统计图的意义是解决本题的关键．
2011中考真题选
1. （2011江苏扬州，3,3分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A.了解一批炮弹的杀伤半径 B. 了解扬州电视台《关注》栏目的收视率
C. 了解长江中鱼的种类 D. 了解某班学生对“扬州精神”的知晓率
【答案】D
2. （2011四川重庆，5，4分）下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是( )
A．调查我市中学生每天体育锻炼的时间
B．调查某班学生对“五个重庆”的知晓率
C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量
D．调查广州亚运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况
【答案】A
3. (2011重庆綦江，2，4分)下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对綦江河水质情况的调查． B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查．
C. 对某班50名同学体重情况的调查． D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查.
【答案】：C
4. (2011江苏南京，4，2分)为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是
A．随机抽取该校一个班级的学生
B．随机抽取该校一个年级的学生
C．随机抽取该校一部分男生
D．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生
【答案】D
5. (20011江苏镇江,4,2分)某地区有8所高中和22所初中,要了解该地区中学生的视力情况,下列抽样方式获得的数据最能反映该地区中学生视力情况的是( )[]
A.从该地区随机选取一所中学里的学生
B.从该地区30所中学生里随机选取800名学生
C.从该地区的一所高中和一所初中各选取一个年级的学生
D.从该地区的22所初中里随机选取400名学生
答案【 B】
6. （2011重庆市潼南,4,4分）下列说法中正确的是
A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
C．数据1，1，2，2，3的众数是3
D．一组数据的波动越大,方差越小
【答案】B
7. （2011湖北宜昌，3，3分）要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是( )
A．在某校九年级选取50名女生
B．在某校九年级选取50名男生
C．在某校九年级选取5Q名学生
D．在城区8 O00名九年级学生中随机选取50名学生
【答案】D
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．要调查某校九年级550名学生周日的睡眠时间，下列调查对象选取最合适的是 ( )
A.选取该校一个班级的学生
B.选取该校50名男生
C.选取该校50名女生
D.随机选取该校50名九年级学生
2．下列抽查的样本合适的是 ( )
A.在大学生中调查青年娱乐的主要方式
B.在公园里调查老年人的健康状况
C.调查一个班级里学号为3的倍数的同学，以了解学生对学校管理的意见
D.调查某生活小区的人均收入，以了解全市的人均收入
3．下列调查适合普查的是 ( )
A.调查2011年6月份市场上某品牌饮料的质量
B.了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况
C.环保部门调查5月份黄河某段水域的水质情况
D.了解全班同学本周末参加社区活动的时间
4．期末统考中，A校优秀人数占20％，B校优秀人数占25％，比较两校优秀人数 ( )
A.A校多于B校 B.B校多于A校
C.A，B两校一样多 D.无法比较
5．可以清楚地表示出部分与总体之间的关系的是 ( )
A.条形统计图 B.折线统计图
C.扇形统计图 D.所有统计图均可
6．有两所初级中学A校和B校，在校学生人数均为1000人，现根据如图10-36所示的统计图得到以下统计结果：①A校男生比女生多20人；②B校男生比女生少60人；③若两校合起来，则女生比男生多20人；④A校男生比B校男生多50人其中正确的结果为
( )
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
7．某公司销售部有营销人员25人，销售部为了制定某种商品的销售定额，统计了25人某月的销售量，如下表所示：
每人销售量（件） 600 500 400 350 300 200
人数（人） 1 4 4 6 7 3
则描述上面的数据最合适的统计图是 （ ）
A．折线图 B．扇形图 C．条形图 D．直方图
8．第五次人口普查，我国每10万人中拥有各种受教育程度的人数如下：具有大学程度的为3611人；具有高中程度的为11146人；具有初中程度的为33961人；具有小学程度的为35701人．如图10-37所示，根据以上数据作出的示意图正确的是 （ ）
9．一次数学测验以后，张老师根据某班成绩绘制了如图10-38所示的扇形统计图(80～89分的百分比因故模糊不清)，若80分以上(含80分)为优秀等级，则本次测验的优秀率为 ( )
A．32％ B．68％
C．36％ D．88％
10．体育老师对九年级(1)班学生“你最喜欢的体育项目是什么 (只写一项)”的问题进行了调查，把所得的数据绘制成频数分布直方图，如图10-39所示，由图可知“最喜欢篮球”的频率是 ( )
A．0．16 B．0．24 C．0．3 D．0．4
二、填空题
11．已知一组数据共20个：68，69，70，66，68，65，64，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66．落在64．5～66．5内的数据的频数是 ，
频率是 ．
12．为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名同学的身高进行了测量．经统计，身高在148．5～151．5 cm内的频数为3，则这一组的频率为 ．
13．某校七年级学生有1080人购买校服，校服按大小共分小号、中号、大号、加大号四种，在调查到的数据中，小号、中号、大号出现的频数分别是250，420和280，则加大号出现的频率是 ．
14．在“抛1枚硬币”的游戏中，抛5次出现1次正面，抛50次出现31次正面，抛6000
次出现2980次正面，抛9999次出现5006次正面．
(1)四次抛硬币，出现正面的频率各是 ；
(2)用一句话概括出此游戏中的规律： ．
15．某校九年级一班数学单元测试全班学生成绩的频数分布直方图如图10-40所示（满分100分，学生成绩取整数），则成绩在90.5～95.5这一分数段的频率 .
16．根据国家统计局5月23日发布的公告显示，今年第一季度的GDP值为43390亿元，其中，第一、第二、第三产业所占比例如图10-41所示，根据图中数据可知，今年第一季度第一产业的GDP值约为 亿元.（结果精确到0.01亿元）
17．在一扇形统计图中，若扇形的圆心角为90，则此扇形表示的部分占总体的 ％.
18．某班全班同学在“献爱心”活动中都捐了图书，捐书的情况如下表：
每人捐书的册数（册） 5 10 15 20
相应捐书的人数（人） 17 22 4 2
根据题目所给的条件，回答下列问题.
（1）该班的学生共有 人；
（2）全班一共捐了 册图书；
（3）若该班所捐图书按如图10-42所示的比例分别送给山区学校、本市兄弟学校和本校其他班级，则送给山区学校的书比送给本市兄弟学校的书多 册.
三、解答题
19．学期结束前，学校想调查学生对七年级数学华师大实验教材的意见，特向七年级300名学生作问卷调查，其结果如下：非常喜欢的有150人，喜欢的有100人，有一些喜欢的有42人，不喜欢的有8人(如图10-43所示)．
(1)计算出每种意见的人数占调查人数的百分比；
(2)作出反映调查结果的扇形统计图；
(3)从条形统计图上你能得出什么结论 说说你的理由．
20．某中学为了了解该校学生阅读课外书籍的情况，学校决定围绕“在艺术类、科技类、动漫类、小说类、其他类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍种类是什么 (只写一类)”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图10-44所示的条形统计图.
（1）在本次抽样调查中，最喜欢哪类课外书籍的人数最多？有多少人？
（2）求出该校一共抽取了多少名同学进行问卷调查；
（3）若该校有800人，请你估计这800人中最喜欢动漫类课外书籍的有多少人.
21．学校医务室对九年级学生的用眼习惯所作的调查结果如下表所示，表中空缺的部分反映在扇形图和条形图中（如图10-45所示）.
编号 项目 人数（人） 比例
1 经常近距离写字 360 37.50％
2 经常长时间看书
3 长时间使用电脑 52
4 近距离地看电视 11.25％
5 不及时检查视力 240 25.00％
（1）请把三个图表中的空缺部分补充完整；
（2）请提出一个保护视力的口号（15字以内）.
参考答案
1.D
2.C［提示：样本具有代表性，抽查具有随机性.］
3.D
4.D［提示：两校学生人数未知，无法比较.］
5.C［提示：扇形统计图的特点是可以清楚地表示出部分与总体的关系.］
6.B［提示：A校男生520人，女生480人；B校男生470人，女生530人.］
7.D［提示：条形图能较直观地反映各种销售量的人数.］
8.B［提示：从大学、高中、初中、小学依次递增.］
9.B［提示：79分（含79分）以下的百分比为32％，用1减去32％，即是所求.］
10.D
11.8 0.4［提示：64.5～66.5内，即为65，66两个数字的个数.］
12.0.05［提示：频率＝.］
13..［提示：用数据总数减去小、中、大号的频数得加大号的频数，加大号的频率为.］ 14.（1）0.2，0.62，0.497，0.5 （2）抛的次数越多，正面出现的频率就越接近50％
15.0.3 16.3241.23［提示：第一产业占7.47％.第一产业的GDP值为43390×7.47％≈3241.23（亿元）.］
17.25［提示：×100％＝0.25×100%=25%.］
18.(1)45 (2)405 (3)162[提示：17+22+4+2＝45（人）.（2）17×5+22×10+15×4+20×2＝405（册）.（3）405×（60％-20％）＝162（册）.]
19.解：（1）150÷300×100％＝50％，100÷300×100％≈33.3％，42÷300×100％＝14％，8÷300×100％≈2.7％. （2）如图10-46所示. （3）从条形统计图上可以看出，非常喜欢和喜欢的人占大多数，只有少部分不喜欢，可见这一套教材的受欢迎程度较高.
20.解：（1）最喜欢小说类课外书籍的人数最多，有20人. （2）由图可知2+8+12+20+8＝50（名），一共抽取了50名同学.（3）由样本估计总体，得800×＝192（人），这800人中最喜欢动漫类课外书籍的约有192人.
21.解：（1）补全的表如下表所示，补全的统计图如图10-47所示. （2）略
编号 项目 人数（人） 比例
1 经常近距离写字 360 37.50％
2 经常长时间看书 200 20.83％
3 长时间使用电脑 52 5.42％
4 近距离地看电视 108 11.25％
5 不及时检查视力 240 25.00％第六章 平面直角坐标系
本章小结
小结1 本章概述
直角坐标系是由两个互相垂直的数轴构成的，它是联系有序数对和平面内点的对应关系的桥梁，它更是整个数学领域的重要工具.它是在数轴上的点的坐标的基础上研究数与形的对应关系的.教材通过实例用有序数对来表示点的位置.运用有序数对建立了数学模型，将有序数对转化为平面直角坐标系中的点，验证了平面直角坐标系在实际生活中的广泛应用．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】掌握平面内点的坐标的表示方法及求法；能建立适当的坐标系来描述某些点所处的位置.
【本章难点】用坐标表示平面内点的位置及判断坐标平面上点的坐标.
【学习本章应注意的问题】
在本章的学习过程中，要正确理解有序数对的含义，熟悉平面直角坐标系的组成.在学习中，注意随时复习有关队列、方阵、班级座位以及在小学了解的长方形的性质，还要复习垂线和垂直的含义.
在本章的学习中充分体现了数形结合思想，体会用有序数对表示物体位置的必要性．
小结3 中考透视
从近几年的考试题看，平面直角坐标系这一章主要考查已知点的坐标，确定点的位置及求其对称点的坐标，这类问题多以填空、选择形式出现，虽然难度不是很大，但有些问题的知识集合性还是较强的.可能会由于相关的其他章节的知识不扎实，而导致对点的位置的判断失误，还有就是考查通过建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置的能力，该问题难度不大，一般情况下，都是建立常规的平面直角坐标系（如向东为x轴正向，向北为y轴正向）同时给出单位长（有网格）.基本上占4分．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系
【专题解读】平面直角坐标系中，坐标与点的对应关系，那平面内一点M有唯一的有序数对(x,y)和它对应；对于任意一有序数对(x,y)，在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应.平面内点的坐标由横坐标和纵坐标确定,横、纵坐标的符号决定点所在的象阴，横坐标为0或纵坐标为0，说明点在y轴上或x轴上.
例1 如图6-38所示，标出下列各点：A（5，3），B（-1.5,3.5），C（-4，-1），D（2，-3），E（3，0），F（0，-2），并写出图中下列各点的坐标：G（ ），H（ ），I（ ），J（ ），K（ ）.
解：各点位置如图6-38所示.
G（-3，1），H（2，2），I（-2，-4），J（3，-2），K（0，2）.
【解题策略】要掌握确定平面内点的坐标的方法，注意不要把横纵坐标弄混.
二、规律方法专题
专题2 利用方程解题
【专题解读】抓住平面直角坐标系的特征和点的坐标的意义是解决此类问题的关键.
例2 若点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值.
解：因为点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，
所以9-a=a-3,所以a=6.
【解题策略】把点的位置关系转化为数量关系，利用数量关系列方程求解.
三、思想方法专题
专题3 数形结合思想
【专题解读】运用数形结合思想归纳总结特殊点的坐标特点.
（1）四个象限内的点的坐标特征：如图6-39所示.
若点在第一象限，则a＞0,b＞0;
若点在第二象限，则a＜0,b＞0;
若点在第三象限，则a＜0,b＜0;
若点在第四象限，则a＞0,b＜0;
（2）两坐标轴上的点的坐标特征：
若点在x轴上，则a为任意实数，b=0;
若点在y轴上，则a=0,b为任意实数；
若点在原点，则a=b=0.
（3）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：
若点在第一、三象限的角平分线上，则a=b或a-b=0;
若点在第二、四象限的角平分线上，则a=-b或a+b=0.
（4）点到两坐标轴的距离：
点P（x,y）到x轴的距离为|y|；
点P（x,y）到y轴的距离为|x|；
（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同.
（6）关于坐标轴及坐标原点对称的点的坐标特征.
点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);
点P（x,y）关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).
例3 已知点B（3a+5,-6a-2）在第二、四象限的角平分线上.求.
分析 由已知求出a的值，代入中再求代数式的值，
所以3a+5=-(-6a-2),所以a=1，故.
【解题策略】在第二、四象限的角平分线上的点的坐标特征是横坐标与纵坐标互为相反数.
2011中考真题平面直角坐标系精选
一、选择题
1. （2011山西，2，2分）点（－2，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点：点的坐标
专题：直角坐标系
分析：点（－2，1）的横坐标在轴的负半轴上，纵坐标在轴的正半轴上，所以点（－2，1）在第二象限，故选B．
解答：B
点评：根据点的横坐标、纵坐标的位置来确定．只要理解点的坐标的意义，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，就可以轻松地解答．
2.在平面直角坐标系中，点P（-3，2）所在象限为（　　）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
考点：点的坐标．分析：根据点在第二象限的坐标特点即可解答．解答：解：∵点的横坐标-3＜0，纵坐标2＞0，
∴这个点在第二象限．
故选B．点评：解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3. （2011湖南长沙，4，3分）如图，在平面直角坐标系中，点P（－1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（－4，2） C．（－1，5） D．（－1，－1）
考点：平移，直角坐标系
专题：平移，直角坐标系
分析：本题有两种方法解答：从一直接操作法，即在图中将点P（－1，2）向右平移3个单位长度后，画出对应点，即可从图中得到对应点的坐标；二是根据点的平移规律：在平面直角坐标系中，将点向左右平移，点的横坐标发生变化，其纵坐标不变，且横坐标是左减右加，从而平移后对应点的坐标是（－1＋3，2）即（2，2）．
解答：A
点评：设点P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m＞0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）．
4（2011年广西桂林，10，3分）若点 P（，－2）在第四象限，则的取值范围是（ ）．
　 A．－2＜＜0 B．0＜＜2 C．＞2 D．＜0
考点：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．
分析：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．
答案：解：∵点P（a，a-2）在第四象限，
∴a＞0，a-2＜0，
0＜a＜2．
故选B．
点评：此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5. （2011福建莆田，3，4分）已知点P（a,a-1）在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
考点：在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．
专题：计算题．
分析：由点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，可得 ，分别解出其解集，然后，取其公共部分，找到正确选项；
解答：解：∵点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，
∴，
解得，a＞1；
故选A．
点评：本题考查了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6. （2011台湾，17，4分）如图，坐标平面上有两直线L．M，其方程式分别为y＝9．y＝－6．若L上有一点P，M上有一点Q，PQ与y轴平行，且PQ上有一点R，PR：PQ＝1：2，则R点与x轴的距离为何（　　）
( http: / / www.m / )
A．1 B．4 C．5 D．10
考点：坐标与图形性质。
专题：函数思想。
分析：由已知直线L上所有点的纵坐标为9，M上所由点的坐标为－6，由PQ与y轴平行即于x轴垂直，可得出PN＝9，QN＝6，PQ＝PN＋QN＝9＋6＝15，根据已知PR：RQ＝1：2可求出PR，从而求出R点与x轴的距离．
解答：解：已知直线L和M的方程式是y＝9．y＝－6，
所以得到直线L．M都平行于x轴，
即得点P．Q到x轴的距离分别是9和6，
又PQ平行于y轴，所以PQ垂直于x轴，
所以，PN＝9，QN＝6，PQ＝PN＋QN＝9＋6＝15，
又PR：RQ＝1：2，
所以得：PR＝5，RQ＝10，
则，RN＝PN－PR＝9－5＝4，
所以R点与x轴的距离为4．
故选：B．
( http: / / www.m / )
点评：此题考查的知识点是坐标与图形性质，解题的关键是由已知直线L，M，及PQ与y轴平行先求出PQ，再由PR：RQ＝1：2求出R点与x轴的距离．
7. （2011黑龙江大庆，7，3分）已知平面直角坐标系中两点A（﹣1，0）、B（1，2）．连接AB，平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（2，﹣1），则B的对应点B1的坐标为（　　）
A、（4，3） B、（4，1）　　C、（﹣2，3） D、（﹣2，1）
考点：坐标与图形变化-平移。
分析：根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，知点A的横坐标加上了3，纵坐标减小了1，所以A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．
解答：解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A1的坐标为（2，﹣1），
∴A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴B（1，2）平移后的坐标是：（4，1）．
故选B．
点评：此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
二、填空题
1. （2011邵阳，9，3分）在平面直角坐标系中，点（1，3）位于第　一　象限．
考点：点的坐标．
分析：根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
解答：解：∵点（1，3）的横纵坐标都为：+，∴位于第一象限．故答案为：一．
点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，
2. （2011浙江丽水，14，4分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：列表法与树状图法；点的坐标。
专题：数形结合。
分析：列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可．
解答：解：共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，
所以概率为．
故答案为：．
点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在第四象限的情况数是解决本题的关键．
3. （2011辽宁沈阳，11，4分）在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（X，3）之间的距离是5，则X的值是　 　．
考点：坐标与图形性质。
专题：计算题。
分析：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于X轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|X﹣1|=5，从而解得X的值．
解答：解：∵点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，
∴|x﹣1|=5，
解得x=﹣4或6．
故答案为：﹣4或6．
点评：本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的纵坐标相等时，则这两点在平行于x轴的直线上．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．有以下三种说法：
①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；
②除了平面直角坐标系，我们也可以用方向和距离来确定物体的位置；
③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限.
其中错误的是 （ ）
A．① B．②
C．③ D．①②③
2．若点A（x+1,5）和点B(2,y-1)关于x轴对称，则x,y分别是 （ ）
A．1和-4 B．-3和6
C．1和6 D．-3和-4
3．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-4，6），则点P在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若点A(-3,n)在x轴上，则点B(n-1,n+1)在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．在平面直角坐标系中，点A（2，-3）关于原点对称的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（-4，-1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（-2，2），则点B′的坐标为 （ ）
A．（4，3） B．（3，4）
C．（-1，-2） D．（-2，-1）
7．若点A（n,-2）在y轴上，则点B(n-1,n+1)在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A′，则点A与点A′的关系是 （ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．以上均不对
二、填空题
9．若已知点A（3,n）关于y轴对称的点的坐标为（-3，2），则n的值为______，点A关于原点对称的点的坐标为________.
10．如图6-40所示，如果围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛的几手棋.为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用字母表示，这样，黑棋的位置可记为（C,4），白棋②的位置可记为(E,3)，则白棋⑨的位置应记为_______.
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且三角形ABC是直角三角形，则满足条件的点C有______个.
12．已知三角形ABC在直角坐标系中的位置如图6-41所示，三角形A′B′C′与三角形ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为________.
13．在坐标平面内点P（-3，-1）与点Q（a,b）关于y轴对称，则a+b的值为______.
14．如图6-42所示的是永州市几个主要景点示意图，根据图中信息可确定九疑山的中心位置C点的坐标为______.
15．若|x+2|+|y-1|=0，则点P（x,y）和点Q（2x+2,y-2）关于______对称.
16．点M（-2，5）向右平移_______个单位长度，再向下平移_______个单位长度，变为M′（0，1）.
三、解答题
17．在如图6-43所示的平面直角坐标系中画出下列各点.A（1，1），B（3，3），C（0，0），D（-0.5,-0.5），E（-2，-2），F（-4，-4）.根据这些点，你发现了什么规律？
18．坐标平面内有A（1，2），B（-2，1），C（0，-1），D（2，0）四个点，顺次连接A，B，C，D，求四边形ABCD的面积.
19．在平面直角坐标系中描出下列各点：A（-2，-1），B（4，-1），M（1，1），P（1，-1）.然后回答下列问题.
（1）你知道P是线段AB上的什么点吗？MP和AB的位置关系如何？
（2）线段MA和线段MB的大小有什么关系？
参考答案
1． C
2． A[提示：x+1=2,y-1=5.]
3． B
4． B
5． B[提示：A关于原点的对称点为（-2，3）.]
6． B
7． B[提示：y轴上的点的横坐标为0,n=0,B(-1,1).]
8． B
9． 2（-3，-2）[提示：关于y轴对称的点的纵坐标相等；关于原点对称的点的横纵坐标分别互为相反数.]
10．(D,6)
11．4
12．(4,2)[提示：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.]
13．2[提示：a=3,b=-1,a+b=2.]
14．（3，1）
15．x轴[提示：x=-2,y=1,P(-2,1),Q(-2,-1).]
16．2 4[提示：右加下减.]
17．解：如图6-44所示，这些点在一条直线上，并且除C点外，它们都在第一、三象限的角平分线上.
18．解：如图6-45所示，分别过点A，B，C，D作坐标轴的平行线，组成长方形EFGH.∵A（1，2），B（-2，1），C（0，-1），D（2，0），∴E（-2，2），F（-2，-1），G（2，-1），H（2，2）.S长方形EFGH=4×3=12，，，，，S四边形ABCD= S长方形EFGH-.
19．解：如图6-46所示.（1）P是线段AB的中点，MP⊥AB. （2）MA=MB.第十八章 勾股定理
本章小结
小结1 本章概述
本章主要学习勾股定理、勾股定理的逆定理及它们的应用.通过从特殊到一般的探索过程过程验证了直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——勾股定理的逆定理.学习时应注意区分并把它们运用到实际问题中，同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题；掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题.
【本章难点】掌握勾股定理探索过程，并掌握其适用范围；理解勾股定理及其逆定量．
【学习本章注意的问题】
在学习本章内容的过程中，主要注意勾股定理及其逆定理的应用.在解决实际问题的过程中常用下列方法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直角三角形以达到解题的目的）；（4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）方程的思想方法.
小结3 中考透视
本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边，运用勾股定理解决实际问题为主.其中定理在实际生活中的应用是热点，一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时也与其他知识一起综合命题．
知识网络结构图
专题总结及应用
1、 知识性专题
专题1 勾股定理及其逆定理的应用
【专题解读】要证明以三条线段（或线段所在的直线）为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明.
例1 如图18-69所示，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M，N，使∠MCN=45°，设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b为边长的三角形的形状.
分析 要判断三角形的形状，就应设法将x,a,b放到一个三角形中，由于∠MCN=45°，因此可过点C作CD⊥MC，截取CD=CM，这样就可以得到全等的三角形，并把x,a,b放到一个三角形中，进而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
解：作CD⊥CM，且CD=CM，连接ND，BD，
∵AC⊥BC，CD⊥CM，∴∠ACB=∠MCD=90°.∴∠ACM=∠BCD.
又∵AC=BC，CM=CD，∴△CAM≌△CBD.
∴∠CBD=∠A=45°,AM=BD=a.
∴CM=CD,∠MCN=∠DCN=45°,CN=CN,
∴△MCN≌△DCN. ∴ND=MN=x.
∴∠CBA=∠CBD=45°, ∴∠NBD=∠CBA+∠CBD=90°.
∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=x2,
∴△NBD为直角三角形,即以x,a,b为边长的三角形是直角三角形.
【解题策略】巧用已知条件构造全等三角形,将线段x,a,b放到一个三角形中,为应用勾股定理的逆定理创造了条件.
例2 李老师让同学们讨论这样一个问题:如图18-70所示,有一个长方体盒子,底面正方形的边长为2 cm,高为3 cm.在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面的F点处的食物,则怎样爬行路程最短 最短路程是多少
过了一会儿,李老师问同学们答案,甲生说:先由A点到B点,再走对角线BF.乙生说:我认为应由A先走对角线AC,再由C点到F点.丙生说:将长方形ABCD与长方形BEFC展开成方长形ABFG,利用勾股定理求AF的长.哪位同学的说法正确 还有其他方法吗 若有,请叙述出来,并说明理由.(参考数据:29≈5.392)
分析 要使蚂蚁爬行的路程最短,可直接连接AF,再求出AF,但AF在盒子里面,不符合题目要求,甲生和乙生的方法类似,只是顺序不同;丙生和丁生的方法类似,只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了.
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图18-71所示，
则AE=AB+BE=4 cm,EF=3 cm,连接AF，
在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=42+32=25，
∵AF=5 cm.连接BF,
∵AF＜AB+BF,∴丙的方法比甲的好.
按丁生的办法:将长方形ABCD与正方法CFGD展开成长方形ABFG,如图18-72所示,
则BF=BC+CF=3+2=5(cm),AB=2 cm,连接AF.
在Rt△ABF中,AF2=BF2+AB2=52+22=29≈5.392,
∴AF≈5.39(cm).连接AC,
∵AF＜AC+CF,∴丁的方法比乙的好.
比较丙生与丁生的计算结果,丙生的说法正确.
2、 规律方法专题
专题2 利用勾股定理解决折叠问题
【专题解读】折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.做题时一定要抓住这一点,以免有无从下手之感.
例3 如图18-73所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AC于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.
分析 由于,所以只要求出DE的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE,在Rt△ABE中,利用勾股定理列方程求解.
解:∵AD∥BC,∴∠2=∠3.
∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称,
∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EB=ED.
设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=8-x.
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2.
∴42+(8-x) 2=x2,∴x=5,∴DE=5.
∴.
专题3 利用面积关系解决问题
【专题解读】利用勾股定理求出直角三角形的边长,进而求出面积,再利用面积的关系列出方程,从而解决问题.
例4 如图18-74所示,在三角形ABC中, ∠C=90°,两直角边AC=6,BC=8,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.无法确定
分析 要想直接计算,需找出表示这个相等距离的线段,由角平分线的性质可知,点P应是△ABC各角平分线的交点,再由面积关系列方程求解.
设P点到三边的距离为x,连接PA,PB,PC.
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
所以AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100.
所以AB=10.
又因为,
所以.
即48=10x+6x+8x.所以x=2,故选B.
【解题策略】这是一道方程与几何图形相结合的数学题,在几何图形问题中经常涉及解方程、求面积等相关计算.本题考查了勾股定理的实际应用.
三、思想方法专题
专题4 建模思想
【专题解读】能运用勾股定理解决简单的实际问题，将其转化为数学问题，建立直角三角形的模型，体现了学数学、用数学的思想，通过建模解决问题.
例5 一船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向行驶.
(1) 多长时间后,船距灯塔最近
(2) 多长时间后,船到灯塔的正北方向 此时船距灯塔有多远 (其中:162-82≈13.92)
分析 最近距离就是点C到船航线AB的垂线段的长度,所以构造出直角三角形,再运用勾股定理及逆定理即可.
解: (1)如图18-75所示,
由题意可知,当船航行到D点时,距灯塔最近,
此时,CD⊥AB.
因为∠BAC=90°-30°=60°,所以∠ACD=30°.
所以AD==4(海里).
又因为4÷20=0.2(小时)=12(分),
所以12分后,船距灯塔最近.
(2)当船到达灯塔的正北方向的B点时, BC⊥AC.
此时∠B=30°,
所以AB=2AC=2×8=16(海里).
所以16÷20=0.8(小时)=48(分).
所以BC2=AB2-AC2=162-82≈13. 92.
所以BC≈13.9(海里).
所以48分钟后,船到达灯塔的正北方向,此时船距灯塔约13.9海里.
【解题策略】在运用勾股定理及其逆定理时,一定要区别它们各自的适用条件,不要混淆.
例6 如图18-76所示,如果电梯的长、宽、高分别是1.2 m,1.2 m,2.1 m,那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少？
分析 所放竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度，利用勾股定理即可求解.
解：连接AB，BC，在Rt△ABC中，
BC2=1.22+1.22=2.88,AC2=2.12=4.41,
∴AB2=BC2+AC2=2.88+4.41=7.29.
∴AB=2.7 m.
∴能放入电梯内的竹竿的最大长度是2.7 m.
例7 有一圆柱形油罐，如图18-77(1)所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点正上方B点，则梯子最短需多少米？（已知油罐口的周长是12 m，高AB是5 m）
分析 把圆住体沿AB剪开，平铺在平面上，就会得到矩形ABB′A′，对角线AB′就是梯子的长度，如图18-77（2）所示.
解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平，则ABB′A′为长方形
AB=A′B′=5 m,AA′=BB′=12 m,∠BAA′=∠A′=∠A′B′B=90°,
因此沿AB′建梯子,材料最省,梯子最短.
在Rt△AA′B′中,AB′==13(m).
答:梯子最短需13 m.
2011中考真题精选
1. （2011内蒙古呼和浩特，9，3）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
考点：勾股定理 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．
解答：解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，
∴DF=CB=1，BF=2+2=4，
∴BD=．故选B．
点评：本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．
2. （2011四川达州，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（　　）
A、5 B、4
C、3 D、2
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：计算题。
分析：连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．
解答：解：连接OC
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 CD，
∵CD=8，∴CE=4，
∵AB=10，
∴由勾股定理得，OE==3．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的做法，是重点知识，要熟练掌握．
3. （2011四川攀枝花，5，3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF=（　　）
A、3 B、4 C、5 D、6
考点：三角形中位线定理；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据三角形的中位线定理的数量关系“三角形的中位线等于第三边的一半”，进行计算．
解答：解：∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC==6，∵点E、F分别为AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，EF=BC=×6=3．故选A．
点评：此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．
4.（2011四川遂宁，7，4分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积是（　　）
A、10 B、20 C、6+4 D、12+8
考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，证平行四边形AEFD和Rt△AEB≌Rt△DFC，推出AD=EF=3，AE=DF，BE=CF，求出∠BAE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE、CF，根据勾股定理求出AE，即可求出答案．
解答：解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF=3，AE=DF，
∵∠B=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=2，
∵∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，AB=CD，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC，
∴BE=CF=2， BC=2+2+3=7，
由勾股定理得：AE==2，
∴梯形的面积=×（AD+BC）×AE=×（3+7）×2=10，故选A．
点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出AE和BC的长是解此题的关键．
5. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A．　　 B． 　　C．　　 D．
考点：几何体的表面积 ( javascript:void(0) )；勾股定理 ( javascript:void(0) )；简单几何体的三视图 ( javascript:void(0) )．
分析：根据三视图图形得出AC＝BC＝3，EC＝4，即可求出这个长方体的表面积．
解答：解：∵如图所示，∴AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴正方形ABCD面积为：3×3＝9，
侧面积为：4AC·CE＝3×4×4＝48，
∴这个长方体的表面积为：48＋9＋9＝66．
故选A．
点评：此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键
6. （2011 台湾28，4分）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（　　）
A、100 B、180 C、220 D、260
考点：勾股定理的应用。
专题：数形结合。
分析：根据题意，画出图形，先设AE的长是x公尺，如图可得，BC=160公尺，AB=340公尺，利用勾股定理，可解答．
解答：解：设阿虎向西直走了x公尺，如图，
由题意可得，AB=340，AC=x+80，BC=80，
利用勾股定理得，（x+80）2+1602=3402，
整理得，x2+160x﹣83600=0，
x1=220，x2=﹣380（舍去），
∴阿虎向西直走了220公尺．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理的应用，解答关键是根据题意画出图形，运用数形结合的思想，可直观解答．
7. ( cm )（2011台湾，15，4分）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（　　）
( http: / / www.m / )
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）。
专题：数形结合。
分析：先根据题意画出示意图，根据轴对称的性质可以得出一些线段的长度，进而根据相似三角形的性质可解得BF的长．
解答：解：由题意得：EE'＝EC＝AD＝3，
∴BE'＝BC－E'E－EC＝3，
∴AB＝＝10，
又∵△BE'F∽△BEA，
∴，
∴BF＝5．
故选B．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查勾股定理及梯形的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握翻折后的对应线段相等，另外还要注意掌握相似三角形的对应边成比例的应用．
8. （2011新疆乌鲁木齐，9，4）如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，则此梯形的面积为（　　）
( http: / / www.m / )
A、2 B、1＋ C、 D、2＋ QUOTE EMBED Equation.3
考点：等腰梯形的性质；垂线；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。
专题：计算题。
分析：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出∠ABC＝∠DCB，证△ABC≌△DCB，推出∠DBC＝∠ACB，求出∠DBC＝∠ACB＝45°，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积．
解答：解：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，
∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB，
∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC＝∠ACB，
∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝45°，∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，∴OF＝BF＝CF＝BC＝，由勾股定理得：OB＝，
∵∠BAC＝60°，∴∠ABO＝30°，由勾股定理得：OA＝1，AB＝2，
同法可求OD＝OA＝1，AD＝，OE＝，
S梯形ABCD＝ QUOTE EMBED Equation.3 （AD＋BC） EF＝ QUOTE EMBED Equation.3 ×（）×（ QUOTE EMBED Equation.3 ＋ QUOTE EMBED Equation.3 ）＝2＋
故答案为：2＋ QUOTE EMBED Equation.3 ．
点评：本题主要考察对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
9. （2011湖北潜江，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（　　）
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A． B． C． D．
考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理。
专题：网格型。
分析：求弧AC的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA，利用弧长公式求解．
解答：解：连接OC，由图形可知OA⊥OC，
即∠AOC＝90°，
由勾股定理，得OA＝＝，
∴弧AC的长＝＝．
故选D．
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点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝．
10. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）
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A、2 B、
C、 D、
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：常规题型。
分析：根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：邻边列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC===2，
∴tan∠CAD===2．
故选A．
点评：本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键．
11. （2011 贵港）如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）
( http: / / www.m / )
A、 B、
C、1 D、1.5
考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
专题：推理填空题。
分析：先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：解：∵AB=，BC=2，
∴AC==，
∴AO=AC=，
∵EO⊥AC，
∴∠AOE=∠ADC=90°，
又∵∠EAO=∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴=，
即=，
解得AE=1.5．
故选D．
点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
12. （2011 青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A、20 B、14
C、28 D、24
考点：菱形的性质；勾股定理。
专题：计算题。
分析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
解答：解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20，
故选A．
点评：本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．已知四个三角形分别满足下列条件：
①一个内角等于另两个内角之和；
②三个内角度数之比为3：4：5；
③三边长分别为7，24，25；
④三边长之比为5：12：13.
其中直角三角形有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2．将直角三角形的三边长都扩大相同的倍数后,得到的三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上都有可能
3．如图18-78所示,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片,使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为 ( )
A.1 B. C. D.2
4．已知△ABC的三边长分别为18,24,30,则最长边上的中线长为 ( )
A.12 B.13 C.18 D.15
5．如果a=3m,b=4m-1,c=2-5m,且a2+b2=c2,那么m的值是 ( )
A.2 B. C. D.
6.如图18-79所示,半圆Ⅰ和半圆Ⅱ的面积之和等于半圆Ⅲ的面积,那么△ABC是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定
7.如图18-80所示,在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=10,若以C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长为 ( )
A.5 B.5 C.5 D.6
8.若直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍,则这个三角形有一个锐角是( )
A.15° B.30° C.45° D.75°
9.在△ABC中,AB=12 cm,AC=9 cm,BC=15 cm,则△ABC的面积为 ( )
A.108 cm2 B.54 cm2 C.180 cm2 D.90 cm2
10.设△ABC的三边长依次为a,b,c,且满足a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0,则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
11.若直角三角形两直角边长的比是3:4,斜边长是20,则斜边上的高是______.
12.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则这个三角形是_______三角形,它的面积为_______.
13.在Rt△ABC中,若斜边AB=2,则AB2+BC2+CA2=_________.
14.在△ABC中,a,b,c为∠A,∠B,∠C的对边长.
(1)如果(a+c)(a-c)=b2,那么________=90°;
(2)如果(a+c) 2=2ac+b2,那么________=90°.
15.在△ABC中,∠C=90°,c=13,面积为30,那么a+b=______.
16.在△ABC中,已知a2=b2=c2,则∠B=_______.
17.如图18-81所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别为,,则+=_______.
18. 如图18-82所示,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3.折叠该纸片,使点A与点B重合,折痕与AB,AC分别相交于点D和点E,折痕DE的长为_______.
19.如图18-83所示,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,已知阴影部分为一半圆,则阴影部分的面积是_______.
三、解答题
20.如图18-84所示,△ABC中,∠C=90°,MD是AB的垂直平分线,交BC于D,交AB于M,BD=8 cm,∠ADC=30°,求AD,AC的长.
21.一个梯子斜靠在某建筑物上,如果梯子的底端离建筑物9米,梯子可以达到的高度是12米,求梯子的长度.
22.在平静的湖面上有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,花朵被风吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,则这里水深多少米
23.如图18-85所示的是由5个边长为1的正方形组成的图形.
(1)求的值;
(2)从(1)中寻找规律,当有10个正方形时,求的值;
(3)当有n个正方形时,求的值.
24.如图18-86所示,A,B两点都与平面镜相距4米,且A,B两点相距6米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点,求B点与入射点的距离.
25.如图18-87所示,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°, ∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=3m,求点B到地面的垂直距离.
26.如图18-88所示的是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1) 画出拼成的这个图形的示意图;
(2) 证明勾股定理.
参考答案
1.C[提示:①∠A=∠B+∠C,由∠A+∠B+∠C=180 °,得2∠C=180°,所以∠A=90°,它是直角三角形;②三个内角度数之比为3:4:5,则这三个内角分别为45°,60°,75°,它是锐角三角形;③④可由勾股定理的逆定理判定是直角三角形.因此①③④是直角三角形.]
2.A[提示:三角形三边长都扩大相同的倍数,不会影响三角形的形状,另外, 由勾股定理及其逆定理也可以作出判定.]
3.C[提示:由折叠可知AD=A′D=3,AG=A′G,∠A=∠DA′G,在Rt△ABD中,由勾股定理BD=5,设AG=A′G=x,在Rt△A′BG中,x2+22=(4-x),解得x=,即AG=.]
4.D[提示:根据已知三边可由勾股定理的逆定理判定它是直角三角形,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得.]
5.D[提示:由题意可知(3m) 2+(4m-1) 2=(2-5m) 2,所以m=]
6.A[提示:,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°.]
7.A[提示:连接CD,则CD=AB=5,所以BC=CD=5,所以AC=.]
8.C[提示:由已知可得c2=2ab,由勾股定理得c2=a2+b2,所以a2+b2=2ab,所以(a-b) 2=0,所以a=b,因此这个三角形为等腰直角三角形,锐角为45°.]
9.B
10.A[提示:因为a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0,所以(a+b)(a2+b2-c2)=0又因为a+b≠0,所以a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.]
11.9.6[提示:由题意可设两直角边长分别为3x,4x,斜边上的高为y,则由勾股定理,得(3x) 2+(4x) 2=202,所以x=4,所以两直角边长分别为12和16.再由面积得,所以y==9.6.]
12.直角 6 [提示:将等式进行变形,得(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0,从而确定a=3,b=4,c=5,再利用勾股定理的逆定理判定出三角形为直角三角形,进而求出这个直角三角形的面积.]
13.8[提示:在直角三角形中,由勾股定理得BC2+AC2=AB2,所以AB2+BC2+CA2=2AB2=2×22=8.]
14.(1)∠A (2)∠B[提示:(1)因为(a+c)(a-c)=b2,所以 a2-c2=b2,即a2=b2+c2.(2)原式化简得a2+c2=b2.]
15.17[提示:设两直角边长为a,b,则ab=30,且a2+b2=132,所以(a+b) 2-2ab=169,所以(a+b) 2=169+120,所以(a+b) 2=289,所以a+b=17.]
16.60°[提示:由题意可知b2=3a2,c2=4a2,所以a2+b2=c2,所以△ABC一定是直角三角形,且∠C=90°,又因为a=,所以,所以∠A=30°,所以∠B=60°.]
17.2π[提示:在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,由勾股定理得AC2+BC2=AB2=16,∵AB,BC分别为两个半圆的直径,∴.]
18.1[提示:在Rt△ABC中, ∠A=30°,则AB=2BC,设BC=x,则AB=2x,在Rt△ABC中, 根据勾股定理,得(2x) 2=x2+32,所以x=,因为△ADE与△BDE关于DE对称,所以AE=BE.设CE=y,则AE=BE=3-y,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BE2=BC2+CE2,即(3-y) 2=,解得y=1,则AE=3-1=2. 在Rt△ADE中, ∠A=30°,所以DE=.]
19.[提示:由勾股定理,得BC==6,所以阴影部分的面积为.]
20.解:因为MD是AB的垂直平分线,且BD=8 cm,所以DB=DA=8 cm,又因为∠C=90°, ∠ADC=30°,所以AC==4(cm).所以AD=8 cm,AC=4 cm.
21.解:如图18-89所示,AC=12,BC=9, ∠C=90°,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.所以AB2=122+92=225.所以AB=15.所以梯子的长度为15米.
22.解:如图18-90所示,设A点是无风时红莲花朵的位置,B点为莲花枝与水面的交点,C点是红莲的根部,花朵被风吹到齐水面的D点,由已知得AB=1米,BD=2米,AC⊥BD,设水深BC=x米,则DC=AC=(1+x)米,由勾股定理,得BC2+BD2=CD2,即x2+22=(x+1) 2.解得x=1.5.答:水深为1.5米.
23.解:(1)=1+1=2.=5.
(2)由(1)可推断.当有10个正方形时,.
24.解:作出点B关于CD的对称点B′,连接AB′交CD于点O,则点O就是光线的入射点.因为AC=BD,∠ACO=∠BDO=90°,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD(AAS),所以OC=OD==3(米).在Rt△BOD中,OD2+BD2=OB2,所以OB2=32+42=25,所以OB=5米,答:B点与入射点的距离是5米.
25.提示:这是考查勾股定理及特殊直角三角形性质问题.首先在Rt△ADE中求出AD,又因为AD=AB,再在Rt△ABC中求出BC即可.解:在Rt△ADE中, ∠E=90°, ∠DAE=45°,所以∠ADE=45°,所以ED=EA.又因为ED=m,所以EA=m.由勾股定理,得AD2=DE2+EA2,所以AD2=()2+()2=36.所以AD=6 m.又因为AB=AD,所以AB=6 m.在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠BAC=60°,所以∠ABC=30°,所以AC==3(m),再由勾股定理,得BC2=AB2-AC2.所以BC2=62-32=27,所以BC=m.答:点B到地面的垂直距离是m.
26.(1)解:如图18-91所示. (2)证明:①∵大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,∴,∴,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②∵大正方形的面积表示为,又可表示为,∴,,∴.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形
勾股定理
拼图法验证
应用
勾股定理的逆定理
判断直角三角形
勾股数
应用
左视图
主视图
4
俯视图第十七章 反比例函数
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容是反比例函数的概念和图象，确定反比例函数的解析式.通过本章的学习掌握相关的知识，同时养成数形结合的思考形式和思考方法，代数式、方程、函数、图形、直角坐标系结合起来进行思考，互相解释、互相补充，对于整个中学数学的学习，愈往后，愈显出其重要性，通过本章的学习，要为数形结合能力打下良好的基础.培养学生的应用意识．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具.教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通.
【本章难点】本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力．
知识网络结构图
专题总结及应用
专题1 反比例函数的概念
【专题解读】函数(k≠0)叫做反比例函数，也可以写成xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）,它的自变量的取值范围是x≠0的所有实数，因为反比例函数(k≠0)只有一个常数k，所以求反比例函数表达式也就是求k，要注意两点：（1）(k≠0)；若写成y=kx-1是，x的指数是-1.
例1 判断下列各式是否表示y是x的反比例函数，若是，指出比例系数k的值；若不是，指出是什么函数.
（1） （2）
（3） （4）
（5）
分析 判断y是否是x的反比例函数，关键是根据的比例函数的定义，观察两个变量x，y之间能否写成（k为常数，k≠0）的形式.
解：（1）是反比例函数，k=-8.
（2）可写成是反比例函数，
（3）不是反比例函数，是一次函数.
（4）不是反比例函数，是正比例函数.
（5）可写成是反比例函数
例2 根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数.
（1）面积为常数m的长方形的长y与宽x之间的关系；
（2）一本500页的书，每天看15页，x天后尚未看完的页数y与天数x之间的关系.
解：（1）（m是常数，x＞0）,是反比例函数.
（2）y=500-15x，是一次函数.
【解题策略】 解答此题首先要熟练掌握一次函数与反比例函数的定义.
专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系
【专题解读】 反比例函数的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k的关系有如下两种情况：
（1）双曲线的两个分支在第一、三象限在第一象限内，y随x的增大而减小.
（2）双曲线的两个分支在第二、四象限在第一象限内，y随x的增大而增大.
例3 函数与在同一坐标系中的图象可能是（如图17-36所示）
分析 分两种情况来考虑a的正负情况：
①当a＞0时，函数的图象在第一、二、四象限，函数的图象在第二、四象限，因此A项正确.
②当a＜0时，函数的图象在第一、三、四象限，函数的图象在第一、三象限，四个选项中没有适合的.
答案：A
【解题策略】 解答本题也可以从选项出发来考虑a的情况.例如A项，由函数的可判断a＞0，由函数的图象可判断a＞0，由此可判断A项正确,再例如B项，由函数的增减性质可判断-a＜0，即a＞0，但由函数的图象与y轴的交点位置可判断a＜0，与前面得到的a＞0相矛盾，故B不正确，类似地，也可判断C，D两个选项不正确.
专题3 反反函数的图象
【专题解读】 如图17-37所示，若点A（x，y）为反比例函数图象上的任意一点，过A作AB⊥x轴于B，作AC⊥y轴于C，则S△AOB=S△AOC=S矩形ABOC=.
例4 如图17-38所示，点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线于点Q，连续OQ，当点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积 （ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．保持不变 D．无法确定
分析 过Q作QA⊥y轴，交y轴于点A，则S△OPQ= S矩形AOPQ=所以S△OPQ是一个定值，即保持不变.
答案：C
【解题策略】 掌握比例系数k的几何意义，即|k|= S矩形AOPQ=2 S△OPQ是这类问题的解题关键.
例5 如图17-39所示，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 .
分析 由题意及图象可知，三个长方形的长都为1，设
代入可求得
答案：
专题4 反比例函数与一次函数的综合应用
【专题解读】 主要考查反比例函数与一次函数的概念、图象、性质，以及用待定系烽法求出函数解析式，已知函数图象确定比例系数或变化范围等知识.
例6 已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是（-3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式.
分析 因为点（-3，4）是反比例函数和一次函数的图象的一个交点，所以把（-3，4）代入中即可求出反比例函数的表达式.欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数m，n，书籍一个眯（-3，4），只需再求一个一次函数图象上的点即可.由2由一次函数图象与x轴的交点到的点的距离是5，则这个交点坐标为（-5，0）或（5，0）分类讨论即可求得一次函数的解析式.
解：因为函数的图象经过点（-3，4），
所以所以k=-12.
所以反比例函数的表达式是
由题意可知，一次函数的图象与x轴的交点坐标为（5，0）或（-5，0），则分两种尾部讨论：
当直线经过点（-3，4）和（5，0）时，
有解得
所以
当直线经过点（-3，4）和（-5，0）时，
有解得
所以
所以所求反比例函数的表达式为一次函数的表达式为或
例7 已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）经过点A的正比例函数的图象与反比例函数的图象还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.
分析 （1）利用点A（-2，3）求出反比例函数的表达式.（2）利用点A（-2，3）求出正比例函数的表达式，由两个函数关系式组成方程组，即可求出两图象的交点坐标，从而得到两个函数图象的另一个交点坐标.
解：（1）因为点A（-2，3）在反比例函数上.
所以所以k=-6,
所以反比例函数的表达式为
（2）有，理由如下：
因为正比例函数的图象经过点A（-2，3），
所以，所以
所以正比例函数的表达式为
则解得或
所以正比例函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（2，-3）.
例8 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标是3，点B的纵坐标是-3.
（1）求一次函数的表达式；
（2）当一次函数值小于0时，求x的取值范围.
分析 （1）首先由A，B两点在反比例函数图象上可求出A，B两点坐标，再用待定系数法求出k，b，进而得到一次函数的解析式.（2）令的值y＜0，求出x的取值范围.
解：因为A，B两点为两函数图象的交点，
所以点A，B在反比例函数的图象上.
当x=3时，当y=-3时，所以x=-2.
所以A（3，2），B（-2，-3）.
把A（3，2），B（-2，-3）代入中，
得解得
所以一次函数的表达式是y=x-1.
（2）令y＜0得x=1＜0，所以x＜1.
所以当函数值小于0时，x的取值范围是x＜1.
专题5 反比例函数的实际应用
例9由物理学知识知道，在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向发生位移s（m），力F所做的功W（J）满足当W为定值时，F与s之间的函数图象如图17-42所示.
（1）力F所做的功是多少？
（2）试确定F与s之间的函数表达式；
（3）当F= 4 N时，s是多少？
解：（1）因为
把（2，7.5）代入得W=7.2×5=15（J）.
（2）
（3）当F= 4 N时，m.
【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用的一种，在解决有关函数问题时起着重要的作用.
2011中考真题精选
一、选择题
1. 如果反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是 y=- ．
考点：待定系数法求反比例函数解析式 ( javascript:void(0) )．
专题：待定系数法 ( javascript:void(0) )．
分析：根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等．
解答：解：把（-1，2）代入反比例函数关系式得：k=-2，
∴y=- ，
故答案为：y=- ，
点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
2. （2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：函数思想。
分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上．
解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，
∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项； A、（﹣3）×2=6，故本选项正确； B、3×2=6，故本选项错误； C、2×3=6，故本选项错误； D、6×1=6，故本选项错误；
故选A．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3. （2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（　　）
A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
解答：解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝6．
故选C．
点评：本题主要考查了反比例函数 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
4. （2010 吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
( http: / / www.m / )
A、﹣1 B、
C、1 D、2
考点：反比例函数的图象。
分析：根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．
解答：解：∵反比例函数在第一象限，
∴k＞0，
∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，
∴k＜1，
故选B．
点评：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
5. （2011辽宁阜新,6,3分）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　）
( http: / / www.m / )
A. B.2 C.3 D.1
考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：探究型。
分析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．
解答：解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，
∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=．
故选A．
( http: / / www.m / )
点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
6 （2011福建省漳州市，9,3分）如图，P（x，y）是反比例函数y=的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（　　）
A、不变 B、增大
C、减小 D、无法确定
考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：计算题。
分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
解答：解：依题意有矩形OAPB的面积=2×|k|=3，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
故选A．
点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
7. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 玉林，11，3分）如图，是反比例函数y=和y=（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=2，则k2﹣k1的值是（　　）
A、1 B、2 C、4 D、8
考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到K1=ab，K2=cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab=4，即可得出答案．
解答：解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：K1=ab，K2=cd，
∵S△AOB=2，
∴cd﹣ QUOTE EMBED Equation.3 ab=2，
∴cd﹣ab=4，
∴K2﹣K1=4，
故选C．
点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab=4是解此题的关键．
8. （2011 铜仁地区8,3分）反比例函数y=（k＜0）的大致图象是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：反比例函数的图象。
专题：图表型。
分析：根据反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
解答：解：当k＜0时，反比例函数y= QUOTE EMBED Equation.3 的图象在二、四象限．
故选B．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
9. （2011广西防城港 11，3分）如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2－k1的值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积
专题：反比例函数
分析：设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd－ab＝4，即可得出答案，也就是cd－ab＝2，从而k2－k1＝4，故选C．
解答：C
点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd－ab＝4是解此题的关键．
二、填空题
1.（2011 湖南张家界，13，3）如图，点P是反比例函数图象上的一点，则矩形PEOF的面积是　 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：计算题。
分析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值
解答：解：∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴S=|k|=6．
故答案为：6．
点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
2.已知反比例函数 y=的图象经过点（3，-4），则这个函数的解析式为
y=- ．
考点：待定系数法求反比例函数解析式 ( javascript:void(0) )．
分析：根据待定系数法，把点（3，-4）代入y= 中，即可得到k的值，也就得到了答案．
解答：解：∵图象经过点（3，-4），
∴k=xy=3×（-4）=-12，
∴这个函数的解析式为：y=- ．
故答案为：y=- ．
点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点，此题比较简单，1. （2011云南保山，14，3分）如图，已知OA=6，∠AOB=30°，则经过点A的反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
分析：首先根据直角三角形的性质求出AC=3，再根据勾股定理求出OC的长，从而得到A点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
解答：解：∵∠AOB=30°，
∴，
∵OA=6，
∴AC=3，
在Rt△ACO中，
OC2=AO2﹣AC2，
∴，
∴A点坐标是：，
设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴反比例函数解析式为．
故选B．
点评：此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，做题的关键是根据勾股定理求出A点的坐标．
一、选择题
1. （2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2
考点：反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合。
分析：先根据反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出答案．
解答：解：∵反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），
∴由函数图象可知，x＜﹣1时，﹣2＜y＜0，
∴当x＞1时，0＜y＜2．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数的性质及其图象，能利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围是解答此题的关键．
2. （2011江苏连云港，4，3分）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称
考点：反比例函数的性质；轴对称图形；中心对称图形。
专题：推理填空题。
分析：把（1，1）代入得到左边≠右边；k=4＞0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．
解答：解：A、把（1，1）代入得：左边≠右边，故本选项错误；B、k=4＞0，图象在第一、三象限，故本选项错误； C、沿X轴对折不重合，故本选项错误； D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；
故选D．
点评：本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
3. （2011盐城，6，3分）对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　 　）
A.图象经过点（1，﹣1） B.图象位于第二、四象限
C.图象是中心对称图形 D.当x＜0时，y随x的增大而增大
考点：反比例函数的性质.
专题：探究型.
分析：根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、∵1×（﹣1）=﹣1≠1，∴点（1，﹣1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误；B、∵k=1＞0，∴反比例函数y=的图象在一、三象限，故本选项错误；C、∵函数y=是反比例函数，∴此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确；D、∵k=1＞0，∴此函数在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误．故选C．
点评：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键，即反比例函数的性质：
（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4. （2011新疆建设兵团，7，5分）如图，l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）．l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（　　）
A、y＝ QUOTE eq \f(2,x)（x＜0） B、y＝（x＞0） C、y＝﹣ QUOTE eq \f(2,x)（x＜0） D、y＝﹣ QUOTE eq \f(2,x)（x＞0）
考点：反比例函数的性质．
分析：因为l1关于x轴对称的图象为l2，因此可知道A关于x轴的对称点A′在l2的函数图象上，从而可求出解析式．
解答：解：A（1，2）关于x轴的对称点为（1，﹣2）．
所以l2的解析式为：y＝﹣，
因为l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，
所以x＞0．
故选D．
点评：本题考查反比例函数的性质，知道一点可以确定函数式，因此根据对称找到反比例函数上的点，从而求出解．
5. ( cm )（2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：图表型。
分析：根据题意有：xy=3；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C．
解答：解：∵xy=3，
∴y=（x＞0，y＞0）．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
6. （2010 吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
( http: / / www.m / )
A、﹣1 B、
C、1 D、2
考点：反比例函数的图象。
分析：根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．
解答：解：∵反比例函数在第一象限，
∴k＞0，
∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，
∴k＜1，
故选B．
点评：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
7. （2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2
考点：反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合。
分析：先根据反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出答案．
解答：解：∵反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），
∴由函数图象可知，x＜﹣1时，﹣2＜y＜0，
∴当x＞1时，0＜y＜2．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数的性质及其图象，能利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围是解答此题的关键．
8. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011年山东省威海市，5，3分）下列各点中，在函数图象上的是（　　）
A、（–2，–4） B、（2，3） C、（–6，1） D、（– ，3）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据函数，得到–6=xy，只要把点的坐标代入上式成立即可．
解答：解：∵函数，
∴–6=xy，
只要把点的坐标代入上式成立即可，
把答案A、B、D的坐标代入都不成立，只有C成立．
故选C．
点评：本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键．
9. （2011 南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，则v是t的反比例函数，且t＞0．
解答：解：∵v= QUOTE QUOTE EMBED Equation.DSMT4 （t＞0），
∴v是t的反比例函数，
故选B．
点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数．
10.（2011辽宁沈阳，4，3）下列各点中，在反比例函数图象上的是（　　）
A、（－1，8） B、（－2，4） C、（1，7） D、（2，4）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：由于反比例函数y＝中，k＝xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
解答：解：A、∵－1×8＝－8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵－2×4＝－8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7＝7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4＝8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
故选D．
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
11.（2011辽宁本溪，7，3分）反比例函数 的图象如图所示，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
考点：反比例函数图象上点的坐标特征
专题：计算题
分析：由反比例函数图象可知，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大，由此进行判断．
解答 解：由反比例函数的增减性可知，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2＞0时，则0＞y1＞y2，
又C（x3，y3）在第二象限，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3，故选B．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是根据反比例函数的增减性解题．
4.（2011辽宁沈阳，4，3分）一元二次方程的根（ ）
A．（﹣1，8） B．（﹣2，4）
C．（1，7） D．（2，4）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：由于反比例函数中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
解答：解：A、∵﹣1×8=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵﹣2×4=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
故选D．
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
12. （2011福建福州，4，4分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（　　）
( http: / / www.m / )
A．y=x2 B． C． D．
考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象；二次函数的图象．
分析：根据图象知是双曲线，知是反比例函数，根据在一三象限，知k＞0，即可选出答案．
解答：解：根据图象可知：函数是反比例函数，且k＞0，答案B的k=4＞0，符合条件，故选B．
点评：本题主要考查对反比例函数的图象，二次函数的图象，正比例函数的图象等知识点的理解和掌握，能熟练地掌握反比例的函数的图象是解此题的关键．
13. （2011福建省三明市，8,4分）下列4个点，不在反比例函数y=﹣图象上的是（　　）
A、（2，﹣3） B、（﹣3，2）
C、（3，﹣2） D、（3，2）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
分析：根据y=﹣得k=xy=﹣6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣6，就在函数图象上．
解答：解：原式可化为：xy=﹣6，
A、2×（﹣3）=﹣6，符合条件；
B、（﹣3）×2=﹣6，符合条件；
C、3×（﹣2）=﹣6，符合条件；
D、3×2=6，不符合条件．
故选D．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
14. ( cm )（2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
分析：利用待定系数法，设 y=，然后将点M（-2，1）代入求出待定系数即可．
解答：设反比例函数的解析式为 y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（-2，1），得k=-2，∴反比例函数解析式为．故选B．
点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．利用待定系数法是求解析式时常用的方法．
一、选择题
1. （2011 泰州，5，3分）某公司计划新建一个容积V（m3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、. ( http: / / www.m / )
C、. ( http: / / www.m / ) D、. ( http: / / www.m / )
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答．注意深度h（m）的取值范围．
解答：解：根据题意可知：，
依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．
故选C．
点评：主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；
当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
2. （2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：图表型。
分析：根据题意有：xy=3；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C．
解答：解：∵xy=3，
∴y=（x＞0，y＞0）．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
3. （2011黑龙江大庆，4，3分）若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系的是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )C、 ( http: / / www.m / )D、 ( http: / / www.m / )
考点：圆锥的计算；反比例函数的图象；反比例函数的应用。
专题：应用题。
分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可．
解答：解：由圆锥侧面积公式可得l=，属于反比例函数．
故选D．
点评：本题考查了圆锥的计算及反比例函数的应用的知识，解决本题的关键是利用圆锥的侧面积公式得到圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系．
4. （2011 南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（　　）
A、 ( http: / / www.m / ) B、 ( http: / / www.m / )
C、 ( http: / / www.m / ) D、 ( http: / / www.m / )
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，则v是t的反比例函数，且t＞0．
解答：解：∵v= QUOTE QUOTE EMBED Equation.DSMT4 （t＞0），
∴v是t的反比例函数，
故选B．
点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数．
二、解答题
1. （2011 河池）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表：
( http: / / www.m / ) ( http: / / www.m / )
（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少cm？
（4）当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？
考点：反比例函数的应用。
专题：跨学科。
分析：（1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；
（2）观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的的关系式；
（2）把y=24代入解析式求解，可得答案；
（4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．
解答：解：（1）如图所示：
( http: / / www.m / )
（2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设（k≠0），
把x=10，y=30代入得：k=300，
∴，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：．
（3）把y=24代入得：x=12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
（4）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
∴应添加砝码．
点评：此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
2. （2011 郴州）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；
（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
考点：反比例函数的应用。
专题：应用题。
分析：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，后根据题意代入求出k1和k2即可；
（2）当y=0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可．
解答：解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，
将和分别代入两个关系式得：
1.5=，2=，解得：k1=1.5，k2=2．
∴小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是．
（2）把y=0.5分别代入两个函数得：
=0.5，=0.5，
解得：x1=3，x2=4，
10×3=30（升），5×4=20（升）．
答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．
点评：本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意正确列出函数关系式是解题的关键．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．拖拉机开始工作时，油箱中有油40 L.如果每小时耗油5 L，那么工作时，油箱中余油量Q（L）与工作时间t（h）的函数关系图象为（如图17-43所示） （ ）
2．如图17-44所示，在直解坐标系中一次函数y=6-x与反比例函数的图象相交于点A，B.设点A的坐标为（x1，y1），那么长为x1、宽为y1的矩形的面积和周长分别为 （ ）
A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，6
3．函数的图象是（如图17-45所示） （ ）
4．如图17-46所示，某个反比例函数的图象经过点P，它的函数表达式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．若矩形面积S为为定值，矩形的长为a，宽为b，则b关于a的函数关系图象大致是（如图17-47所示） （ ）
6．函数(k≠0)的图象如图17-48所示，那么函数的图象大致是（如图17-49所示） （ ）
7．反比例函数的图象如图17-50所示，随着x值的增大，y值 （ ）
A．增大
B．减小
C．不变
D．先减小后增大
8．如图17-51所示，正比例函数y=x的图象与反比例函数的图象相交于A，C两，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为 （ ）
A．1
B．
C．2
D．
9．反比例函数的图象位于 （ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
10．在反比例函数的图象上有两点且，则的值为 （ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的表达式为 .
12．若函数的图象经过点（-1，2），则k= .
13．若反比例函数则m= .
14．反比例函数图象的两支分别在第 象限.
15．若是双曲线上的两点，且，则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
16．点A（2，1）在反比例函数的图象上，当1＜x＜4时，y的取值范围是 .
17．若反比例函数经过点（-1，2），则一次函数的图象一定不经过第 象限.
18．点P是反比例函数上的一点，PD⊥x轴于点D，则△POD的面积为 .
19．函数（k是常数且k≠0）的图象经过点A（a，-a），那么k 0（填“＞”“＜”）.
20．反比例函数（m为常数）的图象如图17-52所示，则m的取值范围是 .
三、解答题
21．已知如图17-53中的曲线是反比例函数（m为常数）图象的一支.
（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？
（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式.
22．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）.
（1）求x0的值；
（2）求一次函数及反比例函数的表达式.
23．反比例函数的图象经过点A（2，3）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）试判断点B（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
24．已知关于x的一次函数和反比例函数的图象都经过点（2，m）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点坐标.
25．某气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体的体积V（m3）是反比例函数，其图象如图17-54所示.
（1）写出这一函数的表达式；
（2）当气体体积为1 m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为安全起见，气球的体积应大于多少？
26．如图17-55所示，A，B两点在函数的图象上.
（1）求m的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.
27．如图17-56所示，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（3，2）.
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m,n）是反比例函数图象上的一动点，其中过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线段MB与DM的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．C[提示：Q=40-5t,0≤t≤8.]
2．A[提示：联立和求交点，得到A点坐标.]
3．D[提示：图象在第一、三象限.]
4．D[提示：图象经过（-1，1），代入中，得]
5．C[提示：当面积S为定值时，有且有]
6．C[提示：由图象知所以一次函数的]
7．B
8．C[提示：由方程组得所以A（1，1），C（-1，-1）.因为AB⊥x轴，CD⊥x轴，AB=CD=1，所以ABCD.所以四边形ABCD是平行四边形，且B（1，0），D（-1，0）.所以S□ABCD=2·S△ABD=·BD·AB=BD·AB=2×1=2.]
9．D[提示：由可知k=-2，由反比例函数的性质可知，反比例函数图象在第二、四象限.]
10．A[提示：欲判断的值的情况，只需判断y1与y2的大小关即可.由可知，这个反比例函数的图象在第二、四象限，由反比例函数的图象与性质可知，在反比例函数图象的每一个分支上，y随x的增大而增大，又因为所以
均在第四象限分支上，所以，即]
11．[提示：是整数，所以m=4，所以点A的坐标为（-1，1）.]
12．-2 13．-1 14．一、三 15．＜ 16． 17．四
18．1[提示：设P点坐标为，则有S△POD=]
19．＜
20．[提示：由反比例函数图象可知解得]
21．提示：双曲线是成对出现的.k＞0时，在第一、三象限；k＜0时，在第二、四象限.解：（1）这个反比例函数图象的另一支在第三象限.因为这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，所以解得m＞5.（2）如图17-57所示，由第一象限内的点A在正比例函数y=2x的图象上，设点A的坐标为，则点B的坐标为S△OAB=4，·解得（负值舍去）.∴点A的坐标为（2，4）.又∵点A在反比例函数的图象上，∴即
22．解：（1）因为点在一次函数的图象上，所以即m=3-x0,① 又因为点在反比例函数的图象上，所以所以② 由①②可知（2）由（1）得所以一次函数的表达式为y=x+2,反比例函数的表达式为
23．解：（1）因为点A（2，3）在反比例函数的图象上，所以，所以k=6.所以反比例函数的表达式为（2）点B（1，6）在这个反比例函数的图象上，理由职下：当x=1时, 所以点B（1，6）在这个反比例函数的图象上.
24．提示：（1）由待定系数法求一次函数y=kx+1的解析式，只需求出点（2，m）中的m，而点（2，m）在反比例函数图象上，代入即可求出m，进而求出一次函数的解析式.（2）由（1）和组成方程组，求出两个函数图象的另一个交点坐标.解：（1）由题意可知由②得m=3.把m=3代入①，得3=2k+1，所以k=1，所以一次函数的解析式为y=x+1.（2）由解得或显然，两个函数图象的另一个交点坐标是（-3，-2）.
25．解：（1）设由图象过A（0.8，120），得m=0.8×120=96，即（2）当V=1时，（kPa）.（3）p≤140，由反比例函数关系式得140≥，即V≥所以，为安全起见，气球的体积应大于m3.
26．解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A（1，6），可得m=6.设直线AB的解析式为y=kx+b.∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y=kx+b的图象上，∴解得∴直线AB的解析式为y=-x+7.（2）图17-58中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是3.当x=2时，y=-x+7=5，又3＜4＜5，故（2，4）为阴影部分内的格点.同理可知（3，3），（4，2）也是阴影部分内的格点.故阴影部分（不包括边界）所含格点有（2，4），（3，3），（4，2）三个.
27．解：（1）将A（3，2）分别代入中，得∴反比例函数的表达式为正比例函数的表达式为（2）观察图象，得在第一象限内，0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值.（3）BM=DM.理由：∵S△OMB=∴S矩形OBDC= S四边形OADM + S△OMB + S△OAC=6+3+3=12，即OC·OB=12.∵OC=3，∴OB=4，即n=4，∴
x
y
-2
1
O第四章 图形认识初步
本章小结
小结1 本章内容概览
本章的主要内容是多姿多彩的图形，直线、射线、线段以及角等有关的概念及其性质．其课标要求是：
(1)理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小，并进行计算．
(2)理解角的概念，会比较角的大小，会进行角的度数的计算．
(3)了解互余、互补的概念，理解它们的性质．
小结2 本章重点、难点：
本章的重点是线段和角的概念及其相关的性质；难点是对平面图形的概念及其相关性质的理解．
小结3 本章学法点津
1．要通过直观感知，具体操作、确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象能力．
2．要注意多观察、多分析实物，勤动手操作、勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用．
3．要淡化概念识记、不能机械地套用公式模式，达到“在做中学，在学中做”．
4．要注重“简单说理”推理能力的培养，养成言之有据的良好习惯．
知识网络结构图
重点题型总结及应用
题型一 计算几何图形的数量
1．数直线条数
例1 已知n(n≥2)个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3＝3，S4＝6，S6＝10，…，由此推断，Sn＝ .
答案：
点拨
经过第一个点可以引出(n－1)条直线，经过第二个点可以新引出(n－2)条直线，经过第三个点可以新引出(n－3)条直线，…，所以n个点一共可以引出Sn＝ (n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋1＝条直线．
2．数线段条数
例2 如图4—4—1所示，C、D为线段AB上的任意两点，那么图中共有多少条线段
解：按照从左到右的顺序去数线段条数，以A为一个端点的线段有3条：AC、AD、AB；以C为一个端点的新线段有2条：CD、CB；以D为一个端点的新线段有1条：DB．所以共有线段3＋2＋1＝6(条)．
点拨
线段的条数与线段上固定点(包括线段两个端点)的个数有密切联系，线段上有n
个点(包括线段两个端点)时，共有线段条．
例3 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢 小明通过认真思考得出了答案．为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究：
参加人数 2 3 4 5 …
握手示意图
握手次数 1 2＋1=3 3＋2＋1=6 4＋3＋2＋1=10 …
请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论．
分析：本题研究的是握手次数问题，但可以将此问题转化成研究平面上的点构成线段的条数问题．这里把每个人看作一个点，根据图表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案．
解：若有6人参加，则共握手15次．
结论：若有n(n≥2，且n为整数)人参加，则共握手(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋4＋3＋2＋1＝ (次)．
点拨
解决此类问题的关键是将实际问题抽象转化为平面图形的具体计数问题。再进行探究．
3．数直线分平面的块数
例4 豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块出售．现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块
分析：这三刀可以随意切，不要拘泥于规范、常见切法．从不同的角度下手，得到的小块豆腐的块数可能不同．
解：如图4—4—2所示，能将豆腐切成4块、6块、7块或8块．
点拨
在截一个几何体之前应充分想象截面可能的形状，然后实际操作，在比较想象结果与实际结果的差异的过程中，可以丰富我们的几何直觉，积累数学活动经验，同时培养我们的空间观察能力．
题型二 两角互补、互余定义及其性质的应用
例5 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．
解：设这个角是x°，则它的补角是(180－x)°．
由题意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以这个角是36°．
点拨
本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题．
例6 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°． 答案：A
例7 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论 请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．
解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°．
说明：设任意角是α(0＜α＜90°)，α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，
则 (180°－α)－(90°－α)＝90°.
题型三 角的有关运算
例8 如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数．
解：因为∠AOE＝90°，
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．
又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，
所以∠3＝∠AOD＝76°20′．
所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．
例9 如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．
解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，
所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β
又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON
=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.
例10 (1)用度、分、秒表示54．12°．
(2)32°44′24″等于多少度
(3)计算：133°22′43″÷3．
解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，
所以54．12°=54°7′12″．
(2)因为24″=()′×24＝0．4′，44．4′=()°×44．4=0．74°，
所以32°44′24″=32.74°．
(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3
＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3
=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″.
方法总结
角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．
题型四 钟表的时针与分针夹角问题
例11 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是 度．
解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0．5°×25＝12．5°，所以15：25时钟面上时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12．5°＝47．5°． 答案：47．5
点拨
解决此类问题时要选择恰当的起始时刻，注意时针和分针同时在运动，并牢记时针每分钟转＝o．5=0.5，分针每分钟转＝6°．
题型五 图形的转化
例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )
解析：通过折叠验证四个选项，可得正确答案． 答案：C
点拨
立体图形的平面展开图是沿着立体图形的一些棱将它剪开，把立体图形展开成一个平面图形．一个正方体的平面展开图中，在同一直线上相邻的三个正方形中，首尾两个正方形是正方体中相对的两个面．
例13 如图4—4—6所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应．
解析：按照剪开的形状，找出对应的图形． 答案：M，P，Q，N
题型六 方位角
例14 如图4—4—7所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．
解：如图4—4—8所示，分别以点A、点B为中心建立方位图，表示东北方向的射线 BE与表示北偏东15°方向的射线AD的交点C即为这艘敌舰的位置．
点拨
利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45°．
思想方法归纳
1．分类讨论思想
分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．
例1 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．
解：本题分两种情况：
如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时，
AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；
如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时，
AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．
所以线段AC的长为11 cm或5cm.
例2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )
A．1或3 B．3 C．2 D．1
解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线． 答案：A
2．数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的．
例3 如图4—4—11所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线BC滚动一周，求B点转动的角度．
解：三角板转动的路线如图4—4—12所示．由图可知第一次转动90°，第二次转动 120°，第三次没动，所以B点转动了210°．
点拨
解决本题的关键是明确角的变化情况，因此，可根据题意画出从起点到终点转动一圈的示意图，然后根据图形就很容易确定出B点转动的角度了．
3．转化思想
解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终．
例4 将下列选项中的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到如图4—4—13所示立体图形的是( )
解析：分析立体图形可知，直线l应为初始旋转的直角梯形垂直于两底的腰所在直线． 答案：B
点拨
本题主要考查了同学们识别图形的能力．对于类似的图形识别问题我们要能从所给立体图形入手，分析形成它的基本图形，把复杂的立体图形转化为平面图形去认识、解决．
中考热点聚焦
考点1 线段
考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解．
例1 （2011广东佛山，12，3分）已知线段AB=6，若C为AB中点，则AC=　3　．
考点两点间的距离
分析由题意可知，线段AB=6，C为AB中点，所以，AC=BC，即AC=3；
解答解：如图， ( http: / / www.m / )线段AB=6，C为AB中点，
∴AC=BC，∴AC=3．故答案为：3．
点评本题考查了两点间的距离，牢记两点间的中点到两端点的距离相等．
（2011广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是　 　．
考点：线段的性质：两点之间线段最短．
分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．
解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．
如图4—4—14所示，点A、 B、C是直线l上的三个点，图中共有线段的条数是( )
A．1 B．2 C．3
解析：图中有线段AB、BC、AC． 答案：C
考点2 余角和补角
考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题，只要牢记余角和补角的定义，便能准确求解．
例2 （2011清远，6，3分）已知∠α＝35°，则∠α的余角是（　　）
A.35° B.55° C.65° D.145°
考点：余角和补角.
专题：计算题.
分析：根据互为余角的两个角的和为90度作答．
解答：解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．
点评：本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．
（2011 南通）已知∠α=20°，则∠α的余角等于　70°　．
考点：余角和补角。
分析：若两个角的和为90°，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角α的余角．
解答：解：∵∠α=20°，∴∠α的余角=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．
点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．
（2011福建福州，5，4分）下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是（　　）
A． ( http: / / www.m / ) B． ( http: / / www.m / ) C． D． ( http: / / www.m / )
考点：余角和补角．
分析：根据互补的性质，与70°角互补的角等于180°﹣70°=110°，是个钝角；看下4个答案，哪个符合即可；
解答：解：根据互补的性质得，70°角的补角为：180°﹣70°=110°，是个钝角；∵答案A．B．C都是锐角，答案D是钝角；∴答案D正确．故选D．
点评：本题考查了角互补的性质，明确互补的两角和是180°，并能熟练求已知一个角的补角．
例3 如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析：∠α的余角的度数为90°－60°＝30°． 答案：A
30°角的补角是( )
A．30°角 B．60°角 C．90°角 D．150°角
解析：30°角的补角度数为180°－30°＝150°． 答案：D
考点3 钟表上的角度问题
考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题．解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6°，1小时时针走30°．
例4 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析：从3时到6时共3小时，时针旋转角的度数为30°×3＝90°． 答案：C
考点4 从不同方向看立体图形
考点突破：从不同方向看立体图形是中考的热点问题，几乎每套中考题中都会出现，解决问题时应发挥空间想象能力，把立体图形转化为平面图形．
例5如图4—4—15所示四个几何体中，从上面看得到的平面图形是圆的几何体共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：题图中从上面看得到的平面图形是圆的几何体是圆柱和球． 答案：B
例6如图4—4—16所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组成的，该几何体从上面看得到的平面图形为( )
答案：C
综合验收评估测试题
一、选择题
1. 下列说法正确的是( )
A．平角是一条直线
B．周角是一条射线
C．用2倍的放大镜看1 cm的线段，这条线段变成了2 cm
D．用2倍的放大镜看30°的角，这个角变成了60°
2．下列说法正确的是( )
A．直线AB与直线BA不是同一条直线
B．线段AB与线段BA不是同一条线段
C．射线OA与射线AO不是同一条射线
D．射线OA与射线AO是同一条射线
3. 如图4—4—17所示，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是( )
A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定
4. 如果线段AB＝6 cm，BC=5cm，那么A、C两点间的距离是( )
A．1 cm B．5．5 cm C．11 cm D．11 cm或1 cm
5. 若∠α的补角是42°，∠β的余角是52°，则∠α和∠β的大小关系是( )
A．∠α＞∠β B．∠α＜∠β C．∠α＝∠β D．不能确定
6. 如图4—4—18所示，∠1＝15°，∠AOC＝90°，B、O、D三点在一条直线上，则∠3等于( )
A．75° B．105° C．15° D．165°
7. 一个角和它的补角的度数比为1∶8，则这个角的余角为( )
A．10° B．20° C．70° D．80°
8. 如图4—4—19所示，已知∠AOC＝∠BOD=∠78°，∠BOC＝ 35°，则∠AOD等于( )
A．113° B．121° C．156° D．86°
二、填空题
9. 29°30′= 度，18．25°＝ 度 分 秒．
10. 15分钟时间，时钟上的时针转了 度，分针转了 度．
11. 如图4—4—20所示，由点B观测点A的方向是 ．
12. 一个画家有14个棱长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图4—4—21所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为 ．
三、解答题
13. 请仔细观察如图4—4—22所示的折纸过程，然后回答下列问题：
(1)求∠2的大小．
(2)∠1与∠3有何关系
(3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系
14. 如图4—4—23所示，已知AC=CD＝DB，AC＝2AM，BN＝BM，如果MN＝5cm，求AB、CN的长．
15. 如图4—4—24所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东30°方向爬行2．5 cm，碰到障碍物B后，又沿西北方向爬行3 cm到达C处．
(1)画出蚂蚁爬行的路线；
(2)求∠OBC的度数；
(3)测出线段OC的长度(精确到0．1 cm)．
答案
1. C 2. C 3. B 4. D 5. A 6. B 7. C 8. B
9. 29．5，18，15，0
10. 7．5，90
11. 南偏西65°
12. 33平方米
13. 解：(1)因为从图中可知∠1＋∠3＝∠2，且∠1＋∠3＋∠2＝180°，
所以∠2＝×18°＝90°．
(2)因为∠1＋∠3=∠2=90°，所以∠1与∠3互余．
(3)因为∠1＋∠AEC＝180°，所以∠l与∠AEC互补；
同理∠3与∠BEF互补．
14. 解：因为AC=CD＝DB，所以AB＝3AC.
因为AC=2AM，所以AM＝CM=AC.
又因为BN=BM，所以BN＝MN＝5cm．
所以AB－AM＝BM＝2MN，
即3AC－AC＝2× 5．
所以AC＝4(cm)．
所以AB＝3AC＝12 cm，
CN=MN—CM＝5－×4＝3(cm)．
15. 解：(1)蚂蚁爬行的路线如图4—4—25所示．
(2)因为蚂蚁从O点出发沿北偏东30°方向爬行2．5 cm到达B处，即∠OBD＝30°，则∠ABO＝60°．
又因为蚂蚁到达B处后又沿西北方向爬行了3 cm，即∠ABC＝45°．
所以∠OBC＝∠ABO＋∠ABC＝60°＋45°＝105°．
(3)用刻度尺测量OC的长约为4．4 cm．第十六章 分式
本章小结
小结1 本章概述
本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.
【本章难点】应用分式方程解决实际问题．
小结3 中考透视
本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．
知识网络结构图
分式的概念
分式的概念 分式的意义、无意义的条件
分式的值为0的条件
分式的基本性质
分式的基本性质 分式的约分
分式的通分
分式的乘法规则
分式的除法规则
分式 同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则
异分母分式的加减法法则
运算性质
负正数指数幂
科学记数法
公式方程的概念
解分式方程的步骤
分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解
列分式方程应用题的步骤
专题总结及应用
一、识性专题
专题1 分式基本性质的应用
【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.
例1 化简
(1) ; (2) ；
解：(1)
(2).
【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.
例2 计算
解：
【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.
专题2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.
例3 已知,求的值.
解: 因为，所以用除所求分式的分子、分母.
原式.
例4 已知，且，求的值.
解: 因为，
所以
所以或,
又因为,所以,所以,所以
所以
例5 已知求的值.
解: 设
则
解得x=2k，y=k，z=3k，
所以.
例6 已知且,求的值.
解: 由已知得
所以即,
所以,
同理
所以.
例7 已知且,求的值.
解: 因为,
所以原等式两边同时乘以,得:
即
所以
所以
【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.
例8 已知求的值.
分析 根据已知条件,可把用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.
解: 设则.
所以.
【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.
例9 已知求的值.
分析 只要求出的值就可以了,由已知条件可得将这三个等式可加后得到,再通过讨论得到k的值.
解: 由已知到.
三式相加得即,
所以,或.
即,或.
当时,,此时即.
所以,或.
当时,
当时,.
【解题策略】在得到时，因为可以等于零，所以两边不能同时除以，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.
例10 已知求的值.
分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.
解: 由得
所以即.
所以.
例11 已知,求下列各式的值.
(1); (2).
分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.
解: (1)因为,所以.
即.所以.
(2),
所以.
专题2 与增根有关的问题
例12 如果方程 有增根, 那么增根是 .
分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.
答案:
例13 若关于x的方程有增根, 则a 的值为 ( )
A.13 B. –11
C. 9 D.3
分析 因为所给的关于x的方程有增根,即有, 所以增根是.而一定是整式的根, 将其代入得,所以.
答案: D
例14 a何值时,关于x的方程会产生增根
分析 因为所给方程的增根只能是或，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.
解: 方程两边都乘以,得
整理得.
当a = 1 时,方程无解.
当时,.
如果方程有增根,那么,即或.
当时,,所以;
当时,,所以a = 6 .
所以当或a = 6原方程会产生增根.
专题4 利用分式方程解应用题
【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.
例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.
信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.
信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的.
信息3 : 甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.
解: 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款x元.
根据题意, 得,解这个方程得.
经体验,是原方程解.
例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少？
（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？
分析 设第一反批购进书包的单价为x元，则第二批购进的书包的单价为，第一批购进书包个，第二批购进书包个.
解: 设第一批购进书包的单价为x元.
依题意,得,
整理,得, 解得.
答: 第一批购进书包的单价为80元.
解法1: (2)(元).
答: 商店共盈利3700元.
解法2 : (元)
答: 商店共盈利3700元.
二、规律方法专题
专题5 分式运算的常用讨巧
（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.
(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.
(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式进行裂项.
(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.
(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.
（6）倒数法求值（取倒数法）.
（7）活用分式变形求值.
(8)设k求值法(参数法)
(9)整体代换法.
(10)消元代入法.
例17 化简
解: 原式=
例18 计算.
解：原式
例19 计算.
解：原式
.
例20 计算
解: 原式
【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式.
例12 计算
解: 原式
例22 已知求
解: 原式
.
当原式
例23 计算
解: 原式
例24 已知,求的值.
解: 因为 ,所以,
所以 ,即,
所以
所以 .
【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.
例25 已知和,求的值.
解: 由 和 ,提,
所以
【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.
例26 已知求的值.
解: 设,
所以
所以
所以
即或
当,所求代数式,
当,所求代数式.
即所求代数式等于或.
【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解.
例27 已知求的值.
解:因为
各式可加得
所以，
所以
例28 若求的值.
分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.
解：以x, y为主元，将已知两等式化为
所以原式.
三、思想方法专题
专题6 整体思想
【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.
例29 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.
分析 先化简，再代入使的数a求值.
解原式.
取，则原式= 9 .
【解题策略】将1化为进行减法运算，计算时要注意分子是一个整体.
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011广东珠海，5，3分）若分式的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C． 是原来的倍 D．不变
考点：分式的基本性质
专题：分式
分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，故选D．
解答：D
点评：抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据．
（1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易错点．
2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（　　）
A、2 B、-2 C、6 D、10
考点：负整数指数幂 ( javascript:void(0) )；有理数的乘方 ( javascript:void(0) )．
分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可．
解答：解：原式=-4+4+2=2．
故选A．
点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
3. （2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（　　）
Ａ． 　 　B．　　 C．　 　　　　D．
考点：最简分式；分式的基本性质；约分。
专题：计算题。
分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
解答：解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，不能约分，故本选项正确； D、=，故本选项错误；故选C．
点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
4. （2011广东湛江,11,3分）化简的结果是（　　）
A、a+b B、a-b C、a2-b2 D、1
考点：分式的加减法 ( javascript:void(0) )．
分析：根据同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加减．
解答：解：原式=a+b．
故选A．
点评：本题是基础题，考查了分式的加减，同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加减．
5.（2011丽江市中考，4,3分）计算=　3　．
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．
解答：解：原式=2+1=3．
故答案为3．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：
a-p=（a≠0，p为正整数）；零指数幂：a0=1（a≠0）．
二、填空题
1. （2011 江苏徐州，11，3）=　 　．
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．
解答：解：原式=1﹣= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
故答案为．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）；零指数幂：a0=1（a≠0）．
2. （2011江苏镇江常州，9，3分）计算：－(－)＝；︱－︱＝； QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =　1　；=　﹣2　．
考点：负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂．
专题：计算题．
分析：分别根据绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
解答：解：－(－)＝；
︱－︱＝； QUOTE QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =　1　； EMBED Equation.DSMT4 =　﹣2　．
故答案为：，，1，﹣2．
点评：本题考查的是绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
3. （2011云南保山，4，3分）计算= .
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．
解答：解：原式=2+1=3．
故答案为3．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：；零指数幂：．
4. （2011北京，1，5分）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
解答：解：原式=2﹣2×+3+1=2﹣ QUOTE EMBED Equation.3 +3 QUOTE EMBED Equation.3 +1=2 QUOTE EMBED Equation.3 +3．
点评：本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．
5. 计算：|-3|+20110-×+6×2-1．
考点实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
分析本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答解：原式=3+1﹣+6×=4﹣4+3=3．
点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
一、选择题
1. （2011重庆江津区，2，4分）下列式子是分式的是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：分式的定义。
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解：∵ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．故选B．
点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 不是分式，是整式．
2. （2011四川眉山，7，3分）化简的结果是（　　）
A．﹣m﹣1 B．﹣m+1 C．﹣mn+m D．﹣mn﹣n
考点：分式的乘除法。
专题：探究型。
分析：根据分式乘法及除法的运算法则进行计算，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
解答：解：原式=．
故选B．
点评：本题考查的是分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
3．（2011 南充，8，3分）若分式的值为零，则x的值是（　　）
A、0 B、1 C、﹣1 D、﹣2
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，则可得x﹣1=0且x+2≠0，从而解决问题．
解答：解：∵x﹣1=0且x+2≠0，
∴x=1．
故选B．
点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．.
4. 2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（　　）
Ａ． 　 　B．　　 C．　 　　　　D．
考点：最简分式；分式的基本性质；约分。
专题：计算题。
分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
解答：解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，不能约分，故本选项正确； D、=，故本选项错误；故选C．
点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
5. （2011浙江丽水，7，3分）计算 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的结果为（　　）
A、 B、
C、﹣1 D、2
考点：分式的加减法。
专题：计算题。
分析：分母相同的分式，分母不变，分子相加减．
解答：解：
=
=﹣1
故选C．
点评：本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．
6. （2011浙江金华，7，3分）计算 的结果为（ ）
A. B. C. －1 D.1－a
考点：分式的加减法。
专题：计算题。
分析：分母相同的分式，分母不变，分子相加减．
解答：解：﹣===﹣1
故选C．
点评：本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．
二、填空题
1. （2011天津，12，3分）若分式的值为0，则x的值等于　1　．
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得﹣1=0，x+1≠0，
由﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．．
点评：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2. （2011 郴州）当x=　1　时，分式的值为0．
考点：分式的值为零的条件。
分析：分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0．
解答：解：根据题意，得
x﹣1=0，且x+1≠0，
解得x=1．
故答案是：1．
点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可
3. 如果分式的值为0，则x的值应为 -3．
【考点】分式的值为零的条件 ( javascript:void(0) )．
【专题】计算题 ( javascript:void(0) )．
【分析】根据分式的值为零的条件可以得到3x2-27=0且x-3≠0，从而求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得3x2-27=0且x-3≠0，
由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，
∴x=-3或x=3，
由x-3≠0，得x≠3．
综上，得x=-3，分式的值为0．故答案为：-3．
【点评】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4. （2011北京，9，4分）若分式的值为0，则x的值等于　8　．
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：根据分式的值为零的条件：分子=0，分母≠0，可以求出x的值．
解答：解：x﹣8=0，x=8，故答案为：8．
点评：此题主要考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
一、选择题
1. （2011重庆綦江，8，4分）在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（　　）
A．－＝10 B．－＝10
C．－＝10 D．－＝10
考点：由实际问题抽象出分式方程。
专题：应用题。
分析：设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列出分式方程．
解答：解：设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，
－＝10．
故选B．
点评：本题考查理解题意能力，以包装箱个数做为等量关系，根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列方程求解．
2. （2011吉林长春，6，3分）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
专题：行程问题．
分析：根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．
解答：解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
故选A．
点评：考查了由实际问题抽象出分式方程，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
3.（2011辽宁沈阳，8，3）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解答：解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，．
故选A．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．
4.（2011辽宁沈阳，8，3分）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解答：解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．
5. （2011湖南衡阳，10，3分）某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠x米，则下面所列方程正确的是（　　）
A． = B． -20=
C． － =20 D． + =20
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：本题需先根据题意设出原计划每天修水渠x米，再根据已知条件列出方程即可求出答案．
解答：解：设原计划每天修水渠x米，根据题意得：
－ =20
故选C．
点评：本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．
二、填空题
1. （2011 安顺）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出答案．
解答：解：设去年居民用水价格为x元/立方米，根据题意得：
=8，
故答案为：．
点评：本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出题目中的等量关系是本题的关键．
2. （2011山东青岛，11，3分）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
专题：应用题。
分析：由于某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，设采用新工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.5x个零件，又同样多的零件就少用1小时，由此即可列出方程解决问题．
解答：解：依题意得
故答案为： QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．
3. （2011辽宁阜新,8,3分）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x千米，根据题意列出的方程是 ．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：若设乙每小时行x千米，根据甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，可列出方程．
解答：解：设乙每小时行x千米，
根据题意列出的方程：．
故答案为：．
点评：本题考查理解题意的能力，设出乙的速度，可表示出甲的速度，路程已知，以时间差做为等量关系列方程．
三、解答题
1. （2011江苏淮安，22，8分）七（1）班的大课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内，小峰跳了100个，小月跳了140个.如果小月比小峰每分钟多跳20个，试求出小峰每分钟跳绳多少个？
考点：分式方程的应用。
专题：应用题。
分析：设小峰每分钟跳x个，那么小月就跳（x+20）下，根据相同时间内小峰跳了100下，小月跳了140下，可列方程求解．
解答：解：设小峰每分钟跳x个，则=，
x=50，
检验：x=50时，x（x+20）=3500≠0．
∴x=50是原方程的解．
答：小峰每分钟跳50个．
点评：本题考查分式方程的应用，关键是以时间做为等量关系，根据相同时间内小峰跳了100个，小月跳了140下，已知小峰每分钟比小月多跳20下，可列方程求解．
2. （2011江苏连云港，21，6分）根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km,求提速后的火车速度.(精确到1km/h)
考点：分式方程的应用。
专题：行程问题。
分析：根据路程÷时间=速度，等量关系：提速后的运行速度﹣原运行的速度=260，列方程求解即可．
解答：解：设连云港至徐州客运专线的铁路全长为xkm，列方程得：
﹣=260， 1.7x=358.8，解得x=． ≈352km/h．
答：提速后的火车速度约是352km/h．
点评：本题考查了分式方程的应用，此题的关键是理解路程，时间，速度的关系，找出题中存在的等量关系．
3. （2011 南通）在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？
考点：分式方程的应用。
分析：父亲每分钟跳x个，儿子跳（20+x）个，根据相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，可列方程求解．
解答：解：父亲每分钟跳x个，＝，x=120，120+20=140，父亲跳120个，儿子跳140个．
点评：本体考察理解题意的能力，关键是设出未知数，以时间做为等量关系列方程求解．
4. （2011 江苏徐州，22，6）徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h．
（1）设A车的平均速度是xkm/h，根据题意，可列分式方程：　 　　 　　 　　 　 ；
（2）求A车的平均速度及行驶时间．
考点：分式方程的应用。
分析：设A车的平均速度是xkm/h，根据徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h可列出方程求出解．
解答：解：（1）设A车的平均速度是xkm/h，
可列分式方程:．
（2）设B车的速度是xkn/h．
．
解得；x=130．
2x=260．
650÷260=2.5
故A车的平均速度是260千米每小时，行驶的时间2.5小时．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出A的速度，表示出B的速度，以时间做为等量关系列方程求解．
5. （2011 广东汕头）某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？
考点：分式方程的应用。
专题：应用题。
分析：根据等量关系：整箱购买，则买一送三瓶，相当于每瓶比原价便宜了0.6元，依此列出方程求解即可．
解答：解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得
，
化简，得x2+3x﹣130=0，
解得x1=﹣13（不合，舍去），x2=10，
经检验：x=10符合题意，
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
点评：本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意“买一送三”的含义．
6. ( cm )（2011 河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．
（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？
（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？
（提示：利润=售价﹣成本，利润率=）
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。
分析：（1）设第一批上衣的价格是x元，根据4000元购进的上衣，和每件上衣涨价20元，用5000元购进的数量相等可列方程求解．
（2）设第二批衬衣每件售价至少是x元，根据第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，可列不等式求解．
解答：解：（1）设第一批上衣的价格是x元，
=
x=80
经检验x=80是分式方程的解．
第一批衬衣进货的价格是80元．
（2）设第二批衬衣每件售价至少是x元，
×100%≥×100%
x≥150
那么第二批衬衣每件售价至少是150元．
点评：本题考查理解题意的能力，第一问以购进的数量相同可列方程求解，第二问以利润率做为不等量关系列不等式求解．
7. （2011 柳州）某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等．
（1）求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？
考点：分式方程的应用。
分析：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，可列方程求解．
（2）根据（1）求出的单价，可求出购进多少本科普书．
解答：解：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元
根据题意，得=，
解得x=8．
x+4=12．
答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元．
（2）（1000﹣8×55）÷12=46本．
答：还能购进46本科普书．
点评：本题考查理解题意的能力，设出单价，根据购进的数量相等做为等量关系列方程求解．
8. （2011 德州，21，10分）为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．
（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？
（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．
考点：分式方程的应用。
专题：工程问题。
分析：（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．
（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
解答：解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．
根据题意得：．
方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），
即x2﹣35x﹣750=0．
解之，得x1=50，x2=﹣15．
经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．
但x2=﹣15不符合题意，应舍去．
∴当x=50时，x+25=75．
答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．
（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．
方案一：由甲工程队单独完成．（
所需费用为：2500×50=125000（元）．
方案二：由甲乙两队合作完成．
所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．
点评：本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．
9. （2011 莱芜）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．
（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？
（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．
考点：分式方程的应用。
分析：（1）设原计划零售平均每天售出x吨，根据去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨，在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务可列方程求解．
（2）求出实际销售了多少天，根据每天批发和零售多少吨，以及批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，可求得利润．
解答：解：设原计划零售平均每天售出x吨．
根据题意，得，
解得x1=2，x2=﹣16．
经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去．
答：原计划零售平均每天售出2吨．
（2）（天）．
实际获得的总利润是：
2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．
点评：本题考查理解题意的能力，关键设出计划零售多少，以时间做为等量关系列出方程．第2问关键是求出天数，求出批发的利润和零售的利润，可求出总利润．
10. （2011泰安，25，8分）某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲．乙两车间每天加工零件各多少个？
考点：分式方程的应用。
分析：先设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个，由题意列分式方程即可得问题答案．
解答：解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个．
根据题意，得，
解之，得x＝60，
经检验，x＝60是方程的解，符合题意，
1.5x＝90．
答：甲乙两车间每天加工零件分别为60个．90个．
点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．
11. （2011四川遂宁，20，9分）一场特大暴雨造成遂渝高速公路某一路段被严重破坏．为抢修一段120米长的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务．问原计划每天抢修多少米？
考点：分式方程的应用。
分析：原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，为抢修一段120米长的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务可列方程求解．
解答：解：原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，根据题意，得：
x2+5x﹣150=0
∴x1=10，x2=﹣15
经检验：x1=10，x2=﹣15都是原方程的解．
但x2=﹣15不符合实际情况（舍去）
答：原计划每天抢修10米．
点评：本题考查理解题意的能力，关键设出计划每天修多少，表示出实际修的，以时间做为等量关系列方程求解．
12. （2011河北，22，8分）甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。
专题：应用题。
分析：（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
解答：解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
解得x＝80，
经检验x＝80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．
点评：分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
13. （2011广东肇庆，21， 分）肇庆市某施工队负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成．求原计划平均每天修绿道的长度．
考点：分式方程的应用。
分析：设计划平均每天修道x米，根据负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成可列方程求解．
解答：解：设计划平均每天修道x米，
解得x=150，
经检验x=150是方程的解．
所以原计划每天修道150米．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出每天修道的米数，然后以天数做为等量关系列方程求解．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1.下列各式与相等的是( )
A． B. C. D.
2.若分式的值是（ ）
A．0 B.1 C.-1 D.±1
3.分式有意义的条件是（ ）
A．x≠2 B.x≠1 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠2
4．使分式等于0的x的值是（ ）
A.2 B.-2 C.±2 D.不存在
5．如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B.不变 C.缩小到原来的 D.缩小到原来的
6．计算÷的结果是（ ）
A． B．1 C． D．-1
7．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．-b
8.分式方程的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x= D．x=-
二、填空题
9．若a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子÷（a+b）的值为_______________.
10.化简的结果是__________.
11.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.
12.当x=__________时，分式的值为0.
13.化简·=___________.
14.方程的解是__________.
15.当x=___________时，有意义.
16. 当x=___________时，的值为.
17.已知方程有增根，则增根一定是__________.
18.已知，则__________.
19.化简÷的结果是__________.
三、解答题
20.化简÷.
21.先化简，再求值.
(1) ÷x，其中x=；
（2）÷（），其中x=-4；
（3）·，其中x满足；
（4）（1-）÷，其中；
（5），其中，.
22.解下列方程.
(1) ；
（2）；
（3）；
(4) ；
23.若，求A，B的值.
24.七年级（1）班学生到游览区游览，游览区距学校25km，男生骑自行车，出发1小时20分后，女生乘客车出发，结果他们同时到达游览区.已知客车的速度是自行车速度的3倍，求自行车与客车各自的速度.
25.桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程.已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的倍，由于乙队还有其他任务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.
（1）若设乙队单独完成这项工程需x天，请根据题意填写下表：
工程队名称 独立完成这项工程的时间（天） 各队的工作效率
甲工程队
乙工程队
（2）请根据题意及上表中的信息列出方程，并求甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需多少天；
（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？
26.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.
（1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
参考答案
1.C
2.B[提示：公式的值为0，则解得.]
3.D[提示：分式有意义，则且.]
4.D[提示：令得，而当时，，所以该公式不存在值为0的情形.]
5.B
6.A
7.B
8.A[提示：去分母，得，解得，当时，.]
9. [提示：由已知得且，解得，，再代入求值.]
10. [提示：找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.]
11.4.8[提示：平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则.]
12.3[提示：由得±3.当时，，当时，，所以当时，分式的值为0.]
13. [提示：原式=··
.]
14.
15.
16.-4
17. [提示：增根就是使分式分母等于0的x的值，即，所以.]
18.7[提示：，所以，所以.]
19.2x[提示：原式=·.]
20.解：原式=·=.
21.解：（1）原式=·.当时，原式=-4. （2）原式=÷·，当x=-4时，原式=-1. （3）原式=·由，知（x-1）(x-2)=0，所以或，所以原式=1或2. （4）÷.当x=2时，原式=1. （5）原式=·.把，代入上式，得原式=3-.
22.解(1) ，，∴，解得.经检验是原方程的根. （2），解得x=2.经检验x=2是原方程的根. （3），
，解得x=7.经检验x=7是原方程的根. （4）2-5=2x-1，解得.经检验是原方程的根.
23.解：因为=
，又因为，所以解得
24.解：设自行车的速度为xkm/h，则客车的速度为3xkm/h，由题意可知.解这个方程得.经检验是原方程的根，且符合题意.所以3x=3×12.5=37.5.答：自行车与客车的速度分别是12.5km/h，37.5km/h.
25.解：（1）从左则到右，从上到下依次填. (2)根据题意，列方程得××，解得x=80是原方程的根，且符合题意.所以.答：甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需100天、80天. （3）甲工程队所获工程款为200××（55+20）=150（万元），乙工程队所获工程款为200××20=50（万元）. 答：甲、乙工程队分别获得工程款150万元和50万元.
26.解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则，解得x=4000元. 经检验x=4000是原方程的根，且符合题意，所以甲种电脑今年三月份每台售价为4000元. （2）设购进甲种电脑x台，则48000≤3500x+3000(15-x)≤50000，解得6≤x≤10.因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案. （3）设总获利为ω元，则ω=（4000-3500）x+（3800-3000-a）(15-x)=（a-300）x+12000-15a.当a=300时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台，对公司更有利.
所以2012年中考数学一轮复习精品讲义
第一章 有理数
本章小结
小结1 本章概述
本章的知识要点主要包括有理数的意义和有理数的运算两部分内容，其课标要求是： 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数，并能按要求取近似数．
小结2 本章学习重难点
本章的重点是：有理数的意义及运算；
本章的难点是：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解．
学好本章的关键是能够运用有理数的运算法则正确进行运算，并且能够掌握好有理数的运算顺序及符号的确定．
小结3 本章学法点津
1．学习本章知识要注重从算术到代数的过渡，要克服学习小学数学时的思维局限性，考虑问题时不能忽略负数的可能性．
2．注重学习方法的更新和能力的提升．学习中要多观察思考、讨论交流、探究反思、归纳总结，从而提升自己的思维能力．
3．注重数学思想的运用．掌握数形结合、分类、转化、类比等数学思想是学好数学的重要保障．
知识网络结构图
重点题型总结及应用
题型一 绝对值
理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a|表示的是表示数a的点到原点的距离，因此|a|≥0．可运用|a|的非负性进行求解或判断某些字母的取值．
例1 如果a与3互为相反数，那么|a +2|等于( )
A．5 B．1 C．-1 D．-5
解析：a与3互为相反数，则a＝-3，所以|a+2|＝|-3+2|＝|-1|＝1．
答案：B
例2 若(a-1)2+|b+2|＝0，则a+ b＝ .
解析：由于(a-1)2≥0，|b+2|≥0，又(a-1)2与|b+2|互为相反数，因此 (a-1)2＝0且|b+2|＝0，则a＝1，b＝-2，所以a +b＝-1．
答案：-1
规律
若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0．
题型二 有理数的运算
有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础．要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用．
例3 (-1)2 011的相反数是( )
A．1 B．-1 C．2 011 D．-2 011
解析：由于指数2 011为奇数，所以(-1)2 011＝-1，其相反数为1．
答案：A
例4 计算：(1)；
(2)．
解：(1)
＝4-9×
＝4-4＝0．
(2)
＝
＝
＝
题型三 运用运算律简化运算过程
运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程．
例5 计算下列各题．
(1)21-49．5+10．2-2-3．5+19；
(2)；
(3)；
(4)．
分析：混合运算，应按法则进行，同时注意灵活运用运算律，简化运算过程．
解：(1)原式＝[(21+19)+10．2]+[(-49．5-3．5)-2]＝50．2-55＝-4．8；
(2)原式；
；
(3)原式
；
(4)原式＝
＝
点拨
(1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；(4)逆向应用分配律a(b+c)＝ab+ac，即ab+ac＝a (b+c)．
题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题
根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．
例6 计算下列各题．
(1)；
(2)；
(3)
(4).
分析：(1)带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加．
(2)本题若按常规计算方法比较麻烦，但若用运算律可简化运算．
(3)由于
，，，，，，所以将原算式变形裂项后，再进行计算．
(4)算式中，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，可在算式中加上最后一个分数，再减去，加上的与前一个分数运算，所得的和再与前一个分数运算，依次向前进行，最终求得运算结果．
解：(1)原式＝-5-
；
(2)
.
(3)原式
(4)原式＝
…
点拨
利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性．
题型五 有理数运算的应用
用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．
例7 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，-0．8，2．3，1．7，-1．5，-2．7，2，-0．2，则这8箱橘子的总重量是多少
分析：本题运用有理数的加法、乘法解决问题．先求出总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量．
解析：1．2+(-0．8)+2．3+1．7+(-1．5)+(-2．7)+2+(-0．2)
＝1．2-0．8+2．3+1．7-1．5-2．7+2-0．2
＝(2．3+1．7+2)+(-0．8-2．7-1．5)+(1．2-0．2)
＝6-5+1＝2．
则15×8+2＝122(千克)．
答案：这8箱橘子的总重量是122千克．
例8 一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3．5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7．5千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部．
(1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗
(2)“志远”修理部距“捷达”修理部多远
(3)货车一共行驶了多少千米
解：(1)能．如图1-6-1所示．
(2)由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部4．5-(-3)＝4．5+3＝7．5(千米)．
(3)货车共行驶了|8|+|-3．5|+|-7．5|+|3|＝8+3．5+7．5+3＝22(千米)．
题型六 探索数字规律
找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变．解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题．
例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为( )
A．8个 B．16个 C．32个 D. 64个
解析：本题数字的规律是1→2→4→8…，每半小时细菌个数变为原来的2倍，所以经过2．5小时，细菌个数应变为原来的25倍，即32个．
答案：C
例10 观察图1-6-2，寻找规律，在“ ”处应填上的数字是( )
A．128 B．136
C．162 D．188
解析：观察图个数字特点可发现：8＝4+2+2；14＝8+4+2；
26＝14+8+4；…．所以“ ”＝88+48+26＝162．
答案：C
思想方法归纳
本章中所体现的数学思想方法主要有：
1．数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具．这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法．
2．分类讨论思想：a与-a哪个大呢 a的绝对值等于什么 在本章中，我们都是通过分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法．不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求．例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误．
3．转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的．
1．数形结合思想
数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决．
例1 |a|＞|b|，a＞0，b＜O，把a、b、-a、-b按由小到大的顺序排列．
分析：将a、b、-a、-b在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了．
解：由a＞0，b＜0可知，a为正数，b为负数，a、b所对应的点分别在数轴上原点的右边和左边.
由于|a|＞|b|，从绝对值的几何意义可知，表示数a的点离原点的距离比表示数b的点离原点的距离远，而互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|＝|-a|，|b|＝|-b|，于是a、b、-a、-b在数轴上的位置如图1-6-3所示．
故由小到大的顺序排列为-a＜b＜-b＜a．
提示
比较数的大小，可在数轴上把这些对应点表示出来，按从左到右的顺序确定后，就能写出这些数的大小关系．从本例看，我们还可以进一步得到-a＜b＜0＜-b＜a．
例2 有理数a、b在数轴上对应点的位置如图l-6-4所示，则必有( )
A．a+ b＞0 B．a- b＜o C．a b＞0 D. ＜0
解析：由数轴可知0＜a＜1，b＜-l＜0且|b|＞|a|，因此有a+b＜0 a-b＞0，ab＜0，＜0．故选D．
答案：D
点拨
本题要注意读懂图形(数轴)，掌握数轴上点的性质，还要注意有理数的四则运算法则．
2．分类讨论思想
例3 比较2 a与-2 a的大小．
分析：由于a可能为正数，也可能为负数和0，所以应分a＞0，a＜0，a＝0三种情况讨论．
解：当a＞0时，2 a＞-2 a；当a＜0时，2 a＜-2 a；当a＝0时，2 a＝-2 a．
规律
解此类题时用分类讨论的思想方法来完成．
3．转化思想
例4 计算：l3+23+33+43+…+993+1003的值．
分析：直接求解，当然不行，必须探索规律，将运算进行转化．
解：∵l3＝1，13+23＝9＝32＝(1+2)2，13+23+33＝36＝62＝(1+2+3)2， 13+23+33+43＝100＝(1+2+3+4)2，…，
由此可知13+23+33+43+…+993+1003＝(1+2+3+4+…+99+100)2
＝＝5 0502＝25 502 500．
点拨
利用转化思想可将“复杂问题”转化为“简单问题”，把“陌生”问题转化为“熟悉”的知识解决．本题中把“立方”运算转化为“平方”运算，把“求和”运算转化为“乘方”的运算．
4．用“赋值法”解题
在做选择题和填空题时，问题的结论如果运用法则、定义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地得出结论．
例5 m-n的相反数是( )
A．-( m + n) B．m+ n C．m- n D．-( m - n)
解析：可设m＝2，n＝1，则m - n＝1．又-( m + n)＝-3，m+ n＝3，m- n＝1，-( m- n)＝-1．故选D．
答案：D
点拨
赋值时取值要符合题意，但又不能特殊，本题中m，n不能取0，得出结论后再用其他值试一试，如：m＝3，n＝-2等．
例6 如果a＞0，b＜0，|a|＞| b|，那么a+ b 0，a- b 0．(填“＞”或“＜”)
解析：由前提条件设a＝3，b＝-1，则a+b＝2，a-b＝4．
答案：＞ ＞
例7 若中的x，y都扩大到原来的5倍，则的值( )
A．缩小， B．不变 C. 扩大到原来的5倍 D．缩小到原来的
解析：取x=3，y＝2，，5x＝15，5 y＝10，＝5．
答案：B
点拨
(1)“赋值法”只能在客观题(填空题、选择题)上并且用其他方法不易解出时使用，一般不提倡使用，但可以作为检验结论是否正确的方法。
(2)赋值时要符合题设的前提条件，所赋的值不能特殊，并且要具有代表性．
(3)在有些问题中，赋值一定要考虑全面，避免漏解、错解．
中考热点聚焦
考点1 相反数、倒数、绝对值的概念
考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题．解决这类问题要掌握相反数、倒数、绝对值概念的内涵和区别．
例1 （2011陕西，1，3分） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
考点：倒数。
专题：计算题。
分析：根据倒数的意义，两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．
解答：解：的倒数为， 1÷（）=，
故选：A．
点评：此题考查的是倒数，关键是由倒数的意义，用1除以这个数即是．
(2010·江苏苏州中考) 的倒数是( )
A． B． C．- D．-
解析：根据倒数的概念，可知乘积为1的两个数互为倒数，所以的倒数是．
答案：B
例2 （2011四川眉山，1，3分）﹣2的相反数是（　　）
　A．2 B．﹣2　　C． QUOTE EMBED Equation.3 D．-
考点：相反数。
专题：计算题。
分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数就是相反数，进行判断．
解答：解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选A．
点评：本题考查了相反数的定义．应该从相反数的符号特点及在数轴上的位置关系进行判断．
（2011河北，15，3分）若|x－3|＋|y＋2|＝0，则x＋y的值为　　．
考点：非负数的性质：绝对值。
专题：计算题。
分析：根据非负数的性质，可求出x．y的值，然后将x，y再代入计算．
解答：解：∵|x－3|＋|y＋2|＝0，
∴x－3＝0，y＋2＝0，
∴x＝3，y＝－2，
∴则x＋y的值为：3－2＝1，
故答案为：1．
点评：此题主要考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y的值是解决问题的关键．
（2011广西来宾，13，3分）-2011的相反数是 ．
考点：相反数。
分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，改变符号即可．
解答：解：∵﹣2011的符号是负号，
∴﹣2011的相反数是2011．
故答案为：2011．
点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，比较简单．
（2011湖南常德，1，3分）
考点：绝对值。
分析：根据绝对值的定义；数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值解答即可．
解答：解：|﹣2|=2，
故答案为2．
点评：本题考查了绝对值的定义，解答时要熟记绝对值只能为非负数，属于基础题．
(2010·内蒙古鄂尔多斯中考)如果a与1互为相反数，则|a|等于( )
A．2 B．-2 C．1 D．-1
解析：由a与1互为相反数可知，a＝-1，所以|a|＝|-1|＝1． 答案：C
考点2 有理数的运算
考点突破：有理数的运算是初中数学的重要基础，是历年中考的必考内容．对有理数运算的考查往往融合在实数运算、整式运算之中，单独出现的题型不多，属中、低档难度．做有理数的计算题时，要牢记运算法则和运算顺序．
例3 （2011江苏苏州，1，3分）的结果是
A．－4 B．－1 C． D．
考点：有理数的乘法．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据有理数乘法法则：异号得负，并把绝对值相乘来计算．
解答：解：2×（- ）=-（2× ）=-1．
故选B．
点评：考查了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2011 台湾2,4分）计算73+（﹣4）3之值为何（　　）
A、9 B、27 C、279 D、407
考点：有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：先根据有理数的乘方计算出各数，再根据有理数加法的法则进行计算即可．
解答：解：原式=343﹣64
=279．
故选C．
点评：本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键．
（2011 台湾14，4分）计算之值为何（　　）
A、﹣1 B、﹣ C、﹣ D、﹣ QUOTE EMBED Equation.3
考点：有理数的混合运算。
专题：计算题。
分析：根据运算顺序，先算乘法运算，根据有理数的异号相乘的法则可知，两数相乘，异号的负，并把绝对值相乘，然后找出各分母的最小公倍数进行通分，然后根据分数的加减运算法则即可算出原式的值．
解答：解：原式=++（﹣3），
=﹣．
故选B．
点评：此题考查了有理数的混合运算，是一道基础题．学生做题时应注意运算顺序．
（2011台湾，2，4分）计算(－3)3＋52－(－2)2之值为何（　　）
A．2 B．5 C．－3 D．－6
考点：有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：根据有理数的乘方运算顺序，先算乘方，再算加减．
解答：解：(－3)3＋52－(－2)2＝－27＋25－4＝－6，故选D．
点评：有理数乘方的顺序以及法则，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（2011台湾，11，4分）计算之值为何（　　）
A．－1.1 B．－1.8 C．－3.2 D．－3.9
考点：有理数的混合运算。
专题：计算题。
分析：遇到乘除加减混合运算，应先算乘除再算加减．所以这道题应先把－1.6和2.5变成分数，然后把除法变成乘法计算后，再算减法，算减法时根据减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数把其变成加法，最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值．
解答：解：原式＝－ QUOTE EMBED Equation.3 － QUOTE EMBED Equation.3 × QUOTE EMBED Equation.3 ，
＝－2.5－0.7，
＝（－2.5）＋（－0.7），
＝－3.2．
故选C．
点评：此题考查有理数的混合运算，是一道基础题．做题时注意运算顺序．
（2011重庆江津区，1，4分）2﹣3的值等于（　　）
A、1 B、﹣5 C、5 D、﹣1
考点：有理数的减法。
分析：根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
解答：解：2﹣3＝2+（﹣3）＝﹣（3﹣2）＝﹣1．故选D．
点评：此题主要考查了有理数的减法，比较简单，是一个基础的题目．
(2010·杭州中考)计算(-1)2+(-1)3＝( )
A．-2 B．-1 C．0 D．2
解析：(-1)2+(-1)3＝1+(-1)＝0． 答案：C
例4 (2010·河南中考)计算|-1|+(-2)2＝ .
解析：|-1|+(-2)2＝l+4＝5． 答案：5
考点3 数轴
考点突破：在中考中，对数轴的考查常与有理数的比较及运算结合在一起，是近几年中考题中的热点．解决数轴的有关问题时要注意数形结合思想的运用．
例5 （2011浙江省，1，3分）如图，在数轴上点A表示的数可能是（ ）
A. 1.5 B.－1.5 C.－2.6 D. 2.6
【答案】C
（2011四川乐山13，3分）数轴上点A、B的位置如图（7）所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为
【答案】－5
(2010·广东深圳中考改编)如图1-6-5所示，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论正确的是( )
A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a-b＞0 D．|a|-|b|＞0
解析：由数轴知a＞0，b＜O，且|a|＜|b|，所以a+b＜O，ab＜O，a-b＞0，|a|-|b|＜0． 答案：C
考点4 科学记数法
考点突破：科学记数法是中考中的高频考点，属中考必考内容．把一个大于10的数表示成科学记数法，要写成a×10 n的形式，其中1≤| a |＜10， n为正整数．
例6 （2011南昌，2，3分）根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人．这个数据可以用科学记数法表示为（ ）
A.4.456×107人 B.4.456×106人 C.4456×104人 D.4.456×103人
考点：科学记数法—表示较大的数。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将4456万用科学记数法表示为4456万=4.456×107．故选A．
点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2011山西，4，2分）2011年第一季度，我省固定资产投资完成475．6亿元，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
考点：科学记数法
专题：有理数
分析：475．6亿＝475 6000 0000，用科学记数法表示为4.75 6×1010．
解答：C
点评：用科学记数法表示就是将一个数写成的形式．其中0＜＜10， n为整数．当＜1时， n＝零的个数； 当1＜时， n＝整数位数－1．用科学记数法表示的关键是两个确定， 一是a， 二是n．
（2011陕西，3，3分）我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数（保留三个有效数字）用科学计数法表示为（ ）
A、1.37×109 B、1.37×107 C、1.37×108 D、1.37×1010
考点：科学记数法与有效数字。
分析：较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
解答：解：1370536875=1.370536875×109≈1.37×109，
故选：A．
点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的有效数字的确定方法．
（2011广东汕头，2,3分）据中新社北京2011年l2月8日电2011年中国粮食总产量达到546 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】B
（2011浙江绍兴，2，3分）明天数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
(2010·广州中考)“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行．广州亚运城的建筑面积约是358 000平方米，将358 000用科学记数法表示为 ．
解析：358 000＝3．58×105． 答案：3．58×105
综合验收评估测试题
一、选择题
1.有理数中( )
A．有最大的负数 B．有最小的整数
C．有绝对值最小的数 D．不是正有理数就是负有理数
2. 若a＜b＜O，则下列各式中正确的是( )
A．＜ B．ab＜l C. ＜1 D. ＞1
3. 已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a，b，
c三数的和为( )
A．1 B．-l C．0 D．不存在
4. -1+2-3+4-5+6-…-99+100的值等于( )
A．5 050 B．-5 050 C．50 D．-50
5. 数轴上到表示-2的点的距离为3的点表示的数为( )
A．1 B．-5 C+5 D．1或-5
6. 当a＜3时，|a-3|-(3-a)的值为( )
A．6-2a B．0 C．2a-6 D．-2a
7. 下列各组数中，互为相反数的是( )
A．3与 B．(-2)2与4 C.-25与(-5)2 D．7与|-7|
8. 关于近似值0．010 50的有效数字的个数和精确度，下列说法正确的是( )
A．五个有效数字，精确到十万分位
B．四个有效数字，精确到十万分位
C. 三个有效数字，精确到万分位
D．两个有效数字，精确到万分位
9. 据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为( )
A．0．82×1011 B．8．2×1010 C．8．2×109 D．82×108
10. a和- a的积一定是( )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
二、填空题
11. 某粮店出售的三种品牌的大米袋上，分别标示质量为(25±0．1)kg，(25±0．2)kg，
(25±0．3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 kg．
12. 有理数-3．7，2，2 ，-，0，0．02中，属于正数的有 ；属于负数的有 ．
13. 若a、b互为倒数，c、d互为相反数，则(ab)4-3(c+d)3＝ ．
三、解答题
14. 已知x+3＝0，|y+5|+4的值为4，z对应的点到-2对应的点的距离是7，求x、y、z这三个数两两之积的和．
15. 计算：(1)×24-(-3-3)2(-6÷3)2；
(2)-1101-；
(3)48×．
答案
1. C 解析：在有理数中，没有最大的负数，也没有最小的整数，故A、B错；有理数按正负分可分为正有理数，负有理数和0三大类，故D错；绝对值最小的数是0，故选C．
2. D 解析：运用特殊值法，排除错误选项，设a＝-2，b＝-1，则＝-，＝-1，-＞-l，A错；ab＝2＞1，B错；＝＝2＞1，所以C错；只有D正确．
3. C 解析：最小的正整数是1，最大的负整数是-l，绝对值最小的有理数是0，则a+b+c＝1+(-1)+0＝0，故选C．
4. C 解析：-1+2-3+4-5+6-…-99+100＝
＝50.
5. D 解析：数轴上到表示-2的点的距离为3的点有两个，左边的点表示-5，右边的点表示1，故选D．
6. B 解析：当a＜3时，a-3＜0，则|a-3|-(3-a)＝3-a-3+a＝0．故选B．
7. C 解析：A中3与互为倒数，B中(-2)2＝4与4相等，D中|-7|＝7与7相等．故选C．
8. B 解析：近似数0．010 50的有效数字有4个，它们分别是1，0，5，0；精确到了十万分位．故选B．
9. B 解析：820亿＝82 000 000 000＝8．2×1010．
10. C 解析：因为a×(-a)＝-a2，且a2≥0，所以-a2≤0．
11. 0．6 解析：一袋大米的质量最多为(25+0．3)kg，最少为(25-0．3)kg，相差0．6 kg．
12. 2，2，0．02 -3．7，-
13. 1 解析：由a、b互为倒数可得ab＝1，c、d互为相反数可得c+d＝0，整体代入即可．
14. 解：因为x+3＝0，所以x＝-3．因为|y+5|+4的值为4，所以y+5＝0，所以y＝-5．因为z对应的点到-2对应的点的距离是7，所以z＝5或z＝-9．所以xy+yz+xz＝(-3)×(-5)+(-5)×5+(-3)×5＝-25或xy+yz+xz＝(-3)×(-5)+(-5)×(-9)+(-3)×(一9)＝87．
15. 解：(1)原式＝×24-×24-(-6)2÷(-2)2
＝3-10-36÷4＝3-10-9＝-16．
(2)原式＝-1-＝-l-＝-1-＝-1+＝.
(3)原式＝48×+48×-48×＝4+8-36＝-24.第八章 二元一次方程组
本章小结
小结1 本章概述
二元一次方程组是从实际生活中抽象出来的数学模型，它是解决实际问题的有效途径，更是今后学习的重要基础.它是在一元一次方程的基础上来进一步研究末知量之问的关系的，教材通过实例引入方程组的概念，同时引入方程组解的概念，并探索二元一次方程组的解法，具体研究二元一次方程组的实际应用．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】会解二元一次方程组，能够根据具体问题中的数量关系列出方程组．
【本章难点】列方程组解应用性的实际问题．
【学习本章应注意的问题】
在复习解一元一次方程时，明确一元一次方程化简变形的原理，类比学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法，同时在学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法时，要认真体会消元转化的思想原理，在学习用方程组解决突际问题时，要积极探究，多多思考，正确设未知数，列出恰当的方程组，从而解决实际问题．
小结3 中考透视
在考查基础知识、基本能力的题目中，单独知识点考查类题目及多知识点综合考查类题目经常出现，在实际应用题及开放题中大量出现．所以在学习本章内容的过程中一定要结合其他相应的知识与方法，本章是中考的重要考点之一，围绕简单的二元一次方程组的解法命题，能根据具体问题的数量关系列出二元一次方程组，体会方程是描述现实世界的一个有效模型，并根据具体问题的实际意义用观察、体验等手段检验结果是否合理．考试题型以选择题、填空题、应用题、开放题以及综合题为主，高、中、低档难度的题目均有出现，占4～7分．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 运用某些概念列方程求解
【专题解读】在学习过程中，我们常常会遇到二元一次方程的未知数的指数是一个字母或关于字母的代数式，让我们求字母的值，这时巧用定义，可简便地解决这类问题
例1 若=0,是关于x,y的二元一次方程,则a=_______,b=_______.
分析 依题意,得 解得
答案:
【解题策略】准确地掌握二元一次方程的定义是解此题的关键.
专题2 列方程组解决实际问题
【专题解读】方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域都有广泛的应用，列二元一次方程组的关键是寻找相等关系，寻找相等关系应以下两方面入手；（1）仔细审题，寻找关键词语；（2）采用画图、列表等方法挖掘相等关系.
例2 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天？
分析 由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成，乙每天完成.
解：设原计划甲做x天，乙做y天，则有
解这个方程组，得
答：原计划甲做8天，乙做6天.
【解题策略】若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“1”，然后由时间算出工作效率，最后利用“工作量=工作效率×工作时间”列出方程.
二、规律方法专题
专题3 反复运用加减法解方程组
【专题解读】反复运用加减法可使系数较大的方程组转化成系数较小的方程组，达到简化计算的目的.
例3 解方程组
分析 当方程组中未知数的系数和常数项较大时,注意观察其特点,不要盲目地利用加减法或代入法进行消元,可利用反复相加或相减得到系数较小的方程组,再求解.
解:由①-②,得x-y=1,③
由①+②,得x+y=5,④
将③④联立,得
解得 即原方程组的解为
【解题策略】此方程组属于 型,其中|-|=k|a-b|,+=m|a+b|,k,m为整数.因此这样的方程组通过相加和相减可得到 型方程组,显然后一个方程组容易求解.
专题4 整体代入法解方程组
【专题解读】结合方程组的形式加以分析,对于用一般代入法和加减法求解比较繁琐的方程组,灵活灵用整体代入法解题更加简单.
例4 解方程组
分析 此方程组中,每个方程都缺少一个未知数,且所缺少的未知数又都不相同,每个未知数的系数都是1,这样的方程组若一一消元很麻烦,可考虑整体相加、整体代入的方法.
解:①+②+③+④,得3(x+y+z+m)=51,
即x+y+z+m=17,⑤
⑤-①,得m=9,⑤-②,得z=5.
⑤-③,得y=3,⑤-④,得x=0.
所以原方程组的解为
专题5 巧解连比型多元方程组
【专题解读】连比型多元方程组通常采用设辅助未知数的方法来求解.
例5 解方程组
解:设,
则x+y=2k,t+x=3k,y+t=4k,
三式相加,得x+y+t=,
将x+y+t=代入②,得=27,
所以k=6,所以
②-⑤,得x=3,②-④,得y=9,②-③,得t=15.
所以原方程组的解为
三、思想方法专题
专题6 转化思想
【专题解读】对于直接解答有难度或较陌生的题型，可以根据条件，将其转化成易于解答或比较常见的题型.
例6 二元一次方程x+y=7的非负整数解有 ( )
A.6个
B.7个
C.8个
D.无数个
分析 将原方程化为y=7-x,因为是非负整数解,所以x只能取0,1,2,3,4,5,6,7,与之对应的y为7,6,5,4,3,2,1,0,所以共有8个非负整数解.故选C.
【解题策略】对二元一次方程求解时,往往需要用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数,从而将求方程的解的问题转化为求代数式的值的问题.
专题7 消元思想
【专题解读】 将未知数的个数由多化少,逐一解决的思想即为消元思想.
例7 解方程组
分析 解三元一次方程组可类比解二元一次方程组的代入法和加减法,关键是“消元”，把“三元”变为“二元”，再化“二元”为“一元”，进而求解.
解法1:由③得z=2x+2y-3.④
把④代入①,得3x+4y+2x+2y-3=14,
即5x+6y=17.⑤
把④代入②,得x+5y+2(2x+2y-3)=17,
即5x+9y=23.⑥
由⑤⑥组成二元一次方程组 解得
把x=1,y=2代入④,得z=3.
所以原方程组的解为
解法2:由①+③,得5x+6y=17.⑦
由②+③×2,得5x+9y=23.⑧
同解法1可求得原方程组的解为
解法3:由②+③-①,得3y=6,所以y=2.
把y=2分别代入①和③,得 解得
所以原方程组的解为
【解题策略】消元是解方程组的基本思想,是将复杂问题简单化的一种化归思想,其目的
是将多元的方程组逐步转化为一元的方程,即三元 二元 一元.
2011中考真题精选
1. （2011四川凉山，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
考点：二元一次方程组的定义 ( javascript:void(0) )．
分析：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
解答：解：A、第一个方程值的xy是二次的，故此选项错误；
B、第二个方程有，不是整式方程，故此选项错误；
C、含有3个未知数，故此选项错误；
D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
故选D．
点评：此题主要考查了二元一次方程的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
2. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
考点：二元一次方程组的定义 ( javascript:void(0) )．
分析：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
解答：解：A、第一个方程值的xy是二次的，故此选项错误；
B、第二个方程有，不是整式方程，故此选项错误；
C、含有3个未知数，故此选项错误；
D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
故选D．
点评：此题主要考查了二元一次方程的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
3. （2011河北，19，8分）已知 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是关于x，y的二元一次方程 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的解，求（a＋1）（a－1）＋7的值．
考点：二次根式的混合运算；二元一次方程的解。
专题：计算题。
分析：根据已知 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是关于x，y的二元一次方程 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的运算性质求出．
解答：解：∵ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 是关于x，y的二元一次方程 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的解，
∴2 QUOTE EMBED Equation.3 ＝ QUOTE EMBED Equation.3 ＋a，
a＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，
∴（a＋1）（a－1）＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9．
点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的解，根据题意得出a的值是解决问题的关键．
4. （2011湖南益阳,2,4分）二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（　　）
A． B．
C． QUOTE EMBED Equation.DSMT4 D． QUOTE EMBED Equation.DSMT4
考点：二元一次方程的解．
专题：计算题．
分析：将x．y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x．y的值是否为方程x﹣2y=1的解．
解答：解：A．当x=0，y=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 时，x﹣2y=0﹣2×（﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ）=1，是方程的解；
B．当x=1，y=1时，x﹣2y=1﹣2×1=﹣1，不是方程的解；
C．当x=1，y=0时，x﹣2y=1﹣2×0=1，是方程的解；
D．当x=﹣1，y=﹣1时，x﹣2y=﹣1﹣2×（﹣1）=1，是方程的解；
故选B．
点评：本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
5. （2011广东肇庆，4，3分）方程组的解是（　　）
A、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 B、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 C、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 D、 QUOTE EMBED Equation.DSMT4
考点：解二元一次方程组。
专题：计算题。
分析：此题运用加减消元法解方程组，由①+②先求出x，再代入求出y．
解答：解：，
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：
y=0，
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
故选：D．
点评：此题考查的知识点是接二元一次方程组，关键是先用加减消元法求出x．
（2011 宁夏，4，3分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。
专题：数字问题。
分析：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组，求解即可．
解答：解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：
QUOTE EMBED Equation.3
故选B．
点评：本题考查了关于数字问题的二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
（2011 台湾9，4分）在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。
专题：应用题。
分析：设馒头每颗x元，包子每颗y元，根据题意王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元，可列式为5x+3y=52，李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元，可列式为0.9（11x+5y）=90，联立方程即可得到所求方程组．
解答：解：设馒头每颗x元，包子每颗y元，
伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元，可列式为5x+3y=50+2，
李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元，
可列式为0.9（11x+5y）=90，
故可列方程组为 QUOTE EMBED Equation.3 ，
故选B．
点评：本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识点，解答本题的关键是理解题意，找出题干中的等量关系，列出等式，本题难度一般．
（2011台湾，30，4分）某鞋店有甲．乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元．该店促销的方式：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．若打烊后得知，此两款鞋共卖得1800元，还剩甲鞋x双．乙鞋y双，则依题意可列出下列哪一个方程式？（　　）
A．200（30－x）＋50（30－y）＝1800 B．200（30－x）＋50（30－x－y）＝1800
C．200（30－x）＋50（60－x－y）＝1800 D．200（30－x）＋50[30－（30－x）－y]＝1800
考点：二元一次方程的应用。
专题：方程思想。
分析：由已知，卖出甲鞋（30－x）双，则送出乙鞋也是（30－x）双，那么乙卖出[30－（30－x）－y]双，卖出甲鞋的钱数加上卖出乙鞋的钱数就等于1800元，由此得出答案．
解答：解：已知还剩甲鞋x双，则则卖出甲鞋的钱数为：200（30－x）元，
由题意则送出乙鞋：（30－x）双，
那么卖出乙鞋的钱数为505[30－（30－x）－y]元，
所以列方程式为：200（30－x）＋50[30－（30－x）－y]＝1800．
故选D．
点评：此题考查的知识点是二元一次方程的应用，解题的关键是分别表示出卖出甲鞋和乙鞋的钱数．
（2011台湾，31，4分）如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB＝？（　　）
( http: / / www.m / )
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
考点：二元一次方程组的应用。
专题：计算题。
分析：可设灰色长方形的长是5x，宽是3x，因为将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，从而可求解．
解答：解：设灰色长方形的长是5x，宽是3x，
2（5x＋3x）＋4＝148
x＝9
5x＝45，3x＝27，
AD＝45＋2＝47，
AB＝27＋2＝29，
．
故选D．
点评：本题考查理解题意能力，关键是看到灰色长方形的周长和148个小正方形的关系，以及灰色长方形的边长和大长方形的边长的关系．
（2011新疆乌鲁木齐，4，4）甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：二元一次方程组的应用。
专题：应用题。
分析：要求甲，乙仓库原来存粮分别为多少，就要先设出未知数，找出题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系为：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食30吨，和甲仓库乙仓库共存粮450吨．
解答：解：设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨．
根据题意得：．
故选C．
点评：考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系．
本题的等量关系是：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食30吨，和甲仓库乙仓库共存粮450吨．列出方程组，再求解．
（2011 柳州）把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式，得y=　3﹣2x　．
考点：解二元一次方程。
专题：计算题。
分析：本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可．
解答：解：把方程2x+y=3移项得：
y=3﹣2x，
故答案为：y=3﹣2x．
点评：此题考查的是方程的基本运算技能，移项，合并同类项，系数化为1等，然后合并同类项，系数化1就可用含x的式子表示y
（2011湖南长沙，6，3分）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．7
考点：一元一次方程 二元一次方程组的解
专题：二元一次方程
分析：将代入方程ax－3y＝1，得a－6＝1，解得a＝7，故选D．
解答：D
点评：本题主要考查二元一次方程组的解的意义与解一元一次方程知识，将x、y的值代入原一元一次方程，即可求出待定系数的值．
（2011湖南长沙，23，9分）某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工速度，能够比原来少用多少天完成任务
考点：二元一次方程组的应用
专题：二元一次方程组
分析：（1）本题的两个数量关系是：①甲组工作量＝乙组工作量＋0.6；②甲、乙两组的工作量之和×5＝45．为此，设两个未知数，列二元一次方程组即可求解．
（2）求出剩余的工作量，用两种工作效率去工作时的工作时间，两者相减即可．
解答：（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，根据题意，得，
解得
∴甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米．
（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b完成任务，则
a＝（1755－45）÷（4.8＋4.2）＝190（天）；b＝（1755－45）÷（4.8＋4.2＋0.2＋0.3）＝180（天），∴a－b＝10（天）
答：按此施工速度，能够比原来少用少用10天完成任务．
点评：列方程（组）或不等式（组）解应用题是中考的必考内容之一，关键是能够找出题中蕴含的等量（或不等）关系式，然后布列方程（组）或不等式（组），通过解方程（组）或不等式（组），来解决实际问题．
本题中的第二个问题，利用剩余工作量用两种合效率去做，求其工作时间差即可求解，这种方法较为简洁．
（2011 株洲19，）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用。
专题：工程问题。
分析：本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结果即可．
解答：解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意得：
解得：
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶
点评：本题主要考查了二元一次方程组的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程组是本题的关键．
（2011吉林长春，17，5分）在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．
( http: / / www.m / )
考点：二元一次方程组的应用．
分析：由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10cm，小矩形的2个宽+一个长=8cm，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
解答：解：设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：
，
解得：．
答：小矩形的长为4cm，宽为2cm．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组
（2011湖南衡阳，22，8分）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
考点：二元一次方程组的应用。
专题：应用题；方程思想。
分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解．
解答：解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
解得：，
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩．
点评：此题考查的是二元一次方程组的应用，关键是确定两个相等关系列方程组求解．
（2011广东湛江,26,12分）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元∕件） 3 5
利润（万元∕件） 1 2
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润．
考点：一元一次不等式组的应用 ( javascript:void(0) )；二元一次方程组的应用 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）设A种产品x件，B种为（10-x）件，根据共获利14万元，列方程求解．
（2）设A种产品x件，B种为（10-x）件，根据若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，列不等式组求解．
（3）从利润可看出B越多获利越大．
解答：解：（1）设A种产品x件，B种为（10-x）件，
x+2（10-x）=14，x=6，
A生产6件，B生产4件；
（2）设A种产品x件，B种为（10-x）件，
，3≤x＜6．
方案一：A 3件 B生产7件．
方案二：A生产4件，B生产6件．
方案三：A生产5件，B生产5件；
（3）第一种方案获利最大，
3×1+7×2=17．
最大利润是17万元．
点评：本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求出那种方案获利最大从而求出来．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是 （ ）
A．x+y-1=0
B．xy+5=-4
C．3+y=89
D．x+=2
2.方程3x-4y=10的一个解是 （ ）
A． B． C． D．
3.下列方程中，与方程3x+2y=5所组成的方程组的解是 的是 （ ）
A．x-3y=4
B．4x+3y=4
C．y+x=1
D．4x-3y=2
4.若关于x,y的方程组 的解是 则|m-n|的值为 （ ）
A．1
B．3
C．5
D．2
5．若关于x,y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为 （ ）
A．-
B．
C．
D．-
6．若，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知-0.5与是同类项，那么 （ ）
A． B． C． D．
8.如果一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是6，那么这样的正整数有 （ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
9.某年级学生有246人,男生人数比女生人数的2倍少2人,求男生、女生各有多少人.若设男生有x人，女生有y人，则可列方程组 （ ）
A． B． C． D．
10.6年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，则A现在的年龄是 （ ）
A．12岁
B．18岁
C．24岁
D．30岁
二、填空题
11.在3x-2y=5中,若y=-2,则x=_______.
12.由4x-3y+6=0,可以得到用y表示x的式子为_______.
13.若 是方程3mx-2y-1=0的解,则m=________.
14.已知 是二元一次方程组 的解，则a-b的值为______.
15.若，则3x+4y=_______.
16.若 则x,y之间的关系式为________.
17.已知方程组 的解是关于x,y的方程组 的解，则m=___,n=___.
18.若 则x：y：z=_________.
19.已知 (x,y,z≠0)，则的值为_______.
20.如图8-5所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的.两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是________cm.
三、解答题
21．已知ax+by=16的两个解为 和 求a,b的值.
22．已知方程组 的解中的x和y互为相反数，求a的值.
23.暑假期间，小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动.一天小明随父亲从银行换回来58张共计200元的零钞用于顾客付款时找零.细心的小明清理了一下,发现其中面值为1元的有20张,面值为10元的有7张,剩下的均为2元和5元的钞票.你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票各有多少张 请写出演算过程.
24.某人若买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋共需用18.5元；若买4个鸡蛋、2个鸭蛋、3个鹅蛋共需用6.2元；若买6个鸡蛋、5个鸭蛋、2个鹅蛋共需用8元.求鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋每个多少元.
25.如图8-6所示，8块相同的长方形地砖拼成了一个矩形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块地砖的长和宽.
参考答案
1.A[提示：含x,y项的次数是1.]
2.B[提示:代入后,左边=右边=10.]
3.C[提示:代入被选答案中,看方程是否成立,C中左边=1=右边.]
4.D
5.B
6.C[提示: 解得 ]
7.D[提示:根据同类项定义,得 解得 ]
8.C[提示:设十位上的数字为x,个位上的数字为y,则有x+y=6,x,y为整数,且x＞0,y≥0,所以
]
9.D[提示:共有246人,即x+y=246,男生人数比女生人数的2倍少2人,即x=2y-2.]
10.C[提示:设现在A,B的年龄分别是x岁,y岁,则6年前分别为(x-6)岁,(y-6)岁,故有
解得 ]
11.[提示:把y=-2代入原方程.]
12.x=[提示:移项,系数化为1.]
13.[提示:把 代入方程中,得3m-4-1=0,m=.]
14.-1
15.8[提示:原方程组变形为 两方程相加,得3x+4y=8.]
16.y=2x[提示:把代入中,得y=2x.]
17.2 1 [提示:由第一个方程组,得 代入第二个方程组,得 解得 ]
18.1:2:1[提示:把z看成常数,解得 所以x:y:z=z:2z:z=1:2:1.]
19.1[提示:把z看成常数,解得 则所求式子=]
20.20
21.解:把两组解分别代入方程中,得 解得
22.解:由题意,得 解得 将 代入ax+y=3中,得a=4.
23.解:设2元的钞票有x张,5元的钞票有y张,则根据题意,得
解得
24.解:设鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋每个分别为x元，y元，z元，则有 解得
答：鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋每个分别为0.5元，0.6元，1元.
25．解：设每块地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由题意，得 解得
答：每块地砖的长和宽分别为45厘米、15厘米.
2a+b+1=1,
a-2b-1=1,
x=8,
y=6.
8359x+1641y=28359,①
1641x+8359y=21641.②
x-y=1, ③
x+y=5,④
x=3,
y=2.
x=3,
y=2.
ax+by=,
bx+ay=
x+y=m,
x-y=k
x+y+z=8,①
x+y+m=12,②
x+z+m=14,③
y+z+m=17.④
x=0,
y=3,
z=5,
m=9.
①
②
X+y=12, ③
t+x=18, ④
y+t=24. ⑤
x=3,
y=9,
t=15.
3x+4y+z=14,①
x+5y+2z=17,②
2x+2y-z=3.③
x=1,
y=2.
5x+6y=17, ⑤
5x+9y=23, ⑥
x=1,
y=2,
z=3.
x=1,
y=2,
z=3.
x=1,
z=3.
3x+z=6,
2x-z=-1,
x=1,
y=2,
z=3.
消元
转化
消元
转化
x=2
y=1
x=0
y=3
x=6
y=2
x=4
y=1
x=3,
y=-2.
x=2,
y=1.
2x-y=m,
x+my=n
x+y=5k,
x-y=9k
x=0
y=5
x=5
y=0
x=2
y=3
x=3
y=2
a=2
b=-1
a=-2
b=1
a=1
b=-2
a=-1
b=2
x+y=246
x=2y-2
x+y=246
y=2x+2
x+y=246
2x=y+2
x+y=246
2y=x-2
x=1,
y=2
ax+by=7,
ax-by=1
x=2,
y=1
2x+my=2,
nx+y=1
2x+y=3,
x+y=1
x-2y+3z=0,
2x-3y+4z=0,
4x-3y-6z=0,
2x+4y-14z=0
x=2,
y=5，
x=1,
y=0
ax+y=3,
3x-2y=5
x=5,
y=0.
x+y-5=0,
2x-3y-10=0
a=2,
b=-1.
a+b=a-1,
a-b=3,
x=6,
y=0.
x=5,
y=1;
x=4,
y=2;
x=3,
y=3;
x=2,
y=4;
x=1,
y=5;
x-6=2(y-6),
x=2y,
x=24,
y=12.
x=1,
y=2.
2x+y=3,
x+3y=5,
m=2,
n=1.
4-m=2,
2n-1=1,
x=2,
y=-1.
x=z,
y=2z.
x=3z,
y=2z.
a=16,
b=-,
a=16,
2a+5b=16,
x=1,
y=-1.
x=1,
y=-1.
3x-2y=5,
x+y=0,
x+y+20+7=58,
2x+5y+1×20+10×7=200,
x=15,
y=16.
13x+5y+9z=18.5,
4x+2y+3z=6.2,
6x+5y+2z=8,
x=0.5,
y=0.6,
z=1.
x=45,
y=15.
x+y=60,
3y+x=2x,第二十章 数据的分析
本章小结
小结1 本章概述
本章主要学习平均数、中位数、众数的概念及意义，掌握数据代表的意义及运用计算器求平均数的方法，会用极差、方差、标准差来反映数据的波动情况，以及用它们来解决一些实际问题．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】具体情境中理解并会计算加权平均数，根据具体问题，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势；掌握平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念及各自的计算公式;会利用计算器求平均数，会用极差、方差、标准差来研究数据波动的大小.
【本章难点】理解数据代表的意义和方差、标准差代表的意义.
【本章本章应注意的问题】
在学习本章的过程中，要会用转化思想、数形结合思想、从特殊到一般的思想来解决数学问题.通过具体问题理解平均数、中位数、众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数和众数，体会平均数、中位数、众数之间的差异.
小结3 中考透视
在近几年中考中，对数据分析的考查力度逐渐增大，由填空题、选择题发展到分值较高的解答题、图表信息题，考查与生活紧密联系的实际问题成为命题热点.
对方差、极差知识的考查是中考的热点考题，题型有填空题、选择题和解答题.在今后的中考中，我们除了要掌握善于数据的波动的基本题型外，还要注重学科内综合题的训练．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 数据的代表值的离散程度综合应用
【专题解读】 方差反映了一组数据的波动大小，在实际问题中经常利用它来衡量一组数据的稳定性，方差越大，波动也越大，稳定性也就越差.
例1 随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：甲=13，乙=13，甲=3. 6，乙=15.8，则小麦长势比较整齐的试验田是 .
分析 方差大的波动大，方差小的波动小，∵甲＜乙∴甲块试验田的小麦长势比较整齐，故填甲.
例2 图20-8中给出了几个气象测量站多年测量的平均最高温度和最低温度，从图中你能得到哪些信息？
解：按照四季划分，这三个地方分别表现出四季炎热、冬冷夏热、冬热夏冷的气候特征，第一幅图中气温温差较小，后两幅图中气温温差较大等.
【解题策略】本题是一道开放性试题，从图象中获取信息并利用图标来表达一些问题是常用的一种方法.
例3 荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，下表及图20-9是荆州古城某历史景点一周参观人数和门票价格的抽样统计数据.
星期 一 二 三 四 五 六 日
人数 100 120 100 100 160 230 240
（1）把上表中一周的参观人数作为一个样本，直接指出这个样本的中位数、众数和平均数，分析表中数据还可得到一些信息，如双休日参观人数远远高于平时的等，请尝试再写出两条相关信息.
（2）若五一黄金周有甲、乙两个旅游团到该景点参观，两团人数之和恰为上述样本数据的中位数，乙团人数不超过50.设两团分别购票共付W元，甲团人数为x人.
①求W关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围;
②若甲团人数不超过100人，请说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少钱.
分析 （1）根据表中信息写出一些结论.（2）由于人数不同，门票价就不同，由图20-9知小于等于50人时门票价8元/人，51~100时门票价6元/人，100人以上时门票价4元/人，故对x的取值范围必须进行讨论.
解：（1）中位数为120人，众数为100人，平均数为150人.
信息很多，下列供参考：
①这一周的游客量每日不少于100人;
②周末游客人数逐渐增多；
③从周五以后每天游客人数都超过平均值；
④周日的游客人数最多，达到240人；
⑤从周一到周四每天游客人数都少于平均值.
（2）①因为样本的中位数为120人，所以甲、乙两团人数之和为120人，其中甲团有x人，乙团有（120-x）人.
∵0＜120-x≤50∴甲团超过50人.
当50＜x≤100，0＜120-x≤50时，
W=6x+8(120-x)，∴W=960-2x(70≤x≤100).
当100＜x＜120,0＜120-x≤50时，
W=4x+8(120-x),∴W=960-4x(100＜x＜120).
综上所述，当70≤x≤100时，W与x的函数关系式为W=960-2x，
当100＜x＜120时，W与x的函数关系式为W=960-4x.
②依题意：x≤100，∴W=960-2x(70≤x≤100)，
∴当x=70时，W最大=960-2×70=820（元）.
而两团合起来购票应付费4×120=480（元），
∴两团合起来比两团分开购票节约820-480=340（元）.
例4 一次科技知识竞赛，两组学生的成绩如下表所示：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，并说明理由.
分析 这是一道不同于常见的计算众数、方差、中位数等题目的开放性问题.要求大家计算这些数据并不难，但在没有任何提示的情况下，要从某些方面去进行分析和判断，可能会令很多人束手无策，由此可见，形成扎实的基本功底、提高数学素质比单纯会计算要重要得多，另外，从这道题也可以看出，解数学题要有一定的结论叙述能力.
解：甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数看，甲组成绩好些.
甲=[2(50-80)2+5(60-80) 2+10(70-80) 2+13(80-80) 2+14(90-80) 2+6(100-80) 2]=(2900+5400+10100+130+14100+6400)=172，
乙=(4900+4400+16100+20+12100+12400)=256，
因为甲＜乙，所以甲组成绩较好.
甲、乙两组成绩的中位数、平均分都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩较好.
甲组成绩高于90分(含90分)的有14+6=20人，乙组成绩高于90分(含90分)的有12+12=24人，因为乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组成绩较好.
【解题策略】要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算， 而不能习惯性地仅根据样本方差的大小去决定哪一组的优劣，像这样的实际问题需要从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”等;另外要在恰当地评估后，组织好正确的语言做出结论.
例5 甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习，每人各练5次，他们每个同学合格的次数分别如下：
甲组：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1;
乙组：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3.
(1)如果以合格3次(含3次)作为及格标准，请说明哪个小组的及格率高？
(2)请比较哪个小组口语会话合格次数比较稳定.
解：(1)甲、乙两组的及格率分别为30%，50%.
所以乙组的口语会话及格率高.
(2) 甲=(4+14+23+23)=2，
乙=(4+43+2+12)=2.
甲=［(4-2)2+(1-2) 2+…+(1-2) 2］=1,
乙=[(4-2) 2+(3-2) 2+…+(3-2) 2]=1.8.
因为甲＜乙，
所以甲组口语会话的合格次数比较稳定.
例6 据报道，某公司的33名职工的月工资 (以元为单位)如下表所示：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;
(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)
(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.
分析 (1)(2)根据定义、公式计算出平均数、中位数、众数.(3)不能用平均数反映这个公司员工的工资水平.
解：(1)平均数是
≈1500+591=2091（元）.
中位数是1500元，众数是1500元.
(2)平均数是
≈1500+1788=3288（元）.
中位数是1500元，众数是1500元.
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数差额较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
例7 某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下表所示（单位：千克）：
星期品种 一 二 三 四 五 六 日
甲 45 44 48 42 57 55 66
乙 48 44 47 54 51 53 60
(1)本周内甲、乙两种水果平均每天销售多少千克？
(2)甲、乙两种水果哪种销售更稳定
分析 要求两种水果哪个销售更稳定，应选用方差来描述，极差、方差和标准差都反映了一组数据的离散程度.
解：(1) 甲=51千克，乙=51千克,
(2) 甲=[(x1-甲)2+(x2-甲)2+…+(x7-甲)2]
=[（45-51）2+（44-51）2+…+（66-51）2]＝.
乙＝[(x1-乙)2+(x2-乙)2+…+(x7-乙)2]
＝［48-51）2+（44-51）2+…+（60-51）2］＝24.
因为甲＞乙，所以乙种水果的销售更稳定些.
例8 甲、乙二人参加某体育项目训练，近斯的五次测试成绩得分情况如图20-10所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差.
(2)根据图示和上面算得的结果，对两人的训练成绩从如下几个方面做出评价：
①从平均数和方差相结合看;
②从平均数和中位数相结合看；
③从平均数和折线图走势看.
分析 利用公式求出它们的平均数和方差，并利用方差做出比较，本题的要求是从多个角度分析问题.
解：（1）甲、乙二人五次测试的成绩分别为：
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分.
甲=（分），
乙=(分),
甲=4，乙=0.8.
（2）①因为平均数相等，甲＞乙，所以乙的成绩较稳定.
②甲的中位数是13，乙的中位数为13.
因为中位数相同，平均数也相同，所以从平均数结合中位数看两人成绩相当.
③从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，所以甲较有潜力.
例9 初三（1）班10名同学某次电脑测试成绩如下表所示（满分：30分）：
成绩/分 20 22 26 28 30
人数/个 1 2 2 3 2
那么，这10名同学这次电脑测试成绩的众数是 ，中位数是 ，平均数是 ，方差是 .
分析 根据定义和公式求出众数、中位数、平均数及方差.众数是28分，中位数是=27（分），平均数是（分）,
答案：28分 27分 26分 11.2分2
例10 甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶10次，将射击结果作统计分析如下：
命中环数 5 6 7 8 9 10
甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1
乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0
平均数 众数 方差
甲 7 6 2.2
乙
（1）请填充上表中乙学生的相关数据；
（2）运用所学的统计学知识，根据上述数据评价甲、乙两人的射击水平.
解：（1）7，7，1.2.
（2）根据平均数甲乙两人的射击水平相当；
根据众数，乙的成绩好些；
根据乙的方差小于甲的方差，乙的成绩稳定些.
例11 某城镇邮政局对甲、乙两个支局的报刊发行部2006年度报纸的发行量进行了统计，并绘成统计图（如图20-11所示）.请根据统计图反映的信息,回答下列问题.
（1）哪个支局发行《齐鲁晚报》的份数多？多多少？
（2）分别写出两个统计图中提供的6个统计数据的中位数；
（3）已知甲、乙两个支局所服务的居民区住户分别是11280户、8600户，哪个居民区平均每户订阅报纸的份数多？试说明理由.
解：（1）甲支局发行《齐鲁晚报》840份，乙支局发行《齐鲁晚报》880份，乙支局比甲支局发行份数多，多40份.
（2）甲图中6个统计数据的中位数是4.5，乙图中6个统计数据的中位数是3.6,
（3）由统计图知，甲支局共订阅报纸2820份，平均每户订阅报纸的份数是2820÷11280=0.25，乙支局共订阅报纸2580份，平均每户订阅报纸的份数是2580÷8600=0.3，所以乙支局所服务的居民区住户比甲支局所服务的居民区住户平均每户订阅报纸的份数多，多0.05份.
二、规律方法专题
专题2 用公式法求平均数、方差、标准差
【专题解读】 本章中主要利用平均数、方差、标准差的公式，通过计算样本的平均数方差、标准差估计总体的平均数、方差、标准差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想.
例12 如图20-12所示，A，B两个旅游点从2001年至2005年“五一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，根据图示解答以下问题.
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是哪一年？
（2）求A，B两个旅游点从2001年到2005年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和旅客的安全，A旅游点决定提高门票价格，已知门票价格x（元）与旅客人数y（万人）满足函数关系式y=5-，若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少提高多少？
分析 本题综合考查平均数、方差的计算，关键是公式应用要准确，数据不要遗漏.
解：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2004年
（2）
从2001年至2005年，A，B两个旅游点平均每年旅游人数均为3万人，但A旅游点相比较于B旅游点的旅游人数波动大.
(3)由题意，得5-≤4,解得x≥100,100-80=20.
所以,A旅游点的门票价格至少要提高20元.
三、思想方法专题
专题3 统计思想
【专题解读】 平均数、中位数、方差是统计思想中的重要特征数，用来描述数据的集中趋势.
例13 大学生张军到某公司应聘时，了解到该公司员工月工资情况如下表所示：
员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 职员G
月工资/元 6000 4000 1700 1300 1200 1100 1100 1100 500
在了解过程中，有三位公司员工对收入情况给出了三个说法：
甲：我的工资是1200元，在公司中算中等收入;
乙：我们好几个人工资都是1100人;
丙：我们公司员工收入较高，平均月工资为2000元.
请你用所学的统计知识回答下列问题.
(1)甲说法中的数据1200元，我们称之为 ;
(2)乙说法中的数据1100元，我们称之为 ;
(3)丙是用什么方法得出2000元的？
(4)甲、乙、丙三人的说法中，谁的说法可比较好地反映该公司员工收入的一般水平？
解：(1)中位数
(2)众数
(3)求平均数的方法.
(4)乙的说法较好地反映了该公司员工收入的一般水平.
【解题策略】 平均数是统计中的一个重要特征数，描述了一组数据的集中趋势，可以依据算术平均数和加权平均数的公式求平均数，而众数和中位数也是描述一组数据的集中趋势的特征数.
专题4 数形结合思想
【专题解读】 综合运用统计图的知识计算平均数、中位数、方差等特征数解决实际问题.
例14 市教育局为了了解本市中小学实施素质教育的情况，抽查了某校七年级甲、乙两个班的部分学生，了解他们在一周内(星期一至星期五)参加课外活动的次数情况，抽查结果统计如下(如图20-13所示)：
(1)在这次抽查中，甲班被抽查了 人，乙班被抽查了 人;
(2)在被抽查的学生中，甲班学生参加课外活动的平均次数为 次，乙班学生参加课外活动的平均次数为 次;
(3)根据以上信息，用学过的知识估计甲、乙两班在开展课外活动方面哪个班级更好一些;
(4)从图中你还能得到哪些信息？(写出一个即可)
解：(1)10 10 (2)2.7 2.2
(3)因为甲班的平均次数大于乙班的平均次数，所以甲班在开展课外活动方面更好一些.
(4)两班学生一周内活动2~3次的人数较多或一周内两班不参加活动的人数较少或一周内参加5次活动的人数较少，等等.
【解题策略】此题并没有应用多少统计方面的计算知识，但却充分利用了统计图来提供解题信息，由此可见，统计图在考试中显得越来越重要了.
2011中考真题精选
1. （2011江苏淮安，6，3分）某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30,33,24,29,24.这组数据的中位数是（ ）
A.29 B.28 C.24 D.9
考点：中位数。
专题：计算题。
分析：求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解答：解：数据排序为：24、24、29、30、33，∴中位数为29，
故选A．
点评：注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
2. （2011盐城，7，3分）某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是（　　 ）
A.平均数为30 B.众数为29 C.中位数为31 D.极差为5
考点：方差；算术平均数；中位数；众数.
专题：计算题.
分析：分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可．
解答：解：=29.8，∵数据29出现两次最多，∴众数为29，
中位数为29，极差为：32﹣28=4．故B．
点评：本题考查了平均数、中位数及众数的定义，特别是求中位数时候应先排序．
3. （2011江苏苏州，5，3分）有一组数椐：3，4，5，6，6，则下列四个结论中正确的是（　　）
A、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，6
B、这組数据的平均数、众数、中位数分别是5，5，5
C、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，5
D、这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，6，6
考点：众数 ( javascript:void(0) )；算术平均数 ( javascript:void(0) )；中位数 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于众数可由数据中出现次数最多的数写出；对于中位数，因为题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的一个数．
解答：解：一组数椐：3，4，5，6，6的平均数=（3+4+5+6+6）÷5=24÷5=4.8．
6出现的次数最多，故众数是6．
按从小到大的顺序排列，最中间的一个数是5，故中位数为：5．故选C．
点评：本题考查平均数、中位数和众数的概念．一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
4. （2011江苏无锡，8，3分）100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表：
跳绳个数x 20＜x≤30 30＜x≤40 40＜x≤50 50＜x≤60 60＜x≤70 x＞70
人数 5 2 13 31 23 26
则这次测试成绩的中位数m满足（　　）
A．40＜m≤50 B．50＜m≤60 C．60＜m≤70 D．m＞70
考点：中位数。
专题：计算题。
分析：首先确定人数的奇偶性，然后确定中位数的位置，最后确定中位数的范围．
解答：解：∵一共有100名学生参加测试，
∴中位数应该是第50名和第51名成绩的平均数，
∵第50名和第51名的成绩均在50＜x≤60，
∴这次测试成绩的中位数m满足50＜x≤60，
故选B．
点评：本题考查了中位数的确定，解题的关键是根据人数的奇偶性确定中位数的位置，进而确定其中位数．
5. （2011 宁夏，7，3分）某校A、B两队10名参加篮球比赛的队员的身高（单位：cm）如下表所示：
队员队 1号 2号 3号 4号 5号
A队 176 175 174 171 174
B队 170 173 171 174 182
设两队队员身高的平均数分别为，身高的方差分别为SA2，SB2，则正确的选项是（　　）
A、 B、
C、 D、 QUOTE EMBED Equation.3
考点：方差；算术平均数。
专题：计算题。
分析：要计算方差，必须先算平均数，然后根据方差公式计算即可．
解答：解：∵=（176+175+174+171+174）=174cm，
QUOTE EMBED Equation.3 =（170+173+171+174+182）=174cm．
SA2= [（176﹣174）2+（173﹣174）2+（171﹣174）2+（174﹣174）2+（182﹣174）2]=3.6cm2；
SB2=[（170﹣174）2+（175﹣174）2+（174﹣174）2+（171﹣174）2+（174﹣174）2]=5.2cm2；
∴ QUOTE EMBED Equation.3 ．
故选D．
点评：此题考查了方差的计算，要明确算方差必须先算平均数，且注意方差的单位是原单位的平方．
6. ( cm )（2011陕西，6，3分）某校男子男球队10名队员的身高（厘米）如下：179、182、170、174、188、172、180、195、185、182，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．181,181 B．182,181 C．180,182 D．181,182
考点：众数；中位数。
专题：计算题。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：在这一组数据中182是出现次数最多的，故众数是182；处于这组数据中间位置的数是182、182，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是182．
故选D．
点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7. （2011四川广安，3，3分）已知样本数据l，0，6，l，2，下列说法不正确的是（ ）
A．中位数是6 B．平均数是2 C．众数是l D．极差是6
考点：数据的代表，平均数，中位数，众数，极差
专题：统计
分析：把这组数据从小到大排列为0，1，1，2，6，由此可知该组数据的中位数为1，平均数为，众数为1，极差为6－0＝6．所以选项A是不正确的．
解答：A
点评：把一组数据从小到大排列后，处在最中间的数据（数据有奇数个）或中间两个数据（有偶数个数据）的平均数就是这组数据的中位数；把一组数据先求和，再除以数据的总个数就可以得到该组数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据（一组数据的众数可能不只一个）；极差是一组数据中最大值与最小值的差．平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量，平均数、中位数和众数所描述的角度不同，它们分别代表这组数据的“一般水平”、“中等水平”和“多数水平”；而极差反映的是一组数据的波动范围．
8. （2011四川凉山，7，4分）为离家某班学生每天使用零花钱的使用情况，张华随机调查了15名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 0 1 3 4 5
人数 1 3 5 4 2
关于这15名同同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（ ）
A．众数是5元　　 B．平均数是2.5元 　　C．极差是4元　　 D．中位数是3元
考点：极差 ( javascript:void(0) )；加权平均数 ( javascript:void(0) )；中位数 ( javascript:void(0) )；众数 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可．
解答：解：∵每天使用3元零花钱的有5人，∴众数为3元；
≈2.93，
∵最多的为5元，最少的为0元，
∴极差为：5－0＝5；
∵一共有15人，
∴中位数为第8人所花钱数，
∴中位数为3元．
故选D．
点评：本题考查了极差、加权平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 台湾21，4分）如表为72人参加某商店举办的单手抓糖果活动的统计结果．若抓到糖果数的中位数为a，众数为b，则a+b之值为何（　　）
抓到糖果数（颗） 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
次数（1） 3 7 6 10 11 8 13 7 1 4 2
A、20 B、21 C、22 D、23
考点：众数；中位数。
专题：数字问题。
分析：根据中位数与众数的求法，分别求出抓到糖果数的中位数与众数再相加即可解答．
解答：解：第36 与37人抓到的糖果数均为9，故中位数a=9，
11出现了13次，次数最多，故众数b=11，
所以a+b=9+11=20．
故选A．
点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
10. （2011台湾，14，4分）如图为某班甲．乙两组模拟考成绩的盒状图．若甲．乙两组模拟考成绩的全距分别为a．b；中位数分别为c．d，则a．b．c．d的大小关系，下列何者正确（　　）
( http: / / www.m / )
A．a＜b且c＞d B．a＜b且c＜d C．a＞b且c＞d D．a＞b且c＜d
考点：中位数。
分析：首先由全距值是以最大号减去最小号的值，即可根据图形求得a与b的值，又由中位数的定义求得c与d的值，即可求得答案．
解答：解：∵全距值是以最大号减去最小号的值，
∴a＝100－60＝40，b＝60－0＝60，
∴a＜b；
∴c＝80，d＝ QUOTE EMBED Equation.3 ＝30，
∴c＞d．
故选A．
点评：此题考查了中位数与全距的知识．解题的关键是熟记中位数与全距的定义．
11. （2011台湾，22，4分）下表为某班成绩的次数分配表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，求x2－2y之值为何（　　）
成绩（分） 20 30 40 50 60 70 90 100
次数（人） 2 3 5 x 6 y 3 4
A．33 B．50 C．69 D．90
考点：众数；代数式求值；中位数。
专题：计算题；图表型。
分析：由于全班共有38人，则x＋y＝50－（2＋3＋5＋6＋3＋4）＝15，结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即可确定x．y之值，从而求出x2－2y之值．
解答：解：∵全班共有38人，
∴x＋y＝50－（2＋3＋5＋6＋3＋4）＝15，
又∵众数为50分，∴x≥8，
当x＝8时，y＝7，中位数是第19，20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意；
当x＝9时，y＝6，中位数是第19，20两个数的平均数，则中位数为（50＋60）÷2＝55分，不符合题意；
同理当x＝10，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意．
则x＝8，y＝7．
则x2－2y＝64－14＝50．
故选B．
点评：本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定x．y之值．
12. （2011天津，8，3分）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下
列说法正确的是（　　）
A、甲比乙的成绩稳定 B、乙比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样稳定 D、无法确定谁的成绩更稳定
考点：方差；条形统计图。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
解答：解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13. （2011新疆建设兵团，4，5分）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（　　）
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
考点：方差．
分析：据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．可找到最稳定的．
解答：解：因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．
故选D．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14. （2011新疆乌鲁木齐，6，4）右面的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况，则这些工人日加工零件数的平均数、中位数、众数分别是（　　）
( http: / / www.m / )
A、6.4，10，4 B、6，6，6
C、6.4，6，6 D、6，6，10
考点：条形统计图；加权平均数；中位数；众数。
专题：图表型。
分析：先根据图形确定某车间工人日加工零件数，再利用平均数的公式求得平均数．根据中位数和众数的定义求解．
解答：解：观察直方图，可得
∴这些工人日加工零件数的平均数为（4×4＋5×8＋6×10＋7×4＋8×6）÷32＝6．
∵将这30个数据按从小到大的顺序排列，其中第15个、第16个数都是6，
∴这些工人日加工零件数的中位数是6．
∵在这30个数据中，6出现了10次，出现的次数最多，
∴这些工人日加工零件数的众数是6．
故选B．
点评：此题考查学生对条形图的认识，及对平均数、中位数、众数的运用．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
15. （2011重庆江津区，7，4分）某课外学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩分别是：120，100，135，100，125，则他们的成绩的平均数和众数分别是（　　）
A、116和100 B、116和125 C、106和120 D、106和135
考点：众数；中位数。
分析：众数的定义求解；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；再利用平均数的求法得出答案．
解答：解：在这一组数据中100是出现次数最多的，故众数是100；
他们的成绩的平均数为：（120+100+135+100+125）÷5＝116．
故选A．
点评：此题主要考查了众数以及平均数的求法，此题比较简单注意计算时要认真减少不必要的计算错误．
16. ( cm )（2011重庆綦江，6，4分）在“庆祝建党90周年的红歌传唱活动”比寒中，七位评委给某参赛队打的分数为：92、86、88、87、92、94、86，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数和中位数是（　　）
A．89，92 B．87，88 C．89，88 D．88，92
考点：中位数；算术平均数。
专题：计算题。
分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解答：解：根据去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数为：
平均数：（92＋86＋88＋87＋92）÷5＝89，故平均数是89；
将数据按从小到大的顺序排列得：
86、87、88、92、92．
最中间的年龄是88，
故中位数是88．
故选：C．
点评：此题主要考查了中位数的概念以及平均数的求法，根据中位数定义给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数，熟练记忆定义是解决问题的关键．
17. （2011 河池）五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（　　）
A、19和20 B、20和19
C、20和20 D、20和21
考点：中位数；算术平均数。
专题：应用题。
分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解答：解：根据平均数定义可知：平均数=（18+20+21+22+19）=20；根据中位数的概念可知，排序后第3个数为中位数，即20．
故选C．
点评：本题考查平均数和中位数的定义．
平均数只要求出数据之和再除以总个数；
一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
18. （2011 钦州）一组数据3，4，5，5，6，8的极差是（　　）
A、2 B、3
C、4 D、5
考点：极差。
分析：根据极差的定义，计算出最大值与最小值的差即可．
解答：解：数据3，4，5，5，6，8中，
最大值为8，最小值为3，
则极差为8﹣3=5．
故选D．
点评：此题考查了极差的定义，直接求出最大值与最小值的差即为正确答案．
19. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 安顺）我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天 数 1 1 2 3
则这组数据的中位数与众数分别是（　　）
A、27，28 B、27.5，28
C、28，27 D、26.5，27
考点：众数；中位数。
专题：图表型。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：处于这组数据中间位置的那个数是27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是27．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28．
故选A．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
20. （2011 湘西州）王先生在“六一”儿童期间，带小孩到凤凰古城游玩，出发前，他在网上查到从5月31日起，凤凰连续五天的最高气温分别为：24，23，23，25，26（单位：℃），那么这组数据的中位数是（　　）
A、23 B、24
C、25 D、26
考点：中位数。
专题：计算题。
分析：根据中位数的求法，将5个数字从大到小排列，找出中间的数即为中位数．
解答：解：将5个数字从大到小排列为23、23、24、25、26，最中间为24．
所以中位数为24．
故选B．
点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就容易出错．
21. （2011，台湾省，3,5分）安安班上有九位同学，他们的体重资料如下：
57，54，47，42，49，48，45，47，50．（单位：公斤）
关于此数据的中位数与众数的叙述，下列何者正确？（　　）
A、中位数为49 B、中位数为47 C、众数为57 D、众数为47
考点：众数；中位数。
专题：计算题。
分析：根据定义，对选项一一分析，采用排除法选择正确答案．
解答：解题技巧：先将所有的数据值依序排列后才取中位数
[解析]将9笔资料值由小到大依序排列如下：42，45，47，47，48，49，50，54，57
∵（9+1）÷2=5，
∴中位数取第5笔资料值，即中位数=48，
∵47公斤的次数最多（2次）
∴众数=47，故选（D）
教材对应：统计量
点评：本题考查了众数及中位数的定义，解题的关键是掌握统计中的有关概念．
22. （2011 德州5，3分）某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：
( http: / / www.m / )
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（　　）
A、甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B、甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数
C、甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D、甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
考点：方差；折线统计图；算术平均数；中位数；极差。
分析：结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．
解答：解：A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，此选项正确；
B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数，此选项正确；
C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，此选项正确；
D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，所以此选项正错误．
故选D．
点评：此题主要结合折线统计图，利用极差、中位数、平均数以及方差来进行分析数据，找到解决问题的突破口．
23. （2011山东济南，4，3分）某校九年级一班体育委员在一次体育课上记录了六位同学托排球的个数分别为37，25，30，35，28，25，这组数据的中位数为（ ）
A．25 B．28 C．29 D．32.5
考点：中位数。
专题：计算题。
分析：先把数据按从小到大排列：25，25，28，30，35，37，最中间两个数分别28和30，计算它们的平均数即可．
解答：解：把数据按从小到大排列：25，25，28，30，35，37，
共有6个数，最中间两个数的平均数=（28+30）÷2=29，
所以这组数据的中位数为29．
故选C．
点评：本题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数；也考查了平均数的计算方法．
24. （2011 莱芜）某校合唱团共有40名学生，他们的年龄如下表所示：
年龄/岁 11 12 13 14
人数/人 8 12 17 3
则合唱团成员年龄的众数和中位数分别是（　　）
A、13，12.5 B、13，12 C、12，13 D、12，12.5
考点：众数；中位数。
专题：计算题。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据．
解答：解：根据众数的定义在这组数据中13出现次数最多，则众数为13，
则中位数是（12+13）÷2=12.5，
∴合唱团成员年龄的众数和中位数分别为13，12.5．
故选A．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
25. （2011 临沂，7，3分）在一次九年级学生视力检查中．随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，4.2，4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8．则下列说法中正确的是（　　）
A、这组数据的中位数是4.4 B、这组数据的众数是4.5
C、这组数据的平均数是4.3 D、这组数据的极差是0.5
考点：极差；算术平均数；中位数；众数。
专题：计算题。
分析：分别计算这组数据的中位数，众数、平均数及方差后找到正确的选项即可．
解答：解：将这组数据排序后为：4.0、4.0、4.0、4.2、4.4、4.5、4.5、4.8，
∴中位数为：=4.3，
∴A选项错误；
∵4.0出现了3次，最多，
∴众数为4.0，
∴B选项错误；
∵=（4.0+4.0+4.0+4.2+4.4+4.5+4.5+4.8）=4.3，
∴C选项正确．
故选C．
点评：本题考查了平均数、中位数、众数及极差的知识，此类考题是中考的必考点，题目相对比较简单．
26. ( cm )（2011泰安，9，3分）某校篮球班21名同学的身高如下表
身高cm 180 186 188 192 208
人数（个） 4 6 5 4 2
则该校蓝球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（　　）
A．186，186 B．186，187 C．186，188 D．208，188
考点：众数；中位数。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
解答：解：众数是：188cm；
中位数是：188cm．
故选C．
点评：本题为统计题，考查极差．众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
27. （2011年山东省威海市，2，3分）今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）同学的测试成绩（单位：个/分钟）．
176 180 184 180 170 176 172 164 186 180
该组数据的众数、中位数、平均数分别为（　　）
A、180，180，178 B、180，178，178 C、180，178，176.8 D、178，180，176.8
考点：众数 ( javascript:void(0) )；算术平均数 ( javascript:void(0) )；中位数 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．再根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
解答：解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列（164，170，172，176，176，180，180，180，184，186），
处于中间位置的那两个数为176，180，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是178；
平均数为：（164+170+172+176+176+180+180+180+184+186）÷10=176.8．
故选C．
点评：本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
28. （2011山东省潍坊， 6，3分）某市2011年5月1日一10日十天的空气污染指数的数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61，75．70，56．81，91，92，91，75．81．
那么这组数据的极差和中位数分别是( )．
A．36，78 8．36，86 C．20，78 D．20，77.3
【考点】极差；中位数．
【专题】计算题．
【分析】求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；中位数是把数据从小到大排列起来，位置处于最中间的数就是中位数．
【解答】解：极差：92-56=36，
将这组数据从小到大的顺序排列56，61，70，75，75，81，81，91，91，92，
处于中间位置的那个数，75和81，所以中位数是（75+81）÷2=78．
故选：A．
【点评】此题主要考查了极差，中位数的求法，准确把握这两种数的概念是做题的关键．
29. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011山东烟台，8，4分）体育课上测量立定跳远，其中一组六个人的成绩（单位：米）分别是：1.0，1.3，2.2，2.0，1.8，1.6，,则这组数据的中位数和极差分别是（ ）
A.2.1，0.6 B. 1.6，1.2 C.1.8，1.2 D.1.7，1.2
考点：极差；中位数.
分析：根据极差的定义即可求得．
解答：解：排序后为：1.0、1.3、1.6、1.8、2.0、2.2 ∴中位数为1.7
由题意可知，极差为2.2﹣1.0=1.2米．故选D．
点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．
（2011成都，9，3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是（　　）
( http: / / www.m / )
A．6小时．6小时 B．6小时．4小时 C．4小时．4小时 D．4小时．6小时
考点：众数；条形统计图；中位数。
专题：常规题型。
分析：在这50人中，参加6个小时体育锻炼的人数最多，则众数为60；50人中锻炼时间处在第25和26位的都是6小时，则中位数为6．
解答：解：出现最多的是6小时，则众数为6；
按大小循序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6．
故选A．
点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
30. （2011四川达州，4，3分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（　　）
A、平均数是3 B、中位数是4
C、极差是4 D、方差是2
考点：算术平均数；中位数；极差；方差。
专题：计算题。
分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；根据中位数的定义可求出；对于极差是最大值与最小值的差；方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数
解答：解：在已知样本数据1，2，4，3，5中，平均数是3；
极差=5﹣1=4；
方差=2．
所以根据中位数的定义，中位数是3，所以B不正确．
故本题选B．
点评：本题考查平均数和中位数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
31. （2011四川广安，3，3分）已知样本数据l，0，6，l，2，下列说法不正确的是（ ）
A．中位数是6 B．平均数是2 C．众数是l D．极差是6
考点：数据的代表，平均数，中位数，众数，极差
专题：统计
分析：把这组数据从小到大排列为0，1，1，2，6，由此可知该组数据的中位数为1，平均数为，众数为1，极差为6－0＝6．所以选项A是不正确的．
解答：A
点评：把一组数据从小到大排列后，处在最中间的数据（数据有奇数个）或中间两个数据（有偶数个数据）的平均数就是这组数据的中位数；把一组数据先求和，再除以数据的总个数就可以得到该组数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据（一组数据的众数可能不只一个）；极差是一组数据中最大值与最小值的差．平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量，平均数、中位数和众数所描述的角度不同，它们分别代表这组数据的“一般水平”、“中等水平”和“多数水平”；而极差反映的是一组数据的波动范围．
32. ( cm )某中学数学兴趣小组12名成员的年龄悄况如下：
年龄（岁） 12 13 14 15 16
人数 1 4 3 2 2
则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是（　　）
A、15，16 B、13，15 C、13，14 D、14，14
【答案】D
【考点】中位数 ( javascript:void(0) )；加权平均数 ( javascript:void(0) )．
【专题】应用题 ( javascript:void(0) )．
【分析】根据平均数求法所有数据的和除以总个数即可，直接求出即可，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：根据平均数求法所有数据的和除以总个数，
∴平均数= =14，
把数据按从小到大的顺序排列：12，13，13，13，13，14，14，14，15，15，16，16，
∴中位数=（14+14）÷2=14．
故选D．
【点评】本题主要考查了平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，找中位数的时候一定要先按大小排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数，难度适中．
33. （2011 南充，2，3分）学校商店在一段时间内销售了四种饮料共100瓶，各种饮料的销售量如下表：
品牌 甲 乙 丙 丁
销售量（瓶） 12 32 13 43
建议学校商店进货数量最多的品牌是（　　）
A、甲品牌 B、乙品牌 C、丙品牌 D、丁品牌
考点：众数。
专题：常规题型。
分析：根据众数的意义和定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，则进货要进销售量最多的品牌．
解答：解：在四个品牌的销售量中，丁的销售量最多．
故选D．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，而误选其它选项．
34. （2011四川攀枝花，4，3分）今年日本发生大地震后，某校开展捐款援助活动，其中7名学生的捐款额（元）分别是：5，10，5，25，8，4，12．则这组数据的中位数是（　　）
A、5 B、8 C、10 D、12
考点：中位数。
专题：计算题。
分析：根据中位数的定义解答即可．
解答：解：这组数从小到大的顺序是：4，5，5，8，10，12，25，∴中位数是8．故选B．
点评：本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
35. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011四川雅安，7,3分）一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的极差、众数、中位数分别为（　　）
A.4，4，5 B.5，5，4.5 C.5，5，4 D.5，3，2
考点：极差；中位数；众数。
专题：计算题。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
解答：解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：1，3，4，5，5，6．
位于最中间的数是4和5，
∴这组数的中位数是4.5．
这组数出现次数最多的是5，
∴这组数的众数是5
极差为：6﹣1=5．
故选B．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
36. (2011四川雅安7，3分)一组数据为1,5,3,4,5,6，这组数据的极差．众数．中位数分别为（ ）
A 3,4,5 B 5,5,4.5 C 5,5,4 D 5,3,2
考点：极差；中位数；众数。
专题：计算题。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
解答：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：1，3，4，5，5，6．
位于最中间的数是4和5，
∴这组数的中位数是4.5．
这组数出现次数最多的是5，
∴这组数的众数是5
极差为6﹣1=5．
故选B．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
37. （2011北京，5，4分）北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：
区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山
最高气温 32 32 30 32 30 32 29 32 30 32
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．32，31
考点：众数；中位数。
专题：计算题。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；
处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．故选A．
点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
38. （2011福建龙岩，7，4分）数名射击运动员第一轮比赛成绩如下表所示；
环数 7 8 9 10
人数 4 2 3 1
则他们本轮比赛的平均成绩是（ ）
A．7.8环 B．7.9环 C. 8.l环 D．8.2环
考点：加权平均数.
分析：计算出命中的环数的比例及对应的圆心角，根据平均数的概念求平均环数．
解答：解：由题意可知：该运动员的平均成绩为＝8.1环．
故选C．
点评：本题考查平均数的求法，需要联合实际，比较简单．
39. （2011福建省漳州市，7,3分）九年级一班5名女生进行体育测试，她们的成绩分别为70，80，85，75，85（单位：分），这次测试成绩的众数和中位数分别是（　　）
A、79，85 B、80，79
C、85，80 D、85，85
考点：众数；中位数。
专题：常规题型。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：从小到大排列此数据为：70，75，80，85，85，数据85出现了两次最多为众数，80处在第3位为中位数．
所以本题这组数据的中位数是80，众数是85．
故选C．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
40. （2011天水，8，4）样本数据3、6、a、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是（　　）
A、8 B、5
C、 D、3
考点：方差；算术平均数。
专题：计算题。
分析：本题可先求出a的值，再代入方差的公式即可．
解答：解：∵3、6、a、4、2的平均数是5，
∴a=10，
∴方差S2= [（3﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2+（4﹣5）2+（2﹣5）2]=×40=8．
故选A．
点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数
41. ( cm )（2011广州，3，3分） 某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，则这组数据的中位数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
【考点】中位数．
【专题】应用题．
【分析】中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．
【解答】解：∵某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，
∴重新排序为4，4，5，6，10，
∴中位数为：5．
故选B．
【点评】此题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
42. 2011广东省茂名，11，3分）若一组数据 1，1，2，3，x的平均数是3，则这组数据的众数是　1　．
考点：众数；算术平均数。
专题：计算题。
分析：根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
解答：解：利用平均数的计算公式，得（1+1+2+3+x）=3×5，求得x=8，
则这组数据的众数即出现最多的数为1．
故答案为：1．
点评：本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个．
43.（2011 湖南张家界，3，3）一家鞋店对上一周某品牌女鞋的销量统计如下：
尺码（厘米） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销量（双） 1 2 5 11 7 3 1
该店决定本周进货时，多进一些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（　　）
A、平均数 B、中位数 C、方差 D、众数
考点：统计量的选择。
专题：应用题。
分析：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
解答：解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选D．
点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1.有10个数据的平均数为12，另外有20个数据的平均数为15，那么这30个数据的平均数
　是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）
　A.12　　　　　　　　　　B.15　　　　　　　　　　　　C.13.5　　　　　　　D.14
2.某学校为了解学生课外阅读时间，随机调查了50名学生，得到他们一天各自课外阅读所
　用时间的数据，结果如图20-14所示，根据此条形图估计这一天该校学生平均课外阅读时
　间为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）
　A.0.9小时　　　　　　　B.1.15小时　　　　　　　　　C.1.25小时　　　　D.1.5小时
3.为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的七名同学记录了自己家中
　一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下（单位：个）28，33，25，28，26，25，31，如果该
　班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家丢弃塑料袋的数量总共约为　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　A.900个　　　　　　　B.1080个　　　　　　　　C.1260个　　　　　　D.1800个
4.某校举行春季运动会，共有12名同学参加男子跳高比赛，成绩如下表所示（单位：米）
成绩 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
人数 1 2 3 2 1 1 1 1
则这12名同学比赛成绩的众数、中位数和平均数分别为　　　　　　　　　（　　　）
A.1.70，1.725，1.725　　　　　　　　　　　　　　　B.1.70，1.775，1.75
C.1.725，1.75，1.70　　　　　　　　　　　　　　　　D.1.70，1.725，1.75
5.已知1，2，3，4，x1, x2 ,x3,的平均数是8，则x1+ x2 +x3的值是　　　　　　（　　　）
A.14　　　　　　　　　B.22　　　　　　　　　C.32　　　　　　D. 46
6.甲、乙两名同学在相同的条件下，各射击5次，命中的环数如下表所示，那么下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）
甲 8 5 7 8 7
乙 7 8 6 8 6
A.甲的平均数是7，方差是1.2　　　　　　　B. 乙的平均数是7，方差是1.2
C.甲的平均数是8，方差是1.2　　　　　　　D. 乙的平均数是8，方差是0.8
7.在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，
9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是
（ ）
A.9.2 B.9.3 C.9.4 D.9.5
8.一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是 （ ）
A.7，7 B.7， 6 .5 C.5.5，7 D.6.5，7
9.今年我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，
要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的 （ ）
A.众数 B.方差 C.平均数 D.频数
10.已知一组数据x1, x2 ,x3, x4, x5 的平均数为2，方差为，那么另一组数据3x1-2，3x2-2，
3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数和方差分别是 （ ）
A.2， B.2，1 C.4， D.4，3
二、填空题
11.第一组数据：10，10.第二组数据：20，20，20.第三组数据：30，30，30，30，30.则
每组数据的平均数为 ， ， ，如果将这三组数据合
成一组新的数据，则这组新数据的平均数为， 中位数为， 众
数为， .
12.某班中考数学成绩如下：得100分7人，得90分14人，得80分17人，得70分8
人，得60分3人，得50分1人，平均分为 ，中位数为 ，
众数为 .
13.一台机床生产某种零件，在15天中，这台机床每天出的次品数如下（单位：个）：3，
0，1，2，0，1，0，0，2，0，1，1，1，2，1.在这15天中这台机床每天生产零件的
次品数的众数是 ，中位数是 ，平均数是 .
14.在期末考试中，我们按各科成绩的 来排名;在选举班干部时，我们应该考
虑的是投票单上名字的 ;将100位同学按考试成绩分成提高班和基础班
（每班50人），这时应考虑的是考试成绩的 .
15.某日的温差为5℃，若当天的最低气温为25℃，则最高气温为 .
16.小明射靶5次，环数分别为5，6，8，10，8.根据这些数据计算，极差为 ，方
差为 .
17.甲、乙两种水稻，经统计甲水稻的株高方差是2.0，乙水稻的株高标准差为2.0，可估计
水稻比 水稻长得整齐.
18.已知一个样本的方差，则其平均数
是 .
19.甲、乙两人比赛飞镖，两人所得平均环数相同，其中甲所得环数的方差为15，乙所得
环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较为稳定的是 .
20.某教学组有10名教师，年龄分别为24，35，46，37，28，39，47，52，60，27，他
们的平均年龄是 .
三、解答题
21.甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下(单位:秒)：
甲 10.8 10.9 11.0 10.7 11.2 10.8
乙 10.8 10.9 10.8 10.8 10.6 10.9
请你比较这两组数据中的众数、平均数、中位数，谈谈你的看法.
22.在“创优”活动中，我市某校开展收集废旧电池的活动.某校初二（1）班为估计四月
份收集废旧电池的个数，随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数，数据如下（单
位：个）:
48，51，53，47，49，50，52.
求这七天该班收集废旧电池个数的平均数，并估计四月份（30天）该班收集的废旧电
池的总个数.
23.甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图20-15所示.
（1）请你根据图中的数据填写下表：
姓名 平均数/环 众数/环 方差
甲 7 0.4
乙 6
（2）从平均数和方差相结合分析谁的成绩好些.
24.作为一项惠农强农应对当前国际金融危机、拉动国内消费需求的重要措施，“家电下乡”工作已经国务院批准从2008年12月1日起在我市实施，我市某家电公司营销点自去年12月份至今年5月份销售两种不同品牌冰箱的数量如图20-16所示.
（1）完成下表：
平均数 方差
甲品牌销售量/台 10
乙品牌销售量/台
（2）请你依据折线图的变化趋势，对营销点今后的进货情况提出建议.
参考答案
1.D［提示：］
2.A
3.C［提示：先计算样本平均数总数量为2845＝1260.］
4.D［提示：根据众数、平均数、中位数的定义可得.］
5.D［提示：］
6.A［提示：甲＝7，乙＝7，s2甲＝1.2，s2乙＝＝0.8.］
7.D 8.D 9.B
10.D［提示：当一组数据都乘以数k，且同时加上数a时，这组新数据的平均数变为，方差为，故＝32-2＝4，＝］
11.10 20 30 23 25 30［提示：由众数、中位数、平均数定义可求得.］
12.82.2分 80分 80分[提示：平均分为
（分）.]
13. 1 1 1[提示：由众数、中位数、平均数的定义可求.]
14.平均数 众数 中位数
15.30℃[提示：温差＝最高气温-最低气温.]
16. 5 3.04［提示：］
17.甲 乙［提示：考查方差的实际应用，方差越小，表明这组数据越稳定.］
18.20［提示：理解方差的定义就可求平均数.］
19. 甲［提示：乙＝（0+1+5+9+10）＝5，s2乙＝＝16.4. ∵s2甲＝15，∴s2甲＜s2乙∴成绩较为稳定的是甲.］
20.39.5岁［提示：（岁）.］
21.提示：甲的众数、平均数、中位数依次为10.8，10.97，10.85;乙的众数、平均数、中位数依次为10.8，10.8，10.8，看法不唯一，略.
22.解：这7天收集电池的平均数为（个），5030＝1500（个）.所以这7天收集的废旧电池平均数为50个，四月份该班级收集的废旧电池为1500个.
23.解：（1）如下表.
姓名 平均数/环 众数/环 方差
甲 7 7 0.4
乙 6 6 2.8
（2）甲、乙两人射靶成绩的平均数分别为7，6，而且甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较稳定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些.
24.解：（1）如下表：
平均数 方差
甲品牌销售量/台 10
乙品牌销售量/台 10
（2）建议如下：从折线图来看，甲品牌冰箱的月销售量呈上升趋势，进货时可多进甲品牌冰箱.第二十八章 锐角三角函数
本章小结
小结1 本章概述
锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．
【学习本章应注意的问题】
在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力．
小结3 中考透视
这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题．另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1：锐角三角函数的定义
【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．
例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cosB＝ D．tan B＝
分析 sinA＝＝，tan A＝＝，cos B＝＝．故选D.
例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 ( )
A． B． C． D．
分析 在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝．故选D.
分析 在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴sin A＝．故填．
专题2 特殊角的三角函数值
【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．
例4 计算|－3|＋2cos 45°－(－1)0．
分析 cos 45°＝．
解：原式＝3＋2×－1＝＋2．
例5 计算－＋＋(－1)2007－cos 60°．
分析 cos 60°＝．
解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．
例6 计算|－|＋(cos 60°－tan 30°)0＋．
分析 cos 60°＝，tan 30°＝，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0＝1，
解：原式＝＋1十＋2＝3＋1．
例7 计算－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－.
分析 tan 60°＝.
解：原式＝8－1－＋1＋＋2＝10.
专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用
【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.
例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．
(1)求线段DC的长；
(2)求tan∠EDC的值.
分析 在Rt△ABD中，由sinB＝，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE＝AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转化为求tan C.
解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，sin B＝．
∵AD＝12，sin B＝，∴AB＝15，
∴BD＝＝＝9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C
∵tan C＝＝,∴tan∠EDC＝tan C＝．
例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.
(1)求证AC＝BD；
(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长．
分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．
证明：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tan B＝，cos∠DAC＝，tan B＝cos∠DAC，
∴＝，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝，设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝＝5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝，
∴AD＝12k＝12×＝8．
例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30，求AB的长．
分析 过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．
解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.
在Rt△ADB中，tanB＝，∴BD＝＝x，
在Rt△ADC中，tan C＝，∴CD＝＝＝x．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋30，
∴x＋x＝30＋30 ,∴x＝30．
在Rt△ABD中，sin B＝，
∴AB＝＝＝30.
专题4 用锐角三角函数解决实际问题
【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．
例11 如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)；
(3)根据(2)中的数据计算AB．
解：(1)测量示意图如图28—128所示．
(2)测量步骤．
第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角∠AHE＝α.
第二步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离
CD＝m．
第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角
∠AFE＝β.
第四步：用皮尺测出测角仪的高h．
(3)令AE＝x，则tan α＝，得HE＝.
又tan β＝，得EF＝，
∵HE－FE＝HF＝CD＝m，
∴＝m，解得x＝．
∴AB＝＋h．
例12 如图28－129所示，一条小船从港口A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里 (结果保留整数，提示：sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0．8391，≈1.732)
分析 此题可作CD⊥AP构造直角三角形求AC，而CD，AD的长可转移到其他三角形中解决，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，进而求解．
解：如图28－130所示，过点B作BE⊥AP，垂足为点E，过点C分别作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF．
∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．
∵AB＝20，∠BAD＝40°，
∴AE＝AB·cos 40°≈20×0.7660≈15.3，
BE＝AB·sin 40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．
又∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴CF＝BC·sin 60°≈10×＝5≈8.7，
BF＝BC·cos 60°＝10×0.5＝5，
∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．
∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，
由勾股定理得AC＝≈＝≈25，
即此时小船距港口A约25海里．
【解题策略】 正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少 (结果保留小数点后两位)
分析 本题可作CE⊥AB，垂足为E，求出CE的长即为河宽．
解：如图28－131所示，过点C作CE⊥AB于E，则CE即为河宽，
设CE＝x(米)，则BE＝x＋60(米)．
在Rt△BCE中，tan30°＝，即＝,
解得x＝30(＋1)≈81.96(米)．
答：河宽约为81．96米．
【解题策略】 解本题的关键是设CE＝x，然后根据BE＝AB＋AE列方程求解．
例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据≈1.4，≈1.7)
分析 在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达．
解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，
∴AB＝＝300.
＝tan 45°，即BD＝AD·tan 45°＝300．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，
∴BC＝＝200，CD＝＝＝100 .
1号救生员到达B点所用的时间为＝150≈210(秒)，
2号救生员到达B点所用的时间为＝50＋≈192(秒)，
3号救生员到达B点所用的时间为＋＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达营救地点B.
【解题策略】 本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键．
例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险 试说明理由．
分析 本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，
由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝6(海里)．
∵6＞9，∴货船继续向正东方向航行无触礁危险．
【解题策略】 此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险.
例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A， B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(≈1.73，结果保留整数)
分析 由于CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的长，从而得出结论．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE·tan 60°＝15，
∴CD＝CE－DE＝15－23≈3，
即这块广告牌的高度约为3米．
例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.
分析 坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．
解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
由题意可知tanB＝1，tan C＝，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：坝底宽BC为12．5 m．
【解题策略】 背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)
分析 要求AB的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能直接求解，所以设AB为未知量，即用AB表示BD和BC，根据BD－BC＝CD＝30，列出关于AB的方程．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan 20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan 23°．
∴CD＝BD－BC＝ABtan 23°－ABtan 20°＝AB(tan 23°－tan 20°)．
∴AB＝≈＝500(m)．
答：此人距CD的水平距离AB约为500 m．
二、规律方法专题
专题5 公式法
【专题解读】 本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．
例19 当0°＜α＜90°时，求的值．
分析 由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α
解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．
∴.
∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．
∴原式＝＝1．
【解题策略】 以上解法中，应用了关系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经常用到，应当牢记，并灵活运用．
三、思想方法专题
专题6 类比思想
【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．
例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，解这个直角三角形．
分析 已知两直角边长a，b，可由勾股定理c＝求出c，再利用sin A＝求出∠A，进而求出∠B＝90°－∠A．
解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴c＝.
又∵sin A＝，∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
【解题策略】 除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形．
专题7 数形结合思想
【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．
例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 ∵y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝. ∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故选A.
专题8 分类讨论思想
【专题解读】 当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．
例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保留根号)
解：①如图28－138(1)所示，
在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．
又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝10．
故AP＝AD＋DP＝(30＋10)km．
②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP＝(30－10)km，
故交叉口P与加油站A的距离为(30＋10)km或(30－10)km．
【解题策略】 此题针对P点的位置分两种情况进行讨论，即点P在线段AB上或点P在线段BA的延长线上．
专题9 转化思想
【专题解读】 本章中的转化思想主要应用在把直角三角形的线段比转化为三角函数值、把实际问题转化为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题等．
例23 如图28－139所示，某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB的长为22 m，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶与地面的距离；
(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC改到F点处，则BF至少是多少米 (结果保留小数点后一位，参考数据：sin 68°≈0.9272，cos 68°≈0.3746，tan 68°≈2.4751，sin 50°≈0.7660，cos 50°≈0.6428，tan 50°≈1.1918)
分析 将实际问题转化为数学问题是解题关键．
解：(1)过B作BE⊥AD于E，
则在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴BE＝AB·sin 68°＝22sin 68°≈20.4(m)．
(2)过F作FG⊥AD于G，连接FA，则FG＝BE．
∵AG＝≈17.12，AE＝AB·cos 68°＝22cos 68°≈8．24，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．
例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么 (参考数据：≈1.732，≈1.414)
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°，
∵AC＋BC＝AB，
∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100，
∴(＋1)PC＝100，
∴PC＝50(3－)≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保留整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)
解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm．
在Rt△ABE中，sinα＝ ，
∴AB＝≈＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，
∴AD＝≈＝60(mm)．
∴矩形ABCD的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26 如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米
解：设正午时光线正好照在I楼的一楼窗台处，此时新建居民楼
Ⅱ高x米．
过C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，FC＝30米，∠ECF＝30°，
∴tan 30°＝,∴＝10＋2．
答：新建居民楼Ⅱ最高只能建(10＋2)米．
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：网格型。
分析：设小方格的长度为1，过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求出sinA．
解答：解：过C作CD⊥AB，垂足为D，设小方格的长度为1，
在Rt△ACD中，AC==2.∴sinA==，
故答案为．
点评：本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理的知识点，此题比较简单，构造一个直角三角形是解答本题的关键．
2. （2011江苏苏州，9，3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（　　）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义 ( javascript:void(0) )；勾股定理的逆定理 ( javascript:void(0) )；三角形中位线定理 ( javascript:void(0) )．
专题：几何图形问题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答：解：连接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故选B．
点评：本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明△BCD是直角三角形是解题关键．
3. （2011江苏镇江常州，6，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，BC=2，则sin∠ACD的值为（　　）
( http: / / www.m / )
A． B．
C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题：应用题．
分析：在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．
解答：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B== QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
故选A．
点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．
4. （2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA= QUOTE EMBED Equation.3 ．则下列关系式中不成立的是（　　）
A．tanA cotA=1 B．sinA=tanA cosA C．cosA=cotA sinA D．tan2A+cot2A=1
考点：同角三角函数的关系。
专题：计算题。
分析：可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．
解答：解：根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA cotA==1，关系式成立；
B、sinA= QUOTE EMBED Equation.3 ，tanA cosA=，关系式成立；
C、cosA=，cotA sinA=，关系式成立；
D、tan2A+cot2A=（ QUOTE EMBED Equation.3 ）2+（ QUOTE EMBED Equation.3 ）2≠1，关系式不成立．
故选D．
点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA．
（3）正切之间的关系：tanA tanB=1．
5. （2011陕西，5，3分）在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果．
解答：解：根据三角函数性质 cosB==，
故选C．
点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单．
6. ( cm )（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（　　）
A. B. C. D.1
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．
解答：解：sin45°=．
故选B．
点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．
7. （2011 贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）
( http: / / www.m / )
A、2 B、
C、 D、
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：常规题型。
分析：根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：邻边列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC===2，
∴tan∠CAD===2．
故选A．
点评：本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键．
8. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011山东烟台，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
考点：特殊角的三角函数值.
分析：根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．
解答：解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．
点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
10. （2011四川达州，8，3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（　　） ( http: / / www.m / )
A、 B、
C、 D、
考点：特殊角的三角函数值；实数与数轴。
专题：计算题。
分析：先根据数轴上A点的位置确定出其范围，再根据特殊角的三角函数值对四个选项进行分析即可．
解答：解：由数轴上A点的位置可知， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ＜A＜2．
A、由sin30°＜x＜sin60°可知， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；
B、由cos30°＜x＜ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 cos45°可知，＜x＜ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ×，即 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ＜x＜，故本选项错误；
C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；
D、由 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 cot45°＜x＜cot30°可知， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ×1＜x＜，即 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ＜x＜，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及在数轴的特点，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
9. ( cm )（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质．
分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= ，
∴tanB′=tanB= ．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
10 （2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
解答：解：∵sin60°= ，cos60°= ，∴点M（－，）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（－，－）．故选B．
点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．
11. （2011广东省茂名，8，3分）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　）
A、sinA=cosA B、sinA＞cosA
C、sinA＞tanA D、sinA＜cosA
考点：锐角三角函数的增减性。
专题：计算题。
分析：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可．
解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA，
故选：B．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确的利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．
12. （2011 宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（　　）
( http: / / www.m / )
A、30cm B、20cm C、10cm D、5cm
考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．
解答：解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：
tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，
则BC=ACtan∠BAC=30× QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =10 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 cm．
故选C．
点评：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．
13. （2011湖北随州，9，3）cos30°＝（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：直接根据cos30°＝进行解答即可．
解答：解：因为cos30°＝，
所以C正确．
故选C．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
14. （2011 玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．
解答：解：∠α=90°﹣30°=60°，
cosα=cos60°=．
故选A．
点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=，cos30°= QUOTE EMBED Equation.3 ，tan30°= QUOTE EMBED Equation.3 ，cot30°=；
sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°= QUOTE EMBED Equation.3 ，cos60°=，tan60°=，cot60°= QUOTE EMBED Equation.3 ．
互余角的性质：两角互余其和等于90度．
15.（2011广西防城港 2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
考点：特殊角的三角函数值
专题：解直角三角形
分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝ QUOTE EMBED Equation.3 ．
解答：A
点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题．填空题为主．特殊角三角函数值：sin30°＝ QUOTE EMBED Equation.3 ，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝ QUOTE EMBED Equation.3 ．
16.（2011年广西桂林，6，3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，
则sinA的值为（ ）．
A． B．
C． D．
考点：锐角三角函数的定义 ( javascript:void(0) )；勾股定理 ( javascript:void(0) )．
分析：直角三角形中，正弦值是角的对边与斜边的比值；先求出斜边AB的值，然后，即可解答．
答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5；
∴sinA= = ．
故选C．
点评：本题考查了锐角三角函数值的求法及勾股定理的应用，熟记公式才能正确运用．
17.（2011广西来宾，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值是
A. B. C. D.
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=邻边÷斜边计算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA==．
故选C．
18. （2011湖州，4，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（　　 ）
( http: / / www.m / )
A．2 B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义.
分析：根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
( http: / / www.m / )
解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA=．故选B．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（　　）A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义 ( javascript:void(0) )；勾股定理 ( javascript:void(0) )．
【专题】待定系数法 ( javascript:void(0) )．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比上斜边，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA=．故选A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
20． （2011福建莆田，8，4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
分析：由四边形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF= = ．
故选C．
点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的性质．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．
21. （2011四川遂宁，8，4分）计算2sin30°﹣sin245°+cot60°的结果是（　　）
A、+3 B、+ C、+ D、1－+
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：分别把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入进行计算即可．
解答：解：2sin30°﹣sin245°+cot60°=2×－（）2+（）2+=1﹣+=+．故选B．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的特殊角的三角函数值是解题的关键．
22. （2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（　　）
( http: / / www.m / )
A. B. C. D.
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。
专题：推理填空题。
分析：作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE） 构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．
解答：解：连接AO并延长交圆于E，连CE．
∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E=；
又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），
∴sinB=．
故选D．
( http: / / www.m / )
点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．
23. ( cm )(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则（ ）
A B C D
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。
专题：推理填空题。
分析：作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE） 构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．
解答：连接AO并延长交圆于E，连CE．
∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E==；
又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），
∴sinB=．
故选D．
( http: / / www.m / )
点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．
二、填空题
1. （2011江苏南京，11，2分）如图，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．
考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质。
分析：根据作图可以证明△ABC是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
解答：解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
故答案是：．
点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．
2. （2011江苏镇江常州，11，3分）若∠α的补角为120°，则∠α=　60°　，sinα= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：特殊角的三角函数值；余角和补角．
专题：计算题．
分析：根据补角的定义，即可求出∠α的度数，从而求出sinα的值．
解答：解：根据补角定义，∠α=180°﹣120°=60°，
于是sinα=sin60°= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
故答案为60°， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值和余角和补角的定义，要熟记特殊角的三角函数值．
3. （2010福建泉州，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=　5　，sinA=．
( http: / / www.m / )
考点锐角三角函数的定义；勾股定理
分析先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义即可得到∠A的正弦．
解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，∴sinA==．故答案为：5，．
点评本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
4. （2011福建厦门，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB=　　　　　．
考点：锐角三角函数的定义。
专题：数形结合。
分析：利用锐角三角函数的定义知：锐角的正弦值=．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如图），
sinB==．
故答案是：．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义．①正弦（sin）等于对边比斜边； ②余弦（cos）等于邻边比斜边； ③正切（tan）等于对边比邻边； ④余切（cot）等于邻边比对边； ⑤正割（sec）等于斜边比邻边； ⑥余割 （csc）等于斜边比对边．
5. ( cm )（2011天水，16，4）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°=　 　．
考点：特殊角的三角函数值；互余两角三角函数的关系。
专题：计算题。
分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA tan（90°﹣A）=1．
解答：解：原式=+1+=2．
故答案为2．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值以及互余两角三角函数的关系，牢记三角函数值是解题的关键．
6. （2011山东日照，13，4分）计算sin30°﹣|﹣2|=．
考点：特殊角的三角函数值；绝对值。
专题：计算题。
分析：本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式= QUOTE EMBED Equation.3 ﹣2=．
故答案为： QUOTE EMBED Equation.3 ．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
7. （2011重庆江津区，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝．
考点：锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：在Rt△ABC中，根据三角函数定义sinA＝即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴根据三角函数的定义得：sinA＝＝，
故答案为．
点评：此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．
8. （2011内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．
考点：切线的判定与性质 ( javascript:void(0) )；全等三角形的判定与性质 ( javascript:void(0) )；相似三角形的判定与性质 ( javascript:void(0) )；锐角三角函数的定义 ( javascript:void(0) )．
专题：综合题 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）连接OB、OP，由，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；
（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，则OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）证明：连接OB、OP，如图，
∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直线PB是⊙O的切线；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
设PB=a，则BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA= ×2a=a，
∴OA=a，
∴OP= ，
∴cos∠BCA=cos∠POA= ．
点评：本题考查了圆的切线的性质和判定：圆的切线垂直于过切点的半径；过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了三角形相似和全等的判定与性质以及三角函数的定义．
9. ( cm )（2011 安顺）如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．
( http: / / www.m / )
考点：圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义。
分析：根据同弧所对的圆周角相等，可证∠ECO=∠OBE．由锐角三角函数可求tan∠ECO=，即tan∠OBE=．
解答：解：连接EC．
根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．
在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，
则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．
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点评：本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识．
注意锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
10. （2011黑龙江大庆，11，3分）计算sin230°+cos230°﹣tan245°=　﹣．
考点：特殊角的三角函数值。
分析：把三角函数的数值代入计算即可．
解答：解：原式=（）2+（）2﹣1=+﹣1，=﹣．故答案是：﹣．
点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是解题的关键．
11. （2011 西宁）计算：sin45°=　1　．
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：根据特殊角的三角函数值解答．
解答：解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=，
∴sin45°=×=1．
故答案为1．
点评：本题主要考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主，比较简单．
12. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011山东滨州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.
【考点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形．
【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，从而求出角A的正切值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案为1．
【点评】本题涉及到的知识点有：等腰直角三角形、特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值．
13. （2011 莱芜）若a=3﹣tan60°，则 QUOTE EMBED Equation.3 = 。
考点：分式的化简求值；分式的基本性质；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：求出a的值，把分式进行计算，先算括号里面的减法，把除法转化成乘法，再进行约分即可．
解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣，
∴原式=
=
=
故答案为： QUOTE EMBED Equation.3 ．
点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分、通分，最简分式，最简公分母，分式的加减、乘除运算，特殊角的三角函数值等知识点的理解和掌握，综合运用这些法则进行计算是解此题的关键．
14. （2011山东淄博16，4分）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．
( http: / / www.m / )
考点：锐角三角函数的定义。
分析：根据已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行线分线段成比例定理得出，进而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH=，
故答案为：．
( http: / / www.m / )
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义以及平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出PH的长再利用锐角三角函数的定义求出是解决问题的关键．
15. （2011黑龙江省哈尔滨,19，3分）已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是　 ．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；正方形的性质。
分析：本题可以利用锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质求解．
解答：解：此题有两种可能：
（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴tan∠BPC==2；
（2）∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
又∵BC=2，∠C=90°，
∴tan∠BPC=．
故答案为：2或．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解．
16. （2011湖北武汉，13，3分）sin30°的值为 ．
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．
解答：解：sin30°= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，故答案为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
三、解答题
1. （2011新疆建设兵团，20，8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
考点：作图－旋转变换；锐角三角函数的定义．
分析：（1）作出∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂线，即可得出答案．
（2）利用旋转的性质得出AB1＝3，AC1＝4，再利用锐角三角函数的定义即可求出．
解答：解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如图所示即是所求．
（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝＝．
点评：此题主要考查了做旋转图形和锐角三角函数的定义，根据已知熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
2. （2011浙江金华，17，6分）(本题6分)
计算：|－1|－－（5－π）0+4cos45°.
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算。
专题：计算题。
分析：本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解】原式=1－×2－1+4×=
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
3. ( cm )（2011浙江丽水，17，6分）计算：．
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算。
专题：计算题。
分析：本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：，
=，
=．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
4. （2011浙江衢州，17，6分）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；
考点：特殊角的三角函数值；分式的加减法；零指数幂。
专题：计算题。
分析：（1）根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果，
解答：解：（1）原式= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
点评：本题主要考查了绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质、实数运算法则及同分母分式加减法法则，难度适中．
5. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（1）（2011浙江义乌，17（1），3分）计算：20110＋－2sin45°；
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；解分式方程。
专题：计算题。
分析：（1）根据零指数幂，以及特殊角的三角函数值即可解答本题，
（2）观察方程可得最简公分母是：2（x－2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
解答：解：（1）原式＝1＋2－，
＝1＋；
（2）2（x＋3）＝3（x－2），
解得：x＝12，
检验：当x＝12时，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
点评：本题考查了零指数幂，以及特殊角的三角函数值，以及解分式方程需转化为整式方程，还要注意一定要验根．
6. （2011黑龙江省哈尔滨,21，6分）先化简，再求代数式的值，其中x=2cos45°﹣3．
考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。
专题：探究型。
分析：先把原式进行化简，再把x=2cos45°﹣3代入进行计算即可．
解答：解：原式=
=
当x=2cos45°﹣3时，
原式=
=．
故答案为：．
点评：本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则把原式化为的形式是解答此题的关键．
7. （2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=.
计算的值.
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂.
分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．
解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．
点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．
8. （2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= .
（2）对于0°（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值.
考点：解直角三角形
分析：（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
解答：解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°==1．故答案为1．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC==4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，
AH==k．
则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．
由正对的定义可得：sadA==，即sadα=．
点评：此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为 ( )
A． B． C． D．
2．已知α为锐角，tanα＝，则cosα等于 ( )
A． B． C． D．
3．如图28－143所示，为了确定一条小河的宽度BC，可在C左侧的岸边选择一点A，使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC等于 ( )
A．asinθ B．acosθ C．atanθ D.
4．某同学想用所学的知识测量旗杆的高度，在地面距旗杆底部5 m远的地方，他用测倾器测得旗杆顶部的仰角为α，且tanα＝3，则旗杆高等于(不计测倾器的高度) ( )
A．10 m B．12 m C．15 m D．20 m
5．如图28－144所示，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山的高度BC大约是(结果保留小数点后两位) ( )
A．1366．03米 B．1482．12米
C．1295．93米 D．1508.21米
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝6，sin B＝，那么AB的长是 ( )
A．4 B．9 C．3 D．2
7．如图28－145所示，在高楼前的D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到达C点，又测得楼顶的仰角为45°，则该高楼的高度大约为 ( )
A．82米 B．163米 C．52米 D．70米
8．某人沿倾斜角为B的斜坡前进100米，则他上升的最大高度是 ( )
A. 米 B.100sinβ米 C．米 D．100cosβ米
9．铁路路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为2：3，上底宽6米，路基高4米，则路基的下底宽为 ( )
A．18米 B．15米 C．12米 D．10米
10．观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cosα＜1(α是锐角)；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．
12．如图28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，BC＝，
则AB的长为 ．
13．当x＝sin 60°时，代数式·＋的值是 ．
14．已知cos 59°24′≈0.509，则sin 30°36′≈ ．
15．若∠A，∠B互余，且tan A－tan B＝2，则tan2A＋tan2B＝ ．
16．如图28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝，则这个菱形的面积是 .
17．已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D落在DC延长线上的点D′处，则∠BAD′的正弦值为 .
18．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．
19．在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝2，AB＝2，则BC＝ ．
20．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝ ．
三、解答题
21．如图28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝．
(1)求DC的长；
(2)求sinB的值．
22．如图28－150所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东60°方向上，向正东方向航行8海里后到达C处，又测得该灯塔在它的北偏东30°方向上，若渔船不改变航向，继续向正东方向航行，有没有触礁的危险 通过计算说明理由．
23．如图28－151所示，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处、楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高．(结果保留小数点后两位，参考数据：≈1.414，≈1.732)
24．如图28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)为1：，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
25．阅读下面的材料并回答问题．
如图28－153所示，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过A作AD⊥BC于D，则sinB＝，sin C＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsin C，即＝，同理，＝，＝，所以＝＝，即在—个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等．
(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a，b，∠A，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c，∠B，∠C，请你按照下面的步骤填空，完成求解过程；
第一步：由条件a，b，∠A 求出∠B；
第二步：由条件∠A，∠B 求出∠C；
第三步：由条件 求出c；
(2)一货轮在C处测得灯塔A在它的北偏西30°方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度沿北偏东45°方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°方向上(如图28－154所示)，求此时货轮与灯塔A的距离AB．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 40°≈0．643，sin 65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin 75°≈0．966)
参考答案
1．A[提示：设∠A的对边为3k，斜边为5k，则b＝4k，∴tanB＝．]
2．A[提示：∵tan α＝，∴α＝60°，∴cosα＝.]
3．C
4．C[提示：tanα＝＝3，∴旗杆高为15m．]
5．A[提示：过点D作DF⊥AC，易求DF＝EC＝500，AF＝500，由已知条件可知AC＝BC，DE＝FC，∴DE＝BE＋EC－AF＝BE＋500－500.由tan∠BDE＝列方程求解．] 6．B[提示：∵sin B＝，∴AB＝＝9．]
7．A[提示：设AB＝x，则BC＝x，BD＝60＋x，在Rt△ABD中，tan 30°＝∴x＝(60＋x)·，∴x≈82．]
8．B
9．A[提示：由题意画图可得答案．]
10．C[提示：sin 59°＞sin 28°成立，0＜cosα＜1(α是锐角)成立，tan 30°＋tan 60°＝＋≠tan 90°，tan 44°＜tan 45°，即tan 44°＜1．]
11．2－ [提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2×－＋1＝2－.]
12．3＋ [提示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△BDC中，tan B＝．∴，∴BD＝3CD，∵BC＝，∴CD2＋(3CD)2＝()2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tan A＝，∴AD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.]
13．[提示：∵·＋＝2x，∴原式＝2sin 60°＝．]
14．0.509[提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．]
15．6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tan A·tan B＝1，tan2A＋tan2B＝(tan A－tan B)2＋2tan A·tan B＝22＋2＝6．]
16．[提示：∵cos B＝，设BE＝5x，则AB＝13x，∴AE＝＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝，则AE＝12x＝12×＝，BC＝5x＋1＝5×＋1＝，∴S＝×＝．]
17．[提示:如图28－155所示，根据题意得DD′＝2DC，设正方形的边长为x，则AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根据勾股定理得AD′＝＝x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝＝.∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝．]
18．30°[提示：如图28＝156所示，∵SABCD＝S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)， ∴GC＝FC．∵CF＝DC，∴GC＝DC，．∵∠DGC＝90°，sin 30°＝，∴∠CDG＝30°，即这个平行四边形的一个最小内角为30°．]
19．＋
20．30°[提示：x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．]
21．解：(1)∵cos∠ADC＝，∴设CD＝3x，则AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6． (2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝，∴sin B＝．
22．解：在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于D，设AD＝x，∵∠ACD＝60°，∠ABD＝30°，∴BD＝＝x，CD＝＝x.∵BD－CD＝8，∴x－x＝8，∴x＝4 ，即AD＝4＝＜7，∴若渔船不改变航向，继续向正东方向航行；有触礁的危险．
23．解：在Rt△ABD中，BD＝80，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴AB＝BD·tan∠ADB＝80≈138．56(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝80，∴CD＝BE＝AB－AE＝80－80＝80（－1)≈58.56(米)．答：塔高AB约为138．56米，楼高CD约为58．56米．
24．解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1： 可知∠CAE＝30°．∴CE＝AC·sin 30°＝10×＝5，AE＝AC·cos 30°＝10×＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6(米)．
25．(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180° a，∠A，∠C (2)解：依题意可知∠ABC＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC＝28．4×＝14．2．∵，∴AB＝≈≈21．3（海里）.即此时货轮与灯塔A的距离AB约为21.3海里．
直角三角形中
的边角关系
锐角三
角函数
解直角三角形
实际问题
A
B
C
C’
B’
A
A
B
C
C
B
图①
图②第五章 相交线与平行线
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容是两条直线的位置关系——相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识，是几何学习的重要阶段，要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质，最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念；掌握等角的余角相等，等角的补角相等；掌握垂线、垂线段的概念；知道两条直线平行，同位角相等以及同位角相等，两直线平行，进一步探索平行线的性质和判定.
【本章难点】掌握垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义；通过具体实例认识平移；能按要求作出简单平面图形平移后的图形，利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．
小结3 中考透视
中考所考查的内容主要体现在以下几个方面：
1. 对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解，对顶角、邻补角以及垂线性质的应用，包括实际应用.
2. 同位角、内错角、同旁内角的含义，能由线找出角、由角说出线.
3. 平行线的识别与特征，以及在实际问题中的应用.
4. 简单命题的证明．
知识网络结构图
专题总结及应用
1、 知识性专题
专题1 有关基本图形的问题
【专题解读】 本章中主要考查数图形的个数问题，构造基本图形以及基本图形的组合，如平行线与角平分线的组合，平行线与平行线的组合等.
例1 如图5-132所示，直线AB,CD,EF都经过点O，图中共有几对对顶角？
分析 数基本图形不能重复，不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角，图中有3组两条直线相交，故对顶角有2×3=6（对）.
解：共有6对对顶角.
【解题策略】 数图形个数及书写时，应注意顺序性，这样不易重复和遗漏.
例2 如图5-133所示，图中共有几对同旁内角？
分析 我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角，其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”，即CD,EF被GH所截，形成两对同旁内角，AB,EF被GH所截，又形成两对同旁内角，所以共有4对同旁内角.
解：图中共有4对同旁内角.
【解题策略】 注意观察同旁内角的特点.
例3 如图5-134所示，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC的度数.
分析 此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线）把它们转化成我们熟悉的基本图形.
解：如图5-134所示，过点P作射线PN∥AB.
因为AB∥CD(已知)，
所以PN∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)，
所以∠4=∠2=25°（两直线平行，内错角相等）.
因为PN∥AB(已知)，
所以∠3=∠1=32°（两直线平行，内错角相等）.
所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.
【解题策略】 构造基本图形就是将残缺的基本图形补全.
例4 如图5-135所示，已知AB∥CD,EF分别交AB,CD于G,H,GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD.试说明GM∥HN.
分析 要说明GM∥HN,可说明∠1=∠2，而由GM,HN分别为∠AGF,∠EHD的平分线，可知∠1=∠AGF,∠2=∠EHD,又由AB∥CD,有∠AGF=∠EHD,故有∠1=∠2，从而结论成立.
解：因为GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD(已知)，
所以∠1=∠AGF,
∠2=∠EHD(角平分线定义).
又因为AB∥CD(已知)，
所以∠AGF=∠EHD(两直线平行，内错角相等)，
所以∠1=∠2，
所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.
【解题策略】 此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.
例5 如图5-136所示，已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.
分析 条件为直线平行，故可根据平行线的性质说明.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠B=∠C(两直线平行，内错角相等).
因为BC∥DE(已知)，
所以∠C=∠D(两直线平行，内错角相等).
【解题策略】 此题重点考查了平行线的性质的应用.
例6 如图5-137所示，已知AB∥CD,G为AB上任一点，GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.
分析 要说明180°问题，想到了“平角”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个知识点，故可用它们解决问题.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠4=∠2，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.
因为∠4+∠1+∠5=180°（平角定义），
所以∠2+∠1+∠3=180°（等量代换）.
【解题策略】 此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°，应用等量代换解决了问题.
例7 如图5-138所示，AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF
解：因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC(已知)，
所以∠1=∠AOC,∠2=∠BOC(角平分线定义).
所以∠1+∠2=∠AOC+∠BOC
=(∠AOC+∠BOC).
又因为∠AOC+∠BOC=180°(邻补角定义)，
所以∠1+∠2=×180°=90°，
所以OE⊥OF(垂直定义).
【解题策略】 根据角平分线定义将∠1和∠2分别转化为∠AOC和∠BOC是解此题的关键.
例8 如图5-139所示，已知AB∥CD,∠CED=90°.试说明∠1+∠2=90°.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠3=∠1，∠4=∠2（两直线平行，内错角相等）.
因为∠3+∠4+∠CED=180°(平角定义)，
∠CED=90°(已知)，
所以∠3+∠4=90°，
所以∠1+∠2=90°（等量代换）.
【解题策略】 根据两直线平行分别将∠1和∠2转化为∠3和∠4，再根据平角定义由∠3+∠4+∠CED=180°和已知∠CED=90°可说明∠1+∠2=90°.
例9 如图5-140所示，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.
解：因为CD⊥AB,FG⊥AB(已知)，
所以∠CDB=∠FGB=90°(垂直定义)，
所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.
因为DE∥BC(已知)，
所以∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），
所以∠1=∠2（等量代换）.
【解题策略】 多次运用平行线的性质说明∠1，∠2，∠3的关系.
二、规律方法专题
专题2 基本命题的计算与证明
【专题解读】 基本命题的计算与证明涉及的题型有（1）有关角的计算； (2)有关角相等的判定；（3）判定平行问题；（4）判定垂直问题；（5）判定共线问题.
例10 如图5-141所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2的度数.
分析 由∠3+∠4=180°，知AB∥CD,故∠2=180°-∠1.
解：因为∠4=70°，∠3=110°（已知），
所以∠4+∠3=180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，
所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）.
【解题策略】 此题考查由同旁内角互补判定两直线平行，由两直线平行可行同旁内角互补，从而计算相关的角.
例11 如图5-142所示，AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）.
因为EB∥DF(已知)，
所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），
所以∠1=∠2（等式性质）.
【解题策略】 判定角相等的方法有：
（1）同角（等角）的余角相等；
（2）同角（等角）的补角相等；
（3）对顶角相等；
（4）角平分线定义；
（5）两直线平行，同位角相等；
（6）两直线平行，内错角相等.
例12 如图5-143所示，DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.
分析 要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2，故有∠1=∠A,从而得出结论.
解：因为DF∥AC(已知)，
所以∠2=∠A(两直线平行，同位角相等).
因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠A（等量代换），
所以DE∥AB(同位角相等，两直线平行).
【解题策略】 判定平行的方法有：
（1）平行于同一条直线的两直线平行；
（2）垂直于同一条直线的两直线平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行；
（5）同旁内角互补，两直线平行.
例13 如图5-144所示，∠1=∠2，CD∥EF.试说明EF⊥AB.
分析 要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°，而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，所以有∠1=∠2=90°，从而得出结论.
解：因为CD∥EF(已知)，
所以∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠2=90°，
所以EF⊥AB（垂直定义）.
【解题策略】 判定垂直的方法有：
（1）说明两条相交线的一个交角为90°；
（2）说明邻补角相等；
（3）垂直于平行线中的一条，也必垂直于另一条.
例14 如图5-145所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.
分析 要说明E,O,F三点共线，只需说明∠EOF=180°.
解：因为AB,CD相交于点O（已知），
所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等).
因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD（已知），
所以∠1=∠AOC,
∠2=∠BOD(角平分线定义)，
所以∠1=∠2（等量代换）.
因为∠1+∠EOD=180°(邻补角定义)，
所以∠2+∠EOD=180°(等量代换)，
即∠EOF为平角，所以E,O,F三点共线.
【解题策略】 判定三点共线问题的方法有：
（1）构成平角；
（2）利用平行公理说明；
（3）利用垂线的性质说明.
三、思想方法专题
专题3 转化思想
【专题解读】 在计算过程中，我们总是想办法将未知的转化为已知的.
例15 如图5-146所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:∠AOD=7:2,求∠BOE的度数.
分析 欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可，由已知条件可求得∠AOD.
解：∵∠COA+∠AOD=180°,∠COA:∠AOD=7:2,
∴∠COA=×180°=140°,∠AOD=×180°=40°.
∵OD平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-80°=100°.
【解题策略】 互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系，要注意发现图形中的这两种角，它们常隐藏在直线条件的背后.
2011中考真题相交线与平行线精选
一、选择题
1.（2011云南保山2，3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2= .
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
分析：由邻补角的定义，即可求得∠3的度数，又由l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵∠1=120°，
∴∠3=180°﹣∠1=60°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．
2. （2011 南通）如图，AB∥CD，∠DCE=80°，则∠BEF=（　　）
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A、120° B、110° C、100° D、80°
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
专题：计算题。
分析：根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BEF=180°﹣80°=100°．故选C．
点评：本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．
3. （2011山东日照，3，3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
考点：三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：计算题。
分析：根据两直线平行，同位角相等，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，
∴∠EFB=125°，
∴∠EFA=180﹣125=55°，
∵∠A=45°，
∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．
故选B．
点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理．
4. （2011山西，5，2分）如图所示，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）
A．35° B． 70° C． 110° D． 120°
考点：平行线的性质，三角形的外角，多学科综合
专题：相交线与平行线
分析：由DC∥OB得∠ADC ＝∠AOB＝35°，又由反射角相等知∠ADC＝∠ODE ＝35°，因为∠DEB是△ODE的外角，所以∠DEB＝∠ODE＋∠AOB＝70°．
解答：B
点评：利用反射角相等得出∠ADC＝∠ODE ＝35°．掌握平行线的性质，三角形的外角以及反射角相等．
5. （2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）
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A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6 C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
考点：三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。
分析：根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，即可得出答案．
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解答：解：∵四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角，
∵∠1＝∠AOB，
∵∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠4＋∠6＝180°．
故选C．
点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．
6. （2011新疆建设兵团，3，5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．
则∠C等于（　　）
A、40° B、65° C、75° D、115°
考点：平行线的性质．
分析：由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．
解答：解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝65°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．
7. （2011重庆綦江，5，4分）如图，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）
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A．65° B．50° C．35° D．25°
考点：平行线的性质。
专题：几何计算题。
分析：首先由AC丄AB与∠1＝65°，求得∠B的度数，然后由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AC丄AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1＋∠B＝90°，
∵∠1＝65°，
∴∠B＝25°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠B＝25°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质与垂直的定义．题目比较简单，解题时要注意数形结合思想的应用．
8. （2010重庆，4，4分）如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于( )
A．60° B．50° C． 45° D． 40°
考点：平行线的性质
分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．
解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．
点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．
9. （2011湖北潜江，5，3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　 ）
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A．23° B．16° C．20° D．26°
考点：平行线的性质。
专题：计算题。
分析：根据平行线的性质得到∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180，求出∠ECD，根据∠BCE＝∠BCD—∠ECD求出即可．
解答：解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°．
故选C．
点评：本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．
10. （2011 河池）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，∠A=30°，∠COD=105°．则∠D的大小是（　　）
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A、30° B、45°
C、65° D、75°
考点：平行线的性质；三角形内角和定理。
分析：首先根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠A=30°，然后由△COD的内角和为180°，求出∠D的大小．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠A=30°．
在△COD中，∵∠C+∠COD+∠D=180°，
∴∠D=180°﹣30°﹣105°=45°．
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，属于基础题型，比较简单．
11. （2011 安顺）如图，己知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是（　　）
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A、100° B、110°
C、120° D、150°
考点：平行线的性质。
分析：由∠CDE=150°，根据邻补角的定义，即可求得∠CDB的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABD的度数，由BE平分∠ABC，求得∠ABC的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠C的度数．
解答：解：∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠ABC=120°．
故选C．
点评：此题考查了平行线的性质，邻补角的定义与角平分线的定义．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
12. （2011 德州，4，3分）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（　　）
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A、55° B、60° C、65° D、70°
考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。
分析：设∠2的对顶角为∠5，∠1在l2上的同位角为∠4，结合已知条件可推出∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，即可得出∠3的度数
解答：解：∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，
∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，
∴∠3=65°．
故选C．
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点评：本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角．
13. （2011 临沂，3，3分）如图．己知AB∥CD，∠1=70°，则∠2的度数是（　　）
A、60° B、70° C、80° D、110
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考点：平行线的性质。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数，又由邻补角的性质，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3=70°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°．
故选D．
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点评：此题考查了平行线的性质．注意数形结合思想的应用．
14. （2011泰安，8，3分）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β＝20°，则∠α的度数为（　　）
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A．25° B．30° C．20° D．35°
考点：平行线的性质；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。
专题：计算题。
分析：根据平角的定义求出∠ACR，根据平行线的性质得出∠FDC＝∠ACR＝70°，求出∠AFD，即可得到答案．
( http: / / www.m / )
解答：解：
∵∠β＝20°，∠ACB＝90°，
∴∠ACR＝180°－90°－20°＝70°，
∵l∥m，
∠FDC＝∠ACR＝70°，
∴∠AFD＝∠FDC－∠A＝70°－45°＝25°，
∴∠a＝∠AFD＝25°，
故选A．
点评：本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角．邻补角等知识点的理解和掌握，求出∠AFD的度数是解此题的关键．
15. （2011四川泸州，4，2分）如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（　　）
A.45° B.55° C.65° D.75°
考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．专题：计算题．
分析：因为∠1与∠2互补，所以a∥b，又因为∠3=∠5，所以∠4与∠5互补，则∠4的度数可求．
解答：解：∵∠1与∠2互补，
∴a∥b，
∵∠3=∠5，
∴∠5=135°，
∵a∥b，
∴∠4与∠5互补，
∴∠4=180°－135°=45°．
故选A．
点评：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
16. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果
∠1=32°，那么∠2的度数是（　　）
A、32° B、58° C、68° D、60°
【
答案】B
【考点】平行线的性质 ( javascript:void(0) )；余角和补角 ( javascript:void(0) )．
【专题】计算题
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
【解答】解：根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B．
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
17．（2011 南充，3，3分）如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=60°，下列结论成立的是（　　）
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A、∠C=60° B、∠DAB=60° C、∠EAC=60° D、∠BAC=60°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：根据平行线的性质，根据内错角相等，逐个排除选项即可得出结果．
解答：解：A、无法判断，故本选项错误，
B、∠B=60°，∴∠DAB=60°，故本选项正确，
C、无法判断，故本选项错误，
D、无法判断，故本选项错误，
故选B
点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．.
18. （2011四川雅安，5,3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1=72°，∠2=58°，则∠3=（　　）
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A.45° B.50° C.60° D.58°
考点：平行线的性质。
专题：证明题。
分析：根据两直线l1∥l2，推知内错角∠3=∠5；然后由对顶角∠2=∠4、三角形内角和定理以及等量代换求得∠3=50°．
解答：解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠2=∠4（对顶角），∠1=72°，∠2=58°，
∴∠5=50°（三角形内角和定理），
∴∠3=50°（等量代换）．
故选B．
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点评：本题考查是平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
19. （2011四川省宜宾市，4，3分）如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB. 若∠D=70°，
则∠CEB等于( )
A.70° B.80°
C.90° D.110°
考点：平行线的性质 ( javascript:void(0) )．
分析：由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．
答案：解：∵DF∥AB，
∴∠BED=∠D=70°，
∵∠BED+∠BEC=180°，
∴∠CEB=180°-70°=110°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等，注意数形结合思想的应用．
20. ( cm )(2011四川雅安5，3分)如图，直线被直线所截，且，若∠1=72°，∠2=58°，则∠3=（
A 45° B 50° C 60° D 58°
考点：平行线的性质。
专题：证明题。
分析：根据两直线l1∥l2，推知内错角∠3=∠5；然后由对顶角∠2=∠4、三角形内角和定理以及等量代换求得∠3=50°．
解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠2=∠4（对顶角），∠1=72°，∠2=58°，
∴∠5=50°（三角形内角和定理），
∴∠3=50°（等量代换）．
故选B．
点评：本题考查是平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
21. （2011福建龙岩，6，4分）如图．若乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，且乙到丙、丁的距离相同．则α的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
考点：方向角；平行线的性质；等腰三角形的性质。
分析：由已知及平行线的性质可得乙丙与乙丁正北方向的角也等于70°，又由乙到丙、丁的距离相同，所以2倍的角α等于70°，从而求出α的度数．
解答：解：已知乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，
所以由平行线的性质得乙丙与乙丁正北方向的角也等于70°，又乙到丙、丁的距离相同，
所以2α=70°，所以α=35°，故选C．
点评：此题考查的是方向角，解答此题的关键是由平行线的性质及等腰三角形的性质得出答案．
22. （2011天水，5，4）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
A、30° B、45°
C、40° D、50°
考点：平行线的性质。
分析：由将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由平角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵a∥b，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=50°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
23. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
考点矩形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质。
分析先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用
EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．
解答证明：如右图所示，四边形ABCD是菱形，顺次连接个边中点E、F、G、H，连接AC、BD，
∵E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，
同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，
∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选A．
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点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质．解题的关键是证明四边形EFGH是平行四边形以及∠HEF=∠BME=90°．
24. （2011广东省茂名，3，3分）如图，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有（　　）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
考点：平行线的性质；余角和补角。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1+∠AEF=180°，由邻补角的定义，即可得∠1+∠EFD=180°，则可求得答案．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠AEF=180°，
∵∠1+∠EFD=180°．
∴图中与∠1互补的角有2个．
故选A．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．题目比较简单，解题时注意数形结合思想的应用．
25.（2011 株洲5，分）某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，则∠FDC的度数是（　　）
A、30° B、45° C、60° D、75°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由邻补角的定义即可求得∠BAD的度数，又由AB∥CD，即可求得∠ADC的度数，则问题得解．
解答：解：∵∠EAB=45°，
∴∠BAD=180°﹣∠EAB=180°﹣45°=135°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠BAD=135°，
∴∠FDC=180°﹣∠ADC=45°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．
26.（2011年湖南省湘潭市，11，3分）如图，a∥b，若∠2=130°，则∠1= 50度．
考点：平行线的性质 ( javascript:void(0) )．
分析：由a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．
解答：解：a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠2=130°，
∴∠1=50°．
故答案为：50．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．
27.（2011吉林长春，8，3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1．l2于B．C两点，连接AC．BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（　　）
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A．36° B．54° C．72° D．73°
考点：平行线的性质；圆的认识．
分析：由l1∥l2，∠ABC=54°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，又由以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1．l2于B．C两点，连接AC．BC，可得AC=AB，即可证得∠ACB=∠ABC=54°，然后由平角的定义即可求得答案．
解答：解：∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1．l2于B．C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故选C．
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点评：此题考查了平行线的性质与等腰三角形的性质，以及平角的定义．注意两直线平行，内错角相等．
28.如图，直线a∥b，∠1=115°，则∠2=
65
考点：平行线的性质 ( javascript:void(0) )．
分析：由对顶角相等，可求得∠3的度数，又由a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵∠1=115°，
∴∠3=∠1=115°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-115°=65°．
故答案为：65．
点评：此题考查了平行线的性质．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
29.（2011辽宁阜新,5,3分）如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2=70°，则∠1的度数为（　　）
A.100° B.125° C.130° D.140°
考点：平行线的性质。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BOM的度数，又由OM是∠BOF的平分线，即可求得∠BOF的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∠2=70°，
∴∠BOM=∠2=70°，
∵OM是∠BOF的平分线，
∴∠BOF=2∠BOM=140°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠BOF=140°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理的应用．
30．．（2010河南，2，3分）如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠1=35°，则∠2的大小为（　　）A．35 B．145 C．55 D．125
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考点：平行线的性质
分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵a∥b，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣35°=145°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
31. (2011襄阳，4，3分)如图，CD∥AB，∠1＝120°，∠2＝80°，则∠E的度数是(　　)
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A．40° B．60° C．80° D．120°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：几何综合题。
分析：首先由平行线的性质得出∠1等于三角形CDE的外角，再由三角形的外角性质求出∠E．
解答：解：∵CD∥AB，
∴∠1＝∠EDF＝120°，
∴∠E＝∠EDF－∠2＝120°－80°＝40°．
故选：A．
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点评：此题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得出三角形CED的外角．
32. （2011湖北十堰，5，3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，DE过点C，且DE//AB，若∠ACD=500，则∠B的度数是（ ）
第5题图
A．500 B．400 C．300 D．250
考点：平行线的性质.
专题：几何图形问题.
分析：首先由平行线的性质得∠A=∠ACD=50°，再由∠A+∠B=90°，求出∠B．
解答：解：∵DE∥AB，
∴∠A=∠ACD=50°，
又∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
故选：B．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质，关键是由平行线的性质求出∠A．
33. （2011湖北孝感，3，3分）如图，直线AB．CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO=30°，则∠DOT等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
考点：平行线的性质。
分析：由CE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BOD的度数，又由OT⊥AB，求得∠BOT的度数，然后由∠DOT=∠BOT﹣∠DOB，即可求得答案．
解答：解：∵CE∥AB，
∴∠DOB=∠ECO=30°，
∵OT⊥AB，
∴∠BOT=90°，
∴∠DOT=∠BOT﹣∠DOB=90°﹣30°=60°．
故选C．
点评：此题考查了平行线的性质，垂直的定义．解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意两直线平行，同位角相等．
34. （2011湖南怀化,4,3分）如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（　　）
A．100° B．60°
C．40° D．20°
考点：平行线的性质。
分析：首先过点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数．
解答：解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．
点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
35. ( cm )如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，
∠2=50°，则∠3的度数为（　　）
A、80 B、50 C、30 D、20
【答案】D
【考点】平行线的性质 ( javascript:void(0) )；三角形的外角性质 ( javascript:void(0) ).
【专题】计算题 ( javascript:void(0) )
【分析】由BC∥DE得内错角∠CBD=∠2，由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3，由此可求∠3．
【解答】解：如图，∵BC∥DE，∴∠CBD=∠2=50°，
又∵∠CBD为△ABC的外角，∴∠CBD=∠1+∠3，即∠3=50°-30°=20°．故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，关键是利用平行线的性质，将所求角与已知角转化到三角形中，寻找角的等量关系．
36. （2011贵州毕节，11，3分）如图，已知AB∥CD，∠E＝，∠C＝，则∠EAB的度数是( )
A． B． C． D．
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠EAB的度数．
解答：解：∵ AB∥CD，∴∠1=∠C=52°，∵∠E=28°，∴∠EAB=∠1+∠E=52°+28°=80°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等，注意数形结合思想的应用．
37. （2011贵州遵义，4，3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为
A. B.
C. D.
【考点】平行线的性质．
【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角相等，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°，
∴∠3=90°-∠1=45°，
∴∠4=180°-∠3=135°，
∵EF∥MN，
∴∠2=∠4=135°．
故选D．
点评：此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
38.（2011海南，11，3分）如图．已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝48°，那么∠2的度数为（　　）
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A．42° B．48° C．52° D．132°
考点：平行线的性质。
分析：由a∥b，∠1＝48°，根据两直线平行，同位角相等得到∠3＝∠1＝48°，再根据对顶角相等即可得到∠2．
解答：解：如图，
∵a∥b，∠1＝48°，
∴∠3＝∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选B．
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点评：本题考查了两直线平行的性质：两直线平行，同位角相等；也考查了对顶角的性质．
39. （2011广东湛江,10,3分）如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（　　）
A、70° B、80° C、90° D、100°
考点：平行线的性质 ( javascript:void(0) )；对顶角、邻补角 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：在题中∠AEC和∠DEB为对顶角相等，∠DEB和∠D为同旁内角互补，据此解答即可．
解答：解：因为AB∥DF，
所以∠D+∠DEB=180°，
因为∠DEB与∠AEC是对顶角，
所以∠DEB=100°，
所以∠D=180°-∠DEB=80°．
故选B．
点评：本题比较容易，考查平行线的性质及对顶角相等．
40. （2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（　　）
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A、7 B、7.5 C、8 D、8.5
考点：平行线分线段成比例。
分析：由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．
解答：解：∵a∥b∥c，
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∵AC=4，CE=6，BD=3，
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
解得：DF= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，
∴BF=BD+DF=3+ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 =7.5．
故选B．
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
41.（2011广西崇左，13，3分）如图所示BC∥DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是( )
A．60° B．33° C．30° D．23°
考点：平行线的性质．
分析：由BC∥DE，∠1=108°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠A的大小．
解答：解：∵BC∥DE，∠1=108°，
∴∠2=∠1=108°，
∵∠2=∠A+∠AED，∠AED=75°，
∴∠A=∠2﹣∠AED=33°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
42.（2011年广西桂林，3，3分）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）．
考点：对顶角、邻补角 ( javascript:void(0) )；平行线的性质 ( javascript:void(0) )；三角形的外角性质 ( javascript:void(0) )．
分析：根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
答案：解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，本题考查的知识点较多，熟记其定义，是解答的基础．
43. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，5，3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=，∠CEF=，则∠BCE等于
A. B. C. D.
考点：平行线的性质 ( javascript:void(0) )．
分析：根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180，求出∠ECD，根据∠BCE=∠BCD-∠ECD求出即可．
答案：解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，
∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-∠FEC=26°，
∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=46°-26°=20°．
故选C．
点评：本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．
44. ( cm )（2011 恩施州3,3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（　　）
A、43° B、47° C、30° D、60°
考点：平行线的性质。
专题：计算题。
分析：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
解答：解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β=∠EDC，
又∠CED=∠α=43°，
∠ECD=90°，
∴∠β=∠EDC=90°﹣∠CED=90°﹣43°=47°，
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质．关键是延长BC，构造两条平行线之间的截线，将问题转化到直角三角形中求解．
45. （2011浙江宁波，8，3）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为（　　）
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A、57° B、60° C、63° D、123°
考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：根据三角形内角和为180°，以及对顶角相等，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠EAB的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C+∠E，
∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠A＝57°，
故选A．
点评：本题考查了三角形内角和为180°，对顶角相等，以及两直线平行同旁内角互补，难度适中．
46.（2011浙江绍兴，3，4分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（　　）
A．17° B．34° C．56° D．68°
考点：平行线的性质。
分析：首先由AB∥CD，求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，求得∠CBE的度数，然后根据三角形外角的性质求得∠BED的度数．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=34°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠CBE=∠ABC=34°，
∴∠BED=∠C+∠CBE=68°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用.
47. （2011浙江金华，5，3分）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B.25° C.20° D.15°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
解答：解：根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，
∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
故选B．
点评：本题主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质，互为余角的两角的和为90°，难度适中．
48. （2011浙江丽水，5，3分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）
A、30° B、25°
C、20° D、15°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
解答：解：根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，
∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
故选B．
点评：本题主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质，互为余角的两角的和为90°，难度适中．
49. ( cm )（2011浙江义乌，8，3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于（　　）
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A．60° B．25° C．35° D．45°
考点：三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由已知可以推出∠A的同旁内角的度数为120°，根据三角形内角和定理得∠E＝35°
解答：解：设AE和CD相交与O点
∵AB∥CD，∠A＝60°
∴∠AOD＝120°
∴∠COE＝120°
∵∠C＝25°
∴∠E＝35°
故选C．
点评：本题主要考查平行线的性质、三角新股内角和定理，关键看出∠A的同旁内角的对顶角是三角形的一个内角
二、填空题
1. （2011江苏淮安，12，3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= .
考点：平行线的性质。
分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义即可求得∠2的度数．
解答：解：∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°．
故答案为：110°．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是数形结合思想的应用．
2. （2011 泰州，15，3分）如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2 　 ．
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考点：平行线的性质。
分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：解： ( http: / / www.m / )
∵a∥b，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°．
故答案为：110°．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等
3. （2011 江苏徐州，12，3）如图AB∥CD，AB与DE交于点F，∠B=40°，∠D=70°，则∠E=　 　．
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考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：推理填空题。
分析：由两直线AB∥CD，推知内错角∠1=∠D=70°；然后根据三角形外角定理求得∠1=∠B+∠E，从而求得∠E=30°．
解答：解：∵AB∥CD，∠D=70°，
∴∠1=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠1=∠B+∠E（外角定理），
∴∠E=70°﹣40°=30°．
故答案是：30°．
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点评：本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质．求∠2的度数时，∠1的度数是连接已知条件∠B=40°与∠D=70°的纽带．
4. （2011陕西，12，3分）如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E ，若， 则 ．
考点：平行线的性质。
分析：由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°﹣∠1=180°﹣64°=116°，
∵AE平分∠BAC交BD于点E，
∴∠BAE=∠BAC=58°，
∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°．
故答案为：122°．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
5.. ( cm )如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，那么∠A=
54°．
考点：平行线的性质 ( javascript:void(0) )；三角形内角和定理 ( javascript:void(0) )．
专题：几何图形问题 ( javascript:void(0) )；数形结合 ( javascript:void(0) )．
分析：由∠ACB=90°，∠ECD=36°，求得∠ACE的度数，又由CE∥AB，即可求得∠A的度数．
解答：解：∵∠ECD=36°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-36°=54°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=54°．
故答案为：54°．
点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
6. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011 湘西州）如图，已知直线a∥b，∠1=60°，则∠2度数是　60　°．
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考点：平行线的性质。
分析：由直线a∥b，∠1=60°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
7. （2011 西宁）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2=　50°　．
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考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：综合题。
分析：先根据三角形的外角性质求得∠4的度数，再根据平行线的性质即可求解．
解答：解：由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°，
∵∠2和∠4是两平行线间的内错角，
∴∠2=∠4=50°．
故答案为：50°．
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点评：本题综合考查了三角形的外角性质和平行线的性质，得到∠4的度数是解题的关键
8. （2011山东济南，19，3分）如图，直线l与直线a、b分别交与点A、B，a∥b，若∠1=70°，则∠2=　 　°．
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考点：平行线的性质。
分析：首先由a∥b，∠1=70°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：
解：
∵a∥b，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°．
故答案为：110．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011新疆乌鲁木齐，12，4）如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B＝30°，∠D＝60°．则∠BOD＝　90　度．
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考点：平行线的性质；三角形内角和定理。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数，又由∠B＝30°，根据三角形的内角和等于180°，即可求得∠BOD的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝60°，∵∠B＝30°，
∴∠BOD＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－60°＝90°．
故答案为：90．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．注意两直线平行，内错角相等．
10. （2011四川广安，12，3分）如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _________
考点：平行线，垂线
专题：平行线与相交线
分析：因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．
解答：32°
点评：结合已知条件分析图形，由图形之间的位置关系可得数量关系，如由平行线得到相等的角，由垂直得到直角三角形，从而利用直角三角形的两个锐角互余的性质求解．
11. （2011四川攀枝花，14，4分）如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3=　60°　．
考点：平行线的性质。
专题：计算题。
分析：先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠3所在三角形其余两角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠3的度数．
解答：解：如图所示：∵l1∥l2，∠2=65°，∴∠6=65°，∵∠1=55°，∴∠1=∠4=55°，在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°，∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°．故答案为：60°．
点评：本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形内角和定理，是一道较为简单的题目．
12. （2011四川遂宁，13，4分）下列命题①不相交的直线是平行线；②同位角相等；③矩形的对角线相等且互相平分；④平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；⑤同圆中同弦所对的圆周角相等．其中错误的序号是　 　．
考点：命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；平行线；平行四边形的性质；矩形的性质；圆周角定理；轴对称图形；中心对称图形。
专题：应用题。
分析：根据平行的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，圆周角的性质来判断所给选项是否正确即可．
解答：解：①在同一平面内，不相交的直线是平行线，故本选项错误，②两直线平行，同位角相等，故本选项错误，③矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确，④平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误，⑤同弦对应的圆周角中，在弦的同侧时，两圆周角相等，在两侧时两圆周角互补，故本选项错误，故答案为①②④⑤．
点评：本题主要考查了综合利用相关性质和判定，难度适中．
13. （2011四川遂宁，24，8分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当n=1时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当n=2时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分；则：当n=3时，三条直线将一个平面分成　7　部分；当n=4时，四条直线将一个平面分成　11　部分；若n条直线将一个平面分成an个部分，n+1条直线将一个平面分成an+1个部分．试探索an、an+1、n之间的关系．
考点：规律型：图形的变化类。
专题：规律型。
分析：一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
解答：解：当n=1时，分成2部分，
当n=2时，分成4=2+2部分，
当n=3时，分成7=4+3部分，
当n=4时，分成11=7+4部分，
规律发现，有几条线段，则分成的部分比前一种情况多几部分， an、an+1、n之间的关系是：an+1=an+（n+1）．
故答案为：7，11，an+1=an+（n+1）．
点评：本题是对图形变化问题的考查，根据前四种情况发现有几条线段则分成的空间比前一种增加几部分是解题的关键．
14.（2011 江西，15，3）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=　 　度．
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考点：对顶角、邻补角；余角和补角。
专题：计算题。
分析：根据对顶角相等得到∠1=∠3，∠2=∠4，而三角形尺为直尺，即可得到∠1+∠2=90°．
解答：解：如图，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故答案为：90．
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点评：本题考查了对顶角的性质：对顶角相等．
15. （2011丽江市中考，2,3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2= 60°
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
分析：由邻补角的定义，即可求得∠3的度数，又由l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣∠1=60°，∵l1∥l2，∴∠2=∠3=60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．
16. （2011湖州，12，4分）如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，则∠2=　60　度．
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考点：平行线的性质；角平分线的定义.
专题：计算题.
分析：已知CD平分∠ACB，DE∥AC，可推出∠ACB=∠2，易求解．
解答：解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠1；∵DE∥AC，∴∠ACB=∠2；
又∵∠1=30°，∴∠2=60°．
点评：本题应用的知识点为两直线平行，同位角相等；角平分线的定义．
17. （2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 .
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，根据平行线的性质得到∠HCB=∠B=60°，根据三角形的内角和定理求出∠FEB=∠CEH=30°，根据勾股定理求出BF、CH、EF、EH的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．
解答：解：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∵EF⊥AB，
∴EH⊥DC，∠BFE=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠HCB=∠B=60°，
∴∠FEB=∠CEH=180°﹣∠B﹣∠BFE=30°，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=2，
∴CH=BF=1，
由勾股定理得：EF=EH=
∴⊿DFH面积=FH×DH=4,所以△DEF的面积是2．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
18. （2011浙江衢州，12，4分）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF=　70°　．
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由平行线的性质，两直线平行、同位角相等，得出∠AEF等于量角器的一条刻度线OF的读数．
解答：解：由已知量角器的一条刻度线OF的读数为70°，即∠COF=70°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠COF=70°，
故答案为：70°．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质，关键是要明确量角器的一条刻度线OF的读数即是∠COF的度数．
19. 如图，a∥b，∠1=40°，∠2=80°，则∠3= 120度．
【考点】三角形的外角性质 ( javascript:void(0) )；平行线的性质 ( javascript:void(0) )．
【专题】计算题 ( javascript:void(0) )．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等，求出∠2的同位角的度数，再利用三角形的外角的性质求得∠3的度数．
【解答】解：如图，∵a∥b，∠2=80°，∴∠4=∠2=80°（两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠1+∠4=40°+80°=120°．故答案为120°．
【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形外角的性质．特别注意三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
20. （2011 贵阳11,4分）如图，ED∥AB，AF交ED于点C，∠ECF=138°，则∠A=　42　度．
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
专题：推理填空题。
分析：首先由邻补角求出∠DCF，再由平行线的性质得出∠A．
解答：解：∠DCF=180°﹣∠ECF=180°﹣138°=42°，
又ED∥AB，
∴∠A=∠DCF=42°．
故答案为：42．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质及邻补角，关键是先由邻补角求出∠DCF，再由平行线的性质求出∠A．
21. （2011邵阳，15，3分）如图所示，AB∥CD，MN分别交AB、CD于点F、E．已知∠1=35°，∠2=　35　°．
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考点：平行线的性质.
分析：根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠2=∠1，∵∠1=35°，∴∠2=35°．故答案为：35°．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等．
22. 14、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 4．
【考点】角平分线的性质 ( javascript:void(0) )；平行线的性质 ( javascript:void(0) )．
【专题】几何计算题 ( javascript:void(0) )．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【解答】解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
23.（2011年湖南省湘潭市，15，3分）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC= 4．
考点：平行线分线段成比例 ( javascript:void(0) )．
专题：计算题 ( javascript:void(0) )．
分析：△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答；
解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，
∴,
∵AD=3，DB=6，AE=2，
∴，
∴EC=4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用；找准对应关系，避免错选其他答案．
24.（2011辽宁本溪，11，3分）如图：AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF．EG⊥FG于点G，若∠BEM=50°，则∠CFG=　 　．
考点：平行线的性质
专题：应用题
分析：首先由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CFE的度数，又由内角和定理，求得∠GFE的度数，则可求得∠CFG的度数．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=∠BEM=50°，
∴∠CFE=130°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF=∠AEF=25°，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∴∠GFE=90°﹣∠GEF=65°，
∴∠CFG=∠CEF﹣∠GFE=65°．
故答案为：65°．
点评：此题考查了平行线的性质，垂直的定义以及角平分线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．
25. （2011福建福州，13，4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C=　270　度．
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考点：直角梯形；平行线的性质．
分析：根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案．
解答：解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°，故答案为：270．
点评：本题主要考查对直角梯形，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出∠A+∠B的度数是解此题的关键．
26. （2011广州，15，3分）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a//b，a⊥b，那么b⊥c； ②如果b//a，c//a，那么b//c；
③如果b⊥a，c⊥a ，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a ，那么b//c.
其中真命题的是_________。（填写所有真命题的序号）
【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．
【专题】推理填空题．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故本选项正确，
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故本选项错误，
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
故答案为①②④．
【点评】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．
三、解答题
1. （2011山东淄博19，分）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．
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考点：平行线的判定与性质。
专题：应用题。
分析：根据平行线的判定得出AB∥CD，从而得出∠3=∠4，即可得出答案．
解答：解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠4=75°（两直线平行，内错角相等）．
点评：本题主要考查了平行线的判定与性质，比较简单．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1.如图5-147所示，直线AB,CD相交于点E,DF∥AB.若∠AEC=100°,则∠D等于 （ ）
A.70° B.80° C.90° D.100°
2.下列命题不正确的是 （ ）
A.若两个相等的角有一组边平行，则另一组边也平行
B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直
C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
D.经过直线外一点，有且只有一条线与已知直线平行
3.如图5-148所示，直线a,b都和直线c相交，给出下列条件：
①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°，其中能判断a∥b的（ ）
A. ①③ B.②④ C. ①③④ D. ①②③④
4.下列命题不正确的是 （ ）
A.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
B.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
C.两条直线被第三条直线所截，如果同位角互补，那么这两条直线平行
D.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
5.互为邻补角的两个角的平分线所成的角是 （ ）
A.小于90°的角 B.等于90°的角
C.大于90°的角 D.不能确定
6.如图5-149所示，直线l1∥l2,∠1=120°,则∠2= 度.
7.如图5-150所示，已知直线a,b被直线c所截，且a∥b，∠1=65°,那么∠2等于（ ）
A.145° B.65° C.55° D.35°
8.如图5-151所示，AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,NG平分∠DNF,∠1=60°,则∠2等于 （ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
9.下列说法中正确的有 （ ）
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④三条直线两两相交总有三个交点；
⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图5-152所示，下列推理正确的是 （ ）
A.因为∠1=∠4，所以BC∥AD
B.因为∠2=∠3，所以AB∥CD
C.因为AD∥BC,所以∠BCD+∠ADC=180°
D.因为∠1+∠2+∠C=180°,所以BC∥AD
二、填空题
11.如图5-153所示，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠1=47°,则∠2的大小是 .
12.如图5-154所示，∠1和∠2是直线 ， 被第三条直线 所截得的角.
13.如图5-155所示，AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3= .
14.如图5-156所示，∠1=56°，∠2=124°，∠3=85°，则∠4= .
15.从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA,若∠BOP:∠AOP=2:3,则∠AOB= .
16.如图5-157所示，AD∥BC,BD平分∠ABC,若∠A=110°,则∠D= .
17.如图5-158所示，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,∠1与∠2 ，∠2与∠3是 ，∠2与∠4 ，∠1与∠3 .
18.如图5-159所示，AD∥BC,∠D=100°,CA平分∠BCD,则∠DAC= .
19.在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种.
三、解答题
20.如图5-160所示，直线AB,CD,EF相交于O点，AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠AOG的度数.
21.如图5-161所示，点A,O,B在一条直线上，OE平分∠COB,OD⊥OE于O.试说明OD平分∠AOC.
22.如图5-162所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.试说明AD∥BC.
23.如图5-163所示，将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.（每个小正方形的边长为1个单位长度）
参考答案
1.B［提示：∵∠AEC+∠AED=180°,∠AEC=100°,∴∠AED=80°.∵AB∥DF,∴∠D=∠AED=80°.故选B.］
2.A［提示：A中有不平行的情况，B是邻补角性质，C是平行线性质，D是平行公理.］
3.D［提示：根据平行线的判定.］
4.C［提示：A:平行线的传递性.B：平行线的判定.C：同位角相等.D:平行线的判定.］
5.B［提示：根据邻补角和角平行线的性质.］
6. 120
7.B［提示：两直线平行，内错角相等.］
8.C［提示：先求∠END,再求∠FND,∠2=∠FND=60°.］
9.B［提示：①没说两直线平行，②如果这点在该直线上就作不出平行线，④如果三线共点就有1个交点.］
10.C［提示：A,B,D选错了被截线，C两直线平行，同旁内角互补.］
11.133°［提示：∵∠1=∠3，∠1=47°，∴∠3=47°.∵AB∥CD,∴∠3+∠2=180°,∴∠2=180°-∠3=133°.］
12.AC BD AB
13.60°
14.95°［提示：根据∠1+∠2=180°得∠1的对顶角+∠2=180°，得到平行线，则∠3+∠4=180°.］
15.150°［提示：∠AOP=90°,∠BOP=60°.］
16.35°
17.互余 对顶角 互补 互余［提示：根据垂直、互余、对顶角、邻补角的性质解答.］
18.40°［提示：∠BCD=180°-∠D=80°,°∠ACB=∠BCD=40°,∠DAC=∠ACB=40°.］
19.平行 相交
20.解：∵AB⊥CD,∴∠AOF=90°-∠FOD=90°-28°=62°,∴∠AOE=180°-∠AOF=118°.∵OG平分∠AOE,∴∠AOG=∠AOE=59°.
21.解：因为DO⊥OE,所以∠2+∠3=90°，又因为点A,O,B在一条直线上，所以∠AOB=180°,所以∠4+∠1=90°.又因为OE平分∠BOC,所以∠1=∠2，所以∠3=∠4，所以OD平分∠AOC.
22.解：∵∠5=∠6（已知），∴AB∥CE(内错角相等，两直线平行)，∴∠4+∠2+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠3=∠4，∠1=∠2（已知），∴∠3+∠1+∠5=180°（等式性质），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
23.解：如图5-164所示，四边形EFGH即为所求.
A
B
D
C
4题图
(4题图)
B
A
D
C
E
F
（第5题图）第二十二章 一元二次方程
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.
小结2 本章学习重难点
【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.
【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.
小结3 学法指导
1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.
2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.
3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.
4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.
5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用.
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 一元二次方程的定义
【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.
例1 已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.
分析 依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.
解：依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，
解得m＝±1，
又∵m－1≠0，∴m≠1，
故m＝－1.
【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
专题2 一元二次方程的解法
【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.
例2 用配方法解一元二次方程2x2+1＝3 x.
分析 本题考查配方法解方程的步骤.
解：移项，得2x2－3 x＝－1，
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.
例3 一元二次方程3x2－x＝0的解是（ ）
A.x＝0 B.x1＝0，x2＝3 C. D.
分析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x(3x－1)＝0，易求出x＝0或3x－1＝0，问题得解.故选C.
【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程.
例4 解方程x2－2x－2＝0.
分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解.
解法1：∵a＝1，b＝－2，c＝－2，
∴b2－4ac＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，
∴x＝
解法2：移项，得x2－2x＝2，
配方得x2－2x+1＝3，
即（x－1）2＝3，∴x－1＝，∴
【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.
专题3 与方程的根有关的问题
【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.
例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：
方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2－6x＝0
x2－5x+4＝0
x2+3x－10＝0
（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？
（2）一般地，对于关于x的方程x2+px+q＝0（p，q为常数，且p2－4q≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.
分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.
解：填表如下：
方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2－6x＝0 0 6 6 0
x2－5x+4＝0 1 4 5 4
x2+3x－10＝0 －5 2 －3 －10
（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
（2）对方程x2+px+q＝0（p，q为常数，且p2－4q≥0）来说也具备同样的规律.
设方程x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝－p，x1·x2＝q，
理由如下：
∵p2－4q≥0，∴方程x2+px+q＝0有两个实数根，
∴
∴x1+x2＝
x1·x2＝
＝
即x1+x2＝－p，x1·x2＝q.
例6 若a是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，且a≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A.ab B. C.a+b D.a－b
分析 此题应由根的意义入手，将a代入方程等得到关于a，b的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x＝a代入方程x2+bx+a＝0，得a2+ab+a＝0，∴a(a+b+1)＝0，又∵a≠0，∴a+b+1＝0，即a+b＝－1.故选C.
【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.
专题4 一元二次方程的应用
【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.
例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意列方程得 .
分析 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则2006年投入资金是5786（1+x）万元，2007年的投入资金是5786（1+x）2万元，故所求方程为5786（1+x）2＝8058.9.
【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a（1+x）n＝b（n为正整数）.
二、规律方法专题
专题5 一元二次方程的解法技巧
【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.
1.换元法
例8 如果（2m+2n+1）（2m+2n－1）＝63，那么m+n的值是 .
分析 把m+n看做一个整体求解.设m+n＝x，则原方程化为（2x+1）（2x－1）＝63，整理，得4x2＝64，解得x＝±4，∴m+n＝±4.故填±4.
例9 解方程（3x+2）2－8（3x+2）+15＝0.
分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x+2看做一个整体，设为t，则原方程就可化成关于未知数t的一元二次方程.
解：设3x+2＝t，原方程化为t2－8t+15＝0，
∴t1＝3，t2＝5.
当t＝3时，3x+2＝3，∴x＝；
当t＝5时，3x+2＝5，∴x＝1.
∴原方程的根为x1＝，x2＝1.
【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x+2)－3][ (3x+2)－5]＝0，即（3x－1）（3x－3）＝0，用因式分解法解得x1＝，x2＝1.
例10 解方程（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）＝44.
分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.
解：原方程转化为（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）－44＝0，
[（x+2）（x－4）][ （x+3）（x－5）] －44＝0，
（x2－2x－8）（x2－2x－15）－44＝0，
令x2－2x＝y，则原方程化为（y－8）（y－15）－44＝0，
∴y2－23y+76＝0，
∴y1＝4，y2＝19.
当y＝4时，x2－2x＝4，∴
当y＝19时，x2－2x＝19，∴
∴原方程的根是
2.配方法
例11 先用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0；再求出当x取何值时，代数式x2－6x+10的值最小，最小值是多少.
解：x2－6x+10＝x2－6x+32+（10－32）＝（x－3）2+1.
∵（x－3）2≥0，∴（x－3）2+1＞0，
∴无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0.
当x－3＝0，即x＝3时，(x2－6x+10)最小＝1.
例12 若实数m，n，p满足m－n＝8，mn+p2+16＝0，则m+n+p的值为（ ）
A.－1 B. 0 C.1 D.2
分析 本题有三个未知数m，n，p给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m－n
＝8，得m＝n+8，将m＝n+8代入mn+p2+16＝0中，得n(n－8)+p2+16＝0，∴n2+8n+16+p2＝0，即（n+4）2+p2＝0，又∵（n+4）2≥0，p2≥0，且（n+4）2+p2＝0，∴
故选B.
3.构造法
例13 解方程3x2+11x+10＝0.
解：原方程两边同时乘3，得(3x)2+11×3x+30=0，
∴（3x+5）(3x+6)=0,
∴3x+5=0,或3x+6=0，
∴
4.特殊解法
例14 解方程（x－1994）（x－1995）=1996×1997.
分析 观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.
解：方程组的解一定是原方程的解，
解得x=3991，
方程组的解也一定是原方程的解，
解得x=－2，
∵原方程最多只有两个实数解，
∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.
【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.
三、思想方法专题
专题6 建模思想
【专题解读】 建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.
例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 .
分析 根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2=40.5，解得x1=1.9，x2=0.1，而1.9＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.
【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011新疆乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（　　）
A、－1 B、0 C、1 D、－1或1
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
专题：常规题型。
分析：先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．
解答：解：把x＝0代入方程得：|a|－1＝0，∴a＝±1，
∵a－1≠0，∴a＝－1．
故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
2. （2011台湾，20，4分）若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的两根为0．2，则|3a＋4b|之值为何（　　）
A．2 B．5 C．7 D．8
考点：解二元一次方程组；绝对值。
分析：先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．
解答：解：将两根0．2分别代入ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2中计算得3a＋4b＝－5，所以|3a＋4b|＝5．
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程和二元一次方程及绝对值的运用．
3. （2011 台湾31，4分）关于方程式88（x﹣2）2=95的两根，下列判断何者正确（　　）
A、一根小于1，另一根大于3 B、一根小于﹣2，另一根大于2
C、两根都小于0 D、两根都大于2
考点：估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出x1和x2的值，再进行估算即可得出结果．
解答：解：∵88（x﹣2）2=95，
（x﹣2）2=，x﹣2=±，∴x= QUOTE ±+2，
∴x1=+2，∴x1＞3，∴x2=-+2，∴x2＜1．故选A．
点评：本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键．
4. 6.某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程 ( javascript:void(0) )．
专题：增长率问题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．
∴173（1－x%）2＝127．
故选C．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
5. （2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是 .
考点：一元二次方程的解.
分析：直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．
解答：解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．
点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
6. ( cm )（2011 湖南张家界，5，3）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）
A、1 B、﹣1 C、0 D、无法确定
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
分析：把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答：解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B．
点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
7. （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：一元二次方程的定义．
分析：一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：解：A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；
B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8. （2011黑龙江省哈尔滨,5，3分）若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（　　）
A.6 B.5 C.2 D.﹣6
考点：一元二次方程的解。
分析：先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
解答：解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，
解得m=6．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
二、填空题
1. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=　1　，另一个根是　﹣3　．
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．
专题：方程思想．
分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解出方程的另一个根．
解答：解：根据题意，得
4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，
解得，m=1；
由韦达定理，知
x1+x2=﹣m；
∴2+x2=﹣1，
解得，x2=﹣3．
故答案是：1．﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ．x1 x2= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．
2. （2011山东滨州，14，4分）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为______.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得：
4-2-a2+5=0，
解得：a=±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
3. （2011梧州，15，3分）一元二次方程x2+5x+6=0的根是　x1=﹣2，x2=﹣3　．
考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程。
专题：计算题。
分析：分解因式得到x+2）（x+3）=0，推出x+2=0，x+3=0，求出方程的解即可．
解答：解：x2+5x+6=0，
分解因式得：（x+2）（x+3）=0，
即x+2=0，x+3=0，
解方程得：x1=﹣2，x2=﹣3．
故答案为：x1=﹣2，x2=﹣3．
点评：本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
一、选择题
1. （2011四川凉山，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程 ( javascript:void(0) )．
专题：增长率问题 ( javascript:void(0) )．
分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．
∴173（1－x%）2＝127．
故选C．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
2. （2011 台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（　　）
A、11 B、12 C、13 D、14
考点：一元二次方程的应用。
专题：网格型。
分析：可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．
解答：解：方格纸的边长是x，
x2﹣ QUOTE EMBED Equation.3 x QUOTE EMBED Equation.3 x﹣ QUOTE EMBED Equation.3 QUOTE EMBED Equation.3 x QUOTE EMBED Equation.3 x﹣ QUOTE EMBED Equation.3 x QUOTE EMBED Equation.3 x= QUOTE EMBED Equation.3
x2=12．
所以方格纸的面积是12，
故选B．
点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
3. （2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
解答：解：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=2070，
故选：A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．
4. （2011贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题：增长率问题。
分析：本题可先用168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
解答：解：当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；
当某纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=128．故选B．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
5. （2011广西百色，11，4分）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（　　）
A．72（x+1）2=50 B．50（x+1）2=72
C．50（x﹣1）2=72 D．72（x﹣1）2=50
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可．
解答：解：根据题意，得
50（x+1）2=72．
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元．
6. ( cm )（2011湖北黄石，8,3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点：一元二次方程的应用。
专题：规律型。
分析：这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n个点时，就有，从而可得出n的值．
解答：解：设有n个点时，
=21
n=7或n=﹣6（舍去）．
故选C．
点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解．
二、填空题
1. （2011 宁夏，13，3分）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为　36（1﹣m%）2=25　．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：等量关系为：原价×（1﹣降低率）2=25，把相关数值代入即可．
解答：解：第一次降价后的价格为36×（1﹣m%），
第二次降价后的价格为36×（1﹣m%）×（1﹣m%）=36×（1﹣m%）2，
∴列的方程为36（1﹣m%）2=25．
故答案为：36（1﹣m%）2=25．
点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
2. （2011山西，15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力． 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．
考点：一元二次方程
专题：一元二次方程
分析：设年平均增长率应为x，根据题意列方程，解得，检验即可．
解答：20%
点评：增长率的基本关系式：，其中a为原有量，b为现有量，n为增长的次数，x为增长率．
3. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20%．
考点：一元二次方程的应用 ( javascript:void(0) )．
专题：增长率问题 ( javascript:void(0) )．
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）
故答案为：20%．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
4. （2011云南保山，13，3分）据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．4000(1+x)=4840 B．4000(1+x)2=4840
C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=4840
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二次方程．
解答：解：设年平均增长率为x，
那么2012年的房价为：4000（1+x），
2013年的房价为：4000（1+x）2=4840．
故选B．
点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
5. ( cm )（2011 青海）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是　20%　．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），即100（x﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．
解答：解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元．
根据题意，得100（1﹣x）2=64，
即（1﹣x）2=0.64，
解得x1=1.8，x2=0.2．
因为x=1.8不合题意，故舍去，
所以x=0.2．
即每次降价的百分率为0.2，即20%．
故答案为：20%．
点评：考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
6. （2011山东省潍坊， 16，3分）已知线段AB的长为．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长．
【解答】解：设AE的长为x，则BE的长为a-x
根据题意得：x2=（a-x） a
解得：x=
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键．
7. （2011 山西15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为　　．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：根据题意设年平均增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
解答：解：设年平均增长率为x，
则1000（1+x）2=1440，
解得x1=0.2或x2=﹣2.2（舍去），
故年平均增长率为20%；
故答案为20%．
点评：本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
8. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 ) （2011四川省宜宾市，15，3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是 .
考点：一元二次方程的应用 ( javascript:void(0) )．
分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．
答案：解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，
240（1+x）2=345.6，
1+x=±1.2，
x=20%或x=-220%（舍去）．
故答案为：20%．
点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．
9. （2011 江苏宿迁，16，3）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是　 　m（可利用的围墙长度超过6m）．
考点：一元二次方程的应用。
专题：应用题；方程思想。
分析：设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6﹣2x），（6﹣2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
解答：解：设AB长为x米，则BC长为（6﹣2x）米．
依题意，得x（6﹣2x）=4．
整理，得x2﹣3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．（3分）
所以当x=1时，6﹣2x=4；
当x=2时，6﹣2x=2（不符合题意，舍去）．
答：AB的长为1米．
故答案为：1．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用6米的篱笆围成三个边．
10. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 350×（1-x）2=299．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程 ( javascript:void(0) )．
专题：增长率问题 ( javascript:void(0) )．
分析：设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1-x），第二次后的价格是100（1-x）2，据此即可列方程求解．
解答：解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得
350×（1-x）2=299．
故答案为：350×（1-x）2=299．
点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
11. （2011天水，14，4）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是　 　．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
解答：解：设宽为xm，
（32﹣2x）（20﹣x）=570．
故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．
点评：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．
三、解答题
1. （2011江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
t 1 2 3
y2 21 44 69
（1）求a．b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）
考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
专题：销售问题．
分析：（1）根据表中的数据代入后，y2=at2+bt，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解．
（2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解．然后用售价﹣进价，得到利润．
（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，从而可列出不等式求解．
解答：解：（1）根据表中的数据可得
．
（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．
﹣n2+4n+n2+20n=1140
n=19，
当n=19时，y1=399，y2=741，
毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元）．
（3）设第m天甲级干果的销售量为﹣2m+19．
（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6
n≥7
第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解．
2. （2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；
（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．
解答：解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x﹣1.75=0，（3分）
解之，得：x=，
∴x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去），（5分）
答：每年市政府投资的增长率为50%；（6分）
（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷=38（万平方米）．（8分）
点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
3. （2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题．
专题：一元二次方程 、最优化方案问题．
分析：（1）设平价每次下调的百分率为，则第一次下调后的价格为元，第二次下调是在元的基础上进行的，下调后的价格为元，即，由此可列出一元二次方程求解．
（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断．
解答：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2＝4860．
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
∴平均每次下调的百分率10%．
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720元
方案②可优惠：100×80＝8000元．
∴方案①更优惠．
点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式可直接列方程，为增长率（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量． 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
4. （2011新疆建设兵团，23，10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？
考点：一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式．
分析：根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是x元．
解答：解：（30﹣26）÷（37﹣35）＝2，每涨价1元，少卖2个．
设此时书包的单价是x元．
（x﹣30）[30﹣2（x﹣35）]＝200，
x＝40．
故此时书包的单价是40元．
点评：本题考查理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求解．
5. （2011 贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用。
分析：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解．
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解．
解答：解：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，…（2分）
根据题意，75（1+x）2=108…（3分）
1+x=±1.2
∴x1=0.2=20% x2=﹣2.2（不合题意，舍去） …（4分）
答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%．…（5分）
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，由题意得：…（6分）
（108×0.9+y）×0.9+y≤125.48…（8分）
解得y≤20…（9分）
答：从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆…（10分）
点评：本题第一问考查的是一个增长率问题，知道2008年的辆数，知道2010年的辆数，发生了两年变化，可列方程求解．第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的，可求出结果．
6. ( cm )（2011 西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．
请问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）关系式为：原价×（1﹣降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；
（2）①费用为：总房价×；
②费用为：总房价﹣2×12×1.5×平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可．
解答：解：（1）设平均每次下调的百分率为x．
5000×（1﹣x）2=4050．
（1﹣x）2=0.81，
∵1﹣x=0.9，
∴x=0.1=10%，
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案一的总费用为：100×4050×=396900元；
方案二的总费用为：100×4050﹣2×12×1.5×100=401400元；
∴方案一优惠．
点评：主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键．
7. （2011年山东省东营市，22，10分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆．
考点：一元二次方程的应用 ( javascript:void(0) )；一元一次不等式的应用 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，不合题意的解，舍去即可；
（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则得出2011年底和2012年底全市的汽车拥有量，从而列出不等式求解即可．
解答：解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意得，15（1+x）2=21.6
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；
（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则2011年底全市的汽车拥有量为21.6×90%+y万两，2012年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）×90%+y万两．
根据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196，
解得y≤3，
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万两．
点评：本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
8. （2011山东淄博23，分）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质。
专题：应用题。
分析：（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，
m2﹣4（﹣）=0，
（m﹣1）2=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，
解得x1=x2=0.5，
∴菱形的边长是0.5cm；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴ ABCD的周长=2×（2+0.5）=5cm．
点评：综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题．
专题：一元二次方程 、最优化方案问题．
分析：（1）设平价每次下调的百分率为，则第一次下调后的价格为元，第二次下调是在元的基础上进行的，下调后的价格为元，即，由此可列出一元二次方程求解．
（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断．
解答：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2＝4860．
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
∴平均每次下调的百分率10%．
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720元
方案②可优惠：100×80＝8000元．
∴方案①更优惠．
点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式可直接列方程，为增长率（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量． 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
10. （2011年广西桂林，23，8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.
（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？
考点：一元二次方程的应用 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）等量关系为：2008年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2=2010年市政府对市区绿化工程投入，把相关数值代入求解即可；
（2）2012年该市政府对市区绿化工程投入=2010年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2．
答案：23．（本题满分8分）
解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为，
根据题意得，
得 ，（舍去）
答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10﹪.
（2）2012年需投入资金：（万元）
答：2012年需投入资金2928.2万元.
点评：考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
11.（2011湖北黄石，20,8分）解方程：．
考点：高次方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。
专题：计算题。
分析：根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出x2﹣y2﹣4=0，，进而得出关于x的一元二次方程，求出x，即可得出y的值．
解答：解：∵，
∴x2﹣y2﹣4=0，，
∴由，得，代入x2﹣y2﹣4=0得：
整理得：，
解得：，，
当时y1=1，当时y2=4．
点评：此题主要考查了高次方程的解法以及绝对值的性质以及数的偶次方性质，根据题意得出关于x的一元二次方程是解决问题的关键．
12. （2011 恩施,23，）知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图）
（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
（2）拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．
考点：正方形的性质；一元二次方程的应用；一次函数的图象；二次函数的图象；菱形的性质。
分析：（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；
②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可．
解答：解：（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，
∴假设底面长为x，宽就为0.6x，
∴体积为：0.6x x 0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，
WQ=MK=AD=，
∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2=6.6平方米；
②从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
∵如图可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面积相等，且和为2个矩形FDQD1，
又∵菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积；
∴从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
（2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时，
∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，将变为原来的，高再变为原来的一半时，体积将变为原来的，
∴水果商的要求不能办到．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及正方形性质与菱形性质等知识，根据题意得出DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，WQ=MK=AD=是解决问题的关键．
13. (2011襄阳，22，6分)汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽 车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？
考点：一元二次方程的应用。
专题：应用题。
分析：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意列出方程，求解把不符合题意的解舍去即可．
解答：解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得6.4(1＋x)2＝10，
解之，得x1＝0.25，x2＝－0.25，
∵x2＝－2.25＜0，故舍去，
∴x＝0.25＝25%，
10×(1＋25%)＝12.5，
答：2011年的年产量为12.5万辆．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
14. （2011 宜昌，22，7分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．
（1）尹进2011年的月工资为多少？
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
考点：一元二次方程的应用；解三元一次方程组。
专题：应用题。
分析：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进2011年的月工资．
（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2011年6月份的月工资少了242元；2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可．
解答：解：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程：
2000（1+x）2=2420，
解得：x1=10%，x2=﹣210%．
∵增产率不能是负数，
∴﹣210%要舍去．
尹进2011年的月工资为：2420（1+10%）=2662元．
故尹进2011年的月工资为2662元；
（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：
由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242，
把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242，
∴y+z=22﹣1=21．（9分）
21+2=23本．
答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．
点评：本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出2011年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用．
15. （2011湖北十堰，20，6分）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.
把x=代入已知方程，得（）2+－1=0.
化简，得y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0。
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数。
考点：一元二次方程的应用。
专题：计算题。
分析：根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
解答：解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，
故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0）
把x= QUOTE EMBED Equation.3 代入方程ax2+bx+c=0，得a（ QUOTE EMBED Equation.3 ）2+b QUOTE EMBED Equation.3 +c=0
去分母，得a+by+cy2=0．
若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意，
∴c≠0，
故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．
点评：本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
16. （2011安徽省芜湖市，20,8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm （其中x＞0）．求这两段铁丝的总长．
考点：一元二次方程的应用。
专题：应用题；方程思想。
分析：直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解．
解答：解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，
∴5（x2+17）=6（x2+2x）
整理得x2+12x﹣85=0，
（x+6）2=121，
解得x1=5，x2=﹣17（不合题意，舍去）．
5×（52+17）×2=420cm．
答：这两段铁丝的总长为420cm．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，实质上是正五边形和正六边形的周长相等．
17. （2011福建省漳州市，24,10分）2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．
（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；
（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．
（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563）
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；
2010年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；
（2）2011年出口贸易总值=50.67（1+x）．
解答：解：（1）设年平均增长率为x，依题意得 …（1分）
22.52 （1+x）2=50.67，…（3分）
1+x=±1.5，
∴x1=0.5=50%，x1=﹣2.5（舍去）． …（5分）
答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%； …（6分）
（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿元）． …（9分）
答：预测2011年漳州市的出口贸易总值76.005亿元． …（10分）
点评：此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据．
18.（2011巴彦淖尔，19，9分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价；
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．
考点：一元二次方程的应用。
专题：一元二次方程。
分析：（1）根据计划每个售价36元，能盈利80%，可求出进价．
（2）设平均每次降价的百分率为x，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解．
解答： 解：（1）36÷（1+80%）=20元．
故这种玩具的进价为每个20元；
（2）设平均每次降价的百分率为x．
36（1﹣x%）2=25，
x≈16.7%．
故平均每次降价的百分率16.7%．
点评：本题考查理解题意的能力，根据售价和盈利情况求出进价，根据原来的售价和经过两次降价后现在的售价，可求出降价的百分率．
综合验收评估测试题
（时间：1 20分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.将方程3x(x+2)－4x+6=6x2+4化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次系数分别为（ ）
A.－3，－6 B.3，6
C.3，－6 D.3，－2
2.方程2x(x－3)=5（x－3）的根是（ ）
A. B.3
C. D.
3.若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k＜－1 B.k＞－1，且k≠0
C. k＜1 D. k＜1，且k≠0
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的a+b+c=0，则该方程必有一根为（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.±1
5.下列方程没有实数根的是（ ）
A.4（x2+2）=3x B.5(x2－1)－x=0
C.x2－x=100 D.9x2－24x+16=0
6.若代数式x2+8x+m是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A.4 B.－4 C.16 D.－16
7.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2－16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A.24 B.24或 C.48 D.
8.为解决药价偏高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品价格连续两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A.y=2m(1－x) B. y=2m(1+x)
C. y=m(1－x)2 D. y=m(1+x)2
9.关于x的方程（m－3）xm2－8m+17+6x－1=0是一元二次方程的条件是（ ）
A.m=2 B.m=3
C.m=5 D.m=3或m=5
10.已知ac＜0，则方程ax2－bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.只有一个实数根
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.方程x2－2x－3=0的根是 .
12.x2+6x+ =(x+3)2.
13.已知方程mx2－mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
14.若x=1是一元二次方程x2+x+c+=0的一个解，则c2= .
15.当x= 时，分式的值为0.
16.要用一条长30 cm的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，则两直角边长分别为 .
17.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 .（填一个即可）
18.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是－2，则另一个根是 .
三、解答题（第19~24小题各9分，第25小题12分，共66分）
19.请用两种不同的方法解方程（x+3）（x+1）=2x+6.
2.当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
21.已知关于x的一元二次方程x2+(m－2)x－m－1=0，试说明无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根.
22.已知a，b，c均为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的解.
23.在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行的高度h(m)与打出后的飞行时间t（s）之间的关系式是h=－t(t－7).
（1）经过多少秒球飞行的高度为10 m？
（2）经过多少秒球双落到地面上？
24.如图22-13所示，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四周截四个全等的小正方形，使得留下的图形的面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.
25.某商店从厂家以每件21元的价格构进一批商品，该商店可以自己定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350－10a）件，但特价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少价商品？每件商品的售价为多少元？
参考答案
1.D[提示：先化成一般形式为3x2－2x－2=0.]
2.C[提示：用因式分解法求解即可.]
3.B[提示：k≠0，(－2)2－4k（－1）＞0，k＞－1，且k≠0.]
4.B[提示：由已知可得a+b+c=0，而当x=1时，方程ax2+bx+c=0可化为a+b+c=0，所以该方程必有一根是1.]
5.A[提示：用根的判别式△=b2－4ac逐一判断.]
6.C[提示：m等于8的一半的平方为16.]
7.B[提示：由x2－16x+60=0可知x=6，或x=10，因为三角形两边长为6和8，所以三角形的第三边的边长x应满足三角形三边关系，即2＜x＜14，所以三角形的第三边长为6或10.当第三边长为10时，由勾股定理的逆定理可知62+82=102，即这是一个直角三角形，其面积为；当x=6时，这个三角形是一个等腰三角形，则其底边上的高为，此时这个三角形的面积是综上所述，这个三角形的面积为24或.]
8.C
9.C[提示：m2－8m+17=2，且m－3≠0，∴m=5.]
10.B[提示：△=（－b）2－4ac=b2－4ac，∵ac＜0，∴△＞0.] 11.x1=3，x2=－1
12.9
13.8[提示：由题意可知△=（－m）2－4·m·2=0，且m≠0，所以m=8.]
14.4[提示：把x=1代入x2+x+c=0，得c=－2，∴c2=4.]
15.－3[提示：x2+2x－3=0，且x－1≠0.]
16.5 cm和12 cm[提示：设其中一条直角边长为x cm，则另一直角边长为（17－x）cm，由题意，得x2+（17－x）2=132，解得x1=5，x2=12.]
17.x2=4（答案不唯一）
18.x=1[提示：把x=－2代入x2+(k+3)x+k=0，得4－2（k+3）+k=0，∴k=－2，∴方程为x2+x－2=0，解得x1=－2，x2=1.]
19.解法1：（因式分解法）（x+3）(x+1)－（2x+6）=0，∴（x+3）(x+1－2)=0，∴x+3=0或x－1=0，∴x1=－3，x2=1.解法2：去括号得x2+4x+3=2x+6，x2+2x－3=0，x2+2x=3，∴x2+2x+1=4. ∴（x+1）2=4，∴x+1=±2.∴x1=－3，x2=1.
20.解：依题意得△=（－4）2－4 ，所以m=,故当m=时，此方程有两个相等的实数根，此时x1=x2=2.
21.解：△=（m－2）2－4×1×（－m－1）=m2－4m+4+4m+4=m2+8，∵无论m取什么值，m2≥0，∴m2+8＞0，∴△m2+8＞0，∴无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根.
22.解：∵
∴∴a=3,b=－4,c=1.∴方程为3x2－4x+1=0，b2－4ac=(－4)2－4×3×1=4.∴∴x1=1，x2= .
23.解：（1）由题意可知10=－t(t－7)，∴t2－7t+10=0，∴t1=2,t2=5，∴经过2 s或5 s球飞行的高度为10 m.(2)当h=0时，－t(t－7)=0，∴t1=0,t2=7，∵t=0不符合题意，故舍去.∴t=7，即经过7 s球双落到地面上.
24.解：设截去小正方形的边长为x cm，由题意，得10×8－4x2=10×8×80%，解得x1=2,x2=－2（舍去）.答：所截去的小正方形的边长为2 cm.
25.提示：求出方程的解后，一定要检验所求得的解是否符合要求，不符合要求的要舍去.解：设每件商品的售价为x元，才能使商店赚400元，依题意，得（x－21）（350－10x）=400整理，得x2－56x+775=0，解得x1=25，x2=31.又因为21×（1+20%）=25.2，而x1＜25.2，x2＞25.2，所以x2=31（舍去）.当x=25时，（件）.
答：该商品需要卖出100件商品，每件商品售价为25元才能使商店赚400元.
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
解法（降次）
一元二次
方程
应用一元二次方程解决实际问题第七章 三角形
本章小结
小结1 本章概述
三角形是几何知识中的重要内容，也是几何学的基础．本章从三角形出发，先学习与三角形有关的线段和角再到多边形，其中包括三角形的内角和、外角和及多边形的内角和等知识，最后到多边形的实际应用．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)；会画出任意三角形的角平分线、中线和高．
【本章难点】通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
【学习本章应注意的问题】
正确理解三角形的有关概念，掌握有关性质．在学习中，要注意观察，搜集资料，多交流，注重新旧知识的联系，学会将新知识转化到已学的知识上去，再进行归纳、整理、分析，要深刻理解并掌握归纳、类比的方法．学习中，还要多注意结合图形，理解用多边形镶嵌图案的道理，欣赏丰富多彩的图案，体验数学美，提高审美情趣．
小结3 中考透视
本章知识在中考中所占比重较大，一方面以填空题、选择题形式出现，以考查对基本概念、基本定理的理解为主；另一方面以综合题形式出现，主要考查对知识的灵活运用及综合运用的能力，利用本章知识解决实际问题的题目也越来越多地出现在中考试题中，还有平面图形的镶嵌内容也是近年来的热点考题，备受关注．由于镶嵌问题具有较强的实用性，对知识的运用要求灵活性较高，所以要得到这类问题的分数也不是太容易的，分值占3～4分．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 三角形的三条重要线段
【专题解读】三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段，它们具有十分重要的性质，三角形的高构造了垂直的条件，三角形的中线隐含线段相等，通过三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分，三角形的角平分线提供了角相等的条件.掌握这些概念,对解与三角形有关的问题十分重要.
例1 如图7-64所示,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,求EB.
分析 已知△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,在图形中, △DEC与△ABC既不同底也不等高,因此需寻找桥梁△AEC来建立二者之间的关系,因为△AEC既与△DEC等高也与△ABC等高.
解:作EF⊥AC于F,则,
作CG⊥AB于点G,则,
∴,即.
又∵,∴,∴AE=3,
∴BE=AB-AE=1,即BE的长为1.
【解题策略】等高的两个三角形的面积比等于底边长的比,它是面积问题中常用的解题策略.
专题2 多边形的内角和及外角和
【专题解读】用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题时,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，这两个定理都很重要.
例2 已知一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°,求这个多边形的边数.
分析 应充分利用多边形每个外角在0°～180°间和等式的性质巧解此题.
解:设这个多边形的这个外角为x,它的边数为n,
则(n-2)·180°+x=1350°, ∴(n-2) ·180°=8×180°-(90°+x),
由此可得90°+x是180°的倍数. ∵0°＜x＜180°,
∴x=180°-90°=90°,
∴(n-2) ·180°=7×180°,
∴n=9.
【解题策略】灵活运用多边形的内角和定理及外角和定理是解决此类问题的关键.
二、规律方法专题
专题3 用公式法解有关对角线的条数问题
【专题解读】用n边形的对角线有条来解决相关问题.
例3 若一个多边形有77条对角线,求它的内角和.
分析 由=77,求n.
解:设这个多边形的边数为n,由题意,得=77.
解得n=14,即这个多边形是十四边形,
十四边形的内角和为(14-2) ×180°=2160°,即内角和为2160°.
【解题策略】根据对角线条数的公式,即已知边数可求对角线的条数,反之已知对角线的条数,可求出边数.
三、思想方法专题
专题4 转化思想
【专题解读】转化思想在本章中有很多的应用,主要体现在探索有关多边形的问题时经常转化为三角形的问题进行解决.
例4 填表.
多边形的边数 3 4 5 6 … n
内角和
外角和
分析 先由三角形的内角和为180°及外角和为360°逐一推广,将4,5,…,n边形分割成若干个三角形,易得答案.
解:填表如下.
多边形的边数 3 4 5 6 … n
内角和 180° 360° 540° 720° … (n-2) ·180°
外角和 360° 360° 360° 360° … 360°
【解题策略】解决有关多边形问题时,经常转化为三角形问题来解决.
2011中考真题精选
（2011陕西，12，3分）如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E ，若， 则 ．
考点：平行线的性质。
分析：由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°﹣∠1=180°﹣64°=116°，
∵AE平分∠BAC交BD于点E，
∴∠BAE=∠BAC=58°，
∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°．
故答案为：122°．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 50°．
考点：角平分线的性质 ( javascript:void(0) )；三角形内角和定理 ( javascript:void(0) )；三角形的外角性质 ( javascript:void(0) )．
分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
解答：解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°．
点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
（2011 贵港）在△ABC中，∠A=30°，∠B=55°，延长AC到D，则∠BCD=　85　度．
考点：三角形的外角性质。
分析：根据三角形外角的性质，即可推出∠BCD=∠A+∠B，即可推出结论．
解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=55°，
∴∠BCD=∠A+∠B=85°．
故答案为85°．
点评：本题主要考查三角形外角的性质，关键在于推出∠BCD=∠A+∠B，认真的计算．
（2011 西宁）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2=　50°　．
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考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：综合题。
分析：先根据三角形的外角性质求得∠4的度数，再根据平行线的性质即可求解．
解答：解：由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°，
∵∠2和∠4是两平行线间的内错角，
∴∠2=∠4=50°．
故答案为：50°．
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点评：本题综合考查了三角形的外角性质和平行线的性质，得到∠4的度数是解题的关键
（2011湖州，12，4分）如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，则∠2=　60　度．
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考点：平行线的性质；角平分线的定义.
专题：计算题.
分析：已知CD平分∠ACB，DE∥AC，可推出∠ACB=∠2，易求解．
解答：解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠1；∵DE∥AC，∴∠ACB=∠2；
又∵∠1=30°，∴∠2=60°．
点评：本题应用的知识点为两直线平行，同位角相等；角平分线的定义．
（2011湖北随州，8，3）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　50°　．
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考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。
分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
解答：解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x－40）°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－40°）－（x°－40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA＝PA，PM＝PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故答案为：50°．
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点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键
如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 4．
【考点】角平分线的性质 ( javascript:void(0) )；平行线的性质 ( javascript:void(0) )．
【专题】几何计算题 ( javascript:void(0) )．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【解答】解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
（2011湖南长沙，13，3分）如图，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠ACE＝100°，则∠A＝____________．
考点：角平分线 平行线
专题：相交线与平行线
分析：因为CD是∠ACE的平分线，∠ACE＝100°，所以∠ACD＝∠ACE＝50°；因为AB∥CD，所以∠A＝∠ACD＝50°．
解答：50°
点评：本题解法不唯一，如可以先由平角定义求得∠ACB的度数，再由平角分线定义与平行线性质求得∠B的度数，最后由三角形的内角和定理，求得∠A的度数．
（2011 青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：　∠BOC=90°﹣∠A　．
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考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理。
专题：常规题型。
分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣∠A．
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点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1.若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．如图7-65所示的是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的.测得AB=BC,OA=OC,OA⊥OC, ∠ABC=36°,则∠OAB的度数是 ( )
A.116° B.117° C.118° D.119°
3.如图7-66所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于 ( )
A.30° B.40° C.45° D.36°
4.一个等腰三角形(有两条边相等的三角形)的两边长分别为4.6和9.2,则此三角形的周长为 ( )
A.23 B.18.4 C.23或18.4 D.13.8
5.把14 cm长的细铁丝截成三段,围成不等边三角形,并且使三边长均为整数,那么 ( )
A.只有一种截法 B.有两种截法
C.有三种截法 D.有四种截不动
6.一个多边形的每一个内角都是120°,这个多边形是 ( )
A.正四边形 B.正五边形 C.正六边形 D.正七边形
7.一个凸n边形的n个内角的和与某一外角的总和为1500°,则n的值为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.一个多边形木板截去一个三角形后(截线不经过顶点),得到新多边形的内角和为2340°,则原多边形的边数为 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
9.若n边形的内角和是1260°,则边数n为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
10.若一个多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形是 ( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
二、填空题
11.若一个三角形的三边长都是整数,周长为5,则最小边为_______.
12.木工师傅做完门框后,为防止变形,通常在角上钉一斜条,根据是________.
13.小明绕着五边形各边走一圈,他共转了_________度.
14.如果一个多边形各边相等,周长为70,且内角和为1440°,那么它的边长为________.
15.若多边形的边数由5条增加了n条,则内角和增加了_________.
16.平面内,当绕一点拼在一起的几个多边形的内角恰好围成一个_______时,就能拼成一个平面图形.
17.如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是________.
18.如图7-67所示,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中的最大角的度数是______.
三、解答题
19.如图7-68所示,D是△ABC中BC边上一点.求证2AD＜AB+BC+AC.
20.如图7-69所示, ∠1+∠2+∠3+∠4为多少度
21.如图7-70所示,求的度数.
22.一个多边形切去一个角后是十边形,求原多边形的内角和.
23.一个凸多边形,除了一个内角外,其余各角的和为2750°,求这个多边形的边数.
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.A[提示:根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边判断,等腰三角形的腰长只能为9.2.]
5.D[提示:①3,5,6;②4,5,5;③2,6,6;④6,4,4.]
6.C[提示:根据多边形内角和定理得(n-2) ·180°=n·120°.]
7.D[提示:根据多边形内角和定理及题意有(n-2) ·180°＜1500°,n取最大值.]
8.B[提示:截线不经过顶点时,原n边形变为(n+1)边形,则有(n+1-2)·180°=2340°，n=14.]
9.B[提示：根据多边形内角和定理得（n-2）·180°=1260°,n=9.]
10.C[提示：外角为72°，则内角为108°.根据（n-2）·180°=108°·n，得n=5.]
11．1[提示：周长为5，三边长分别为1，2，2.]
12．三角形具有稳定性
13．540
14．7[提示：根据内角和定理得（n-2）·180°=1440°，n=10，则边长为7.]
15．180n°
16．周角[提示：根据平面镶嵌的条件.]
17．矩形
18．125°
19．提示：根据三角形三边长的关系进行推理.在△ABD中，AD＜AB+BD①.在△ADC中，AD＜AC+DC②.①+②即可得到结论.
20．提示：该图为四边形，内角和为360°.
21．解：原式=180°-∠1+180°-∠3+180°-∠5=540°-（∠1+∠3+∠5）.又∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，且∠2+∠4+∠6=180°，∴原式=360°.
22．解：分三种情况：①切线不经过顶点，则原多边形有9条边，内角和为（9-2）×180°=1260°；②切线经过一个顶点，则原多边形有10条边，内角和为（10-2）×180°=1440°；③切线经过两个顶点，则原多边形有11条边，内角和为（11-2）×180°=1620°.
23．解：设边数为n（n≥3，n为自然数），除去的内角为x°(0＜x＜180)，根据题意，得2750+x=(n-2)·180,所以x=(n-2)·180-2750，因为0＜x＜180,所以＜n＜，所以n=18.所以这个多边形的边数为18.第十四章　一次函数
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”．
函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系．
【本章难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．
2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系．
小结3 学法指导
1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数．
2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想．
3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．
4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．
5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 函数自变量的取值范围
【专题解读】 一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论．
例1 函数中，自变量x的取值范围是 ( )
A．x≠0 B．x≠1
C．x≠2 D．x≠－2
分析 由x＋2≠0，得x≠－2．故选D．
例2 函数中，自变量x的取值范围是 ( )
A．x≥－1 B．－1＜x＜2
C．－1≤x＜2 D．x＜2
分析　由得即－1≤x＜2．故选C．
专题2 一次函数的定义
【专题解读】 一次函数一般形如y＝kx＋b，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．
例3 在一次函数y＝(m－3)xm－1＋x＋3中，符x≠0，则m的值为 ．
分析 由于x≠0，所以当m－1＝0，即m＝1时，函数关系式为y＝x＋1．当m－3＝0，即m＝3时，函数关系式为y＝x＋3；当m－1＝1，即m＝2时，函数关系式为y＝(m－2)x＋3，当m＝2时，m－2＝0，此时函数不是一次函数．所以m＝1或m＝3．故填1或3．
专题3　　一次函数的图象及性质
【专题解读】 一次函数y＝kx＋b的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为，(0，b)．它的倾斜程度由k决定，b决定该直线与y轴交点的位置．
例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．
(1)画出这个函数的图象；
(2)求这个一次函数的解析式．
分析 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．
解：(1)图象如图14－104所示．
　(2)设函数解析式为y＝kx＋b，则解得
所以函数解析式为y＝2x＋1．
　　二、规律方法专题
　　专题4　一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系
　　【专题解读】　可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．
例5　如图14－105所示，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是　　 　　．
分析　由图象知当x＞－2时，y＝3x＋b对应的y值大于y＝ax－3对应的y值，或者y＝3x＋b的图象在x＞－2时位于y＝ax－3的图象上方．故填x＞－2．
专题5　一次函数的应用
【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题．
例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．
(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象；
(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时
分析　由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内)．
解：(1)设函数关系式为Q＝kt＋b(k≠0)．
　 由题意可知∴
　∴余没量Q与时间t之间的函数关系式是Q＝－6t＋40．
　　∵40－6t≥0，∴t≤．
　∴自变量t的取值范围是0≤t≤．
(2)当t＝0时，Q＝40；当t＝时，Q＝0．
　 得到点(0，40)，(，0)．
　 连接两点，得出函数Q＝－6t＋40(0≤t≤)的图象，如图14－106所示．
　　(3)当Q＝0时，t＝，那么－3＝ (小时)．
∴拖拉机还能耕地小时，即3小时40分．
　　规律．方法　运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的．
三、思想方法专题
专题6　函数思想
【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．
例7　利用图象解二元一次方程组
分析　方程组中的两个方程均为关于x，y的二元一次方程，可以转化为y关于x的函数．由①得y＝2x－2，由②得y＝－x－5，实质上是两个y关于x的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解．
解：由①得y＝2x－2，
由②得y＝－x－5．
在平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x－2，y＝－x－5的图象，如图14－107所示．
观察图象可知，直线y＝2x－2与直线y＝－x－5的交点坐标是(－1，－4)．
∴原方程组的解是
规律·方法　解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解．
例8　我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了y mL水．
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)当滴了1620 mL水时，小明离开水龙头几小时
分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时＝3600秒，∴1小时滴水(3600×2)滴，又∵每滴水约0．05 mL，每小时约滴水3600×2×0．05＝360(mL)．
解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝360x(x≥0)．
(2)当y＝1620时，有360x＝1620，∴x＝4．5．
∴当滴了1620 mL水时，小明离开水龙头4．5小时．
　　专题7　数形结合思想
　　【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
分析 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB＝OA＝2，所以点B的坐标为(0，－2)，再结合A点坐标，即可求出一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)．
∵OA＝OB，点A的坐标为(2，0)，
∴点B的坐标为(0，－2)．
∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y＝kx＋b，
　　∴∴
∴一次函数的解析式为y＝x－2．
【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用．
　专题8　分类讨论思想
　【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．
例10　在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14－109所示，能否用函数关系式表示这段记录
分析　根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(m／s)之间的关系，在10 s内，赛车的速度从0增加到7．5 m／s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．
解：观察图象可知．
当t在0～1 s内时，速度v与时间t是正比例函数关系，v＝7．5t(0≤t≤1)．
当t在1～8 s内时，速度v保持不变，
v＝7．5(1＜t≤8)；
当t在8～10 s内时，速度v与时间t是一次函数关系，设一次函数为v＝kt＋b(k≠0)，又一次函数图象过(8，7．5)和(10，0)，
则解得
∴v＝－3．75t＋37．5(8＜t≤10)．
即
专题9 方程思想
【专题解读】 方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法．在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式．
例11 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，－2)及点B(1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．
分析　可将由已知条件给出的坐标分别代入y＝kx＋b中，通过解方程组求出k，b的值，从而确定函数关系式．
解：由题意可知∴
∴函数关系式为y＝2x＋4．图象如图14－110所示．
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011新疆乌鲁木齐，5，4）将直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（　　）
A、y＝2x－1 B、y＝2x－2 C、y＝2x＋1 D、y＝2x＋2
考点：一次函数图象与几何变换。
专题：探究型。
分析：根据函数图象平移的法则进行解答即可．
解答：解：直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x－1），
即y＝2x－2．
故选B．
点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
2. （2011南昌，8，3分）已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（　　）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2
考点：一次函数图象与系数的关系.
专题：探究型.
分析：根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
解答：解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，∴b＞0，∴四个选项中只有2符合条件．故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当b＜0时，函数图象与y轴相较于负半轴．
3. （2011陕西，4，3分）下列四个点，在正比例函数的图像上的点是（ ）
A．(2,5) B．(5,2) C．(2,-5) D．(5,-2)
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：函数思想。
分析：根据函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知是定值．
解答：解：由，得=﹣； A、∵=，故本选项错误； B、∵=，故本选项错误； C、∵=﹣，故本选项错误； D、∵=﹣，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
4. （2011 台湾1,4分）坐标平面上，若点（3，b）在方程式3y=2x﹣9的图形上，则b值为何（　　）
A、﹣1 B、2 C、3 D、9
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：利用一次函数图象上点的坐标性质，将点（3，b）代入即可得出b的值．
解答：解：把点（3，b）代入3y=2x﹣9，得：b=﹣1．
故选A．
点评：本题考查的知识点是：在这条直线上的点的坐标一定适合这条直线的解析式．
5. ( cm )（2011台湾，9，4分）如图的坐标平面上，有一条通过点（－3，－2）的直线L．若四点（－2，a）．（0，b）．（c，0）．（d，－1）在L上，则下列数值的判断，何者正确（　　）
( http: / / www.m / )
A．a＝3 B．b＞－2 C．c＜－3 D．d＝2
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合。
分析：根据函数的图象可判断出函数的增减性，从而结合选项即可判断各选项正确与否．
解答：解：由题意得：此函数为减函数，
A．－2＞－3，故a＜－2，故本选项错误；
B．－3＜0，故－2＞b，故本选项错误；
C．0＞－2，故c＜－3，故本选项正确；
D．－1＞－2，故b＜－3，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是掌握函数的增减性，另外本题还可以利用特殊值设出符合题意的函数解析式，然后代入判断．
6. （2011重庆江津区，4，4分）直线y＝x﹣1的图象经过的象限是（　　）
A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限
C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限
考点：一次函数的性质。
专题：计算题。
分析：由y＝x﹣1可知直线与y轴交于（0，﹣1）点，且y随x的增大而增大，可判断直线所经过的象限．
解答：解：直线y＝x﹣1与y轴交于（0，﹣1）点，且k＝1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y＝x﹣1的图象经过第一、三、四象限．
故选D．
点评：本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．
7. （2011湖北咸宁，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A在轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将□OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　）
( http: / / www.m / )
A、y=x+1 B、 QUOTE EMBED Equation.3 　　　　C、y=3x﹣3 D、y=x﹣1
考点：待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；中心对称。
分析：首先根据条件l经过点D（1，0），且将 OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．
( http: / / www.m / )
解答：解：设D（1，0），
∵线l经过点D（1，0），且将 OABC分割成面积相等的两部分，
∴OD=OE=1，
∵顶点B的坐标为（6，4）．
∴E（5，4）
设直线l的函数解析式是y=kx+b，
∵图象过D（1，0），E（5，4），
∴ QUOTE EMBED Equation.3 ，
解得： QUOTE EMBED Equation.3 ，
∴直线l的函数解析式是y=x﹣1．
故选D．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出E点坐标．
8（2011，台湾省，15,5分）如图的坐标平面上有四直线L1、L2、L3、L4．若这四直线中，有一直线为方程式3x﹣5y+15=0的图形，则此直线为何？（　　）
( http: / / www.m / )
A、L1 B、L2
C、L3 D、L4
考点：一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征。
专题：推理填空题。
分析：求出直线与X、Y轴的交点坐标（0，3），（﹣5，0），根据图象即可选出答案．
解答：解：将x=0代入3x﹣5y+15=0得：y=3，
∴方程式3x﹣5y+15=0的图形与y轴的交点为（0，3），
将y=0代入3x﹣5y+15=0得：x=﹣5，
∴方程式3x﹣5y+15=0的图形与x轴的交点为（﹣5，0），
观察图形可得直线L1与x、y轴的交点恰为（﹣5，0）、（0，3），
∴方程式3x﹣5y+15=0的图形为直线L1．
故选A．
点评：本题主要考查对一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据一次函数的图象进行判断是接此题的关键．
9. （2011山东滨州，6，3分）关于一次函数y=-x+1的图像,下列所画正确的是( )
.
【考点】一次函数的图象．
【专题】常规题型．
【分析】根据函数的k为-1，b=1，可判断函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的负半轴．
【解答】解：由题意得：函数的k为-1，b=1，
∴函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的负半轴，
结合选项可得C符合题意．
故选C．
【点评】本题考查一次函数的图象的知识，难度不大，对于此类题目要先判断增减性及与y轴交点的位置．
10. （2011山东济南，10，3分）一次函数y=（k﹣2）x+3的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞3 D．k＜3
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的图象得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
解答：解：一次函数的图象过二、四象限可知，k﹣2＜0，
解得k＜2．
故选B．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数的图象过二、四象限．
11. （2011泰安，13，3分）已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m．n的取值范围是（　　） ( http: / / www.m / )
A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2 C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的图象经过二．四象限可知m＜0，再根据函数图象与y轴交与正半轴可知n－2＞0，进而可得出结论．
解答：解：∵一次函数y＝mx＋n－2的图象过二．四象限，
∴m＜0，
∵函数图象与y轴交与正半轴，
∴n－2＞0，
∴n＞2．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象，即直线y＝kx＋b所在的位置与k．b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一．三象限．k＜0时，直线必经过二．四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
12. （2011成都，21，4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a－5）位于第　 　象限．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；点的坐标。
专题：数形结合。
分析：把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值，进而根据点的Q的横纵坐标的符号可得所在象限．
解答：解：∵点P（2，a）在正比例函数 QUOTE EMBED Equation.3 的图象上，
∴a＝1，
∴a＝1，3a－5＝－2，
∴点Q（a，3a－5）位于第四象限．
故答案为：四．
点评：考查一次函数图象上点的坐标特征；得到a的值是解决本题的突破点．
13. （2011四川雅安，10,3分）已知一次函数y=kx+b，k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为（　　）
A. B. C. D.
考点：列表法与树状图法；一次函数的性质。
分析：根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，即可得出答案．
解答：解：∵k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，
∴可以列出树状图：
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，
∴当k=﹣3，b=﹣1，时符合要求，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为：，
故选：C．
( http: / / www.m / )
点评：此题主要考查了一次函数的性质以及树状图法求概率，熟练的应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键．
14. （2011湖南怀化,7,3分）在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（　　）
A．y=x+1 B．y=x﹣1
C．y=x D．y=x﹣2
考点：一次函数图象与几何变换。
专题：探究型。
分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解答：解：由“左加右减”的原则可知，在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，
其直线解析式为y=x+1．
故选A．
点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
15.（2011年广西桂林，8，3分）直线一定经过点（ ）．
A．(1，0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1)
考点：一次函数图象上点的坐标特征 ( javascript:void(0) )．
分析：根据一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点为（0，b）进行解答即可．
答案：解：∵直线y=kx-1中b=-1，
∴此直线一定与y轴相较于（0，-1）点，
∴此直线一定过点（0，-1）．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点为（0，b）．3. (2011四川雅安10，3分)已知一次函数，从中随机取一个值，从中随机取一个值，则该一次函数的图像经过二．三．四象限的概率为（ ）
A B C D
考点：列表法与树状图法；一次函数的性质。
分析：根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，即可得出答案．
解答：∵k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，
∴可以列出树状图
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，
∴当k=﹣3，b=﹣1时符合要求，
∴当k=﹣3，b=﹣2时符合要求，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为，
故选A．
( http: / / www.m / )
1.（2011 湖南张家界，8，3）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（　　）
A、 B、C、 D、
考点：一次函数的图象。
分析：根据图象与y轴的交点直接解答即可．
解答：解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选C．
点评：本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
16.（2011 江西，5，3）已知一次函数y=﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以是（　　）
A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、2
考点：一次函数图象与系数的关系。
分析：根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
解答：解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
k=﹣1，
∴b＞0，
∴四个选项中只有2符合条件．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当b＜0时，函数图象与y轴相较于负半轴．
17.（2011年江西省，5，3分）已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（　　）
A.-2 B.-1 C.0 D.2
考点：一次函数图象与系数的关系 ( javascript:void(0) )．
专题：探究型 ( javascript:void(0) )．
分析：根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
解答：解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
∴四个选项中只有2符合条件．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当b＜0时，函数图象与y轴相较于负半轴．
18. （2011安徽省芜湖市，7,4分）已知直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），则k的值为（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：待定系数法求一次函数解析式；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：运用待定系数法求一次函数解析式，代入后求出k，b的值即可．
解答：解：∵直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），
∴将（k，3）和（1，k），代入解析式得：
解得：k=±，b=0，
则k的值为：±．
故选B．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及直接开平方法解一元二次方程，将已知点代入得出二元一次方程组是解决问题的关键．
19. ( cm )2011广州，9，3分）当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（ ）
A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9
【考点】函数值；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．
【解答】解：由题意得x-2≥0，
解得x≥2，
∴4x+1≥9，
即y≥9．
故选B．
【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．
20. （2010广东佛山，8，3分）下列函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是（　　）
A． B． C． D．
考点二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质
分析一次函数当k大于0时，y值随x值的增大而增大，反比例函数系数k为负时，y值随x值的增大而增大，对于二次函数根据其对称轴判断其在区间上的单调性．
解答解：A、对于一次函数y=﹣x+1，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误，
B、对于二次函数y=x2﹣1，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，当x＜0时，y值随x值的增大而减小，故本选项错误，
C、对于反比例函数 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，k＞0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误，
D、对于反比例函数 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大，故本选项正确，故选D．
点评本题主要考查二次函数、一次函数和反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握各个函数在每个象限内的单调性．
21. （2011湖南常德，16，3分）设min｛x,y｝表示x,y两个数中的最小值，例如min｛0,2｝=0，min｛12,8｝=8，则关于x的函数y可以表示为（ ）
A. B.
C. y =2x D. y=x＋2
考点：一次函数的性质。
专题：新定义。
分析：根据题意要求及函数性质，可对每个选项加以论证得出正确选项．
解答：解：根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定2x和x+2的大小，所以不能直接表示为，C：y =2x，D：y=x＋2．
当x＜2时，可得：x+x＜x+2，即2x＜x+2，可表示为y=2x．
当x≥2时，可得：x+x≥x+2，即2x≥x+2，可表示为y=x+2．
故选：A．
点评：此题考查的是一次函数的性质，解题的关键是根据已知和函数性质讨论得出．
22. （2011 玉林，6，3分）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax﹣1经过的象限是（　　）
A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限
C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限
考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系。
专题：函数思想。
分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．
解答：解：∵二次函数y=ax2的图象开口向上，
∴a＞0；
又∵直线y=ax﹣1与y轴交与负半轴上的﹣1，
∴y=ax﹣1经过的象限是第一、三、四象限．
故选D．
点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．
23. （2011贵州遵义，7，3分）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是
A. B. C. D.
【考点】一次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y=（2-m）x-2的函数值y随x的增大而减小，
∴2-m＜0，
∴m＞2．
故选D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小．
24. （2011河北，5，2分）一次函数y＝6x＋1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点：一次函数的性质。
专题：存在型；数形结合。
分析：先判断出一次函数y＝6x＋1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y＝6x＋1中k＝6＞0，b＝1＞0，
∴此函数经过一．二．三象限，
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一．三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．
25.（2011清远，9，3分）一次函数y=x+2的图象大致是（　 　）
考点：一次函数的图象.
专题：数形结合.
分析：根据一次函数y＝x+2与x轴和y轴的交点，结合一次函数图象的性质便可得出答案．
解答：解：一次函数y＝x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2，故一次函数y＝x+2图象经过（0，2）（－2，0）；故根据排除法可知A选项正确．故选A．
点评：本题主要考查了一次函数的性质，可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
26. （2011杭州，7，3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（　　）
A． B． C． D．
考点：一次函数的应用 ( http: / / www.m / math / ques / detail / 2a36e6aa-d2e0-4c41-b185-53543f0bdac5 )；一次函数的图象 ( http: / / www.m / math / ques / detail / 2a36e6aa-d2e0-4c41-b185-53543f0bdac5 )．
分析：因为个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，矩形的面积一定，y随着x的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案．
解答：解：因为x+y=k（矩形的面积是一定值），
整理得y=-x+k，
由此可知y是x的一次函数，，图象经过二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，
所以只有A符合要求．
故选A．
点评：此题主要考查实际问题的一次函数的图象与性质，解答时要熟练运用．
二、填空题
1. （2011江苏镇江常州，16，3分）已知关于x的一次函数y=kx+4k﹣2（k≠0）．若其图象经过原点，则k=，若y随着x的增大而减小，则k的取值范围是　k＜0　．
考点：一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．
分析：（1）若其图象经过原点，则4k﹣2=0，即可求出k的值；（2）若y随着x的增大而减小，则一次项系数当k＜0时，图象经过二．四象限．
解答：解：（1）当其图象经过原点时：
4k﹣2=0，
k= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）当y随着x的增大而减小时：
k＜0．
故答案为：k= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ；k＜0．
点评：本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．正确的确定一次函数的一次项系数和常数项．
2. （2011内蒙古呼和浩特，12，3）已知关于x的一次函数y=mx+n的图象如图所示，则可化简为______.
考点：二次根式的性质与化简 ( javascript:void(0) )；一次函数图象与系数的关系 ( javascript:void(0) )．
专题：数形结合 ( javascript:void(0) )．
分析：根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．
解答：解：根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0；
又∵关于x的一次函数y=mx+n的图象与y轴交与正半轴，∴n＞0；
∴=n-m-（-m）=n．故答案是：n．
点评：本题主要考查了二次根式的性质与化简、一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，当k＞0时，经过第一、二、三象限；当k＜0时，经过第一、二、四象限．
3. （2011陕西，15，3分）若一次函数的图像经过 一、二、四象限，则m的取值范围是 ．
考点：一次函数的性质。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据一次函数的性质进行分析：由图形经过一、二、四象限可知（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0，即可求出m的取值范围
解答：解：∵y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过 一、二、四象限
∴（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0
∴解不等式得：m＜ QUOTE EMBED Equation.3 ，m＜
∴m的取值范围是m＜ QUOTE EMBED Equation.3 ．
故答案为：m＜ QUOTE EMBED Equation.3
点评：本题主要考查一次函数的性质、求不等式，关键是确定好一次函数的一次项系数和常数项.
4. 一次函数y=3x-2的函数值y随自变量x值的增大而 增大（填“增大”或“减小”）．
考点：一次函数的性质 ( javascript:void(0) )．
专题：存在型 ( javascript:void(0) )．
分析：根据一次函数的性质判断出一次函数y=3x-2中k的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y=3x-2中，k=3＞0，
∴函数值y随自变量x值的增大而增大．
故答案为：增大．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0时，y随x的增大而增大．
5. （2011四川广安，17，3分）写出一个具体的随的增大而减小的一次函数解析式________________________．
考点：一次函数的性质
专题：一次函数
分析：所写的一次函数只需满足即可．
解答：答案不唯一，如：y＝－x＋1
点评：一次函数的增减性与的符号有关，而与的符号无关．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
6. ( cm )（2011天津，13，3分）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为　y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）　．
考点：一次函数的性质。
专题：开放型。
分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．
解答：解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过点（0，1），
∴b=1，
∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．
7. 表1给出了直线l1上部分点（x，y）的坐标值，表2给出了直线l2上部分点（x，y）的坐标值．
( http: / / www.m / )
那么直线l1和直线l2交点坐标为　（2，﹣1）　．
考点：两条直线相交或平行问题。
专题：图表型。
分析：通过观察直线l1上和l2上部分点的坐标值，会发现当x=2时，y的值都是﹣1，即两直线都经过点（2，﹣1），即交点．
解答：解：通过观察表可知，直线l1和直线l2交点坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）
点评：解答此题的关键是找出两条直线都经过的点，即交点．
8. （2011山东省潍坊， 14，3分）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可)
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．
【解答】解：符合题意的函数解析式可以是y= ，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）
故答案为：y=，y=-x+3，y=-x2+5等．
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．
9. ( 精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 )（2011四川广安，17，3分）写出一个具体的随的增大而减小的一次函数解析式________________________．
考点：一次函数的性质
专题：一次函数
分析：所写的一次函数只需满足即可．
解答：答案不唯一，如：y＝－x＋1
点评：一次函数的增减性与的符号有关，而与的符号无关．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
10. （2011浙江义乌，11，4分）一次函数y＝2x－1的图象经过点（a，3），则a＝　2　．
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：把所给点的横纵坐标代入一次函数可得a的值．
解答：解：∵一次函数y＝2x－1的图象经过点（a，3），
∴3＝2a－1，
解得a＝2．
故答案为：2．
点评：本题考查一次函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标就适合该函数解析式．
11. （2011 贵阳12,4分）一次函数y=2x﹣3的图象不经过第　二　象限．
考点：一次函数的性质。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y=2x﹣3中，k=2＞0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b=﹣3＜0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
12. （2011湖南怀化,12,3分）一次函数y=﹣2x+3中，y的值随x值增大而　增大　．（填“增大”或“减小”）
考点：一次函数的性质。
专题：探究型。
分析：先判断出一次函数y=﹣2x+3中k的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y=﹣2x+3中k=2＞0，
∴y的值随x值增大而增大．
故答案为：增大．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大．
13. 一次函数y=-3x+2的图象不经过第 三象限．
【考点】一次函数的性质 ( javascript:void(0) )．
【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．
【解答】解：因为解析式y=-3x+2中，-3＜0，2＞0，图象过一、二、四象限，故图象不经过第三象限．
【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
14.（2011 株洲14,3分）如图，直线l过A、B两点，A（0，﹣1），B（1，0），则直线l的解析式为　y=x﹣1　．
考点：待定系数法求一次函数解析式。
专题：计算题；数形结合。
分析：从图象上找到直线所过的两个点的坐标，利用待定系数法求解即可．
解答：解：设函数解析式为y=kx+b，
将（1，0），（0，﹣1）分别代入解析式得，
，
解得，
函数解析式为y=x﹣1．
故答案为y=x﹣1．
点评：此题考查了待定系数法求函数解析式，从图象所在坐标系找出关键点是列方程组的必要步骤．
15.（2011吉林长春，13，3分）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是　x＞2　．
( http: / / www.m / )
考点：一次函数的图象．
专题：数形结合．
分析：根据一次函数的图象可直接进行解答．
解答：解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y=3时x=2，故当y＜3时，x＞2．故答案为：x＞2．
点评：本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
16.（2011辽宁沈阳，13，4）如果一次函数y＝4x+b的图象经过第一、三、四象限，那么b的取值范围是　b＜0　．
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：数形结合。
分析：根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
解答：解：根据一次函数的性质和图象可知：k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．
b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
根据题意一次函数y＝4x+b的图象经过第一、三、四象限可知：b＜0．
故答案为：b＜0．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．
k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
17.（2011辽宁沈阳，13，4分如果一次函数Y=4X+B的图象经过第一、三、四象限，那么B的取值范围是　 　．
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：数形结合。
分析：根据图象在坐标平面内的位置关系确定K，B的取值范围，从而求解．
解答：解：根据一次函数的性质和图象可知：k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．
b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
根据题意一次函数y=4x+b的图象经过第一、三、四象限可知：b＜0．
故答案为：b＜0．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
18.（2011巴彦淖尔，11，3分）已知点A（﹣5，a），B（4，b）在直线y=﹣3x+2上，则a　　b．（填“＞”“＜”或“=”号 ）
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再比较出﹣5与4的大小即可解答．
解答：解：∵直线y=﹣3x+2中，k=﹣3＜0，
∴此函数是减函数，
∵﹣5＜4，
∴a＞b．
故答案为：＞．
点评 ：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
三、解答题
1. （2011湖北咸宁，23，10分）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：
P从点O出发平移次数 可能到达的点的坐标
1次 （0，2），（1，0）
2次
3次
（2）观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数　y=﹣2x+2　的图象上；平移2次后在函数　y=﹣2x+4　的图象上…由此我们知道，平移n次后在函数　y=﹣2x+2n　的图象上．（请填写相应的解析式）
（3）探索运用：
点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．
( http: / / www.m / )
考点：一次函数图象与几何变换；坐标与图形变化-平移。
专题：探究型。
分析：（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可；
（2）先根据P点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；
（3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答．
解答：解：（1）如图所示：
( http: / / www.m / )
P从点O出发平移次数 可能到达的点的坐标
1次
2次 （0，4），（1，2），（2，0）
3次 （0，6），（1，4），（2，2），（3，0）
（2）设过（0，2），（1，0）点的函数解析式为：y=kx+b（k≠0），
则 QUOTE EMBED Equation.3 ，
解得 QUOTE EMBED Equation.3 .
故第一次平移后的函数解析式为：y=﹣2x+2；
∴答案依次为：y=﹣2x+2；y=﹣2x+4；y=﹣2x+2n．
（3）设点Q的坐标为（x，y），依题意， QUOTE EMBED Equation.3 ．
解这个方程组，得到点Q的坐标为．
∵平移的路径长为x+y，
∴50≤≤56．
∴37.5≤n≤42．（9分）
∵点Q的坐标为正整数，
∴点Q的坐标为（26，26），（28，28）．
点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2. （2011 郴州）求与直线y=x平行，并且经过点P（1，2）的一次函数的解析式．
考点：两条直线相交或平行问题。
专题：计算题。
分析：平行于直线y=x，则k=1，再根据待定系数法求解即可．
解答：解：根据题意，设一次函数解析式为y=kx+b，
∵与直线y=x平行，∴k=1，
由点P（1，2）得：1+b=2，
解得：b=1，
∴函数解析式为：y=x+1，
所以一次函数的解析式为：y=x+1．
点评：本题主要考查两条直线相交或平行问题，难度不大，掌握用待定系数法求函数解析式，根据平行得到k=1是解本题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为
（1）画出，并求出所在直线的解析式.
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出在上述旋转过程中扫过的面积.
考点：作图－旋转变换 ( javascript:void(0) )；待定系数法求一次函数解析式 ( javascript:void(0) )；扇形面积的计算 ( javascript:void(0) )．
分析：（1）利用待定系数法将A（－1，2），C（－2，9）代入解析式求出一次函数解析式即可；
（2）根据AC的长度，求出S＝S扇形＋S△ABC，就即可得出答案．
解答：（1）如图所示，即为所求.
设所在直线的解析式为
∵，
∴ 解得 ， ∴.
（2）如图所示，即为所求.
由图可知，，=.
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及扇形面积求法，得出扇形面积等于
S＝S扇形＋S△ABC是解决问题的关键．
4. 2011福建福州，19，12分）如图，在平面直角坐标系中，A．B均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；
（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若直线BC的函数解析式为y=kx+b，则y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）．
( http: / / www.m / )
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与几何变换．
分析：（1）根据一次函数图象知A（1，0），B（0，2），然后将其代入一次函数的解析式，利用待定系数法求该函数的解析式；
（2）根据旋转的性质，在答题卡中画出线段BC，然后根据直线BC的单调性填空．
解答：（1）设直线AB的函数 解析式为y=kx+b，依题意，得A（1，0），B（0，2）∴
解得，∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+2，当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1．
（2）线段BC即为所求．增大
( http: / / www.m / )
点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式．一次函数图象与几何变换．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得形象．直观，降低了题的难度．
5. （2011浙江绍兴，21，10分）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b 的值．
考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：（1）计算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可；
（2）当a＞0时，根据（a+3）×2=3a，求出a，进一步求出b；当a＜0时，根据（﹣a+3）×2=﹣3a求出a进一步求出b．
解答：（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），
∴点M不是和谐点，点N是和谐点．
（2）解：由题意得：当a＞0时，（a+3）×2=3a，
∴a=6，
点P（a，3）在直线 y=﹣x+b上，代入得：b=9
当a＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a，
∴a=﹣6，
点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，
∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．
点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，理解题意并根据题意进行计算是解此题的关键．
6. （2011湖州，19，6分）已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点．
（1）求k，b的值；
（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征.
分析：（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出a的值．
解答：解：（1）由题意，得解得∴k、b的值分别是1和2；
（2）由（1）得y＝x+2，∴当y＝0时，x＝－2，即a＝－2．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴交点求法，此题比较典型应熟练掌握．
7. （2011 铜仁地区19,10分）（2）已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（1，1），B（2，﹣1），求这个函数的解析式．
分析：（2）将A（1，1），B（2，﹣1）代入函数解析式，解方程组即可求得k与b的值，则可得这个函数的解析式．
（2）根据题意得：，
解得：，
∴函数的解析式是：y=﹣2x+3
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
　　一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图14－111所示，饮水桶中的水由图①的位置下降到图②的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象是(如图14－112所示) ( )
　　2．一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，则下列说法正确的是 ( )
　　 A．k＞0，b＞0 　　　　　　　 B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0 　　　　　　　 D．k＜0，b＜0
3．小明从家走了10分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸，然后用了15分钟沿原路回到家，下列图象中能表示小明离家距离y(米)与时间x(分)关系的是(如图14－113所示) ( )
　　4．直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点如图14－114所示，当y＜0时，x的取值范围是 ( )
　　 A．x＞2 　　　　　　　　　　 B．x＜2
　　 C．x＞－1 　　　　　　　　　 D．x＜－1
5．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图14－115所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是 ( )
　 A．当月用车路程为2000 km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
　 B．当月用车路程为2300 km 时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
　C．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多
　D．甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少
　　6．函数和的图象如图14－116所示，当y1＞y2时，x的取值范围是 ( )
　　A．x＜－1 　　　　　　　　　 B．－1＜x＜2
　　 C．x＜－1或x＞2 　　　　　 D．x＞2
　　7．已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12．则k的值为 ( )
A．1或－2 B．2或－1 C．3 D．4
8．如图14－117所示反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．如果菜地到玉米地的距离为a千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b分钟，则a，b的值分别为 ( )
A．1．1，8 B．0．9，3 C．1．1，12 D．0．9，8
9．函数y＝－x与函数y＝x＋1的图象的交点坐标为 ( )
　 A． B．
　 C． D．
10．函数y＝ax＋b①和y＝bx＋a②(ab≠0)在同一平面直角坐标系中的图象(如图14－118所示)可能是 ( )
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．函数的自变量x的取值范围是 ．
12．写出一个y随x增大而增大的一次函数的解析式 ．
13．一根弹簧原长为12 cm，它所挂物体的质量不能超过15 kg，并且每挂1 kg物体就伸长cm．则挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
14．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则它的解析式可以为　　 　．
　　15．已知直线y＝kx＋b过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若k＜0，且x1＜x2，则y1　　　　y2．(填“＞”或“＜”)
16．(天津中考)已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，则该函数的图象与y轴交点的坐标为　　　 ．
17．在平面直角坐标系中，将直线y＝－2x＋1向下平移4个单位长度后，所得直线的解析式为 　　　 ．
18．如图14－119所示的是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快．其中正确的有　　　 (填序号)．
　　19．如图14－120所示，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式组＞kx＋b＞－2的解集为　 　 ．
20．用棋子按如图14－121所示的方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n－1)个图形多　　 　枚棋子．
　　三、解答题(第21～23小题各8分，第24～26小题各12分，共60分)
　　21．我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃，某时刻，益阳地面温度为20℃．设高出地面x千米处的温度为y℃．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少摄氏度；
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34℃，求飞机离地面的高度为多少千米．
　　22．如图14－122所示，在平面直角坐标系中，一条直线l与x轴相交于点A(2，0)．与正比例函数y＝kx(k≠0，且k为常数)的图象相交于点P(1，1)．
(1)求k的值；
(2)求△AOP的面积．
23．已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3．
(1)求一次函数的解析式；
(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．
24．一列长为120米的火车匀速行驶，经过一条长为160米的隧道，从车头驶入隧道入口到车尾离开隧道出口共用14秒．设车头驶入隧道入口x秒时，火车在隧道内的长度为y米．
　 (1)求火车行驶的速度；
　 (2)当0≤x≤14时，求y与x的函数关系式；
(3)在如图14－123所示的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象．
25．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁．图14－124中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题．
　 (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米／分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米
26．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间的函数关系的图象如图14－125所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5．5万元．(销售利润＝(售价－成本价)×销售量)
请你根据图象(如图14－125所示)及加油站五月份该油品的所有销售记录(如图14－126所示)提供的信息，解答下列问题．
　　(1)求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
(2)分别求线段AB与BC所对应的函数关系式；
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大 (直接写出答案)
参考答案
1．C[提示：由图①到图②的过程中，水减少的体积是均匀变化的，随着水位下降高度的增加，水减少的体积也逐渐增加．]　
2．A　
3．D［提示：图象上的数要和题目中的条件对应．]　
4．B[提示：y＜0时，图象处于x轴的下方，对应的x的值小于2．]
5．D[提示：由图象知，选项A，B都正确，由于直线y1比y2上升得快，所以除去月固定租赁费，甲公司每公里收取的费用比乙公司多．]
6．C［提示：y1＞y2时，y1的图象在y2图象的上方，即x＜－1或x＞2．]
7．A[提示：当直线y＝kx－3与y＝－1和y＝3的交点在直线x＝1的左侧时，交点坐标分别为，，则四边形面积为解得k＝－2．当直线y＝kx－3与y＝－1和y＝3的交点在x＝1的右侧时．四边形面积为，解得k＝1．故选A．]　
8．D［提示：由图象可知，菜地和玉米地之间的距离为2－1．1＝0．9(千米)，a＝0．9；小明在菜地浇水的时间为10分钟，在玉米地除草的时间为18分钟，18－10＝8(分)，b＝8．故选D．]　
9．A[提示：解方程组]
10．D[提示：因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，故C不正确；从A，B，D的图象分析a，b异号，假设a＞0，b＜0，则直线y＝ax＋b经过第一、三、四象限，直线y＝bx＋a经过第一、二、四象限．]
11．x≥3[提示：根据二次根式和分式有意义的条件知　　所以x≥3．]
12．y＝x[提示：答案不唯一，只要一次函数关系式中的k＞0即可．]
13． 0≤x≤15
14．y＝x－2[提示：答案不唯一，只要一次函数关系式中的k＞0，b＜0即可．]
15．＞[提示：∵k＜0，∴y随x的增大而减小，又∵x1＜x2，∴y1＞y2．]
16．(0，－1)[提示：由待定系数法可求出过(3，5)和(－4，－9)的直线的解析式为y＝2x－1，直线与y轴的交点坐标为(0，－1)．]
17．y＝－2x－3[提示：直线向下平移，k不变，b减小．]
18．①②④
19．－1＜x＜2［提示：用待定系数法可求出k＝1，b＝－1，不等式组为＞x－1＞－2，解不等式组可得－1＜x＜2．]
20．3n－2[提示：第2个图形比第1个图形多(2×3－2)枚，第3个图形比第2个图形多(3×3－2)枚，第4个图形比第3个图形多(4×3－2)枚，…，第n个图形比第n－1个图形多(3n－2)枚．]
21．解：(1)y＝20－6x(x≥0)． (2)500米＝0．5千米，y＝20－6×0．5＝17(℃)．(3)－34＝20－6x，x＝9．
22．解：(1)∵点P(1，1)在正比例函数y＝kx的图象上，∴1＝k×1，∴k＝1． (2)S△POA＝OA·＝×2×1＝1．
23．解：(1)由已知得－3＝2k－4，解得k＝，∴一次函数的解析式为y＝x－4． (2)将直线y＝x－4向上平移6个单位后得到的直线是y＝x＋2．∵当y＝0时，x＝－4，∴平移后的图象与x轴交点的坐标是(－4，0)　
24．解：(1)(120＋160)÷14＝20(米／秒)． (2)当0≤x≤6时，y＝20x；当6＜x≤8时，y＝120；当8＜x≤14时，y＝120＋160－20x＝－20x＋280．∴ (3)如图14－127所示．
25．解：(1)15 (2)由图象可知，s是t的正比例函数，设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，将(45，4)代入得4＝45k，解得k＝．∴s与t的函数关系式为(0≤t≤45)． (3)由图象可知，在30≤t≤45的时段内，小聪离开学校的路程s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n(m≠0)，将(30，4)，(45，0)代入得解得∴(30≤t≤45)．令，解得．当　　时，．即当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
26．解：(1)根据题意，当销售利润为4万元时，销售量为4÷(5－4)＝4(万升)．答：销售量为4万升时销售利润为4万元．
(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日的利润为5．5－4＝1．5(万元)，所以销售量为1．5÷(5．5－4)＝1(万升)，所以点B的坐标为(5，5．5)．设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx＋b，则解得所以线段AB所对应的函数关系式为y＝1．5x－2(4≤x≤5)．从15日到31日共销售5万升，利润为1×1．5＋4×(5．5－4．5)＝5．5(万元)．所以本月销售该油品的利润为5．5＋5．5＝11(万元)，所以点C的坐标为(10，11)．设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx＋n，则解得所以线段BC所对应的函数关系式为y＝1．1x(5≤x≤10)．
(3)线段AB．
一次函数
定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的
每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是
自变量，y是x的函数
函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法
变量与函数
一次函数
正比例函数
定义：形如y＝kx(k≠0)的函数
性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，
y随x的增大而减小
一次函数
定义：形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数
性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，
y随x的增大而减小
待定系数法求函数关系式
函数与方程(组)、不等式之间的关系：当函数值是一个具体数值时，函数关系式
就转化为方程(组)：当函数值是一个范围
时，函数关系式就转化为不等式；两直线
的交点坐标就是二元一次方程组的解
一次函数的实际应用
1
1
Ox
y
x
A
B
C
O
B1
C1
A1
x
y
1
1