(共12张PPT)
第七章 三角形
7.2.1 三角形的内角
天津市耀华中学 马丽娜
7.2 与三角形有关的角
（一）动手操作，引入新知
【问题1】我们已经知道，任意一个三角形的三个内角和等于180°．那么怎样证明这个结论呢？
【问题2】将你准备好的三角形纸片的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
三角形三个内角的和等于180°.
三角形内角和定理：
（二）运用新知，解决问题
【思考】
（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？
（2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
答案：（1）1个；（2）1个.
【例】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，
B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的
北偏西40°方向．从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB是多少度？
（三）基础训练，拓展应用
【练习1】如图，从A处观测C 处时
仰角∠CAD =30°，从B处观测C 处
时仰角∠CBD =45° ，从C 处观测A，
B 两处时视角∠ACB是多少？
【练习2】如图，一种滑翔伞的形状是左
右对称的四边形 ABCD，其中∠A =150°，
∠B =∠D=40°，求∠C 的度数．
【拓展练习】 △ABC中，∠B =∠A+10°，
∠C =∠B+10°,求△ABC 的各内角的度数．
答案：∠A=50°，
∠B=60°，
∠C=70°.
（四）小结反思，布置作业
【问题3】本节课你学到了哪些知识？在解题的过程中需要注意什么呢？
三角形三个内角的和等于180°.
辅助线的添加与作法
【作业】
必做题：书第76页第1、4、7、9题．
选做题：书第77页第7、9题至少用两种方
法作答．(共12张PPT)
第七章 三角形
7.3.2 多边形的内角和
7.3 多边形及其内角和
问题1
我们学校要建一个边长都是6 米，各角都相等的十边形的大花坛，请同学们一起来 设计图纸．
【问题2】 三角形的内角和等于180°，正方形的内角和等于360°，那么任意四边形的内角和是否也等于360°呢？证明你的结论．
A
B
C
D
结论：四边形的内角和等于360°.
多边形的边数 3 4 5 6 … n
从一个顶点出发引对角线而分成的三角形个数 …
多边形的内角和 …
【问题3】类比四边形内角和的推导方法，你能求五边形、六边形……n边形的内角和各是多少吗？
1
2
3
4
n－2
1800
3600
5400
7200
(n－2)×1800
总结：探索多边形的内角和关键是
把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得.
n×180o－360o
（n－1）×180o－180o
思考：把一个多边形分成几个三角形， 还有其他分法吗？
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
B
C
D
解：四边形ABCD中，
∠A+∠C=180°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=360°－(∠A+∠C ) =360°－180°=180°.
结论：如果四边形的一组对角互 补，那么另一组对角也互补.
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
E
F
分析：
（1）回忆三角形的外角和的求法；
（2）任何一个外角同与它相邻的
内角有什么关系？
（3）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
（4）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
例3 三角形、六边形的外角和都是360°，那么n边形的外角和（n是不小于3的任意整数）还是360°吗？若是，证明你的结论；若不是，请说明你的理由．
结论：多边形的外角和等于360°
归纳：多边形的外角和的推导方法
多边形的内角和+外角和=边数×180°
练习：
1．完成教材83—84页练习1、2、3题.
2．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）×180=3×360.
解这个方程，得n= 8 .
答：这个多边形是八边形.
感悟：方程思想解决几何问题的优越性
（1）十二边形的内角和是 ，外角和是 ．
（2）一个多边形的每个内角都是160°，这是几边形？
1800o
360o
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）×180=160n.
解这个方程，得 n = 18.
答：这个多边形是十八边形.
思考：还有其他解法吗？比较两种解法，
哪个更好？
3．达标测评
今天的收获
1、n边形的内角和等于（n－2）×180°.
3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 外角问题转化为内角来解决.
4、方程的数学思想在几何中有重要的作用.
【问题4】本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你还有哪些疑问？
2、n边形的外角和等于360°.
A组：
课本第84—85页
第2、3、4、5、6题.
B 组：
已知一个多边形除了一个内
角外，其余各内角的和是
2750°，求这个多边形的
边数.
作
业(共10张PPT)
第七章 三角形
7.2.2 三角形的外角
天津市耀华中学 马丽娜
7.2 与三角形有关的角
C
B
A
开门见山，引入新知
如图，把△ABC的一边BC延长，得到
∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【问题1】昨天，我们学习了三角形的
内角和定理，今天，让我们一起来探究
有关三角形外角的一些性质．那么什么
是外角呢？
D
以旧悟新，尝试发现
【问题2】如图，△ABC中，∠A=70°，
∠B=60° ， ∠ACD是△ABC的一个外
角，能由∠A， ∠B求出∠ACD吗？如
果能， ∠ACD与∠A， ∠B有什么关系？
任意一个三角形的一个外角与它不
相邻的两个内角是否都有这种关系？
∠ACD=∠A+ ∠B
以旧悟新，尝试发现
三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
应用举例，学以致用
如图，∠BAE， ∠CBF， ∠ACD，
是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
如图，△ABE 和△ADC是△ABC 分别沿着
AB、AC 边翻折180°形成的.
若∠1:∠2:∠3=28:5:3 ，
则∠ɑ的度数为？
巩固练习
【练习1】如图，AB∥CD，∠A=45°
∠C= ∠E，求∠C ．
拓展延伸，灵活运用
答案：22.5 °
【练习2】如图， CE是△ABC 的外角∠ACD
的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，
证明∠BAC>∠B ．
拓展延伸，灵活运用
E
D
C
B
A
总结归纳，布置作业
通过本节课的学习，你有什么收获？
作业：
书第75页练习，习题7.2第8题；
质量监测同步练习．(共22张PPT)
第七章 三角形
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线
7.1.3 三角形的稳定性
7.1 与三角形有关的线段
还记得吗？
（1）过一点画已知直线的垂线
（2）如何画线段AB的中点？
（3）如何画∠ACB的角平分线？
想一想：
过三角形的一个
顶点，你能画出它
的对边的垂线吗
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高．
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
根据你的观察，三角形的三条高交于几个点呢？
三角形的三条高交于一个点．
D
E
F
C
B
A
【巩固练习】
你能分别画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？
画钝角三角形的三条高时，
有两个垂足落在边的延长线上.
D
E
F
D
C
B
A
C
B
A
你能根据自己的观察，画出△ABC的一条中线吗？
连接△ABC的顶点和它所对的边BC的中点D，
所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．
D
C
B
A
【练习】
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？
根据你的观察，
三角形的三条中线交于几个点呢？
三角形的三条中线交于一点.
E
F
D
C
B
A
【巩固练习】
你能分别画出直角三角形和钝角三角形的三条中线吗？
任意三角形的三条中线都在三角形的内部.
F
F
D
E
D
E
C
B
A
C
B
A
你能根据自己的观察，画出三角形的一条角平分线吗？
画∠A的平分线AD，交所对的边BC于点D，
所得线段AD叫做△ABC的角平分线．
D
C
B
A
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条角平分线吗？
根据你的观察，
三角形的三条角平分线交于几个点呢？
三角形的三条角平分线交于一个点.
F
E
D
C
B
A
【巩固练习】
你能分别画出直角三角形和钝角三角形的三条角平分线吗？
任意三角形的三条角平分线都在三角形的内部 .
F
D
E
D
E
F
C
B
A
C
B
A
如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？
这三个△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？
你能说出其中的规律吗？
(1)
(2)
(3)
D
C
B
A
C
B
A
D
C
B
A
（1）如图（1），AD,BE,CF是△ABC的三条
中线，则AB=2 ,BD= ,AE=1/2 .
（2）如图（2），AD,BE,CF是△ABC的三条
角平分线，则∠1= , ∠3 =1/2 ，
∠ACB=2 .
(1)
(2)
AF
CD
AC
∠4
∠ABC
∠2
【巩固练习】
如图，在△ABC中，AB=2cm，BC=4cm，
△ABC的高AD与CE的比是多少？
（提示：利用三角形的面积公式）
D
E
C
B
A
【巩固练习】
如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，
DE交AB于E，DF∥AB，DF交AC于F．
图中∠1与∠2有什么关系？为什么？
2
1
E
F
C
D
B
A
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常现在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做？
三角形
具有稳定性，
四边形
不具有稳定性．
思考：
如图（1），将三根木条用钉子钉成一个三角形
木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图（2），将四根木条用钉子钉成一个四边形
木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图（3），在四边形木架上再钉一根木条，将
它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时
木架的形状还会改变吗？为什么？
下列图形中哪些具有稳定性？
√
√
√
×
×
×
三角形的稳定性有广泛的应用，
你能再举一些例子吗？
要使四边形木架（用4根木条钉成）
不变形，至少要再钉上几根木条？
五边形木架和六边形木架呢？
这节课，你有什么收获？
作业：
书第90页第1题；
质量监测同步练习．(共15张PPT)
第七章 三角形
第七章 复习小结
【问题1】本章学习了哪些知识？它们之间的联系是什么？
例1 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3.5cm
B．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cm
D．6cm，8cm，9cm
【问题2】三角形的三边的关系是什么？
D
例2 一个三角形的两条边的长分别为3和5．
⑴求第三边 x 的长的取值范围；
⑵若这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长.
解：当腰长为3时，这个三角形的周长为11；
当腰长为5时，这个三角形的周长为13.
【问题3】怎样运用三角形的内角和定理及外角性质解决问题？
例3 ⑴在△ABC中，∠A=3∠B=120°，
求∠C 的度数．
⑵ 如图，已知AC∥ED，∠C=26°，
∠BED=63°，求∠B 的度数．
A
B
C
D
E
解：∵ AC∥ED，
∴ ∠ CAE=∠BED=63°.
∵ ∠ CAE=∠B+ ∠C，
∴ ∠C= ∠ CAE -∠B=63°-26°=37°.
【问题4】应用多边形的内角和、外角和解决哪些问题？
例4 ⑴若一个多边形的内角和与它的外角和之和是1 800°，这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，由题意得
解得
所以这个多边形是十边形.
10.
n
=
⑵如图，小陈从O点出发，前进了5米后向右转20°的角，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了多少米？
O
解：由题意可知这个正多边形 的每个外角都是20°.
360°÷20°=18.
5×18=90（米）.
【问题5】三角形的三条重要线段有哪些？
例5 如图，AD是△ABC的高， ∠C=65°， ∠ABD=∠BAD，求∠BAC的度数．
A
B
D
C
解：∵ AD是△ABC的高,
∴ ∠ ADC=90°,∴ ∠DAC=25°.
∵ ∠ ADC=∠B+ ∠BAD=90°,
∴ ∠BAD= 45°,
∠ABD=∠BAD,
∴ ∠ BAD=∠CAD+ ∠BAD=45°+25°=70°.
例6 如图a，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O .
图a
A
B
C
O
①若∠ABC= 40°，∠ACB=50°，
则∠BOC的度数为 ；
②若∠A=76°，则∠BOC
的度数为 ；
135°
128°
③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？说明理由.
图a
A
B
C
O
解：
A.
BOC
+
°
=
2
1
90
A.
A
ACB
ABC
BOC
+
°
=
-
°
-
°
=
+
-
°
=
2
1
90
)
180
(
2
1
180
)
2
1
2
1
(
180
(2)如图b，点O是△ABC的两外角平分线BO、CO的交点，那么∠BOC与∠A有怎样的数量关系？并说明理由.
图b
A
B
C
O
解：
A.
BOC
-
°
=
2
1
90
[
]
A.
A
ACB
ABC
BCE
DBC
BOC
-
°
=
-
°
-
°
-
°
=
-
°
+
-
°
-
°
=
+
-
°
=
2
1
90
)
180
(
360
2
1
180
)
180
180
(
2
1
180
)
2
1
2
1
(
180
作业
复习题7的第4、5、6、7、8题.
第9、10题选做.(共13张PPT)
第七章 三角形
7.3.1 多边形
7.3 多边形及其内角和
问题1：你能从这些图形中找出几个由一些线段围成的平面图形吗？
三角形
四边形
六边形
七边形
六边形
类比三角形的定义，你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？
由不在同一直线上的 线段首尾顺次相接组成的图形叫做 边形.
五
四条
四
五条
n条
n
问题2：
思考：关于多边形的定义是否正确？
一些
多
问题3：你能类比三角形的组成要素，说一说下面图形各部分的名称是什么？
边
内角
顶点
外角
对角线
练习：画出五边形ABCDE的所有对角线.
A
B
C
E
D
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
问题4：我们现在研究的是如图1所示的多边形，是凸多边形； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中.比较这两种多边形的区别是什么？
图 2
图 1
问题5：观察正三角形、正方形的特征， 猜想满足什么条件的多边形是
正多边形？
定义： 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
例 你知道三角形、四边形、五边形、六边形等多边形从一个顶点出发所画的对角线的条数吗？试着画一画，并填下表：
n－3
多边形的边数 3 4 5 6 … n
从一个顶点出发所有的对角线（条） …
从一个顶点出发分成三角形（个） …
对角线总数（条） …
0
1
2
3
1
2
3
4
n－2
0
2
5
9
练习测试
2、（1）一个多边形自一个顶点出发的对角线把它分成6个三角形，则它是＿＿边形.
1、 课本81页练习第1、2题.
（2）下列图形哪些是凸多边形，哪些不是？
今天的收获
2、多边形为什么研究对角线？
你对多边形的对角线有哪些认识？
1、 谈谈本节课你学会哪些知识？
3、你还有哪些疑问和困惑？
A组：课本P84 第1题
作业：
B组：第86页阅读与思考(共16张PPT)
第七章 三角形
7.1.1 三角形的边
7.1 与三角形有关的线段
金字塔
分子结构
香港中银大厦
你能从中找到自己熟悉的图形吗？
★ 你所了解的三角形有些什么特点呢？
★ 你能根据自己的观察，给三角形下一个定义吗？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
如图所示，
线段AB,BC,CA是三角形的边．
点A,B,C是三角形的顶点．
∠A, ∠B, ∠C, 是相邻两边组成的角，
叫做三角形的内角，简称三角形的角．
顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”．
c
b
a
C
B
A
1. 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
5个
△ABE, △DCE, △ABC,
△BCD, △BCE
E
D
C
B
A
如图，按要求完成下列填空．
（1）用符号表示图中的三角形 ；
（2）以BD为边的三角形有 ；
（3）以点A为一个顶点的三角形有 ；
（4）以∠C为一个内角的三角形有 ．
△ABD，△BCD，△ABC
△ABD，△BCD
△ABD，△ABC
△BCD，△ABC
D
C
B
A
图上的三角形分别有怎样的特点呢？它属于哪一种三角形呢？
【按三个内角大小分】
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
【按边的相等关系分】
三角形
不等边三角形
等腰三角形
底边和腰不相等
的等腰三角形
等边三角形
即：
任意画一个△ABC，假设一只小虫从
点B出发，沿三角形的边爬到点C，它有几
条线路可以选择？各条线路的长一样吗？
三角形两边的和大于第三边
C
B
A
下列长度的三条线段能否组成三角形？
为什么？
（1）3，4，8；
（2）5，6，11；
（3）5，6，10．
不能
不能
能
【例】用一条长为18cm的细绳围成
一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么
各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等
腰三角形吗？为什么？
已知一个三角形的两边长分别为2cm和13cm，
若该三角形的周长为奇数，则第三边长为多少？
答案：12cm或14cm
对自己说，你有什么收获？
对同学说，你有什么温馨提示？
必做题：书第69页第1、2、6题，
第70页第7题．
选做题：如图，线段AB，CD相交于点O，
能否确定AB+CD与AD+BC的大小关系，请
说明理由．(共17张PPT)
第七章 三角形
第七章 数学活动
复习旧知，开始课程
回忆三角形的定义.
问题1：
任意三根木棒是否都能组成一个三角形呢？为什么？
试验探究，深入课程
问题2：
用四根和五根等长木棍能否组成三角形？能组成几个？
试验探究，深入课程
试验探究，深入课程
结论2：四根等长的木棍也只能用其中的三根组成一个三角形；五根等长的木棍可以组成两个三角形.
试验探究，深入课程
思考：是否两个三角形有一条公共边，三个三角形有两条公共边，以此类推，就能求出摆出n个三角形最少需要的木棒数呢？
试验探究，深入课程
六根等长的木棍能组成四个三角形吗？
请大家分小组试试看！
试验探究，深入课程
结论：
要想用六根木棒组成四个三角形，必须在空间中组成立体图形．
试验探究，深入课程
挑战新的难度：
用九根木棒最多能组成几个三角形？
乘胜追击，挑战难点
问题：如何把一个大正方形划分为九个小正方形？
乘胜追击，挑战难点
思考：把一个大正方形划分为多少个小正方形是很容易办到的？
乘胜追击，挑战难点
结论：划分为4个、9个、16个、25个等，只要是完全平方数，肯定通过等分边长就可以办到.
乘胜追击，挑战难点
探究：能否用另外的方法，把一个
大正方形划分为九个小正方形？
提示：题目中没有对大小提出要求
乘胜追击，挑战难点
乘胜追击，挑战难点
一个正方形是否能够划分成任意n个小正方形呢？有什么规律呢？
结论：一个正方形不能划分为2个、
3个、5个正方形，其他的都可以做到.
课堂小结，回顾重点
课后作业，思维延伸
设计一种方法把一个正方
形划分为六个小正方形．(共76张PPT)
第七章 三角形
7.4 课题学习
镶 嵌
平面镶嵌：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题.
探究1：
如果只允许选择一种正多边形进行平面镶嵌，有哪些正多边形肯定能做到呢？
活动1：
请你用准备好的正多边形进行试验探究吧.
正多边形 能否
平面
镶嵌
图形 一个顶点周围正多边形的个数
能
能
能
正三角形
正四边形
正五边形
正六边形
6
4
3
不能
360°
思考1：用m个相同的正n边形进行平面镶嵌，n的可能值是多少？
设m个相同的正n边形镶嵌成平面.
（n－2）m＝2n
结论1：在正多边形里只有正三角形、正方形、正六边形可以进行一种正多边形的平面镶嵌.
思考2：正五边形怎样才能进行平面镶嵌呢？
五边形三个内角的和为324°
五边形和菱形组合可以进行平面镶嵌
你能设计出由两种正多边形组合在一起的平面镶嵌图案吗？
探究2：
正三角形
正六边形
边长
相等
用边长相等的正三角形和正六边形进行平面镶嵌，你能拼出几种不同的图案？
活动2：
正三角形与正方形
还有没有其他的两种多边形组合镶嵌的形式呢？
+
+
结论2：用两种正多边形进行平面镶嵌， 有以下六种可能：
（3个）正三角形+（2个）正方形
（4个）正三角形+（1个）正六边形
（2个）正三角形+（2个）正六边形
（1个）正三角形+（2个）正十二边形
（1个）正方形 + （2个）正八边形
（2个）正五边形+ （1个）正十边形
如果允许用三种正多边形组合起来镶嵌,由哪几种正多边形能够做到呢？
正三角形
正方形
正六边形
正十二边形
正方形
正六边形
你知道吗？用三种正多边形进行平面镶嵌，有以下八种可能：
正三角形+（2个）正方形+正六边形
（2个）正三角形+正方形+正十二边形
正三角形+正七边形+正四十二边形
正三角形+正八边形+正二十四边形
正三角形+正九边形+正十八边形
正三角形+正十边形+ 正十五边形
正方形 +正五边形+正二十边形
正方形 +正六边形+正十二边形
探究3：
如果只用一种多边形进行平面镶嵌，有哪些多边形肯定能够做到？
活动3：
请用准备好的三角形、四边形等进行试验.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
结论3：
如果只用一种多边形进行平面镶嵌，肯定能够做到的有 ： 任意三角形
任意四边形
正六边形
多边形能覆盖平面 应满足什么条件？
⑴拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°；
⑵相邻的多边形有公共边.
课 堂 小 结
请你用课上所学知识，设计一幅镶嵌艺术画.
